「数组 Array」是一种将 相同类型元素 存储在 连续内存空间 的数据结构，将元素在数组中的位置称为元素的「索引 Index」。
+
Fig. 数组定义与存储方式
+ +Note
+观察上图，我们发现 数组首元素的索引为 \(0\) 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 \(1\) 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。
+数组有多种初始化写法。根据实际需要，选代码最短的那一种就好。
+在数组中访问元素非常高效。这是因为在数组中，计算元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址、和一个元素的索引，利用以下公式可以直接计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
+
Fig. 数组元素的内存地址计算
+ + +为什么数组元素索引从 0 开始编号？ 根据地址计算公式，索引本质上表示的是内存地址偏移量，首个元素的地址偏移量是 \(0\) ，那么索引是 \(0\) 也就很自然了。
+访问元素的高效性带来了许多便利。例如，我们可以在 \(O(1)\) 时间内随机获取一个数组中的元素。
+数组在初始化后长度不可变。由于系统无法保证数组之后的内存空间是可用的，因此数组长度无法扩展。而若希望扩容数组，则需新建一个数组，然后把原数组元素依次拷贝到新数组，在数组很大的情况下，这是非常耗时的。
+// 扩展数组长度
+pub fn extend(mem_allocator: std.mem.Allocator, nums: []i32, enlarge: usize) ![]i32 {
+ // 初始化一个扩展长度后的数组
+ var res = try mem_allocator.alloc(i32, nums.len + enlarge);
+ std.mem.set(i32, res, 0);
+ // 将原数组中的所有元素复制到新数组
+ std.mem.copy(i32, res, nums);
+ // 返回扩展后的新数组
+ return res;
+}
+数组中插入或删除元素效率低下。假设我们想要在数组中间某位置插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。删除元素也是类似，需要把此索引之后的元素都向前移动一位。总体看有以下缺点：
+
Fig. 在数组中插入与删除元素
+ +/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+void insert(int[] nums, int num, int index) {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for (int i = nums.length - 1; i > index; i--) {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+void remove(int[] nums, int index) {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+void insert(int* nums, int size, int num, int index) {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for (int i = size - 1; i > index; i--) {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+void remove(int* nums, int size, int index) {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for (int i = index; i < size - 1; i++) {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+""" 在数组的索引 index 处插入元素 num """
+def insert(nums, num, index):
+ # 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for i in range(len(nums) - 1, index, -1):
+ nums[i] = nums[i - 1]
+ # 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num
+
+""" 删除索引 index 处元素 """
+def remove(nums, index):
+ # 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for i in range(index, len(nums) - 1):
+ nums[i] = nums[i + 1]
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+func insert(nums []int, num int, index int) {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for i := len(nums) - 1; i > index; i-- {
+ nums[i] = nums[i-1]
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+func remove(nums []int, index int) {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for i := index; i < len(nums)-1; i++ {
+ nums[i] = nums[i+1]
+ }
+}
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+function insert(nums, num, index) {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+function remove(nums, index) {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+function insert(nums: number[], num: number, index: number): void {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+function remove(nums: number[], index: number): void {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+void Insert(int[] nums, int num, int index)
+{
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for (int i = nums.Length - 1; i > index; i--)
+ {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+/* 删除索引 index 处元素 */
+void Remove(int[] nums, int index)
+{
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++)
+ {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
+func insert(nums: inout [Int], num: Int, index: Int) {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > index + 1 ? $0 - 1 : nil }) {
+ nums[i] = nums[i - 1]
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num
+}
+
+/* 删除索引 index 处元素 */
+func remove(nums: inout [Int], index: Int) {
+ let count = nums.count
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ for i in sequence(first: index, next: { $0 < count - 1 - 1 ? $0 + 1 : nil }) {
+ nums[i] = nums[i + 1]
+ }
+}
+// 在数组的索引 index 处插入元素 num
+pub fn insert(nums: []i32, num: i32, index: usize) void {
+ // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
+ var i = nums.len - 1;
+ while (i > index) : (i -= 1) {
+ nums[i] = nums[i - 1];
+ }
+ // 将 num 赋给 index 处元素
+ nums[index] = num;
+}
+
+// 删除索引 index 处元素
+pub fn remove(nums: []i32, index: usize) void {
+ // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
+ var i = index;
+ while (i < nums.len - 1) : (i += 1) {
+ nums[i] = nums[i + 1];
+ }
+}
+数组遍历。以下介绍两种常用的遍历方法。
+数组查找。通过遍历数组，查找数组内的指定元素，并输出对应索引。
+随机访问。如果我们想要随机抽取一些样本，那么可以用数组存储，并生成一个随机序列，根据索引实现样本的随机抽取。
+二分查找。例如前文查字典的例子，我们可以将字典中的所有字按照拼音顺序存储在数组中，然后使用与日常查纸质字典相同的“翻开中间，排除一半”的方式，来实现一个查电子字典的算法。
+深度学习。神经网络中大量使用了向量、矩阵、张量之间的线性代数运算，这些数据都是以数组的形式构建的。数组是神经网络编程中最常使用的数据结构。
+ + + + + +引言
+内存空间是所有程序的公共资源，排除已占用的内存，空闲内存往往是散落在内存各处的。我们知道，存储数组需要内存空间连续，当我们需要申请一个很大的数组时，系统不一定存在这么大的连续内存空间。而链表则更加灵活，不需要内存是连续的，只要剩余内存空间大小够用即可。
+「链表 Linked List」是一种线性数据结构，其中每个元素都是单独的对象，各个元素（一般称为结点）之间通过指针连接。由于结点中记录了连接关系，因此链表的存储方式相比于数组更加灵活，系统不必保证内存地址的连续性。
+链表的「结点 Node」包含两项数据，一是结点「值 Value」，二是指向下一结点的「指针 Pointer」（或称「引用 Reference」）。
+
Fig. 链表定义与存储方式
+ +尾结点指向什么？ 我们一般将链表的最后一个结点称为「尾结点」，其指向的是「空」，在 Java / C++ / Python 中分别记为 null / nullptr / None 。在不引起歧义下，本书都使用 null 来表示空。
链表初始化方法。建立链表分为两步，第一步是初始化各个结点对象，第二步是构建引用指向关系。完成后，即可以从链表的首个结点（即头结点）出发，访问其余所有的结点。
+Tip
+我们通常将头结点当作链表的代称，例如头结点 head 和链表 head 实际上是同义的。
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
+// 初始化各个结点
+ListNode* n0 = new ListNode(1);
+ListNode* n1 = new ListNode(3);
+ListNode* n2 = new ListNode(2);
+ListNode* n3 = new ListNode(5);
+ListNode* n4 = new ListNode(4);
+// 构建引用指向
+n0->next = n1;
+n1->next = n2;
+n2->next = n3;
+n3->next = n4;
+// 初始化链表
+// 初始化各个结点
+var n0 = inc.ListNode(i32){.val = 1};
+var n1 = inc.ListNode(i32){.val = 3};
+var n2 = inc.ListNode(i32){.val = 2};
+var n3 = inc.ListNode(i32){.val = 5};
+var n4 = inc.ListNode(i32){.val = 4};
+// 构建引用指向
+n0.next = &n1;
+n1.next = &n2;
+n2.next = &n3;
+n3.next = &n4;
+在链表中，插入与删除结点的操作效率高。例如，如果想在链表中间的两个结点 A , B 之间插入一个新结点 P ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 \(O(1)\) ，相比数组的插入操作高效很多。在链表中删除某个结点也很方便，只需要改变一个结点指针即可。
Fig. 在链表中插入与删除结点
+ +/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
+void insert(ListNode n0, ListNode P) {
+ ListNode n1 = n0.next;
+ n0.next = P;
+ P.next = n1;
+}
+
+/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
+void remove(ListNode n0) {
+ if (n0.next == null)
+ return;
+ // n0 -> P -> n1
+ ListNode P = n0.next;
+ ListNode n1 = P.next;
+ n0.next = n1;
+}
+/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
+void insert(ListNode* n0, ListNode* P) {
+ ListNode* n1 = n0->next;
+ n0->next = P;
+ P->next = n1;
+}
+
+/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
+void remove(ListNode* n0) {
+ if (n0->next == nullptr)
+ return;
+ // n0 -> P -> n1
+ ListNode* P = n0->next;
+ ListNode* n1 = P->next;
+ n0->next = n1;
+ // 释放内存
+ delete P;
+}
+/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
+function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void {
+ const n1 = n0.next;
+ n0.next = P;
+ P.next = n1;
+}
+
+/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
+function remove(n0: ListNode): void {
+ if (!n0.next) {
+ return;
+ }
+ // n0 -> P -> n1
+ const P = n0.next;
+ const n1 = P.next;
+ n0.next = n1;
+}
+// 在链表的结点 n0 之后插入结点 P
+void Insert(ListNode n0, ListNode P)
+{
+ ListNode n1 = n0.next;
+ n0.next = P;
+ P.next = n1;
+}
+
+// 删除链表的结点 n0 之后的首个结点
+void Remove(ListNode n0)
+{
+ if (n0.next == null)
+ return;
+ // n0 -> P -> n1
+ ListNode P = n0.next;
+ ListNode n1 = P.next;
+ n0.next = n1;
+}
+/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
+func insert(n0: ListNode, P: ListNode) {
+ let n1 = n0.next
+ n0.next = P
+ P.next = n1
+}
+
+/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
+func remove(n0: ListNode) {
+ if n0.next == nil {
+ return
+ }
+ // n0 -> P -> n1
+ let P = n0.next
+ let n1 = P?.next
+ n0.next = n1
+ P?.next = nil
+}
+// 在链表的结点 n0 之后插入结点 P
+pub fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void {
+ var n1 = n0.?.next;
+ n0.?.next = P;
+ P.?.next = n1;
+}
+
+// 删除链表的结点 n0 之后的首个结点
+pub fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void {
+ if (n0.?.next == null) return;
+ // n0 -> P -> n1
+ var P = n0.?.next;
+ var n1 = P.?.next;
+ n0.?.next = n1;
+}
+链表访问结点效率低。上节提到，数组可以在 \(O(1)\) 时间下访问任意元素，但链表无法直接访问任意结点。这是因为计算机需要从头结点出发，一个一个地向后遍历到目标结点。例如，倘若想要访问链表索引为 index （即第 index + 1 个）的结点，那么需要 index 次访问操作。
链表的内存占用多。链表以结点为单位，每个结点除了保存值外，还需额外保存指针（引用）。这意味着同样数据量下，链表比数组需要占用更多内存空间。
+遍历链表查找。遍历链表，查找链表内值为 target 的结点，输出结点在链表中的索引。
单向链表。即上述介绍的普通链表。单向链表的结点有「值」和指向下一结点的「指针（引用）」两项数据。我们将首个结点称为头结点，尾结点指向 null 。
环形链表。如果我们令单向链表的尾结点指向头结点（即首尾相接），则得到一个环形链表。在环形链表中，我们可以将任意结点看作是头结点。
+双向链表。单向链表仅记录了一个方向的指针（引用），在双向链表的结点定义中，同时有指向下一结点（后继结点）和上一结点（前驱结点）的「指针（引用）」。双向链表相对于单向链表更加灵活，即可以朝两个方向遍历链表，但也需要占用更多的内存空间。
+/* 双向链表结点类 */
+class ListNode {
+ val: number;
+ next: ListNode | null;
+ prev: ListNode | null;
+ constructor(val?: number, next?: ListNode | null, prev?: ListNode | null) {
+ this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
+ this.next = next === undefined ? null : next; // 指向后继结点的指针（引用）
+ this.prev = prev === undefined ? null : prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
+ }
+}
+// 双向链表结点类
+pub fn ListNode(comptime T: type) type {
+ return struct {
+ const Self = @This();
+
+ val: T = 0, // 结点值
+ next: ?*Self = null, // 指向后继结点的指针（引用）
+ prev: ?*Self = null, // 指向前驱结点的指针（引用）
+
+ // 构造函数
+ pub fn init(self: *Self, x: i32) void {
+ self.val = x;
+ self.next = null;
+ self.prev = null;
+ }
+ };
+}
+
Fig. 常见链表类型
+ + + + + +由于长度不可变，数组的实用性大大降低。在很多情况下，我们事先并不知道会输入多少数据，这就为数组长度的选择带来了很大困难。长度选小了，需要在添加数据中频繁地扩容数组；长度选大了，又造成内存空间的浪费。
+为了解决此问题，诞生了一种被称为「列表 List」的数据结构。列表可以被理解为长度可变的数组，因此也常被称为「动态数组 Dynamic Array」。列表基于数组实现，继承了数组的优点，同时还可以在程序运行中实时扩容。在列表中，我们可以自由地添加元素，而不用担心超过容量限制。
+初始化列表。我们通常会使用到“无初始值”和“有初始值”的两种初始化方法。
+访问与更新元素。列表的底层数据结构是数组，因此可以在 \(O(1)\) 时间内访问与更新元素，效率很高。
+在列表中添加、插入、删除元素。相对于数组，列表可以自由地添加与删除元素。在列表尾部添加元素的时间复杂度为 \(O(1)\) ，但是插入与删除元素的效率仍与数组一样低，时间复杂度为 \(O(N)\) 。
+/* 清空列表 */
+list = nil
+
+/* 尾部添加元素 */
+list = append(list, 1)
+list = append(list, 3)
+list = append(list, 2)
+list = append(list, 5)
+list = append(list, 4)
+
+/* 中间插入元素 */
+list = append(list[:3], append([]int{6}, list[3:]...)...) // 在索引 3 处插入数字 6
+
+/* 删除元素 */
+list = append(list[:3], list[4:]...) // 删除索引 3 处的元素
+遍历列表。与数组一样，列表可以使用索引遍历，也可以使用 for-each 直接遍历。
拼接两个列表。再创建一个新列表 list1 ，我们可以将其中一个列表拼接到另一个的尾部。
排序列表。排序也是常用的方法之一，完成列表排序后，我们就可以使用在数组类算法题中经常考察的「二分查找」和「双指针」算法了。
+为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个列表的简易版本的实现。需要关注三个核心点：
+initialCapacity 。在本示例中，我们选择 10 作为初始容量。size ，用来记录列表当前有多少个元素，并随着元素插入与删除实时更新。根据此变量，可以定位列表的尾部，以及判断是否需要扩容。extendRatio ，在本示例中，我们规定每次将数组扩容至之前的 2 倍。本示例是为了帮助读者对如何实现列表产生直观的认识。实际编程语言中，列表的实现远比以下代码复杂且标准，感兴趣的读者可以查阅源码学习。
+/* 列表类简易实现 */
+class MyList {
+ private int[] nums; // 数组（存储列表元素）
+ private int capacity = 10; // 列表容量
+ private int size = 0; // 列表长度（即当前元素数量）
+ private int extendRatio = 2; // 每次列表扩容的倍数
+
+ /* 构造函数 */
+ public MyList() {
+ nums = new int[capacity];
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ public int size() {
+ return size;
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ public int capacity() {
+ return capacity;
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ public int get(int index) {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfBoundsException("索引越界");
+ return nums[index];
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ public void set(int index, int num) {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfBoundsException("索引越界");
+ nums[index] = num;
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ public void add(int num) {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size == capacity())
+ extendCapacity();
+ nums[size] = num;
+ // 更新元素数量
+ size++;
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ public void insert(int index, int num) {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfBoundsException("索引越界");
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size == capacity())
+ extendCapacity();
+ // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
+ for (int j = size - 1; j >= index; j--) {
+ nums[j + 1] = nums[j];
+ }
+ nums[index] = num;
+ // 更新元素数量
+ size++;
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ public int remove(int index) {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfBoundsException("索引越界");
+ int num = nums[index];
+ // 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
+ for (int j = index; j < size - 1; j++) {
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ size--;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ public void extendCapacity() {
+ // 新建一个长度为 size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ nums = Arrays.copyOf(nums, capacity() * extendRatio);
+ // 更新列表容量
+ capacity = nums.length;
+ }
+}
+/* 列表类简易实现 */
+class MyList {
+private:
+ int* nums; // 数组（存储列表元素）
+ int numsCapacity = 10; // 列表容量
+ int numsSize = 0; // 列表长度（即当前元素数量）
+ int extendRatio = 2; // 每次列表扩容的倍数
+
+public:
+ /* 构造函数 */
+ MyList() {
+ nums = new int[numsCapacity];
+ }
+
+ /* 析构函数 */
+ ~MyList() {
+ delete[] nums;
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ int size() {
+ return numsSize;
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ int capacity() {
+ return numsCapacity;
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ int get(int index) {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 || index >= size())
+ throw out_of_range("索引越界");
+ return nums[index];
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ void set(int index, int num) {
+ if (index < 0 || index >= size())
+ throw out_of_range("索引越界");
+ nums[index] = num;
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ void add(int num) {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size() == capacity())
+ extendCapacity();
+ nums[size()] = num;
+ // 更新元素数量
+ numsSize++;
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ void insert(int index, int num) {
+ if (index < 0 || index >= size())
+ throw out_of_range("索引越界");
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size() == capacity())
+ extendCapacity();
+ // 索引 i 以及之后的元素都向后移动一位
+ for (int j = size() - 1; j >= index; j--) {
+ nums[j + 1] = nums[j];
+ }
+ nums[index] = num;
+ // 更新元素数量
+ numsSize++;
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ int remove(int index) {
+ if (index < 0 || index >= size())
+ throw out_of_range("索引越界");
+ int num = nums[index];
+ // 索引 i 之后的元素都向前移动一位
+ for (int j = index; j < size() - 1; j++) {
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ numsSize--;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ void extendCapacity() {
+ // 新建一个长度为 size * extendRatio 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ int newCapacity = capacity() * extendRatio;
+ int* tmp = nums;
+ nums = new int[newCapacity];
+ // 将原数组中的所有元素复制到新数组
+ for (int i = 0; i < size(); i++) {
+ nums[i] = tmp[i];
+ }
+ // 释放内存
+ delete[] tmp;
+ numsCapacity = newCapacity;
+ }
+};
+""" 列表类简易实现 """
+class MyList:
+ """ 构造函数 """
+ def __init__(self):
+ self.__capacity = 10 # 列表容量
+ self.__nums = [0] * self.__capacity # 数组（存储列表元素）
+ self.__size = 0 # 列表长度（即当前元素数量）
+ self.__extend_ratio = 2 # 每次列表扩容的倍数
+
+ """ 获取列表长度（即当前元素数量） """
+ def size(self):
+ return self.__size
+
+ """ 获取列表容量 """
+ def capacity(self):
+ return self.__capacity
+
+ """ 访问元素 """
+ def get(self, index):
+ # 索引如果越界则抛出异常，下同
+ assert index >= 0 and index < self.__size, "索引越界"
+ return self.__nums[index]
+
+ """ 更新元素 """
+ def set(self, num, index):
+ assert index >= 0 and index < self.__size, "索引越界"
+ self.__nums[index] = num
+
+ """ 中间插入（尾部添加）元素 """
+ def add(self, num, index=-1):
+ assert index >= 0 and index < self.__size, "索引越界"
+ # 若不指定索引 index ，则向数组尾部添加元素
+ if index == -1:
+ index = self.__size
+ # 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if self.__size == self.capacity():
+ self.extend_capacity()
+ # 索引 i 以及之后的元素都向后移动一位
+ for j in range(self.__size - 1, index - 1, -1):
+ self.__nums[j + 1] = self.__nums[j]
+ self.__nums[index] = num
