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Python-100-Days
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修正了文档中数学公式无法显示的问题

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jackfrued 2025-02-14 13:45:22 +08:00
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78
Day66-80/71.NumPy的应用-4.md
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@ -9,7 +9,7 @@
向量有很多种代数表示法，对于二维空间的向量，下面几种写法都是可以的。 向量有很多种代数表示法，对于二维空间的向量，下面几种写法都是可以的。
$$ $$
\boldsymbol{a} = \langle a_1, a_2 \rangle = (a_1, a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \boldsymbol{a} = \langle a_1, a_2 \rangle = (a_1, a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\\\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\\\ a_2 \end{bmatrix}
$$ $$
向量的大小称为向量的模，它是一个标量，对于二维空间的向量，模可以通过下面的公式计算。 向量的大小称为向量的模，它是一个标量，对于二维空间的向量，模可以通过下面的公式计算。
@ -25,9 +25,9 @@ $$
相同维度的向量可以相加得到一个新的向量，运算的方法是将向量的每个分量相加，如下所示。 相同维度的向量可以相加得到一个新的向量，运算的方法是将向量的每个分量相加，如下所示。
$$ $$
\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ \vdots \\\\ u_n \end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ \vdots \\\\ v_n \end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix} \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\\\ u_2 + v_2 \\\\ \vdots \\\\ u_n + v_n \end{bmatrix}
$$ $$
向量的加法满足“平行四边形法则”，即两个向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和 $\small{\boldsymbol{v}}$ 构成了平行四边形的两条邻边，相加的结果是平行四边形的对角线，如下图所示。 向量的加法满足“平行四边形法则”，即两个向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和 $\small{\boldsymbol{v}}$ 构成了平行四边形的两条邻边，相加的结果是平行四边形的对角线，如下图所示。
@ -50,8 +50,8 @@ $$
点积（*dot product*）是两个向量之间最为重要的运算之一，运算的方法是将两个向量对应分量的乘积求和，所以点积的结果是一个标量，其几何意义是两个向量的模乘以二者夹角的余弦如下所示。 点积（*dot product*）是两个向量之间最为重要的运算之一，运算的方法是将两个向量对应分量的乘积求和，所以点积的结果是一个标量，其几何意义是两个向量的模乘以二者夹角的余弦如下所示。
$$ $$
\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ \vdots \\\\ u_n \end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ \vdots \\\\ v_n \end{bmatrix} \quad
$$ $$
$$ $$
@ -61,13 +61,13 @@ $$
假如我们用三维向量来表示用户对喜剧片、言情片和动作片这三类电影的偏好，我们用 1 到 5 的数字来表示喜欢的程度，其中 5 表示非常喜欢，4 表示比较喜欢，3 表示无感，2 表示比较反感，1 表示特别反感。那么，下面的向量表示用户非常喜欢喜剧片，特别反感言情片，对动作片不喜欢也不反感。 假如我们用三维向量来表示用户对喜剧片、言情片和动作片这三类电影的偏好，我们用 1 到 5 的数字来表示喜欢的程度，其中 5 表示非常喜欢，4 表示比较喜欢，3 表示无感，2 表示比较反感，1 表示特别反感。那么，下面的向量表示用户非常喜欢喜剧片，特别反感言情片，对动作片不喜欢也不反感。
$$ $$
\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}
$$ $$
现在有两部电影上映了，一部属于言情喜剧片，一部属于喜剧动作片，我们把两部电影也通过3维向量的方式进行表示，如下所示。 现在有两部电影上映了，一部属于言情喜剧片，一部属于喜剧动作片，我们把两部电影也通过3维向量的方式进行表示，如下所示。
$$ $$
\boldsymbol{m_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{m_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \boldsymbol{m_1} = \begin{pmatrix} 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{m_2} = \begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\\\ 5 \end{pmatrix}
$$ $$
如果现在我们需要向刚才的用户推荐一部电影，我们应该给他推荐哪一部呢？我们可以将代表用户的向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和代表电影的向量 $\small{\boldsymbol{m_{1}}}$ 和 $\small{\boldsymbol{m_{2}}}$ 分别进行点积运算，再除以向量的模长，得到向量夹角的余弦值，余弦值越接近 1，说明向量的夹角越接近 0 度，也就是两个向量的相似度越高。很显然，我们应该向用户推荐跟他观影喜好相似度更高的电影。 如果现在我们需要向刚才的用户推荐一部电影，我们应该给他推荐哪一部呢？我们可以将代表用户的向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和代表电影的向量 $\small{\boldsymbol{m_{1}}}$ 和 $\small{\boldsymbol{m_{2}}}$ 分别进行点积运算，再除以向量的模长，得到向量夹角的余弦值，余弦值越接近 1，说明向量的夹角越接近 0 度，也就是两个向量的相似度越高。很显然，我们应该向用户推荐跟他观影喜好相似度更高的电影。
@ -95,21 +95,21 @@ print(np.dot(u, m2) / (np.linalg.norm(u) * np.linalg.norm(m2))) # 0.97043119007
在二维空间，两个向量的叉积是这样定义的： 在二维空间，两个向量的叉积是这样定义的：
$$ $$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix} \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\\\ a_{2} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\\\ b_{2} \end{pmatrix}
$$ $$
$$ $$
\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\\\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}
$$ $$
对于三维空间，两个向量的叉积结果是一个向量，如下所示： 对于三维空间，两个向量的叉积结果是一个向量，如下所示：
$$ $$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ a_{3} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ b_{3} \end{pmatrix}
$$ $$
$$ $$
