From 0659fee3e63049cf8860597f9d52b3321308bfe6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: AutuanLiu Date: Thu, 15 Nov 2018 21:29:08 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Update=20=E7=AC=AC=E4=B8=80=E7=AB=A0=5F?= =?UTF-8?q?=E6=95=B0=E5=AD=A6=E5=9F=BA=E7=A1=80.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch01_数学基础/第一章_数学基础.md | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/ch01_数学基础/第一章_数学基础.md b/ch01_数学基础/第一章_数学基础.md index 3020c9e..d3f8dd4 100644 --- a/ch01_数学基础/第一章_数学基础.md +++ b/ch01_数学基础/第一章_数学基础.md @@ -48,31 +48,31 @@ - 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量$\vec{a}$的1范数结果就是：29。 $$ -\|\vec{x}\|_1=\sum_{i=1}^N|{x_i}| +\lVert\vec{x}\rVert_1=\sum_{i=1}^N\lvert{x_i}\rvert $$ - 向量的2范数：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述$\vec{a}$的2范数结果就是：15。 $$ -\|\vec{x}\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{|{x_i}|}^2} +\lVert\vec{x}\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{\lvert{x_i}\rvert}^2} $$ - 向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量$\vec{a}$的负无穷范数结果就是：5。 $$ -\|\vec{x}\|_{-\infty}=\min{|{x_i}|} +\lVert\vec{x}\rVert_{-\infty}=\min{|{x_i}|} $$ - 向量的正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量$\vec{a}$的负无穷范数结果就是：10。 $$ -\|\vec{x}\|_{+\infty}=\max{|{x_i}|} +\lVert\vec{x}\lVert_{+\infty}=\max{|{x_i}|} $$ - 向量的p范数： $$ -L_p=\|\vec{x}\|_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p} +L_p=\lVert\vec{x}\lVert_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p} $$ **矩阵的范数** @@ -82,7 +82,7 @@ $$ 矩阵的范数定义为 $$ -\|A\|_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p} +\lVertA\lVert_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\lVertAx\lVert_p}{\lVertx\lVert_p} $$ ​当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。 @@ -90,20 +90,20 @@ $$ - **矩阵的1范数（列范数）**：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[5,8,9]$，再取最大的最终结果就是：9。 $$ -\|A\|_1=\max_{1\le j\le}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}| +\lVertA\lVert_1=\max_{1\le j\le}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}| $$ - **矩阵的2范数**：矩阵$A^TA$的最大特征值开平方根，上述矩阵$A$的2范数得到的最终结果是：10.0623。 $$ -\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)} +\lVertA\lVert_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)} $$ 其中， $\lambda_{max}(A^T A)$ 为 $A^T A$ 的特征值绝对值的最大值。 - **矩阵的无穷范数（行范数）**：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[6；16]$，再取最大的最终结果就是：16。 $$ -\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}| +\lVertA\lVert_{\infty}=\max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}| $$ - **矩阵的核范数**：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。 @@ -113,14 +113,14 @@ $$ - **矩阵的F范数**：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的有点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995。 $$ -\|A\|_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)} +\lVertA\lVert_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)} $$ - **矩阵的L21范数**：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵$A$最终结果就是：17.1559。 - **矩阵的 p范数** $$ -\|A\|_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)} +\lVertA\lVert_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)} $$ ## 1.5 如何判断一个矩阵为正定？