+ # 更新元素数量
+ self.__size += 1
+
+ """ 删除元素 """
+ def remove(self, index):
+ assert index >= 0 and index < self.__size, "索引越界"
+ num = self.nums[index]
+ # 索引 i 之后的元素都向前移动一位
+ for j in range(index, self.__size - 1):
+ self.__nums[j] = self.__nums[j + 1]
+ # 更新元素数量
+ self.__size -= 1
+ # 返回被删除元素
+ return num
+
+ """ 列表扩容 """
+ def extend_capacity(self):
+ # 新建一个长度为 self.__size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ self.__nums = self.__nums + [0] * self.capacity() * (self.__extend_ratio - 1)
+ # 更新列表容量
+ self.__capacity = len(self.__nums)
+
+ """ 返回有效长度的列表 """
+ def to_array(self):
+ return self.__nums[:self.__size]
+/* 列表类简易实现 */
+type myList struct {
+ numsCapacity int
+ nums []int
+ numsSize int
+ extendRatio int
+}
+
+/* 构造函数 */
+func newMyList() *myList {
+ return &myList{
+ numsCapacity: 10, // 列表容量
+ nums: make([]int, 10), // 数组（存储列表元素）
+ numsSize: 0, // 列表长度（即当前元素数量）
+ extendRatio: 2, // 每次列表扩容的倍数
+ }
+}
+
+/* 获取列表长度（即当前元素数量） */
+func (l *myList) size() int {
+ return l.numsSize
+}
+
+/* 获取列表容量 */
+func (l *myList) capacity() int {
+ return l.numsCapacity
+}
+
+/* 访问元素 */
+func (l *myList) get(index int) int {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if index < 0 || index >= l.numsSize {
+ panic("索引越界")
+ }
+ return l.nums[index]
+}
+
+/* 更新元素 */
+func (l *myList) set(num, index int) {
+ if index < 0 || index >= l.numsSize {
+ panic("索引越界")
+ }
+ l.nums[index] = num
+}
+
+/* 尾部添加元素 */
+func (l *myList) add(num int) {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if l.numsSize == l.numsCapacity {
+ l.extendCapacity()
+ }
+ l.nums[l.numsSize] = num
+ // 更新元素数量
+ l.numsSize++
+}
+
+/* 中间插入元素 */
+func (l *myList) insert(num, index int) {
+ if index < 0 || index >= l.numsSize {
+ panic("索引越界")
+ }
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if l.numsSize == l.numsCapacity {
+ l.extendCapacity()
+ }
+ // 索引 i 以及之后的元素都向后移动一位
+ for j := l.numsSize - 1; j >= index; j-- {
+ l.nums[j+1] = l.nums[j]
+ }
+ l.nums[index] = num
+ // 更新元素数量
+ l.numsSize++
+}
+
+/* 删除元素 */
+func (l *myList) remove(index int) int {
+ if index < 0 || index >= l.numsSize {
+ panic("索引越界")
+ }
+ num := l.nums[index]
+ // 索引 i 之后的元素都向前移动一位
+ for j := index; j < l.numsSize-1; j++ {
+ l.nums[j] = l.nums[j+1]
+ }
+ // 更新元素数量
+ l.numsSize--
+ // 返回被删除元素
+ return num
+}
+
+/* 列表扩容 */
+func (l *myList) extendCapacity() {
+ // 新建一个长度为 self.__size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ l.nums = append(l.nums, make([]int, l.numsCapacity*(l.extendRatio-1))...)
+ // 更新列表容量
+ l.numsCapacity = len(l.nums)
+}
+/* 列表类简易实现 */
+class MyList {
+ #nums = new Array(); // 数组（存储列表元素）
+ #capacity = 10; // 列表容量
+ #size = 0; // 列表长度（即当前元素数量）
+ #extendRatio = 2; // 每次列表扩容的倍数
+
+ /* 构造函数 */
+ constructor() {
+ this.#nums = new Array(this.#capacity);
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ size() {
+ return this.#size;
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ capacity() {
+ return this.#capacity;
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ get(index) {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 || index >= this.#size)
+ throw new Error('索引越界');
+ return this.#nums[index];
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ set(index, num) {
+ if (index < 0 || index >= this.#size)
+ throw new Error('索引越界');
+ this.#nums[index] = num;
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ add(num) {
+ // 如果长度等于容量，则需要扩容
+ if (this.#size === this.#capacity) {
+ this.extendCapacity();
+ }
+ // 将新元素添加到列表尾部
+ this.#nums[this.#size] = num;
+ this.#size++;
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ insert(index, num) {
+ if (index < 0 || index >= this.#size)
+ throw new Error('索引越界');
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (this.#size === this.#capacity) {
+ this.extendCapacity();
+ }
+ // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
+ for (let j = this.#size - 1; j >= index; j--) {
+ this.#nums[j + 1] = this.#nums[j];
+ }
+ // 更新元素数量
+ this.#nums[index] = num;
+ this.#size++;
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ remove(index) {
+ if (index < 0 || index >= this.#size)
+ throw new Error('索引越界');
+ let num = this.#nums[index];
+ // 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
+ for (let j = index; j < this.#size - 1; j++) {
+ this.#nums[j] = this.#nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ this.#size--;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ extendCapacity() {
+ // 新建一个长度为 size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ this.#nums = this.#nums.concat(
+ new Array(this.capacity() * (this.#extendRatio - 1))
+ );
+ // 更新列表容量
+ this.#capacity = this.#nums.length;
+ }
+}
+/* 列表类简易实现 */
+class MyList {
+ private nums: Array<number>; // 数组（存储列表元素）
+ private _capacity: number = 10; // 列表容量
+ private _size: number = 0; // 列表长度（即当前元素数量）
+ private extendRatio: number = 2; // 每次列表扩容的倍数
+
+ /* 构造函数 */
+ constructor() {
+ this.nums = new Array(this._capacity);
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ public size(): number {
+ return this._size;
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ public capacity(): number {
+ return this._capacity;
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ public get(index: number): number {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 || index >= this._size)
+ throw new Error('索引越界');
+ return this.nums[index];
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ public set(index: number, num: number): void {
+ if (index < 0 || index >= this._size)
+ throw new Error('索引越界');
+ this.nums[index] = num;
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ public add(num: number): void {
+ // 如果长度等于容量，则需要扩容
+ if (this._size === this._capacity)
+ this.extendCapacity();
+ // 将新元素添加到列表尾部
+ this.nums[this._size] = num;
+ this._size++;
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ public insert(index: number, num: number): void {
+ if (index < 0 || index >= this._size)
+ throw new Error('索引越界');
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (this._size === this._capacity) {
+ this.extendCapacity();
+ }
+ // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
+ for (let j = this._size - 1; j >= index; j--) {
+ this.nums[j + 1] = this.nums[j];
+ }
+ // 更新元素数量
+ this.nums[index] = num;
+ this._size++;
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ public remove(index: number): number {
+ if (index < 0 || index >= this._size)
+ throw new Error('索引越界');
+ let num = this.nums[index];
+ // 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
+ for (let j = index; j < this._size - 1; j++) {
+ this.nums[j] = this.nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ this._size--;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ public extendCapacity(): void {
+ // 新建一个长度为 size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ this.nums = this.nums.concat(
+ new Array(this.capacity() * (this.extendRatio - 1))
+ );
+ // 更新列表容量
+ this._capacity = this.nums.length;
+ }
+}
+class MyList
+{
+ private int[] nums; // 数组（存储列表元素）
+ private int capacity = 10; // 列表容量
+ private int size = 0; // 列表长度（即当前元素数量）
+ private int extendRatio = 2; // 每次列表扩容的倍数
+
+ /* 构造函数 */
+ public MyList()
+ {
+ nums = new int[capacity];
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ public int Size()
+ {
+ return size;
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ public int Capacity()
+ {
+ return capacity;
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ public int Get(int index)
+ {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfRangeException("索引越界");
+ return nums[index];
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ public void Set(int index, int num)
+ {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfRangeException("索引越界");
+ nums[index] = num;
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ public void Add(int num)
+ {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size == Capacity())
+ ExtendCapacity();
+ nums[size] = num;
+ // 更新元素数量
+ size++;
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ public void Insert(int index, int num)
+ {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfRangeException("索引越界");
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (size == Capacity())
+ ExtendCapacity();
+ // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
+ for (int j = size - 1; j >= index; j--)
+ {
+ nums[j + 1] = nums[j];
+ }
+ nums[index] = num;
+ // 更新元素数量
+ size++;
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ public int Remove(int index)
+ {
+ if (index < 0 || index >= size)
+ throw new IndexOutOfRangeException("索引越界");
+ int num = nums[index];
+ // 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
+ for (int j = index; j < size - 1; j++)
+ {
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ size--;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ public void ExtendCapacity()
+ {
+ // 新建一个长度为 size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ System.Array.Resize(ref nums, Capacity() * extendRatio);
+ // 更新列表容量
+ capacity = nums.Length;
+ }
+}
+/* 列表类简易实现 */
+class MyList {
+ private var nums: [Int] // 数组（存储列表元素）
+ private var _capacity = 10 // 列表容量
+ private var _size = 0 // 列表长度（即当前元素数量）
+ private let extendRatio = 2 // 每次列表扩容的倍数
+
+ /* 构造函数 */
+ init() {
+ nums = Array(repeating: 0, count: _capacity)
+ }
+
+ /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
+ func size() -> Int {
+ _size
+ }
+
+ /* 获取列表容量 */
+ func capacity() -> Int {
+ _capacity
+ }
+
+ /* 访问元素 */
+ func get(index: Int) -> Int {
+ // 索引如果越界则抛出错误，下同
+ if index < 0 || index >= _size {
+ fatalError("索引越界")
+ }
+ return nums[index]
+ }
+
+ /* 更新元素 */
+ func set(index: Int, num: Int) {
+ if index < 0 || index >= _size {
+ fatalError("索引越界")
+ }
+ nums[index] = num
+ }
+
+ /* 尾部添加元素 */
+ func add(num: Int) {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if _size == _capacity {
+ extendCapacity()
+ }
+ nums[_size] = num
+ // 更新元素数量
+ _size += 1
+ }
+
+ /* 中间插入元素 */
+ func insert(index: Int, num: Int) {
+ if index < 0 || index >= _size {
+ fatalError("索引越界")
+ }
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if _size == _capacity {
+ extendCapacity()
+ }
+ // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
+ for j in sequence(first: _size - 1, next: { $0 >= index + 1 ? $0 - 1 : nil }) {
+ nums[j + 1] = nums[j]
+ }
+ nums[index] = num
+ // 更新元素数量
+ _size += 1
+ }
+
+ /* 删除元素 */
+ @discardableResult
+ func remove(index: Int) -> Int {
+ if index < 0 || index >= _size {
+ fatalError("索引越界")
+ }
+ let num = nums[index]
+ // 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
+ for j in index ..< (_size - 1) {
+ nums[j] = nums[j + 1]
+ }
+ // 更新元素数量
+ _size -= 1
+ // 返回被删除元素
+ return num
+ }
+
+ /* 列表扩容 */
+ func extendCapacity() {
+ // 新建一个长度为 size 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ nums = nums + Array(repeating: 0, count: _capacity * (extendRatio - 1))
+ // 更新列表容量
+ _capacity = nums.count
+ }
+}
+// 列表类简易实现
+pub fn MyList(comptime T: type) type {
+ return struct {
+ const Self = @This();
+
+ nums: []T = undefined, // 数组（存储列表元素）
+ numsCapacity: usize = 10, // 列表容量
+ numSize: usize = 0, // 列表长度（即当前元素数量）
+ extendRatio: usize = 2, // 每次列表扩容的倍数
+ mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
+ mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined, // 内存分配器
+
+ // 构造函数（分配内存+初始化列表）
+ pub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator) !void {
+ if (self.mem_arena == null) {
+ self.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);
+ self.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();
+ }
+ self.nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.numsCapacity);
+ std.mem.set(T, self.nums, @as(T, 0));
+ }
+
+ // 析构函数（释放内存）
+ pub fn deinit(self: *Self) void {
+ if (self.mem_arena == null) return;
+ self.mem_arena.?.deinit();
+ }
+
+ // 获取列表长度（即当前元素数量）
+ pub fn size(self: *Self) usize {
+ return self.numSize;
+ }
+
+ // 获取列表容量
+ pub fn capacity(self: *Self) usize {
+ return self.numsCapacity;
+ }
+
+ // 访问元素
+ pub fn get(self: *Self, index: usize) T {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 or index >= self.size()) @panic("索引越界");
+ return self.nums[index];
+ }
+
+ // 更新元素
+ pub fn set(self: *Self, index: usize, num: T) void {
+ // 索引如果越界则抛出异常，下同
+ if (index < 0 or index >= self.size()) @panic("索引越界");
+ self.nums[index] = num;
+ }
+
+ // 尾部添加元素
+ pub fn add(self: *Self, num: T) !void {
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (self.size() == self.capacity()) try self.extendCapacity();
+ self.nums[self.size()] = num;
+ // 更新元素数量
+ self.numSize += 1;
+ }
+
+ // 中间插入元素
+ pub fn insert(self: *Self, index: usize, num: T) !void {
+ if (index < 0 or index >= self.size()) @panic("索引越界");
+ // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
+ if (self.size() == self.capacity()) try self.extendCapacity();
+ // 索引 i 以及之后的元素都向后移动一位
+ var j = self.size() - 1;
+ while (j >= index) : (j -= 1) {
+ self.nums[j + 1] = self.nums[j];
+ }
+ self.nums[index] = num;
+ // 更新元素数量
+ self.numSize += 1;
+ }
+
+ // 删除元素
+ pub fn remove(self: *Self, index: usize) T {
+ if (index < 0 or index >= self.size()) @panic("索引越界");
+ var num = self.nums[index];
+ // 索引 i 之后的元素都向前移动一位
+ var j = index;
+ while (j < self.size() - 1) : (j += 1) {
+ self.nums[j] = self.nums[j + 1];
+ }
+ // 更新元素数量
+ self.numSize -= 1;
+ // 返回被删除元素
+ return num;
+ }
+
+ // 列表扩容
+ pub fn extendCapacity(self: *Self) !void {
+ // 新建一个长度为 size * extendRatio 的数组，并将原数组拷贝到新数组
+ var newCapacity = self.capacity() * self.extendRatio;
+ var extend = try self.mem_allocator.alloc(T, newCapacity);
+ std.mem.set(T, extend, @as(T, 0));
+ // 将原数组中的所有元素复制到新数组
+ std.mem.copy(T, extend, self.nums);
+ self.nums = extend;
+ // 更新列表容量
+ self.numsCapacity = newCapacity;
+ }
+
+ // 将列表转换为数组
+ pub fn toArray(self: *Self) ![]T {
+ // 仅转换有效长度范围内的列表元素
+ var nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());
+ std.mem.set(T, nums, @as(T, 0));
+ for (nums) |*num, i| {
+ num.* = self.get(i);
+ }
+ return nums;
+ }
+ };
+}
+Table. 数组与链表特点对比
+ +| + | 数组 | +链表 | +
|---|---|---|
| 存储方式 | +连续内存空间 | +离散内存空间 | +
| 数据结构长度 | +长度不可变 | +长度可变 | +
| 内存使用率 | +占用内存少、缓存局部性好 | +占用内存多 | +
| 优势操作 | +随机访问 | +插入、删除 | +
Tip
+「缓存局部性（Cache locality）」涉及到了计算机操作系统，在本书不做展开介绍，建议有兴趣的同学 Google / Baidu 一下。
+Table. 数组与链表操作时间复杂度
+ +| 操作 | +数组 | +链表 | +
|---|---|---|
| 访问元素 | +\(O(1)\) | +\(O(N)\) | +
| 添加元素 | +\(O(N)\) | +\(O(1)\) | +
| 删除元素 | +\(O(N)\) | +\(O(1)\) | +
在开始学习算法之前，我们首先要想清楚算法的设计目标是什么，或者说，如何来评判算法的好与坏。整体上看，我们设计算法时追求两个层面的目标。
+换言之，在可以解决问题的前提下，算法效率则是主要评价维度，包括：
+数据结构与算法追求“运行速度快、占用内存少”，而如何去评价算法效率则是非常重要的问题，因为只有知道如何评价算法，才能去做算法之间的对比分析，以及优化算法设计。
+假设我们现在有算法 A 和 算法 B ，都能够解决同一问题，现在需要对比两个算法之间的效率。我们能够想到的最直接的方式，就是找一台计算机，把两个算法都完整跑一遍，并监控记录运行时间和内存占用情况。这种评估方式能够反映真实情况，但是也存在很大的硬伤。
+难以排除测试环境的干扰因素。硬件配置会影响到算法的性能表现。例如，在某台计算机中，算法 A 比算法 B 运行时间更短；但换到另一台配置不同的计算机中，可能会得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机器上展开测试，而这是不现实的。
+展开完整测试非常耗费资源。随着输入数据量的大小变化，算法会呈现出不同的效率表现。比如，有可能输入数据量较小时，算法 A 运行时间短于算法 B ，而在输入数据量较大时，测试结果截然相反。因此，若想要达到具有说服力的对比结果，那么需要输入各种体量数据，这样的测试需要占用大量计算资源。
+既然实际测试具有很大的局限性，那么我们是否可以仅通过一些计算，就获知算法的效率水平呢？答案是肯定的，我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。
+复杂度分析评估随着输入数据量的增长，算法的运行时间和占用空间的增长趋势。根据时间和空间两方面，复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。
+复杂度分析克服了实际测试方法的弊端。一是独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。二是可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是可以反映大数据量下的算法性能。
+复杂度分析给出一把评价算法效率的“标尺”，告诉我们执行某个算法需要多少时间和空间资源，也让我们可以开展不同算法之间的效率对比。
+计算复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度出发，其并不适合作为第一章内容。但是，当我们讨论某个数据结构或者算法的特点时，难以避免需要分析它的运行速度和空间使用情况。因此，在展开学习数据结构与算法之前，建议读者先对计算复杂度建立起初步的了解，并且能够完成简单案例的复杂度分析。
+ + + + + +「空间复杂度 Space Complexity」统计 算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度很类似。
+算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
+Tip
+通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
+暂存空间可分为三个部分：
+
Fig. 算法使用的相关空间
+ +/* 类 */
+class Node {
+ int val;
+ Node next;
+ Node(int x) { val = x; }
+}
+
+/* 函数 */
+int function() {
+ // do something...