\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{i}} \quad \boldsymbol{\hat{j}} \quad \boldsymbol{\hat{k}} \\ a_{1} \quad a_{2} \quad a_{3} \\ b_{1} \quad b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix} = \langle \boldsymbol{\hat{i}}\begin{vmatrix} a_{2} \quad a_{3} \\ b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix}, -\boldsymbol{\hat{j}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{3} \\ b_{1} \quad b_{3} \end{vmatrix}, \boldsymbol{\hat{k}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} \rangle \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{i}} \quad \boldsymbol{\hat{j}} \quad \boldsymbol{\hat{k}} \\\\ a_{1} \quad a_{2} \quad a_{3} \\\\ b_{1} \quad b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix} = \langle \boldsymbol{\hat{i}}\begin{vmatrix} a_{2} \quad a_{3} \\\\ b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix}, -\boldsymbol{\hat{j}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{3} \\\\ b_{1} \quad b_{3} \end{vmatrix}, \boldsymbol{\hat{k}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\\\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} \rangle
$$ $$
因为叉积的结果是向量，所以 $\small{\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}}$ 的结果并不相同，事实上： 因为叉积的结果是向量，所以 $\small{\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}}$ 的结果并不相同，事实上：
@ -138,30 +138,30 @@ print(np.cross(m1, u)) # [ 14 -7 -21]
**性质1**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的元素全部为 0，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = 0}$ 。 **性质1**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的元素全部为 0，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = 0}$ 。
**性质2**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）有公共因子 $\small{k}$ ，则可以提出 $\small{k}$ ，得到行列式 $\small{det(\boldsymbol{A^{'}})}$ ，且 $\small{det(\boldsymbol{A}) = k \cdot det(\boldsymbol{A^{'}})}$ 。 **性质2**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）有公共因子 $\small{k}$ ，则可以提出 $\small{k}$ ，得到行列式 $\small{det(\boldsymbol{A^{'}})}$ ，且 $\small{det(\boldsymbol{A}) = k \cdot det(\boldsymbol{A^{'}})}$ 。
$$ $$
det(\boldsymbol{A})={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k} \cdot det(\boldsymbol{A^{'}}) det(\boldsymbol{A})={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k} \cdot det(\boldsymbol{A^{'}})
$$ $$
**性质3**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个行列式相加，如下所示。 **性质3**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个行列式相加，如下所示。
$$ $$
{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}+{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}+{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}+{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\color {blue}a_{i1}}+{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}+{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}+{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}
$$ $$
**性质4**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中两行（或两列）元素对应成比例，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = 0}$ 。 **性质4**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中两行（或两列）元素对应成比例，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = 0}$ 。
**性质5**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中两行（或两列）互换得到 $\small{det(\boldsymbol{A^{'}})}$ ，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = -det(\boldsymbol{A^{'}})}$ 。 **性质5**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中两行（或两列）互换得到 $\small{det(\boldsymbol{A^{'}})}$ ，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = -det(\boldsymbol{A^{'}})}$ 。
**性质6**：将 $\small{det(\boldsymbol{A})}$中某行（或某列）的 $\small{k}$ 倍加进另一行（或另一列）里，行列式的值不变，如下所示。 **性质6**：将 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的 $\small{k}$ 倍加进另一行（或另一列）里，行列式的值不变，如下所示。
$$ $$
{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in} \\\\ a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in} \\\\ a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}} \\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ \end{vmatrix}}
$$ $$
**性质7**：将行列式的行列互换，行列式的值不变，如下所示。 **性质7**：将行列式的行列互换，行列式的值不变，如下所示。
$$ $$
