修正1.4、1.6和1.9的内容

ch01_数学基础/第一章_数学基础.md

@@ -7,7 +7,7 @@
 一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。 
 
 **向量（vector）**  
-​一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如xx。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量$X$的第一个元素是$X_1$，第二个元素是$X_2$，以此类推。我们也会注明存储在向量中的元素的类型（实数、虚数等）。
+​一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如xx。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量$X$的第一个元素是$X_1$，第二个元素是$X_2​$，以此类推。我们也会注明存储在向量中的元素的类型（实数、虚数等）。
 
 **矩阵（matrix）**  
 ​矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如$A$。
@@ -78,9 +78,8 @@ $$
 当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。
 
 - **矩阵的1范数（列范数）**：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[5,8,9]$，再取最大的最终结果就是：9。
-  
 $$
-\Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}|
+\Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}|
 $$
 
 - **矩阵的2范数**：矩阵$A^TA$的最大特征值开平方根，上述矩阵$A$的2范数得到的最终结果是：10.0623。 
@@ -89,11 +88,10 @@ $$
 \Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)}
 $$
 
-其中， $\lambda_{max}(A^T A)$ 为 $A^T A$ 的特征值绝对值的最大值。
-- **矩阵的无穷范数（行范数）**：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[6；16]$，再取最大的最终结果就是：16。 
-  
+其中， $\lambda_{max}(A^T A)$ 为 $A^T A​$ 的特征值绝对值的最大值。
+- **矩阵的无穷范数（行范数）**：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵$A$的行范数先得到$[6；16]$，再取最大的最终结果就是：16。 
 $$
-\Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}|
+\Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i \le m}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}|
 $$
 
 - **矩阵的核范数**：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。  
@@ -158,12 +156,12 @@ $$
 
 **偏导数**:
 
-既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量。以两个自变量为例，z=f（x,y），从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面。曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面上的一点，切线有无数条。而偏导数就是指多元函数沿着坐标轴的变化率。 
-​
+既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量。以两个自变量为例，$z=f(x,y)$，从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面。曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面上的一点，切线有无数条。而偏导数就是指多元函数沿着坐标轴的变化率。 
+
 
 *注意*：直观地说，偏导数也就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的的变化率。
 
-设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的领域内有定义，当$y=y_0$时，$z$可以看作关于$x$的一元函数$f(x,y_0)$，若该一元函数在$x=x_0$处可导，即有
+设函数$z=f(x,y)​$在点$(x_0,y_0)​$的领域内有定义，当$y=y_0​$时，$z​$可以看作关于$x​$的一元函数$f(x,y_0)​$，若该一元函数在$x=x_0​$处可导，即有
 
 $$
 \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}}=A
@@ -202,21 +200,20 @@ $$
 其中，$Q$是这个矩阵$A$的特征向量组成的矩阵，$\sum$是一个对角矩阵，每一个对角线元素就是一个特征值，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）。也就是说矩阵$A$的信息可以由其特征值和特征向量表示。
 
 ## 1.9 奇异值与特征值有什么关系?  
-那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？我们将一个矩阵$A$的转置乘以$A$，并对$AA^T$求特征值，则有下面的形式：
+那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？我们将一个矩阵$A$的转置乘以$A$，并对$A^TA​$求特征值，则有下面的形式：
 
 $$
 (A^TA)V = \lambda V
 $$
 
-这里$V$就是上面的右奇异向量，另外还有：
+这里$V​$就是上面的右奇异向量，另外还有：
 
 $$
 \sigma_i = \sqrt{\lambda_i}, u_i=\frac{1}{\sigma_i}A\mu_i
 $$
 
-这里的$\sigma$就是奇异值，$u$就是上面说的左奇异向量。【证明那个哥们也没给】
-​奇异值$\sigma$跟特征值类似，在矩阵$\sum$中也是从大到小排列，而且$\sigma$的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前$r$（$r$远小于$m、n$）个的奇异值来近似描述矩阵，即部分奇异值分解：
-
+这里的$\sigma​$就是奇异值，$u​$就是上面说的左奇异向量。【证明那个哥们也没给】
+​奇异值$\sigma​$跟特征值类似，在矩阵$\sum​$中也是从大到小排列，而且$\sigma​$的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前$r​$（$r​$远小于$m、n​$）个的奇异值来近似描述矩阵，即部分奇异值分解：
 $$
 A_{m\times n}\approx U_{m \times r}\sum_{r\times r}V_{r \times n}^T
 $$
@@ -259,11 +256,11 @@ $$
 
 PMF 将随机变量能够取得的每个状态映射到随机变量取得该状态的概率。
 
-- 一般而言，$P(x)$ 表示时$X=x​$的概率.
+- 一般而言，$P(x)​$ 表示时$X=x​$的概率.
 - 有时候为了防止混淆，要明确写出随机变量的名称$P(​$x$=x)​$ 
-- 有时候需要先定义一个随机变量，然后制定它遵循的概率分布x服从$P($x​$)​$ 
+- 有时候需要先定义一个随机变量，然后制定它遵循的概率分布x服从$P(​$x​$)​$ 
 
-PMF 可以同时作用于多个随机变量，即联合概率分布(joint probability distribution) $P(X=x,Y=y)​$*表示 $X=x​$和 同$Y=y​$发生的概率，也可以简写成 $P(x,y)​$.
+PMF 可以同时作用于多个随机变量，即联合概率分布(joint probability distribution) $P(X=x,Y=y)$*表示 $X=x$和$Y=y$同时发生的概率，也可以简写成 $P(x,y)$.
 
 如果一个函数$P​$是随机变量 $X​$ 的 PMF， 那么它必须满足如下三个条件
 
@@ -300,7 +297,7 @@ E_x[x] &= \phi \\
 Var_x(x) &= \phi{(1-\phi)}
 \end{align*}
 $$
-**Multinoulli分布**也叫**范畴分布**, 是单个*k*k值随机分布,经常用来表示**对象分类的分布**. 其中$k​$是有限值.Multinoulli分布由向量$\vec{p}\in[0,1]^{k-1}​$参数化,每个分量$p_i​$表示第$i​$个状态的概率, 且$p_k=1-1^Tp​$.
+**Multinoulli分布**也叫**范畴分布**, 是单个*k*值随机分布,经常用来表示**对象分类的分布**. 其中$k$是有限值.Multinoulli分布由向量$\vec{p}\in[0,1]^{k-1}$参数化,每个分量$p_i$表示第$i$个状态的概率, 且$p_k=1-1^Tp​$.
 
 **适用范围**: **伯努利分布**适合对**离散型**随机变量建模.
 
@@ -335,7 +332,7 @@ $$
 2. 正态分布是具有相同方差的所有概率分布中, 不确定性最大的分布, 换句话说, 正态分布是对模型加入先验知识最少的分布.
 
 正态分布的推广: 
-正态分布可以推广到$R^n$空间, 此时称为**多位正态分布**, 其参数是一个正定对称矩阵$\sum$: 
+正态分布可以推广到$R^n​$空间, 此时称为**多位正态分布**, 其参数是一个正定对称矩阵$\sum​$: 
 $$
 N(x;\vec\mu,\sum)=\sqrt{\frac{1}{2\pi^ndet(\sum)}}exp\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\sum^-1(\vec{x}-\vec{\mu})\right)
 $$