+ return 0;
+}
+
+int algorithm(int n) { // 输入数据
+ final int a = 0; // 暂存数据（常量）
+ int b = 0; // 暂存数据（变量）
+ Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
+ int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c; // 输出数据
+}
+/* 结构体 */
+struct Node {
+ int val;
+ Node *next;
+ Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
+};
+
+/* 函数 */
+int func() {
+ // do something...
+ return 0;
+}
+
+int algorithm(int n) { // 输入数据
+ const int a = 0; // 暂存数据（常量）
+ int b = 0; // 暂存数据（变量）
+ Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
+ int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c; // 输出数据
+}
+/* 结构体 */
+type node struct {
+ val int
+ next *node
+}
+
+/* 创建 node 结构体 */
+func newNode(val int) *node {
+ return &node{val: val}
+}
+
+/* 函数 */
+func function() int {
+ // do something...
+ return 0
+}
+
+func algorithm(n int) int { // 输入数据
+ const a = 0 // 暂存数据（常量）
+ b := 0 // 暂存数据（变量）
+ newNode(0) // 暂存数据（对象）
+ c := function() // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c // 输出数据
+}
+/* 类 */
+class Node {
+ val;
+ next;
+ constructor(val) {
+ this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
+ this.next = null; // 指向下一结点的引用
+ }
+}
+
+/* 函数 */
+function constFunc() {
+ // do something
+ return 0;
+}
+
+function algorithm(n) { // 输入数据
+ const a = 0; // 暂存数据（常量）
+ const b = 0; // 暂存数据（变量）
+ const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
+ const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c; // 输出数据
+}
+/* 类 */
+class Node {
+ val: number;
+ next: Node | null;
+ constructor(val?: number) {
+ this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
+ this.next = null; // 指向下一结点的引用
+ }
+}
+
+/* 函数 */
+function constFunc(): number {
+ // do something
+ return 0;
+}
+
+function algorithm(n: number): number { // 输入数据
+ const a = 0; // 暂存数据（常量）
+ const b = 0; // 暂存数据（变量）
+ const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
+ const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c; // 输出数据
+}
+/* 类 */
+class Node
+{
+ int val;
+ Node next;
+ Node(int x) { val = x; }
+}
+
+/* 函数 */
+int function()
+{
+ // do something...
+ return 0;
+}
+
+int algorithm(int n) // 输入数据
+{
+ int a = 0; // 暂存数据（常量）
+ int b = 0; // 暂存数据（变量）
+ Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
+ int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c; // 输出数据
+}
+/* 类 */
+class Node {
+ var val: Int
+ var next: Node?
+
+ init(x: Int) {
+ val = x
+ }
+}
+
+/* 函数 */
+func function() -> Int {
+ // do something...
+ return 0
+}
+
+func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
+ let a = 0 // 暂存数据（常量）
+ var b = 0 // 暂存数据（变量）
+ let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
+ let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
+ return a + b + c // 输出数据
+}
+空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，我们一般只关注「最差空间复杂度」。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
+最差空间复杂度中的“最差”有两层含义，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
+nums 使用 \(O(n)\) 空间；因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) ；nums 时，程序使用 \(O(n)\) 空间；因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) ；在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。例如函数 loop()，在循环中调用了 \(n\) 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 \(O(1)\) 。而递归函数 recur() 在运行中会同时存在 \(n\) 个未返回的 recur() ，从而使用 \(O(n)\) 的栈帧空间。
设输入数据大小为 \(n\) ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
+
Fig. 空间复杂度的常见类型
+ +Tip
+部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。
+常数阶常见于数量与输入数据大小 \(n\) 无关的常量、变量、对象。
+需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 \(O(1)\) 。
+/* 常数阶 */
+void constant(int n) {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ final int a = 0;
+ int b = 0;
+ int[] nums = new int[10000];
+ ListNode node = new ListNode(0);
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ int c = 0;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ function();
+ }
+}
+/* 常数阶 */
+void constant(int n) {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ const int a = 0;
+ int b = 0;
+ vector<int> nums(10000);
+ ListNode node(0);
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ int c = 0;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ func();
+ }
+}
+/* 常数阶 */
+func spaceConstant(n int) {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ const a = 0
+ b := 0
+ nums := make([]int, 10000)
+ ListNode := newNode(0)
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ var c int
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ c = 0
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ function()
+ }
+ fmt.Println(a, b, nums, c, ListNode)
+}
+/* 常数阶 */
+function constant(n) {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ const a = 0;
+ const b = 0;
+ const nums = new Array(10000);
+ const node = new ListNode(0);
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ const c = 0;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ constFunc();
+ }
+}
+/* 常数阶 */
+function constant(n: number): void {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ const a = 0;
+ const b = 0;
+ const nums = new Array(10000);
+ const node = new ListNode(0);
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ const c = 0;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ constFunc();
+ }
+}
+/* 常数阶 */
+void constant(int n)
+{
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ int a = 0;
+ int b = 0;
+ int[] nums = new int[10000];
+ ListNode node = new ListNode(0);
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ int c = 0;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ function();
+ }
+}
+/* 常数阶 */
+func constant(n: Int) {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ let a = 0
+ var b = 0
+ let nums = Array(repeating: 0, count: 10000)
+ let node = ListNode(x: 0)
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ for _ in 0 ..< n {
+ let c = 0
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ for _ in 0 ..< n {
+ function()
+ }
+}
+// 常数阶
+fn constant(n: i32) void {
+ // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+ const a: i32 = 0;
+ var b: i32 = 0;
+ var nums = [_]i32{0}**10000;
+ var node = inc.ListNode(i32){.val = 0};
+ var i: i32 = 0;
+ // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+ while (i < n) : (i += 1) {
+ var c: i32 = 0;
+ _ = c;
+ }
+ // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+ i = 0;
+ while (i < n) : (i += 1) {
+ _ = function();
+ }
+ _ = a;
+ _ = b;
+ _ = nums;
+ _ = node;
+}
+线性阶常见于元素数量与 \(n\) 成正比的数组、链表、栈、队列等。
+/* 线性阶 */
+void linear(int n) {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ int[] nums = new int[n];
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ nodes.add(new ListNode(i));
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ map.put(i, String.valueOf(i));
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+void linear(int n) {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ vector<int> nums(n);
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ vector<ListNode> nodes;
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ nodes.push_back(ListNode(i));
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ unordered_map<int, string> map;
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ map[i] = to_string(i);
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+func spaceLinear(n int) {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ _ = make([]int, n)
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ var nodes []*node
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ nodes = append(nodes, newNode(i))
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ m := make(map[int]string, n)
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ m[i] = strconv.Itoa(i)
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+function linear(n) {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ const nums = new Array(n);
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ const nodes = [];
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ nodes.push(new ListNode(i));
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ const map = new Map();
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ map.set(i, i.toString());
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+function linear(n: number): void {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ const nums = new Array(n);
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ const nodes: ListNode[] = [];
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ nodes.push(new ListNode(i));
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ const map = new Map();
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ map.set(i, i.toString());
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+void linear(int n)
+{
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ int[] nums = new int[n];
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ List<ListNode> nodes = new();
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ nodes.Add(new ListNode(i));
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ Dictionary<int, String> map = new();
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ map.Add(i, i.ToString());
+ }
+}
+/* 线性阶 */
+func linear(n: Int) {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ let nums = Array(repeating: 0, count: n)
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ let nodes = (0 ..< n).map { ListNode(x: $0) }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ let map = Dictionary(uniqueKeysWithValues: (0 ..< n).map { ($0, "\($0)") })
+}
+// 线性阶
+fn linear(comptime n: i32) !void {
+ // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+ var nums = [_]i32{0}**n;
+ // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+ var nodes = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
+ defer nodes.deinit();
+ var i: i32 = 0;
+ while (i < n) : (i += 1) {
+ try nodes.append(i);
+ }
+ // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+ var map = std.AutoArrayHashMap(i32, []const u8).init(std.heap.page_allocator);
+ defer map.deinit();
+ var j: i32 = 0;
+ while (j < n) : (j += 1) {
+ const string = try std.fmt.allocPrint(std.heap.page_allocator, "{d}", .{j});
+ defer std.heap.page_allocator.free(string);
+ try map.put(i, string);
+ }
+ _ = nums;
+}
+以下递归函数会同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() 函数，使用 \(O(n)\) 大小的栈帧空间。
Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度
+ +平方阶常见于元素数量与 \(n\) 成平方关系的矩阵、图。
+/* 平方阶 */
+void quadratic(int n) {
+ // 矩阵占用 O(n^2) 空间
+ int [][]numMatrix = new int[n][n];
+ // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+ List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
+ for (int j = 0; j < n; j++) {
+ tmp.add(0);
+ }
+ numList.add(tmp);
+ }
+}
+/* 平方阶 */
+function quadratic(n) {
+ // 矩阵占用 O(n^2) 空间
+ const numMatrix = Array(n).fill(null).map(() => Array(n).fill(null));
+ // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+ const numList = [];
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ const tmp = [];
+ for (let j = 0; j < n; j++) {
+ tmp.push(0);
+ }
+ numList.push(tmp);
+ }
+}
+/* 平方阶 */
+function quadratic(n: number): void {
+ // 矩阵占用 O(n^2) 空间
+ const numMatrix = Array(n).fill(null).map(() => Array(n).fill(null));
+ // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+ const numList = [];
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ const tmp = [];
+ for (let j = 0; j < n; j++) {
+ tmp.push(0);
+ }
+ numList.push(tmp);
+ }
+}
+/* 平方阶 */
+void quadratic(int n)
+{
+ // 矩阵占用 O(n^2) 空间
+ int[,] numMatrix = new int[n, n];
+ // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+ List<List<int>> numList = new();
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ List<int> tmp = new();
+ for (int j = 0; j < n; j++)
+ {
+ tmp.Add(0);
+ }
+ numList.Add(tmp);
+ }
+}
+// 平方阶
+fn quadratic(n: i32) !void {
+ // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+ var nodes = std.ArrayList(std.ArrayList(i32)).init(std.heap.page_allocator);
+ defer nodes.deinit();
+ var i: i32 = 0;
+ while (i < n) : (i += 1) {
+ var tmp = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
+ defer tmp.deinit();
+ var j: i32 = 0;
+ while (j < n) : (j += 1) {
+ try tmp.append(0);
+ }
+ try nodes.append(tmp);
+ }
+}
+在以下递归函数中，同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 \(n, n-1, n-2, ..., 2, 1\) ，平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此总体使用 \(O(n^2)\) 空间。
Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度
+ +指数阶常见于二叉树。高度为 \(n\) 的「满二叉树」的结点数量为 \(2^n - 1\) ，使用 \(O(2^n)\) 空间。
+// 指数阶（建立满二叉树）
+fn buildTree(mem_allocator: std.mem.Allocator, n: i32) !?*inc.TreeNode(i32) {
+ if (n == 0) return null;
+ const root = try mem_allocator.create(inc.TreeNode(i32));
+ root.init(0);
+ root.left = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
+ root.right = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
+ return root;
+}
+
Fig. 满二叉树下的指数阶空间复杂度
+ +对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
+例如「归并排序」，长度为 \(n\) 的数组可以形成高度为 \(\log n\) 的递归树，因此空间复杂度为 \(O(\log n)\) 。
+再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 \(n\) ，它的位数为 \(\log_{10} n\) ，即对应字符串长度为 \(\log_{10} n\) ，因此空间复杂度为 \(O(\log_{10} n) = O(\log n)\) 。
+ + + + + +理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空间复杂度是非常困难的。
+降低时间复杂度，往往是以提升空间复杂度为代价的，反之亦然。我们把牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，称之为「以时间换空间」。选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。
+大多数情况下，时间都是比空间更宝贵的，只要空间复杂度不要太离谱、能接受就行，因此以空间换时间最为常用。
+以 LeetCode 全站第一题 两数之和 为例。
+两数之和
+给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target ，请你在该数组中找出“和”为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
+你可以按任意顺序返回答案。
+「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别为 空间最优 和 时间最优 的两种解法。本着时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
+时间复杂度 \(O(N^2)\) ，空间复杂度 \(O(1)\) ，属于「时间换空间」。
+虽然仅使用常数大小的额外空间，但运行速度过慢。
+class SolutionBruteForce {
+ public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
+ int size = nums.length;
+ // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
+ for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
+ for (int j = i + 1; j < size; j++) {
+ if (nums[i] + nums[j] == target)
+ return new int[] { i, j };
+ }
+ }
+ return new int[0];
+ }
+}
+class SolutionBruteForce {
+public:
+ vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
+ int size = nums.size();
+ // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
+ for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
+ for (int j = i + 1; j < size; j++) {
+ if (nums[i] + nums[j] == target)
+ return { i, j };
+ }
+ }
+ return {};
+ }
+};
+class SolutionBruteForce
+{
+ public int[] twoSum(int[] nums, int target)
+ {
+ int size = nums.Length;
+ // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
+ for (int i = 0; i < size - 1; i++)
+ {
+ for (int j = i + 1; j < size; j++)
+ {
+ if (nums[i] + nums[j] == target)
+ return new int[] { i, j };