{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n} \\\\ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n} \\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1} \\\\ a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2} \\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\ a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}
$$ $$
**性质8**：方块矩阵 $\small{\boldsymbol{A}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B}}$ 的乘积的行列式等于其行列式的乘积，即 $\small{det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = det(\boldsymbol{A})det(\boldsymbol{B})}$ 。特别的，若将矩阵中的每一行都乘以常数 $\small{r}$ ，那么行列式的值将是原来的 $\small{r^{n}}$ 倍，即 $\small{det(r\boldsymbol{A}) = det(r\boldsymbol{I_{n}} \cdot \boldsymbol{A}) = r^{n}det(\boldsymbol{A})}$ ，其中 $\small{\boldsymbol{I_{n}}}$ 是 $\small{n}$ 阶单位矩阵。 **性质8**：方块矩阵 $\small{\boldsymbol{A}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B}}$ 的乘积的行列式等于其行列式的乘积，即 $\small{det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = det(\boldsymbol{A})det(\boldsymbol{B})}$ 。特别的，若将矩阵中的每一行都乘以常数 $\small{r}$ ，那么行列式的值将是原来的 $\small{r^{n}}$ 倍，即 $\small{det(r\boldsymbol{A}) = det(r\boldsymbol{I_{n}} \cdot \boldsymbol{A}) = r^{n}det(\boldsymbol{A})}$ ，其中 $\small{\boldsymbol{I_{n}}}$ 是 $\small{n}$ 阶单位矩阵。
@ -179,13 +179,13 @@ $$
对于二阶行列式，上面的公式相当于： 对于二阶行列式，上面的公式相当于：
$$ $$
\begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \\ a_{21} \quad a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \\\\ a_{21} \quad a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
$$ $$
对于三阶行列式，上面的计算公式相当于： 对于三阶行列式，上面的计算公式相当于：
$$ $$
\begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13} \\ a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23} \\ a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13} \\\\ a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23} \\\\ a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}
$$ $$
高阶行列式可以用**代数余子式**（*cofactor*）展开成多个低阶行列式，如下所示： 高阶行列式可以用**代数余子式**（*cofactor*）展开成多个低阶行列式，如下所示：
@ -214,24 +214,24 @@ $$
$$ $$
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\\\
-1 & 3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\\\
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
\times \times
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
3 & 1 \\ 3 & 1 \\\\
2 & 1 \\ 2 & 1 \\\\
1 & 0 1 & 0
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
= =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
(1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\\\
(-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\\\
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
= =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
5 & 1 \\ 5 & 1 \\\\
4 & 2 \\ 4 & 2 \\\\
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
$$ $$
@ -249,9 +249,9 @@ $$
$$ $$
\begin{cases} \begin{cases}
a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + \cdots + a_{1,n}x_{n}= b_{1} \\ a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + \cdots + a_{1,n}x_{n}= b_{1} \\\\
a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + \cdots + a_{2,n}x_{n}= b_{2} \\ a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + \cdots + a_{2,n}x_{n}= b_{2} \\\\
\vdots \quad \quad \quad \vdots \\ \vdots \quad \quad \quad \vdots \\\\
a_{m,1}x_{1} + a_{m,2}x_{2} + \cdots + a_{m,n}x_{n}= b_{m} a_{m,1}x_{1} + a_{m,2}x_{2} + \cdots + a_{m,n}x_{n}= b_{m}
\end{cases} \end{cases}
$$ $$
@ -425,8 +425,8 @@ np.linalg.matrix_rank(m5)
$$ $$
\begin{cases} \begin{cases}
x_1 + 2x_2 + x_3 = 8 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 8 \\\\
3x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 23 \\ 3x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 23 \\\\
2x_1 + 2x_2 + x_3 = 9 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 9
\end{cases} \end{cases}
$$ $$
@ -435,18 +435,18 @@ $$
$$ $$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 1 \\\\
3 & 7 & 2\\ 3 & 7 & 2 \\\\
2 & 2 & 1 2 & 2 & 1
\end{bmatrix}, \quad \end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_1 \\\\
x_2\\ x_2 \\\\
x_3 x_3
\end{bmatrix}, \quad \end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}
8 \\ 8 \\\\
23\\ 23 \\\\
9 9
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
$$ $$