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 ## 1.6 导数偏导计算
 **导数定义**:导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量的变化的比值。几何意义是这个点的切线。物理意义是该时刻的（瞬时）变化率。
 注意：在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。 
-![导数](../derivative.png) 
+在物理学中有平均速度和瞬时速度之说。平均速度有
+$$
+v=\frac{s}{t}
+$$
+其中$v$表示平均速度，$s$表示路程，$t$表示时间。这个公式可以改写为
+$$
+\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}
+$$
+其中$\Delta s$表示两点之间的距离，而$\Delta t$表示走过这段距离需要花费的时间。当$\Delta t$趋向于0（$\Delta t \to 0$）时，也就是时间变得很短时，平均速度也就变成了在$t_0$时刻的瞬时速度，表示成如下形式：
+$$
+v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0}{\bar{v}}=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}}
+$$
+实际上，上式表示的是路程$s$关于时间$t$的函数在$t=t_0$处的导数。一般的，这样定义导数：如果平均变化率的极限存在，即有
+$$
+\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}
+$$
+则称此极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。记作$f'(x_0)$或$y'|_{x=x_0}$或$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$。
+
+通俗地说，导数就是曲线在某一点切线的斜率。
 
 **偏导数**:既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量。以两个自变量为例，z=f（x,y），从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面。曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面上的一点，切线有无数条。而偏导数就是指多元函数沿着坐标轴的变化率。 
 注意：直观地说，偏导数也就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的的变化率。
 
-![偏导数](../partial_derivative.png)  
+设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的领域内有定义，当$y=y_0$时，$z$可以看作关于$x$的一元函数$f(x,y_0)$，若该一元函数在$x=x_0$处可导，即有
+$$
+\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}}=A
+$$
+函数的极限$A$存在。那么称$A$为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处关于自变量$x$的偏导数，记作$f_x(x_0,y_0)$或$\frac{\eth z}{\eth x}|_{y=y_0}^{x=x_0}$或$\frac{\eth f}{\eth x}|_{y=y_0}^{x=x_0}$或$z_x|_{y=y_0}^{x=x_0}$。
+
+偏导数在求解时可以将另外一个变量看做常数，利用普通的求导方式求解，比如$z=3x^2+xy$关于$x$的偏导数就为$z_x=6x+y$，这个时候$y$相当于$x$的系数。
+
+某点$(x_0,y_0)$处的偏导数的几何意义为曲面$z=f(x,y)$与面$x=x_0$或面$y=y_0$交线在$y=y_0$或$x=x_0​$处切线的斜率。  
 
 ## 1.7 导数和偏导数有什么区别？  
 导数和偏导没有本质区别，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限（如果极限存在的话）。