+ }
+ }
+ return new int[0];
+ }
+}
+const SolutionBruteForce = struct {
+ pub fn twoSum(self: *SolutionBruteForce, nums: []i32, target: i32) [2]i32 {
+ _ = self;
+ var size: usize = nums.len;
+ var i: usize = 0;
+ // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
+ while (i < size - 1) : (i += 1) {
+ var j = i + 1;
+ while (j < size) : (j += 1) {
+ if (nums[i] + nums[j] == target) {
+ return [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};
+ }
+ }
+ }
+ return undefined;
+ }
+};
+时间复杂度 \(O(N)\) ，空间复杂度 \(O(N)\) ，属于「空间换时间」。
+借助辅助哈希表 dic ，通过保存数组元素与索引的映射来提升算法运行速度。
+class SolutionHashMap {
+ public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
+ int size = nums.length;
+ // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
+ // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ for (int i = 0; i < size; i++) {
+ if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
+ return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
+ }
+ dic.put(nums[i], i);
+ }
+ return new int[0];
+ }
+}
+class SolutionHashMap {
+public:
+ vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
+ int size = nums.size();
+ // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ unordered_map<int, int> dic;
+ // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ for (int i = 0; i < size; i++) {
+ if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
+ return { dic[target - nums[i]], i };
+ }
+ dic.emplace(nums[i], i);
+ }
+ return {};
+ }
+};
+""" 方法二：辅助哈希表 """
+class SolutionHashMap:
+ def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
+ # 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ dic = {}
+ # 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ for i in range(len(nums)):
+ if target - nums[i] in dic:
+ return dic[target - nums[i]], i
+ dic[nums[i]] = i
+ return []
+function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
+ // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ let m: Map<number, number> = new Map();
+ // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
+ let index = m.get(nums[i]);
+ if (index !== undefined) {
+ return [index, i];
+ } else {
+ m.set(target - nums[i], i);
+ }
+ }
+ return [];
+};
+class SolutionHashMap
+{
+ public int[] twoSum(int[] nums, int target)
+ {
+ int size = nums.Length;
+ // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ Dictionary<int, int> dic = new();
+ // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ for (int i = 0; i < size; i++)
+ {
+ if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
+ {
+ return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
+ }
+ dic.Add(nums[i], i);
+ }
+ return new int[0];
+ }
+}
+const SolutionHashMap = struct {
+ pub fn twoSum(self: *SolutionHashMap, nums: []i32, target: i32) ![2]i32 {
+ _ = self;
+ var size: usize = nums.len;
+ // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+ var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
+ defer dic.deinit();
+ var i: usize = 0;
+ // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+ while (i < size) : (i += 1) {
+ if (dic.contains(target - nums[i])) {
+ return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};
+ }
+ try dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));
+ }
+ return undefined;
+ }
+};
+与时间复杂度的定义类似，「空间复杂度」统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。
+算法运行中相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间一般在递归函数中才会影响到空间复杂度。
+运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 准确预估一段代码的运行时间 ，该如何做呢？
++ 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作需要 5 ns 等。例如以下代码，输入数据大小为 \(n\) ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 \(6n + 12\) ns 。
+但实际上， 统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。
+「时间复杂度分析」采取了不同的做法，其统计的不是算法运行时间，而是 算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势 。
+“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 \(n\) ，给定三个算法 A , B , C 。
A 只有 \(1\) 个打印操作，算法运行时间不随着 \(n\) 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。B 中的打印操作需要循环 \(n\) 次，算法运行时间随着 \(n\) 增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。C 中的打印操作需要循环 \(1000000\) 次，但运行时间仍与输入数据大小 \(n\) 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为「常数阶」。// 算法 A 时间复杂度：常数阶
+void algorithm_A(int n) {
+ System.out.println(0);
+}
+// 算法 B 时间复杂度：线性阶
+void algorithm_B(int n) {
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ System.out.println(0);
+ }
+}
+// 算法 C 时间复杂度：常数阶
+void algorithm_C(int n) {
+ for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
+ System.out.println(0);
+ }
+}
+// 算法 A 时间复杂度：常数阶
+function algorithm_A(n: number): void {
+ console.log(0);
+}
+// 算法 B 时间复杂度：线性阶
+function algorithm_B(n: number): void {
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ console.log(0);
+ }
+}
+// 算法 C 时间复杂度：常数阶
+function algorithm_C(n: number): void {
+ for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
+ console.log(0);
+ }
+}
+// 算法 A 时间复杂度：常数阶
+void algorithm_A(int n)
+{
+ Console.WriteLine(0);
+}
+// 算法 B 时间复杂度：线性阶
+void algorithm_B(int n)
+{
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ Console.WriteLine(0);
+ }
+}
+// 算法 C 时间复杂度：常数阶
+void algorithm_C(int n)
+{
+ for (int i = 0; i < 1000000; i++)
+ {
+ Console.WriteLine(0);
+ }
+}
+
Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势
+ +相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？
+时间复杂度可以有效评估算法效率。算法 B 运行时间的增长是线性的，在 \(n > 1\) 时慢于算法 A ，在 \(n > 1000000\) 时慢于算法 C 。实质上，只要输入数据大小 \(n\) 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这也正是时间增长趋势的含义。
时间复杂度的推算方法更加简便。在时间复杂度分析中，我们可以将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」，这是因为，无论是运行平台还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因而，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的“单位时间”，这样的简化做法大大降低了估算难度。
+时间复杂度也存在一定的局限性。比如，虽然算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 B 比 C 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 \(n\) 比较小时，算法 B 是要明显优于算法 C 的。对于以上情况，我们很难仅凭时间复杂度来判定算法效率高低。然而，即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效且常用的方法。
设算法「计算操作数量」为 \(T(n)\) ，其是一个关于输入数据大小 \(n\) 的函数。例如，以下算法的操作数量为
+\(T(n)\) 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。
+我们将线性阶的时间复杂度记为 \(O(n)\) ，这个数学符号被称为「大 \(O\) 记号 Big-\(O\) Notation」，代表函数 \(T(n)\) 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
+我们要推算时间复杂度，本质上是在计算「操作数量函数 \(T(n)\) 」的渐近上界。下面我们先来看看函数渐近上界的数学定义。
+函数渐近上界
+若存在正实数 \(c\) 和实数 \(n_0\) ，使得对于所有的 \(n > n_0\) ，均有 +$$ +T(n) \leq c \cdot f(n) +$$ +则可认为 \(f(n)\) 给出了 \(T(n)\) 的一个渐近上界，记为 +$$ +T(n) = O(f(n)) +$$
+
Fig. 函数的渐近上界
+ +本质上看，计算渐近上界就是在找一个函数 \(f(n)\) ，使得在 \(n\) 趋向于无穷大时，\(T(n)\) 和 \(f(n)\) 处于相同的增长级别（仅相差一个常数项 \(c\) 的倍数）。
+Tip
+渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，无需担心，因为在实际使用中我们只需要会推算即可，数学意义可以慢慢领悟。
+推算出 \(f(n)\) 后，我们就得到时间复杂度 \(O(f(n))\) 。那么，如何来确定渐近上界 \(f(n)\) 呢？总体分为两步，首先「统计操作数量」，然后「判断渐近上界」。
+对着代码，从上到下一行一行地计数即可。然而，由于上述 \(c \cdot f(n)\) 中的常数项 \(c\) 可以取任意大小，因此操作数量 \(T(n)\) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数偷懒技巧：
+1. 和 2. 技巧。根据以下示例，使用上述技巧前、后的统计结果分别为
+最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 \(O(n^2)\) 。
+时间复杂度由多项式 \(T(n)\) 中最高阶的项来决定。这是因为在 \(n\) 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。
+以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 系数无法撼动阶数 这一结论。在 \(n\) 趋于无穷大时，这些常数都是“浮云”。
+| 操作数量 \(T(n)\) | +时间复杂度 \(O(f(n))\) | +
|---|---|
| \(100000\) | +\(O(1)\) | +
| \(3n + 2\) | +\(O(n)\) | +
| \(2n^2 + 3n + 2\) | +\(O(n^2)\) | +
| \(n^3 + 10000n^2\) | +\(O(n^3)\) | +
| \(2^n + 10000n^{10000}\) | +\(O(2^n)\) | +
设输入数据大小为 \(n\) ，常见的时间复杂度类型有（从低到高排列）
+
Fig. 时间复杂度的常见类型
+ +Tip
+部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
+常数阶的操作数量与输入数据大小 \(n\) 无关，即不随着 \(n\) 的变化而变化。
+对于以下算法，无论操作数量 size 有多大，只要与数据大小 \(n\) 无关，时间复杂度就仍为 \(O(1)\) 。
线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。
+「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 \(O(n)\) ，其中 \(n\) 为数组或链表的长度。
+Tip
+数据大小 \(n\) 是根据输入数据的类型来确定的。比如，在上述示例中，我们直接将 \(n\) 看作输入数据大小；以下遍历数组示例中，数据大小 \(n\) 为数组的长度。
+平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 \(O(n)\) ，总体为 \(O(n^2)\) 。
+
Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度
+ +以「冒泡排序」为例，外层循环 \(n - 1\) 次，内层循环 \(n-1, n-2, \cdots, 2, 1\) 次，平均为 \(\frac{n}{2}\) 次，因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+int bubbleSort(int[] nums) {
+ int count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+int bubbleSort(vector<int>& nums) {
+ int count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+""" 平方阶（冒泡排序）"""
+def bubble_sort(nums):
+ count = 0 # 计数器
+ # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
+ # 内循环：冒泡操作
+ for j in range(i):
+ if nums[j] > nums[j + 1]:
+ # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ tmp = nums[j]
+ nums[j] = nums[j + 1]
+ nums[j + 1] = tmp
+ count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
+ return count
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+func bubbleSort(nums []int) int {
+ count := 0 // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for j := 0; j < i; j++ {
+ if nums[j] > nums[j+1] {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ tmp := nums[j]
+ nums[j] = nums[j+1]
+ nums[j+1] = tmp
+ count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+function bubbleSort(nums) {
+ let count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+function bubbleSort(nums: number[]): number {
+ let count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+int bubbleSort(int *nums, int n) {
+ int count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums [j + 1])
+ {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+
+ }
+ return count;
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+int bubbleSort(int[] nums)
+{
+ int count = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)
+ {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++)
+ {
+ if (nums[j] > nums[j + 1])
+ {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+/* 平方阶（冒泡排序） */
+func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
+ var count = 0 // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 + 1 ? $0 - 1 : nil }) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for j in 0 ..< i {
+ if nums[j] > nums[j + 1] {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j]
+ nums[j] = nums[j + 1]
+ nums[j + 1] = tmp
+ count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count
+}
+// 平方阶（冒泡排序）
+fn bubbleSort(nums: []i32) i32 {
+ var count: i32 = 0; // 计数器
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ var i: i32 = @intCast(i32, nums.len ) - 1;
+ while (i > 0) : (i -= 1) {
+ var j: usize = 0;
+ // 内循环：冒泡操作
+ while (j < i) : (j += 1) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ var tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
+ }
+ }
+ }
+ return count;
+}
+Note
+生物学科中的“细胞分裂”即是指数阶增长：初始状态为 \(1\) 个细胞，分裂一轮后为 \(2\) 个，分裂两轮后为 \(4\) 个，……，分裂 \(n\) 轮后有 \(2^n\) 个细胞。
+指数阶增长得非常快，在实际应用中一般是不能被接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度是 \(O(2^n)\) ，那么一般都需要使用「动态规划」或「贪心算法」等算法来求解。
+/* 指数阶（循环实现） */
+int exponential(int n) {
+ int count = 0, base = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ for (int j = 0; j < base; j++) {
+ count++;
+ }
+ base *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+/* 指数阶（循环实现） */
+int exponential(int n) {
+ int count = 0, base = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ for (int j = 0; j < base; j++) {
+ count++;
+ }
+ base *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+/* 指数阶（循环实现） */
+function exponential(n) {
+ let count = 0,
+ base = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ for (let j = 0; j < base; j++) {
+ count++;
+ }
+ base *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+/* 指数阶（循环实现） */
+function exponential(n: number): number {
+ let count = 0,
+ base = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ for (let j = 0; j < base; j++) {
+ count++;
+ }
+ base *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+/* 指数阶（循环实现） */
+int exponential(int n) {
+ int count = 0;
+ int bas = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ for (int j = 0; j < bas; j++) {
+ count++;
+ }
+ bas *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+/* 指数阶（循环实现） */
+int exponential(int n)
+{
+ int count = 0, bas = 1;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ for (int j = 0; j < bas; j++)
+ {
+ count++;
+ }
+ bas *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+// 指数阶（循环实现）
+fn exponential(n: i32) i32{
+ var count: i32 = 0;
+ var bas: i32 = 1;
+ var i: i32 = 0;
+ // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+ while (i < n) : (i += 1) {
+ var j: i32 = 0;
+ while (j < bas) : (j += 1) {
+ count += 1;
+ }
+ bas *= 2;
+ }
+ // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+ return count;
+}
+
Fig. 指数阶的时间复杂度
+ +在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 \(n\) 次后停止。
+对数阶与指数阶正好相反，后者反映“每轮增加到两倍的情况”，而前者反映“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长得很慢，是理想的时间复杂度。
+对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现“一分为多”、“化繁为简”的算法思想。
+设输入数据大小为 \(n\) ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \(\log_2 n\) ，即 \(2^n\) 的反函数。
+
Fig. 对数阶的时间复杂度
+ +与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 \(\log_2 n\) 的递归树。
+线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 \(O(\log n)\) 和 \(O(n)\) 。
+主流排序算法的时间复杂度都是 \(O(n \log n )\) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
+
Fig. 线性对数阶的时间复杂度
+ +阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 \(n\) 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为
+阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 \(n\) 个，第二层分裂出 \(n - 1\) 个，…… ，直至到第 \(n\) 层时终止分裂。
+
Fig. 阶乘阶的时间复杂度
+ +某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。举一个例子，输入一个长度为 \(n\) 数组 nums ，其中 nums 由从 \(1\) 至 \(n\) 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 \(1\) 的索引。我们可以得出以下结论：
nums = [?, ?, ..., 1]，即当末尾元素是 \(1\) 时，则需完整遍历数组，此时达到 最差时间复杂度 \(O(n)\) ；nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个数字为 \(1\) 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 最佳时间复杂度 \(\Omega(1)\) ；「函数渐近上界」使用大 \(O\) 记号表示，代表「最差时间复杂度」。与之对应，「函数渐近下界」用 \(\Omega\) 记号（Omega Notation）来表示，代表「最佳时间复杂度」。
+public class worst_best_time_complexity {
+ /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+ int[] randomNumbers(int n) {
+ Integer[] nums = new Integer[n];
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
+ // Integer[] -> int[]
+ int[] res = new int[n];
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ res[i] = nums[i];
+ }
+ return res;
+ }
+
+ /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+ int findOne(int[] nums) {
+ for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] == 1)
+ return i;
+ }
+ return -1;
+ }
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+vector<int> randomNumbers(int n) {
+ vector<int> nums(n);
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+ // 使用系统时间生成随机种子
+ unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
+ // 随机打乱数组元素
+ shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
+ return nums;
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+int findOne(vector<int>& nums) {
+ for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] == 1)
+ return i;
+ }
+ return -1;
+}
+""" 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 """
+def random_numbers(n):
+ # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
+ nums = [i for i in range(1, n + 1)]
+ # 随机打乱数组元素
+ random.shuffle(nums)
+ return nums
+
+""" 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 """
+def find_one(nums):
+ for i in range(len(nums)):
+ # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ # 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if nums[i] == 1:
+ return i
+ return -1
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+func randomNumbers(n int) []int {
+ nums := make([]int, n)
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ nums[i] = i + 1
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
+ nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
+ })
+ return nums
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+func findOne(nums []int) int {
+ for i := 0; i < len(nums); i++ {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if nums[i] == 1 {
+ return i
+ }
+ }
+ return -1
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+function randomNumbers(n) {
+ let nums = Array(n);
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
+ const temp = nums[i];
+ nums[i] = nums[r];
+ nums[r] = temp;
+ }
+ return nums;
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+function findOne(nums) {
+ for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] === 1) {
+ return i;
+ }
+ }
+ return -1;
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+function randomNumbers(n: number): number[] {
+ let nums = Array(n);
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ for (let i = 0; i < n; i++) {
+ let r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
+ let temp = nums[i];
+ nums[i] = nums[r];
+ nums[r] = temp;
+ }
+ return nums;
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+function findOne(nums: number[]): number {
+ for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] === 1) {
+ return i;
+ }
+ }
+ return -1;
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+int *randomNumbers(int n) {
+ // 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为n，元素类型为int）
+ int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
+ int j = rand() % (i + 1);
+ int temp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = temp;
+ }
+ return nums;
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+int findOne(int *nums, int n) {
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] == 1) return i;
+ }
+ return -1;
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+int[] randomNumbers(int n)
+{
+ int[] nums = new int[n];
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (int i = 0; i < n; i++)
+ {
+ nums[i] = i + 1;
+ }
+
+ // 随机打乱数组元素
+ for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
+ {
+ var index = new Random().Next(i, nums.Length);
+ var tmp = nums[i];
+ var ran = nums[index];
+ nums[i] = ran;
+ nums[index] = tmp;
+ }
+ return nums;
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+int findOne(int[] nums)
+{
+ for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
+ {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (nums[i] == 1)
+ return i;
+ }
+ return -1;
+}
+/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ var nums = Array(1 ... n)
+ // 随机打乱数组元素
+ nums.shuffle()
+ return nums
+}
+
+/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+func findOne(nums: [Int]) -> Int {
+ for i in nums.indices {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if nums[i] == 1 {
+ return i
+ }
+ }
+ return -1
+}
+// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
+pub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
+ var nums: [n]i32 = undefined;
+ // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+ for (nums) |*num, i| {
+ num.* = @intCast(i32, i) + 1;
+ }
+ // 随机打乱数组元素
+ const rand = std.crypto.random;
+ rand.shuffle(i32, &nums);
+ return nums;
+}
+
+// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
+pub fn findOne(nums: []i32) i32 {
+ for (nums) |num, i| {
+ // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
+ // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
+ if (num == 1) return @intCast(i32, i);
+ }
+ return -1;
+}
+Tip
+我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。
+从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在“特殊分布的数据”中，这些情况的出现概率往往很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。相对地，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \(\Theta\) 记号（Theta Notation）来表示。
+对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 \(1\) 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 \(\frac{n}{2}\) ，平均时间复杂度为 \(\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)\) 。
+但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下，我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。
+为什么很少看到 \(\Theta\) 符号？
+实际中我们经常使用「大 \(O\) 符号」来表示「平均复杂度」，这样严格意义上来说是不规范的。这可能是因为 \(O\) 符号实在是太朗朗上口了。如果在本书和其他资料中看到类似 平均时间复杂度 \(O(n)\) 的表述，请你直接理解为 \(\Theta(n)\) 即可。
+数据结构主要可根据「逻辑结构」和「物理结构」两种角度进行分类。
+「逻辑结构」反映了数据之间的逻辑关系。数组和链表的数据按照顺序依次排列，反映了数据间的线性关系；树从顶至底按层级排列，反映了祖先与后代之间的派生关系；图由结点和边组成，反映了复杂网络关系。
+我们一般将逻辑结构分为「线性」和「非线性」两种。“线性”这个概念很直观，即表明数据在逻辑关系上是排成一条线的；而如果数据之间的逻辑关系是非线性的（例如是网状或树状的），那么就是非线性数据结构。
+
Fig. 线性与非线性数据结构
+ +Note
+若感到阅读困难，建议先看完下个章节「数组与链表」，再回过头来理解物理结构的含义。
+「物理结构」反映了数据在计算机内存中的存储方式。从本质上看，分别是 数组的连续空间存储 和 链表的离散空间存储。物理结构从底层上决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，在时间效率和空间效率方面呈现出此消彼长的特性。
+
Fig. 连续空间存储与离散空间存储
+ +所有数据结构都是基于数组、或链表、或两者组合实现的。例如栈和队列，既可以使用数组实现、也可以使用链表实现，而例如哈希表，其实现同时包含了数组和链表。
+基于数组实现的数据结构也被称为「静态数据结构」，这意味着该数据结构在在被初始化后，长度不可变。相反地，基于链表实现的数据结构被称为「动态数据结构」，该数据结构在被初始化后，我们也可以在程序运行中修改其长度。
+Tip
+数组与链表是其他所有数据结构的“底层积木”，建议读者一定要多花些时间了解。
+谈到计算机中的数据，我们能够想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等等，这些数据虽然组织形式不同，但是有一个共同点，即都是由各种基本数据类型构成的。
+「基本数据类型」是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用。
+字节与比特
+1 字节 (byte) = 8 比特 (bit) ， 1 比特即最基本的 1 个二进制位
+Table. Java 的基本数据类型
+ +| 类别 | +符号 | +占用空间 | +取值范围 | +默认值 | +
|---|---|---|---|---|
| 整数 | +byte | +1 byte | +\(-2^7\) ~ \(2^7 - 1\) ( \(-128\) ~ \(127\) ) | +\(0\) | +
| + | short | +2 bytes | +\(-2^{15}\) ~ \(2^{15} - 1\) | +\(0\) | +
| + | int | +4 bytes | +\(-2^{31}\) ~ \(2^{31} - 1\) | +\(0\) | +
| + | long | +8 bytes | +\(-2^{63}\) ~ \(2^{63} - 1\) | +\(0\) | +
| 浮点数 | +float | +4 bytes | +\(-3.4 \times 10^{38}\) ~ \(3.4 \times 10^{38}\) | +\(0.0\) f | +
| + | double | +8 bytes | +\(-1.7 \times 10^{308}\) ~ \(1.7 \times 10^{308}\) | +\(0.0\) | +
| 字符 | +char | +2 bytes / 1 byte | +\(0\) ~ \(2^{16} - 1\) | +\(0\) | +
| 布尔 | +boolean(bool) | +1 byte / 1 bit | +\(\text{true}\) 或 \(\text{false}\) | +\(\text{false}\) | +
Tip
+以上表格中，加粗项在「算法题」中最为常用。此表格无需硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。
+「基本数据类型」与「数据结构」之间的联系与区别
+我们知道，数据结构是在计算机中 组织与存储数据的方式，它的主语是“结构”，而不是“数据”。比如，我们想要表示“一排数字”，自然应该使用「数组」这个数据结构。数组的存储方式使之可以表示数字的相邻关系、先后关系等一系列我们需要的信息，但至于其中存储的是整数 int ，还是小数 float ，或是字符 char ，则与所谓的数据的结构无关了。
+在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。
+算法运行中，相关数据都被存储在内存中。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。
+系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据。计算机根据特定规则给表格中每个单元格编号，保证每块内存空间都有独立的内存地址。自此，程序便通过这些地址，访问内存中的数据。
+
Fig. 内存条、内存空间、内存地址
+ +内存资源是设计数据结构与算法的重要考虑因素。内存是所有程序的公共资源，当内存被某程序占用时，不能被其它程序同时使用。我们需要根据剩余内存资源的情况来设计算法。例如，若剩余内存空间有限，则要求算法占用的峰值内存不能超过系统剩余内存；若运行的程序很多、缺少大块连续的内存空间，则要求选取的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。
+ + + + + +「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 \(G\) 抽象地表示为一组顶点 \(V\) 和一组边 \(E\) 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图
+
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂。
+根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
+
根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
+
我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。
+
图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。
+设图的顶点数量为 \(n\) ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 \(n \times n\) 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 \(1\) 或 \(0\) 来表示两个顶点之间有边或无边。
+
邻接矩阵具有以下性质：
+使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 \(O(1)\) 。然而，矩阵的空间复杂度为 \(O(n^2)\) ，内存占用较大。
+「邻接表 Adjacency List」使用 \(n\) 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 \(i\) 条链表对应顶点 \(i\) ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。
+
邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 \(n^2\) ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。
+观察上图发现，邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 \(O(n)\) 优化至 \(O(\log n)\) ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 \(O(1)\) ，。
+现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。
+| + | 顶点 | +边 | +图计算问题 | +
|---|---|---|---|
| 社交网络 | +用户 | +好友关系 | +潜在好友推荐 | +
| 地铁线路 | +站点 | +站点间的连通性 | +最短路线推荐 | +
| 太阳系 | +星体 | +星体间的万有引力作用 | +行星轨道计算 | +
图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。
+设图的顶点总数为 \(n\) ，则有：
+vertices ，使用 \(O(n)\) 时间；初始化 \(n \times n\) 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 \(O(n^2)\) 时间。
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
+/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
+class GraphAdjMat {
+ List<Integer> vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
+ List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
+
+ /* 构造函数 */
+ public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
+ this.vertices = new ArrayList<>();
+ this.adjMat = new ArrayList<>();
+ // 添加顶点
+ for (int val : vertices) {
+ addVertex(val);
+ }
+ // 添加边
+ // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
+ for (int[] e : edges) {
+ addEdge(e[0], e[1]);
+ }
+ }
+
+ /* 获取顶点数量 */
+ public int size() {
+ return vertices.size();
+ }
+
+ /* 添加顶点 */
+ public void addVertex(int val) {
+ int n = size();
+ // 向顶点列表中添加新顶点的值
+ vertices.add(val);
+ // 在邻接矩阵中添加一行
+ List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
+ for (int j = 0; j < n; j++) {
+ newRow.add(0);
+ }
+ adjMat.add(newRow);
+ // 在邻接矩阵中添加一列
+ for (List<Integer> row : adjMat) {
+ row.add(0);
+ }
+ }
+
+ /* 删除顶点 */
+ public void removeVertex(int index) {
+ if (index >= size())
+ throw new IndexOutOfBoundsException();
+ // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
+ vertices.remove(index);
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
+ adjMat.remove(index);
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
+ for (List<Integer> row : adjMat) {
+ row.remove(index);
+ }
+ }
+
+ /* 添加边 */
+ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+ public void addEdge(int i, int j) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
+ throw new IndexOutOfBoundsException();
+ // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
+ adjMat.get(i).set(j, 1);
+ adjMat.get(j).set(i, 1);
+ }
+
+ /* 删除边 */
+ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+ public void removeEdge(int i, int j) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
+ throw new IndexOutOfBoundsException();
+ adjMat.get(i).set(j, 0);
+ adjMat.get(j).set(i, 0);
+ }
+}
+/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
+type graphAdjMat struct {
+ // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
+ vertices []int
+ // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
+ adjMat [][]int
+}
+
+func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
+ // 添加顶点
+ n := len(vertices)
+ adjMat := make([][]int, n)
+ for i := range adjMat {
+ adjMat[i] = make([]int, n)
+ }
+ // 初始化图
+ g := &graphAdjMat{
+ vertices: vertices,
+ adjMat: adjMat,
+ }
+ // 添加边
+ // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
+ for i := range edges {
+ g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
+ }
+ return g
+}
+
+/* 获取顶点数量 */
+func (g *graphAdjMat) size() int {
+ return len(g.vertices)
+}
+
+/* 添加顶点 */
+func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
+ n := g.size()
+ // 向顶点列表中添加新顶点的值
+ g.vertices = append(g.vertices, val)
+ // 在邻接矩阵中添加一行
+ newRow := make([]int, n)
+ g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
+ // 在邻接矩阵中添加一列
+ for i := range g.adjMat {
+ g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
+ }
+}
+
+/* 删除顶点 */
+func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
+ if index >= g.size() {
+ return
+ }
+ // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
+ g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
+ g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
+ for i := range g.adjMat {
+ g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
+ }
+}
+
+/* 添加边 */
+// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
+ fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
+ }
+ // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
+ g.adjMat[i][j] = 1
+ g.adjMat[j][i] = 1
+}
+
+/* 删除边 */
+// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
+ fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
+ }
+ g.adjMat[i][j] = 0
+ g.adjMat[j][i] = 0
+}
+/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
+class GraphAdjMat {
+ private var vertices: [Int] // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
+ private var adjMat: [[Int]] // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
+
+ /* 构造函数 */
+ init(vertices: [Int], edges: [[Int]]) {
+ self.vertices = []
+ adjMat = []
+ // 添加顶点
+ for val in vertices {
+ addVertex(val: val)
+ }
+ // 添加边
+ // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
+ for e in edges {
+ addEdge(i: e[0], j: e[1])
+ }
+ }
+
+ /* 获取顶点数量 */
+ func size() -> Int {
+ vertices.count
+ }
+
+ /* 添加顶点 */
+ func addVertex(val: Int) {
+ let n = size()
+ // 向顶点列表中添加新顶点的值
+ vertices.append(val)
+ // 在邻接矩阵中添加一行
+ let newRow = Array(repeating: 0, count: n)
+ adjMat.append(newRow)
+ // 在邻接矩阵中添加一列
+ for i in adjMat.indices {
+ adjMat[i].append(0)
+ }
+ }
+
+ /* 删除顶点 */
+ func removeVertex(index: Int) {
+ if index >= size() {
+ fatalError("越界")
+ }
+ // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
+ vertices.remove(at: index)
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
+ adjMat.remove(at: index)
+ // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
+ for i in adjMat.indices {
+ adjMat[i].remove(at: index)
+ }
+ }
+
+ /* 添加边 */
+ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+ func addEdge(i: Int, j: Int) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
+ fatalError("越界")
+ }
+ // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
+ adjMat[i][j] = 1
+ adjMat[j][i] = 1
+ }
+
+ /* 删除边 */
+ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
+ func removeEdge(i: Int, j: Int) {
+ // 索引越界与相等处理
+ if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
+ fatalError("越界")
+ }
+ adjMat[i][j] = 0
+ adjMat[j][i] = 0
+ }
+}
+设图的顶点总数为 \(n\) 、边总数为 \(m\) ，则有：
+
基于邻接表实现图的代码如下所示。
+/* 顶点类 */
+class Vertex {
+ int val;
+ public Vertex(int val) {
+ this.val = val;
+ }
+}
+
+/* 基于邻接表实现的无向图类 */
+class GraphAdjList {
+ // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
+ Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
+
+ /* 构造函数 */
+ public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
+ this.adjList = new HashMap<>();
+ // 添加所有顶点和边
+ for (Vertex[] edge : edges) {
+ addVertex(edge[0]);
+ addVertex(edge[1]);
+ addEdge(edge[0], edge[1]);
+ }
+ }
+
+ /* 获取顶点数量 */
+ public int size() {
+ return adjList.size();
+ }
+
+ /* 添加边 */
+ public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
+ if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
+ throw new IllegalArgumentException();
+ // 添加边 vet1 - vet2
+ adjList.get(vet1).add(vet2);
+ adjList.get(vet2).add(vet1);
+ }
+
+ /* 删除边 */
+ public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
+ if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
+ throw new IllegalArgumentException();
+ // 删除边 vet1 - vet2
+ adjList.get(vet1).remove(vet2);
+ adjList.get(vet2).remove(vet1);
+ }
+
+ /* 添加顶点 */
+ public void addVertex(Vertex vet) {
+ if (adjList.containsKey(vet))
+ return;
+ // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
+ adjList.put(vet, new HashSet<>());
+ }
+
+ /* 删除顶点 */
+ public void removeVertex(Vertex vet) {
+ if (!adjList.containsKey(vet))
+ throw new IllegalArgumentException();
+ // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
+ adjList.remove(vet);
+ // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
+ for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
+ set.remove(vet);
+ }
+ }
+}
+/* 顶点类 */
+type vertex struct {
+ val int
+}
+
+func newVertex(val int) vertex {
+ return vertex{
+ val: val,
+ }
+}
+
+/* 基于邻接表实现的无向图类 */
+type graphAdjList struct {
+ // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
+ // 邻接表（使用哈希表实现）, 使用哈希表模拟集合
+ adjList map[vertex]map[vertex]struct{}
+}
+
+/* 构造函数 */
+func newGraphAdjList(edges [][]vertex) *graphAdjList {
+ g := &graphAdjList{
+ adjList: make(map[vertex]map[vertex]struct{}),
+ }
+ // 添加所有顶点和边
+ for _, edge := range edges {
+ g.addVertex(edge[0])
+ g.addVertex(edge[1])
+ g.addEdge(edge[0], edge[1])
+ }
+ return g
+}
+
+/* 获取顶点数量 */
+func (g *graphAdjList) size() int {
+ return len(g.adjList)
+}
+
+/* 添加边 */
+func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
+ _, ok1 := g.adjList[vet1]
+ _, ok2 := g.adjList[vet2]
+ if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
+ panic("error")
+ }
+ // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
+ g.adjList[vet1][vet2] = struct{}{}
+ g.adjList[vet2][vet1] = struct{}{}
+}
+
+/* 删除边 */
+func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
+ _, ok1 := g.adjList[vet1]
+ _, ok2 := g.adjList[vet2]
+ if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
+ panic("error")
+ }
+ // 删除边 vet1 - vet2, 借助 delete 来删除 map 中的键
+ delete(g.adjList[vet1], vet2)
+ delete(g.adjList[vet2], vet1)
+}
+
+/* 添加顶点 */
+func (g *graphAdjList) addVertex(vet vertex) {
+ _, ok := g.adjList[vet]
+ if ok {
+ return
+ }
+ // 在邻接表中添加一个新链表（即 set）
+ g.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{})
+}
+
+/* 删除顶点 */
+func (g *graphAdjList) removeVertex(vet vertex) {
+ _, ok := g.adjList[vet]
+ if !ok {
+ panic("error")
+ }
+ // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
+ delete(g.adjList, vet)
+ // 遍历其它顶点的链表（即 Set），删除所有包含 vet 的边
+ for _, set := range g.adjList {
+ // 操作
+ delete(set, vet)
+ }
+}
+/* 顶点类 */
+class Vertex: Hashable {
+ var val: Int
+
+ init(val: Int) {
+ self.val = val
+ }
+
+ static func == (lhs: Vertex, rhs: Vertex) -> Bool {
+ lhs.val == rhs.val
+ }
+
+ func hash(into hasher: inout Hasher) {
+ hasher.combine(val)
+ }
+}
+
+/* 基于邻接表实现的无向图类 */
+class GraphAdjList {
+ // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
+ private var adjList: [Vertex: Set<Vertex>] // 邻接表（使用哈希表实现）
+
+ init(edges: [[Vertex]]) {
+ adjList = [:]
+ // 添加所有顶点和边
+ for edge in edges {
+ addVertex(vet: edge[0])
+ addVertex(vet: edge[1])
+ addEdge(vet1: edge[0], vet2: edge[1])
+ }
+ }
+
+ /* 获取顶点数量 */
+ func size() -> Int {
+ adjList.count
+ }
+
+ /* 添加边 */
+ func addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
+ if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
+ fatalError("参数错误")
+ }
+ // 添加边 vet1 - vet2
+ adjList[vet1]?.insert(vet2)
+ adjList[vet2]?.insert(vet1)
+ }
+
+ /* 删除边 */
+ func removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
+ if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
+ fatalError("参数错误")
+ }
+ // 删除边 vet1 - vet2
+ adjList[vet1]?.remove(vet2)
+ adjList[vet2]?.remove(vet1)
+ }
+
+ /* 添加顶点 */
+ func addVertex(vet: Vertex) {
+ if adjList[vet] != nil {
+ return
+ }
+ // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
+ adjList[vet] = []
+ }
+
+ /* 删除顶点 */
+ func removeVertex(vet: Vertex) {
+ if adjList[vet] == nil {
+ fatalError("参数错误")
+ }
+ // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
+ adjList.removeValue(forKey: vet)
+ // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
+ for key in adjList.keys {
+ adjList[key]?.remove(vet)
+ }
+ }
+}
+设图中共有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
+| + | 邻接矩阵 | +邻接表（链表） | +邻接表（哈希表） | +
|---|---|---|---|
| 判断是否邻接 | +\(O(1)\) | +\(O(m)\) | +\(O(1)\) | +
| 添加边 | +\(O(1)\) | +\(O(1)\) | +\(O(1)\) | +
| 删除边 | +\(O(1)\) | +\(O(m)\) | +\(O(1)\) | +
| 添加顶点 | +\(O(n)\) | +\(O(1)\) | +\(O(1)\) | +
| 删除顶点 | +\(O(n^2)\) | +\(O(n + m)\) | +\(O(n)\) | +
| 内存空间占用 | +\(O(n^2)\) | +\(O(n + m)\) | +\(O(n + m)\) | +
观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
+ + + + + +理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
+那么，为什么会出现哈希冲突呢？本质上看，由于哈希函数的输入空间往往远大于输出空间，因此不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况，即为哈希冲突。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
+为了缓解哈希冲突，一方面，我们可以通过「哈希表扩容」来减小冲突概率。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，可谓“大力出奇迹”。
+另一方面，考虑通过优化数据结构以缓解哈希冲突，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。
+「负载因子 Load Factor」定义为 哈希表中元素数量除以桶槽数量（即数组大小），代表哈希冲突的严重程度。
+负载因子常用作哈希表扩容的触发条件。比如在 Java 中，当负载因子 \(> 0.75\) 时则触发扩容，将 HashMap 大小扩充至原先的 \(2\) 倍。
+与数组扩容类似，哈希表扩容操作的开销很大，因为需要将所有键值对从原哈希表依次移动至新哈希表。
+在原始哈希表中，桶内的每个地址只能存储一个元素（即键值对）。考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中。
+
链式地址下，哈希表操作方法为：
+链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括：
+为了缓解时间效率问题，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 \(O(\log n)\) 。
+「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 线性探测、平方探测、多次哈希。
+「线性探测」使用固定步长的线性查找来解决哈希冲突。
+插入元素：如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（步长一般取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。
+查找元素：若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况：
+
线性探测存在以下缺陷：
+2. 种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 \(f_1(x)\) , \(f_2(x)\) , \(f_3(x)\) , \(\cdots\) 进行探测。
+插入元素：若哈希函数 \(f_1(x)\) 出现冲突，则尝试 \(f_2(x)\) ，以此类推……直到找到空位后插入元素。
+查找元素：以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况：
+相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。
+工业界方案
+Java 采用「链式地址」。在 JDK 1.8 之后，HashMap 内数组长度大于 64 时，长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
+Python 采用「开放寻址」。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
+哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 \(O(1)\) 。
+例如，给定一个包含 \(n\) 个学生的数据库，每个学生有“姓名 name ”和“学号 id ”两项数据，希望实现一个查询功能：输入一个学号，返回对应的姓名，则可以使用哈希表实现。
Fig. 哈希表抽象表示
+ +除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
+[学号, 姓名] ；1. 中的数组按照学号从小到大排序；[学号, 姓名] ；[学号, 姓名] ，根据学号大小来构建树；使用上述方法，各项操作的时间复杂度如下表所示（在此不做赘述，详解可见 二叉搜索树章节）。无论是查找元素、还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 \(O(1)\) ，全面胜出！
+| + | 无序数组 | +有序数组 | +链表 | +二叉搜索树 | +哈希表 | +
|---|---|---|---|---|---|
| 查找元素 | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +\(O(1)\) | +
| 插入元素 | +\(O(1)\) | +\(O(n)\) | +\(O(1)\) | +\(O(\log n)\) | +\(O(1)\) | +
| 删除元素 | +\(O(n)\) | +\(O(n)\) | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +\(O(1)\) | +
哈希表的基本操作包括 初始化、查询操作、添加与删除键值对。
+/* 初始化哈希表 */
+Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
+
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map.put(12836, "小哈");
+map.put(15937, "小啰");
+map.put(16750, "小算");
+map.put(13276, "小法");
+map.put(10583, "小鸭");
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+String name = map.get(15937);
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.remove(10583);
+/* 初始化哈希表 */
+unordered_map<int, string> map;
+
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map[12836] = "小哈";
+map[15937] = "小啰";
+map[16750] = "小算";
+map[13276] = "小法";
+map[10583] = "小鸭";
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+string name = map[15937];
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.erase(10583);
+""" 初始化哈希表 """
+mapp = {}
+
+""" 添加操作 """
+# 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+mapp[12836] = "小哈"
+mapp[15937] = "小啰"
+mapp[16750] = "小算"
+mapp[13276] = "小法"
+mapp[10583] = "小鸭"
+
+""" 查询操作 """
+# 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+name = mapp[15937]
+
+""" 删除操作 """
+# 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+mapp.pop(10583)
+/* 初始化哈希表 */
+mapp := make(map[int]string)
+
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+mapp[12836] = "小哈"
+mapp[15937] = "小啰"
+mapp[16750] = "小算"
+mapp[13276] = "小法"
+mapp[10583] = "小鸭"
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+name := mapp[15937]
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+delete(mapp, 10583)
+/* 初始化哈希表 */
+const map = new ArrayHashMap();
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map.set(12836, '小哈');
+map.set(15937, '小啰');
+map.set(16750, '小算');
+map.set(13276, '小法');
+map.set(10583, '小鸭');
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+let name = map.get(15937);
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.delete(10583);
+/* 初始化哈希表 */
+const map = new Map<number, string>();
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map.set(12836, '小哈');
+map.set(15937, '小啰');
+map.set(16750, '小算');
+map.set(13276, '小法');
+map.set(10583, '小鸭');
+console.info('\n添加完成后，哈希表为\nKey -> Value');
+console.info(map);
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+let name = map.get(15937);
+console.info('\n输入学号 15937 ，查询到姓名 ' + name);
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.delete(10583);
+console.info('\n删除 10583 后，哈希表为\nKey -> Value');
+console.info(map);
+/* 初始化哈希表 */
+Dictionary<int, String> map = new ();
+
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map.Add(12836, "小哈");
+map.Add(15937, "小啰");
+map.Add(16750, "小算");
+map.Add(13276, "小法");
+map.Add(10583, "小鸭");
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+String name = map[15937];
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.Remove(10583);
+/* 初始化哈希表 */
+var map: [Int: String] = [:]
+
+/* 添加操作 */
+// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
+map[12836] = "小哈"
+map[15937] = "小啰"
+map[16750] = "小算"
+map[13276] = "小法"
+map[10583] = "小鸭"
+
+/* 查询操作 */
+// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
+let name = map[15937]!
+
+/* 删除操作 */
+// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
+map.removeValue(forKey: 10583)
+遍历哈希表有三种方式，即 遍历键值对、遍历键、遍历值。
+/* 遍历哈希表 */
+// 遍历键值对 key->value
+for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
+ System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
+}
+// 单独遍历键 key
+for (int key: map.keySet()) {
+ System.out.println(key);
+}
+// 单独遍历值 value
+for (String val: map.values()) {
+ System.out.println(val);
+}
+/* 遍历哈希表 */
+// 遍历键值对 key->value
+for (const entry of map.entries()) {
+ if (!entry) continue;
+ console.info(entry.key + ' -> ' + entry.val);
+}
+// 单独遍历键 key
+for (const key of map.keys()) {
+ console.info(key);
+}
+// 单独遍历值 value
+for (const val of map.values()) {
+ console.info(val);
+}
+/* 遍历哈希表 */
+console.info('\n遍历键值对 Key->Value');
+for (const [k, v] of map.entries()) {
+ console.info(k + ' -> ' + v);
+}
+console.info('\n单独遍历键 Key');
+for (const k of map.keys()) {
+ console.info(k);
+}
+console.info('\n单独遍历值 Value');
+for (const v of map.values()) {
+ console.info(v);
+}
+哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。
+最简单地，我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表。首先，将所有 value 放入数组中，那么每个 value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 value 需要给定索引，而为了 建立 key 和索引之间的映射关系，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
+设数组为 bucket ，哈希函数为 f(x) ，输入键为 key 。那么获取 value 的步骤为：
index = f(key) ；value = bucket[index] ；以上述学生数据 key 学号 -> value 姓名 为例，我们可以将「哈希函数」设计为
Fig. 哈希函数
+ +/* 键值对 int->String */
+class Entry {
+ public int key; // 键
+ public String val; // 值
+ public Entry(int key, String val) {
+ this.key = key;
+ this.val = val;
+ }
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap {
+ private List<Entry> bucket;
+ public ArrayHashMap() {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ bucket = new ArrayList<>();
+ for (int i = 0; i < 100; i++) {
+ bucket.add(null);
+ }
+ }
+
+ /* 哈希函数 */
+ private int hashFunc(int key) {
+ int index = key % 100;
+ return index;
+ }
+
+ /* 查询操作 */
+ public String get(int key) {
+ int index = hashFunc(key);
+ Entry pair = bucket.get(index);
+ if (pair == null) return null;
+ return pair.val;
+ }
+
+ /* 添加操作 */
+ public void put(int key, String val) {
+ Entry pair = new Entry(key, val);
+ int index = hashFunc(key);
+ bucket.set(index, pair);
+ }
+
+ /* 删除操作 */
+ public void remove(int key) {
+ int index = hashFunc(key);
+ // 置为 null，代表删除
+ bucket.set(index, null);
+ }
+}
+/* 键值对 int->String */
+struct Entry {
+public:
+ int key;
+ string val;
+ Entry(int key, string val) {
+ this->key = key;
+ this->val = val;
+ }
+};
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap {
+private:
+ vector<Entry*> bucket;
+public:
+ ArrayHashMap() {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ bucket= vector<Entry*>(100);
+ }
+
+ /* 哈希函数 */
+ int hashFunc(int key) {
+ int index = key % 100;
+ return index;
+ }
+
+ /* 查询操作 */
+ string get(int key) {
+ int index = hashFunc(key);
+ Entry* pair = bucket[index];
+ return pair->val;
+ }
+
+ /* 添加操作 */
+ void put(int key, string val) {
+ Entry* pair = new Entry(key, val);
+ int index = hashFunc(key);
+ bucket[index] = pair;
+ }
+
+ /* 删除操作 */
+ void remove(int key) {
+ int index = hashFunc(key);
+ // 置为 nullptr ，代表删除
+ bucket[index] = nullptr;
+ }
+};
+""" 键值对 int->String """
+class Entry:
+ def __init__(self, key, val):
+ self.key = key
+ self.val = val
+
+""" 基于数组简易实现的哈希表 """
+class ArrayHashMap:
+ def __init__(self):
+ # 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ self.bucket = [None] * 100
+
+ """ 哈希函数 """
+ def hash_func(self, key):
+ index = key % 100
+ return index
+
+ """ 查询操作 """
+ def get(self, key):
+ index = self.hash_func(key)
+ pair = self.bucket[index]
+ if pair is None:
+ return None
+ return pair.val
+
+ """ 添加操作 """
+ def put(self, key, val):
+ pair = Entry(key, val)
+ index = self.hash_func(key)
+ self.bucket[index] = pair
+
+ """ 删除操作 """
+ def remove(self, key):
+ index = self.hash_func(key)
+ # 置为 None ，代表删除
+ self.bucket[index] = None
+
+ """ 获取所有键值对 """
+ def entry_set(self):
+ result = []
+ for pair in self.bucket:
+ if pair is not None:
+ result.append(pair)
+ return result
+
+ """ 获取所有键 """
+ def key_set(self):
+ result = []
+ for pair in self.bucket:
+ if pair is not None:
+ result.append(pair.key)
+ return result
+
+ """ 获取所有值 """
+ def value_set(self):
+ result = []
+ for pair in self.bucket:
+ if pair is not None:
+ result.append(pair.val)
+ return result
+
+ """ 打印哈希表 """
+ def print(self):
+ for pair in self.bucket:
+ if pair is not None:
+ print(pair.key, "->", pair.val)
+/* 键值对 int->String */
+type entry struct {
+ key int
+ val string
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+type arrayHashMap struct {
+ bucket []*entry
+}
+
+func newArrayHashMap() *arrayHashMap {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ bucket := make([]*entry, 100)
+ return &arrayHashMap{bucket: bucket}
+}
+
+/* 哈希函数 */
+func (a *arrayHashMap) hashFunc(key int) int {
+ index := key % 100
+ return index
+}
+
+/* 查询操作 */
+func (a *arrayHashMap) get(key int) string {
+ index := a.hashFunc(key)
+ pair := a.bucket[index]
+ if pair == nil {
+ return "Not Found"
+ }
+ return pair.val
+}
+
+/* 添加操作 */
+func (a *arrayHashMap) put(key int, val string) {
+ pair := &entry{key: key, val: val}
+ index := a.hashFunc(key)
+ a.bucket[index] = pair
+}
+
+/* 删除操作 */
+func (a *arrayHashMap) remove(key int) {
+ index := a.hashFunc(key)
+ // 置为 nil ，代表删除
+ a.bucket[index] = nil
+}
+/* 键值对 Number -> String */
+class Entry {
+ constructor(key, val) {
+ this.key = key;
+ this.val = val;
+ }
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap {
+ #bucket;
+ constructor() {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ this.#bucket = new Array(100).fill(null);
+ }
+
+ /* 哈希函数 */
+ #hashFunc(key) {
+ return key % 100;
+ }
+
+ /* 查询操作 */
+ get(key) {
+ let index = this.#hashFunc(key);
+ let entry = this.#bucket[index];
+ if (entry === null) return null;
+ return entry.val;
+ }
+
+ /* 添加操作 */
+ set(key, val) {
+ let index = this.#hashFunc(key);
+ this.#bucket[index] = new Entry(key, val);
+ }
+
+ /* 删除操作 */
+ delete(key) {
+ let index = this.#hashFunc(key);
+ // 置为 null ，代表删除
+ this.#bucket[index] = null;
+ }
+}
+/* 键值对 Number -> String */
+class Entry {
+public key: number;
+public val: string;
+
+ constructor(key: number, val: string) {
+ this.key = key;
+ this.val = val;
+ }
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap {
+
+ private readonly bucket: (Entry | null)[];
+
+ constructor() {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ this.bucket = (new Array(100)).fill(null);
+ }
+
+ /* 哈希函数 */
+ private hashFunc(key: number): number {
+ return key % 100;
+ }
+
+ /* 查询操作 */
+ public get(key: number): string | null {
+ let index = this.hashFunc(key);
+ let entry = this.bucket[index];
+ if (entry === null) return null;
+ return entry.val;
+ }
+
+ /* 添加操作 */
+ public set(key: number, val: string) {
+ let index = this.hashFunc(key);
+ this.bucket[index] = new Entry(key, val);
+ }
+
+ /* 删除操作 */
+ public delete(key: number) {
+ let index = this.hashFunc(key);
+ // 置为 null ，代表删除
+ this.bucket[index] = null;
+ }
+}
+/* 键值对 int->String */
+class Entry
+{
+ public int key;
+ public String val;
+ public Entry(int key, String val)
+ {
+ this.key = key;
+ this.val = val;
+ }
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap
+{
+ private List<Entry?> bucket;
+ public ArrayHashMap()
+ {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ bucket = new ();
+ for (int i = 0; i < 100; i++)
+ {
+ bucket.Add(null);
+ }
+ }
+ /* 哈希函数 */
+ private int hashFunc(int key)
+ {
+ int index = key % 100;
+ return index;
+ }
+ /* 查询操作 */
+ public String? get(int key)
+ {
+ int index = hashFunc(key);
+ Entry? pair = bucket[index];
+ if (pair == null) return null;
+ return pair.val;
+ }
+ /* 添加操作 */
+ public void put(int key, String val)
+ {
+ Entry pair = new Entry(key, val);
+ int index = hashFunc(key);
+ bucket[index]=pair;
+ }
+ /* 删除操作 */
+ public void remove(int key)
+ {
+ int index = hashFunc(key);
+ // 置为 null ，代表删除
+ bucket[index]=null;
+ }
+}
+/* 键值对 int->String */
+class Entry {
+ var key: Int
+ var val: String
+
+ init(key: Int, val: String) {
+ self.key = key
+ self.val = val
+ }
+}
+
+/* 基于数组简易实现的哈希表 */
+class ArrayHashMap {
+ private var bucket: [Entry?] = []
+
+ init() {
+ // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
+ for _ in 0 ..< 100 {
+ bucket.append(nil)
+ }
+ }
+
+ /* 哈希函数 */
+ private func hashFunc(key: Int) -> Int {
+ let index = key % 100
+ return index
+ }
+
+ /* 查询操作 */
+ func get(key: Int) -> String? {
+ let index = hashFunc(key: key)
+ let pair = bucket[index]
+ return pair?.val
+ }
+
+ /* 添加操作 */
+ func put(key: Int, val: String) {
+ let pair = Entry(key: key, val: val)
+ let index = hashFunc(key: key)
+ bucket[index] = pair
+ }
+
+ /* 删除操作 */
+ func remove(key: Int) {
+ let index = hashFunc(key: key)
+ // 置为 nil ，代表删除
+ bucket[index] = nil
+ }
+}
+细心的同学可能会发现，哈希函数 \(f(x) = x \% 100\) 会在某些情况下失效。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 \(12836\) 和 \(20336\) ，则有
+两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
+
Fig. 哈希冲突
+ +综上所述，一个优秀的「哈希函数」应该具备以下特性：
+「堆 Heap」是一棵限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
+
值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，定义为具有出队优先级的队列。
+而恰好，堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。
+堆的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。
+Table. 堆的常用操作
+ +| 方法 | +描述 | +时间复杂度 | +
|---|---|---|
| add() | +元素入堆 | +\(O(\log n)\) | +
| poll() | +堆顶元素出堆 | +\(O(\log n)\) | +
| peek() | +访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | +\(O(1)\) | +
| size() | +获取堆的元素数量 | +\(O(1)\) | +
| isEmpty() | +判断堆是否为空 | +\(O(1)\) | +
我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
+Tip
+类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
+/* 初始化堆 */
+// 初始化小顶堆
+Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
+// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
+Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
+
+/* 元素入堆 */
+maxHeap.add(1);
+maxHeap.add(3);
+maxHeap.add(2);
+maxHeap.add(5);
+maxHeap.add(4);
+
+/* 获取堆顶元素 */
+int peek = maxHeap.peek(); // 5
+
+/* 堆顶元素出堆 */
+// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+peek = heap.poll(); // 5
+peek = heap.poll(); // 4
+peek = heap.poll(); // 3
+peek = heap.poll(); // 2
+peek = heap.poll(); // 1
+
+/* 获取堆大小 */
+int size = maxHeap.size();
+
+/* 判断堆是否为空 */
+boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+
+/* 输入列表并建堆 */
+minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
+/* 初始化堆 */
+// 初始化小顶堆
+priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
+// 初始化大顶堆
+priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
+
+/* 元素入堆 */
+maxHeap.push(1);
+maxHeap.push(3);
+maxHeap.push(2);
+maxHeap.push(5);
+maxHeap.push(4);
+
+/* 获取堆顶元素 */
+int peek = maxHeap.top(); // 5
+
+/* 堆顶元素出堆 */
+// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+maxHeap.pop(); // 5
+maxHeap.pop(); // 4
+maxHeap.pop(); // 3
+maxHeap.pop(); // 2
+maxHeap.pop(); // 1
+
+/* 获取堆大小 */
+int size = maxHeap.size();
+
+/* 判断堆是否为空 */
+bool isEmpty = maxHeap.empty();
+
+/* 输入列表并建堆 */
+vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
+priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
+// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
+// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
+type intHeap []any
+
+// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
+func (h *intHeap) Push(x any) {
+ // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
+ // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
+ *h = append(*h, x.(int))
+}
+
+// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
+func (h *intHeap) Pop() any {
+ // 待出堆元素存放在最后
+ last := (*h)[len(*h)-1]
+ *h = (*h)[:len(*h)-1]
+ return last
+}
+
+// Len sort.Interface 的方法
+func (h *intHeap) Len() int {
+ return len(*h)
+}
+
+// Less sort.Interface 的方法
+func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
+ // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
+ return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
+}
+
+// Swap sort.Interface 的方法
+func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
+ (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
+}
+
+// Top 获取堆顶元素
+func (h *intHeap) Top() any {
+ return (*h)[0]
+}
+
+/* Driver Code */
+func TestHeap(t *testing.T) {
+ /* 初始化堆 */
+ // 初始化大顶堆
+ maxHeap := &intHeap{}
+ heap.Init(maxHeap)
+ /* 元素入堆 */
+ // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
+ heap.Push(maxHeap, 1)
+ heap.Push(maxHeap, 3)
+ heap.Push(maxHeap, 2)
+ heap.Push(maxHeap, 4)
+ heap.Push(maxHeap, 5)
+
+ /* 获取堆顶元素 */
+ top := maxHeap.Top()
+ fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
+
+ /* 堆顶元素出堆 */
+ // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
+ heap.Pop(maxHeap)
+ heap.Pop(maxHeap)
+ heap.Pop(maxHeap)
+ heap.Pop(maxHeap)
+ heap.Pop(maxHeap)
+
+ /* 获取堆大小 */
+ size := len(*maxHeap)
+ fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
+
+ /* 判断堆是否为空 */
+ isEmpty := len(*maxHeap) == 0
+ fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
+}
+下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 \(\geq\) 替换为 \(\leq\) ）即可，有兴趣的同学可自行实现。
+在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一棵完全二叉树，因而我们采用「数组」来存储「堆」。
+二叉树指针。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，而结点指针通过索引映射公式来实现。
+具体地，给定索引 \(i\) ，那么其左子结点索引为 \(2i + 1\) 、右子结点索引为 \(2i + 2\) 、父结点索引为 \((i - 1) / 2\) （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
+
我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。
+// 使用列表而非数组，这样无需考虑扩容问题
+List<Integer> maxHeap;
+
+/* 构造函数，建立空堆 */
+public MaxHeap() {
+ maxHeap = new ArrayList<>();
+}
+
+/* 获取左子结点索引 */
+int left(int i) {
+ return 2 * i + 1;
+}
+
+/* 获取右子结点索引 */
+int right(int i) {
+ return 2 * i + 2;
+}
+
+/* 获取父结点索引 */
+int parent(int i) {
+ return (i - 1) / 2; // 向下整除
+}
+type maxHeap struct {
+ // 使用切片而非数组，这样无需考虑扩容问题
+ data []any
+}
+
+/* 构造函数，建立空堆 */
+func newHeap() *maxHeap {
+ return &maxHeap{
+ data: make([]any, 0),
+ }
+}
+
+/* 获取左子结点索引 */
+func (h *maxHeap) left(i int) int {
+ return 2*i + 1
+}
+
+/* 获取右子结点索引 */
+func (h *maxHeap) right(i int) int {
+ return 2*i + 2
+}
+
+/* 获取父结点索引 */
+func (h *maxHeap) parent(i int) int {
+ // 向下整除
+ return (i - 1) / 2
+}
+堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。
+给定元素 val ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 val 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点，该操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆结点开始，从底至顶执行堆化。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
+
设结点总数为 \(n\) ，则树的高度为 \(O(\log n)\) ，易得堆化操作的循环轮数最多为 \(O(\log n)\) ，因而元素入堆操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。
+/* 元素入堆 */
+void push(int val) {
+ // 添加结点
+ maxHeap.add(val);
+ // 从底至顶堆化
+ siftUp(size() - 1);
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+void siftUp(int i) {
+ while (true) {
+ // 获取结点 i 的父结点
+ int p = parent(i);
+ // 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
+ if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
+ break;
+ // 交换两结点
+ swap(i, p);
+ // 循环向上堆化
+ i = p;
+ }
+}
+/* 元素入堆 */
+void push(int val) {
+ // 添加结点
+ maxHeap.push_back(val);
+ // 从底至顶堆化
+ shifUp(size() - 1);
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+void shifUp(int i) {
+ while (true) {
+ // 获取结点 i 的父结点
+ int p = parent(i);
+ // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+ if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
+ break;
+ // 交换两结点
+ swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
+ // 循环向上堆化
+ i = p;
+ }
+}
+/* 元素入堆 */
+func (h *maxHeap) push(val any) {
+ // 添加结点
+ h.data = append(h.data, val)
+ // 从底至顶堆化
+ h.siftUp(len(h.data) - 1)
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
+ for true {
+ // 获取结点 i 的父结点
+ p := h.parent(i)
+ // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+ if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
+ break
+ }
+ // 交换两结点
+ h.swap(i, p)
+ // 循环向上堆化
+ i = p
+ }
+}
+/* 元素入堆 */
+func push(val: Int) {
+ // 添加结点
+ maxHeap.append(val)
+ // 从底至顶堆化
+ siftUp(i: size() - 1)
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+func siftUp(i: Int) {
+ var i = i
+ while true {
+ // 获取结点 i 的父结点
+ let p = parent(i: i)
+ // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+ if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
+ break
+ }
+ // 交换两结点
+ swap(i: i, j: p)
+ // 循环向上堆化
+ i = p
+ }
+}
+堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
+顾名思义，从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
+
与元素入堆操作类似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。
+/* 元素出堆 */
+int poll() {
+ // 判空处理
+ if (isEmpty())
+ throw new EmptyStackException();
+ // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+ swap(0, size() - 1);
+ // 删除结点
+ int val = maxHeap.remove(size() - 1);
+ // 从顶至底堆化
+ siftDown(0);
+ // 返回堆顶元素
+ return val;
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+void siftDown(int i) {
+ while (true) {
+ // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+ int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+ if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
+ ma = l;
+ if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
+ ma = r;
+ // 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
+ if (ma == i) break;
+ // 交换两结点
+ swap(i, ma);
+ // 循环向下堆化
+ i = ma;
+ }
+}
+/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+void shifDown(int i) {
+ while (true) {
+ // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+ int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+ // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+ if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
+ ma = l;
+ if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
+ ma = r;
+ // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+ if (ma == i)
+ break;
+ swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
+ // 循环向下堆化
+ i = ma;
+ }
+}
+
+/* 元素出堆 */
+void poll() {
+ // 判空处理
+ if (empty()) {
+ cout << "Error:堆为空" << endl;
+ return;
+ }
+ // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+ swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
+ // 删除结点
+ maxHeap.pop_back();
+ // 从顶至底堆化
+ shifDown(0);
+}
+/* 元素出堆 */
+func (h *maxHeap) poll() any {
+ // 判空处理
+ if h.isEmpty() {
+ fmt.Println("error")
+ return nil
+ }
+ // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+ h.swap(0, h.size()-1)
+ // 删除结点
+ val := h.data[len(h.data)-1]
+ h.data = h.data[:len(h.data)-1]
+ // 从顶至底堆化
+ h.siftDown(0)
+
+ // 返回堆顶元素
+ return val
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
+ for true {
+ // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 max
+ l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
+ if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
+ max = l
+ }
+ if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
+ max = r
+ }
+ // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+ if max == i {
+ break
+ }
+ // 交换两结点
+ h.swap(i, max)
+ // 循环向下堆化
+ i = max
+ }
+}
+/* 元素出堆 */
+func poll() -> Int {
+ // 判空处理
+ if isEmpty() {
+ fatalError("堆为空")
+ }
+ // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+ swap(i: 0, j: size() - 1)
+ // 删除结点
+ let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
+ // 从顶至底堆化
+ siftDown(i: 0)
+ // 返回堆顶元素
+ return val
+}
+
+/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+func siftDown(i: Int) {
+ var i = i
+ while true {
+ // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+ let l = left(i: i)
+ let r = right(i: i)
+ var ma = i
+ if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
+ ma = l
+ }
+ if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
+ ma = r
+ }
+ // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+ if ma == i {
+ break
+ }
+ // 交换两结点
+ swap(i: i, j: ma)
+ // 循环向下堆化
+ i = ma
+ }
+}
+如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，而平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此该方法的总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
+然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 \(n\) ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」。当然，无需对叶结点执行堆化，因为其没有子结点。
+那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。
+将上述两者相乘，可得时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 二叉树底层结点远多于顶层结点 的性质。
+下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 \(n\) ，树高度为 \(h\) 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”。因此，我们将各层的“结点数量 \(\times\) 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
+
化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，易得
+使用错位相减法，令下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得
+观察上式，\(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
+进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的结点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\)。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。
+听到“算法”这个词，我们一般会联想到数学。但实际上，大多数算法并不包含复杂的数学，而更像是在考察基本逻辑，而这些逻辑在我们日常生活中处处可见。
+在正式介绍算法之前，我想告诉你一件有趣的事：其实，你在过去已经学会了很多算法，并且已经习惯将它们应用到日常生活中。接下来，我将介绍两个具体例子来佐证。
+例一：拼积木。一套积木，除了有许多部件之外，还会附送详细的拼装说明书。我们按照说明书上一步步操作，即可拼出复杂的积木模型。
+如果从数据结构与算法的角度看，大大小小的「积木」就是数据结构，而「拼装说明书」上的一系列步骤就是算法。
+例二：查字典。在字典中，每个汉字都有一个对应的拼音，而字典是按照拼音的英文字母表顺序排列的。假设需要在字典中查询任意一个拼音首字母为 \(r\) 的字，一般我们会这样做：
+
查字典这个小学生的标配技能，实际上就是大名鼎鼎的「二分查找」。从数据结构角度，我们可以将字典看作是一个已排序的「数组」；而从算法角度，我们可将上述查字典的一系列指令看作是「二分查找」算法。
+小到烹饪一道菜、大到星际航行，几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现，使我们可以通过编程将数据结构存储在内存中，也可以编写代码来调用 CPU, GPU 执行算法，从而将生活中的问题搬运到计算机中，更加高效地解决各式各样的复杂问题。
+Tip
+读到这里，如果你感到对数据结构、算法、数组、二分查找等此类概念一知半解，那么就太好了！因为这正是本书存在的价值，接下来，本书将会一步步地引导你进入数据结构与算法的知识殿堂。
+「算法 Algorithm」是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤。算法具有以下特性：
+「数据结构 Data Structure」是在计算机中组织与存储数据的方式。为了提高数据存储和操作性能，数据结构的设计原则有：
+数据结构的设计是一个充满权衡的过程，这意味着如果获得某方面的优势，则往往需要在另一方面做出妥协。例如，链表相对于数组，数据添加删除操作更加方便，但牺牲了数据的访问速度；图相对于链表，提供了更多的逻辑信息，但需要占用更多的内存空间。
+「数据结构」与「算法」是高度相关、紧密嵌合的，体现在：
+
Fig. 数据结构与算法的关系
+ +如果将「LEGO 乐高」类比到「数据结构与算法」，那么可以得到下表所示的对应关系。
+| 数据结构与算法 | +LEGO 乐高 | +
|---|---|
| 输入数据 | +未拼装的积木 | +
| 数据结构 | +积木组织形式，包括形状、大小、连接方式等 | +
| 算法 | +把积木拼成目标形态的一系列操作步骤 | +
| 输出数据 | +积木模型 | +
约定俗成的简称
+在实际讨论中，我们通常会将「数据结构与算法」直接简称为「算法」。例如，我们熟称的 LeetCode 算法题目，实际上同时考察了数据结构和算法两部分知识。
+五年前发生的一件事，成为了我职业生涯的重要转折点。当时的我在交大读研，对互联网求职一无所知，但仍然硬着头皮申请了 Microsoft 软件工程师实习。面试官让我在白板上写出“快速排序”代码，我畏畏缩缩地写了一个“冒泡排序”，并且还写错了(ToT) 。从面试官的表情上，我看到了一个大大的 "GG" 。
此次失利倒逼我开始刷算法题。我采用“扫雷游戏”式的学习方法，两眼一抹黑刷题，扫到不会的“雷”就通过查资料把它“排掉”，配合周期性总结，逐渐形成了数据结构与算法的知识图景。幸运地，我在秋招斩获了多家大厂的 Offer 。
+回想自己当初在“扫雷式”刷题中被炸的满头包的痛苦，思考良久，我意识到一本“前期刷题必看”的读物可以使算法小白少走许多弯路。写作意愿滚滚袭来，那就动笔吧：
+前置条件
+您需要至少具备任一语言的编程基础，能够阅读和编写简单代码。
+如果您是 算法初学者，完全没有接触过算法，或者已经有少量刷题，对数据结构与算法有朦胧的理解，在会与不会之间反复横跳，那么这本书就是为您而写！本书能够带来：
+如果您是 算法熟练工，已经积累一定刷题量，接触过大多数题型，那么本书内容对你来说可能稍显基础，但仍能够带来以下价值：
+如果您是 算法大佬，请受我膜拜！希望您可以抽时间提出意见建议，或者一起参与创作，帮助各位同学获取更好的学习内容，感谢！
+本书主要内容分为复杂度分析、数据结构、算法三个部分。
+
Fig. 知识点思维导图
+ +首先介绍数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法，引出了计算复杂度概念。
+接下来，从 函数渐近上界 入手，分别介绍了 时间复杂度 和 空间复杂度，包括推算方法、常见类型、示例等。同时，剖析了 最差、最佳、平均 时间复杂度的联系与区别。
+首先介绍了常用的 基本数据类型 、以及它们是如何在内存中存储的。
+接下来，介绍了两种 数据结构分类方法，包括逻辑结构与物理结构。
+后续展开介绍了 数组、链表、栈、队列、散列表、树、堆、图 等数据结构，关心以下内容：
+包括 查找算法、排序算法、搜索与回溯、动态规划、分治算法，内容包括：
+完整代码托管在 GitHub 仓库 ，皆可一键运行。
+ +以实践为主。我们知道，学习英语期间光啃书本是远远不够的，需要多听、多说、多写，在实践中培养语感、积累经验。编程语言也是一门语言，因此学习方法也应是类似的，需要多看优秀代码、多敲键盘、多思考代码逻辑。
+本书的理论部分占少量篇幅，主要分为两类：一是基础且必要的概念知识，以培养读者对于算法的感性认识；二是重要的分类、对比或总结，这是为了帮助你站在更高视角俯瞰各个知识点，形成连点成面的效果。
+实践部分主要由示例和代码组成。代码配有简要注释，复杂示例会尽可能地使用视觉化的形式呈现。我强烈建议读者对照着代码自己敲一遍，如果时间有限，也至少逐行读、复制并运行一遍，配合着讲解将代码吃透。
+视觉化学习。信息时代以来，视觉化的脚步从未停止。媒体形式经历了文字短信、图文 Email 、动图、短（长）视频、交互式 Web 、3D 游戏等演变过程，信息的视觉化程度越来越高、愈加符合人类感官、信息传播效率大大提升。科技界也在向视觉化迈进，iPhone 就是一个典型例子，其相对于传统手机是高度视觉化的，包含精心设计的字体、主题配色、交互动画等。
+近两年，短视频成为最受欢迎的信息媒介，可以在短时间内将高密度的信息“灌”给我们，有着极其舒适的观看体验。阅读则不然，读者与书本之间天然存在一种“疏离感”，我们看书会累、会走神、会停下来想其他事、会划下喜欢的句子、会思考某一片段的含义，这种疏离感给了读者与书本之间对话的可能，拓宽了想象空间。
+本书作为一本入门教材，希望可以保有书本的“慢节奏”，但也会避免与读者产生过多“疏离感”，而是努力将知识完整清晰地推送到你聪明的小脑袋瓜中。我将采用视觉化的方式（例如配图、动画），尽我可能清晰易懂地讲解复杂概念和抽象示例。
+内容精简化。大多数的经典教科书，会把每个主题都讲的很透彻。虽然透彻性正是其获得读者青睐的原因，但对于想要快速入门的初学者来说，这些教材的实用性不足。本书会避免引入非必要的概念、名词、定义等，也避免展开不必要的理论分析，毕竟这不是一本真正意义上的教材，主要任务是尽快地带领读者入门。
+引入一些生活案例或趣味内容，非常适合作为知识点的引子或者解释的补充，但当融入过多额外元素时，内容会稍显冗长，也许反而使读者容易迷失、抓不住重点，这也是本书需要避免的。
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+
书中的配图无法直接修改，需要通过以下途径提出修改意见：
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+稍等片刻，即可使用浏览器打开 http://localhost:8000 访问本项目。
使用如下命令即可删除部署。
+ +（TODO：教学视频）
+ + + + + +（TODO 视频教程）
+本书推荐使用开源轻量的 VSCode 作为本地 IDE ，下载并安装 VSCode 。
+java ，安装 Java Extension Pack 。c++ ，安装 C/C++ Extension Pack 。python ，安装 Python Extension Pack 。go ，安装 Go 。Ctrl + Shift + P 呼出命令栏，输入 go ，选择 Go: Install/Update Tools ，全部勾选并安装即可。javascript ，安装 JavaScript (ES6) code snippets 。c# ，安装 c# 。swift，安装 Swift for Visual Studio Code。rust，安装 rust-analyzer。视频和图片相比于文字的信息密度和结构化程度更高，更容易让人理解。在本书中，重点和难点知识会主要以动画、图解的形式呈现，而文字的作用则是作为动画和图的解释与补充。
+在阅读本书的过程中，若发现某段内容提供了动画或图解，建议你以图为主线，将文字内容（一般在图的上方）对齐到图中内容，综合来理解。
+
前置工作
+如果没有本地编程环境，可以参照下节 编程环境安装 。
+如果已经安装 Git ，可以通过命令行来克隆代码仓。
+ +当然，你也可以点击“Download ZIP”直接下载代码压缩包，解压即可。
+
本书提供配套 Java, C++, Python 代码仓（后续可能拓展支持语言）。书中的代码栏上若标有 *.java , *.cpp , *.py ，则可在仓库 codes 文件夹中找到对应的 代码源文件。
这些源文件中包含详细注释，配有测试样例，可以直接运行，帮助你省去不必要的调试时间，可以将精力集中在学习内容上。
+
代码学习建议
+若学习时间紧张，请至少将所有代码通读并运行一遍。若时间允许，强烈建议对照着代码自己敲一遍，逐渐锻炼肌肉记忆。相比于读代码，写代码的过程往往能带来新的收获。
+阅读本书时，请不要“惯着”那些弄不明白的知识点。如果有任何疑惑，可以在评论区留下你的问题，小伙伴们和我都会给予解答（您一般 3 天内会得到回复）。
+同时，也希望你可以多花时间逛逛评论区。一方面，可以看看大家遇到了什么问题，反过来查漏补缺，这往往可以引起更加深度的思考。另一方面，也希望你可以慷慨地解答小伙伴们的问题、分享自己的见解，大家一起加油与进步！
+
第一阶段，算法入门，也正是本书的定位。熟悉各种数据结构的特点、用法，学习各种算法的工作原理、用途、效率等。
+第二阶段，刷算法题。可以先从热门题单开刷，推荐 剑指 Offer、LeetCode 热题 HOT 100 ，先积累至少 100 道题量，熟悉大多数的算法问题。刚开始刷题时，“遗忘”是最大的困扰点，但这是很正常的，请不要担心。学习中有一种概念叫“周期性回顾”，同一道题隔段时间做一次，当做了三遍以上，往往就能牢记于心了。
+第三阶段，搭建知识体系。在学习方面，可以阅读算法专栏文章、解题框架、算法教材，不断地丰富知识体系。在刷题方面，可以开始采用进阶刷题方案，例如按专题分类、一题多解、一解多题等，刷题方案在社区中可以找到一些讲解，在此不做赘述。
+
[1] Thomas H. Cormen, et al. Introduction to Algorithms (3rd Edition).
+[2] Aditya Bhargava. Grokking Algorithms: An Illustrated Guide for Programmers and Other Curious People (1st Edition).
+[3] 程杰. 大话数据结构.
+[4] 王争. 数据结构与算法之美.
+[5] 严蔚敏. 数据结构（ C 语言版）.
+[6] 邓俊辉. 数据结构（ C++ 语言版，第三版）.
+[7] 马克·艾伦·维斯著，陈越译. 数据结构与算法分析：Java语言描述（第三版）.
+[8] Gayle Laakmann McDowell. Cracking the Coding Interview: 189 Programming Questions and Solutions (6th Edition).
+ + + + + + +「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。
+使用二分查找有两个前置条件：
+给定一个长度为 \(n\) 的排序数组 nums ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为
使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：
+首先，我们先采用“双闭区间”的表示，在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引。
二分查找“双闭区间”表示下的代码如下所示。
+/* 二分查找（双闭区间） */
+int binarySearch(int[] nums, int target) {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ int i = 0, j = nums.length - 1;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while (i <= j) {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（双闭区间） */
+int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ int i = 0, j = nums.size() - 1;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while (i <= j) {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+""" 二分查找（双闭区间） """
+def binary_search(nums, target):
+ # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ i, j = 0, len(nums) - 1
+ while i <= j:
+ m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1
+ elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1
+ else:
+ return m # 找到目标元素，返回其索引
+ return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
+/* 二分查找（双闭区间） */
+func binarySearch(nums []int, target int) int {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ i, j := 0, len(nums)-1
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ for i <= j {
+ m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1
+ } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m
+ }
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1
+}
+/* 二分查找（双闭区间） */
+function binarySearch(nums, target) {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ let i = 0, j = nums.length - 1;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while (i <= j) {
+ let m = parseInt((i + j) / 2); // 计算中点索引 m ，在 JS 中需使用 parseInt 函数取整
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1;
+ else
+ return m; // 找到目标元素，返回其索引
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（双闭区间） */
+const binarySearch = function (nums: number[], target: number): number {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ let i = 0, j = nums.length - 1;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while (i <= j) {
+ const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1;
+ } else if (nums[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1;
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ }
+ return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+}
+/* 二分查找（双闭区间） */
+int binarySearch(int[] nums, int target)
+{
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ int i = 0, j = nums.Length - 1;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while (i <= j)
+ {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（双闭区间） */
+func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
+ // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+ var i = 0
+ var j = nums.count - 1
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
+ while i <= j {
+ let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+ i = m + 1
+ } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+ j = m - 1
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m
+ }
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1
+}
+当然，我们也可以使用“左闭右开”的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。
+/* 二分查找（左闭右开） */
+int binarySearch1(int[] nums, int target) {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ int i = 0, j = nums.length;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while (i < j) {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（左闭右开） */
+int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ int i = 0, j = nums.size();
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while (i < j) {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+""" 二分查找（左闭右开） """
+def binary_search1(nums, target):
+ # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ i, j = 0, len(nums)
+ # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while i < j:
+ m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1
+ elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m
+ else: # 找到目标元素，返回其索引
+ return m
+ return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
+/* 二分查找（左闭右开） */
+func binarySearch1(nums []int, target int) int {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ i, j := 0, len(nums)
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ for i < j {
+ m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1
+ } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m
+ }
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1
+}
+/* 二分查找（左闭右开） */
+function binarySearch1(nums, target) {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ let i = 0, j = nums.length;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while (i < j) {
+ let m = parseInt((i + j) / 2); // 计算中点索引 m ，在 JS 中需使用 parseInt 函数取整
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（左闭右开） */
+const binarySearch1 = function (nums: number[], target: number): number {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ let i = 0, j = nums.length;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while (i < j) {
+ const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1;
+ } else if (nums[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m;
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ }
+ return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+}
+/* 二分查找（左闭右开） */
+int binarySearch1(int[] nums, int target)
+{
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ int i = 0, j = nums.Length;
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while (i < j)
+ {
+ int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
+ if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1;
+ else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m;
+ else // 找到目标元素，返回其索引
+ return m;
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1;
+}
+/* 二分查找（左闭右开） */
+func binarySearch1(nums: [Int], target: Int) -> Int {
+ // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
+ var i = 0
+ var j = nums.count
+ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
+ while i < j {
+ let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
+ if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
+ i = m + 1
+ } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
+ j = m
+ } else { // 找到目标元素，返回其索引
+ return m
+ }
+ }
+ // 未找到目标元素，返回 -1
+ return -1
+}
+对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：
+| 表示方法 | +初始化指针 | +缩小区间 | +循环终止条件 | +
|---|---|---|---|
| 双闭区间 \([0, n-1]\) | +\(i = 0\) , \(j = n-1\) | +\(i = m + 1\) , \(j = m - 1\) | +\(i > j\) | +
| 左闭右开 \([0, n)\) | +\(i = 0\) , \(j = n\) | +\(i = m + 1\) , \(j = m\) | +\(i = j\) | +
观察发现，在“双闭区间”表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 \(i\) , \(j\) 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，建议你采用“双闭区间”的写法。
+当数组长度很大时，加法 \(i + j\) 的结果有可能会超出 int 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。
时间复杂度 \(O(\log n)\) ：其中 \(n\) 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 \(\log_2 n\) ，使用 \(O(\log n)\) 时间。
+空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 i , j 使用常数大小空间。
二分查找效率很高，体现在：
+但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：
+Question
+在数据量很大时，「线性查找」太慢；而「二分查找」要求数据必须是有序的，并且只能在数组中应用。那么是否有方法可以同时避免上述缺点呢？答案是肯定的，此方法被称为「哈希查找」。
+「哈希查找 Hash Searching」借助一个哈希表来存储需要的「键值对 Key Value Pair」，我们可以在 \(O(1)\) 时间下实现“键 \(\rightarrow\) 值”映射查找，体现着“以空间换时间”的算法思想。
+如果我们想要给定数组中的一个目标元素 target ，获取该元素的索引，那么可以借助一个哈希表实现查找。
再比如，如果我们想要给定一个目标结点值 target ，获取对应的链表结点对象，那么也可以使用哈希查找实现。
时间复杂度 \(O(1)\) ：哈希表的查找操作使用 \(O(1)\) 时间。
+空间复杂度 \(O(n)\) ：其中 \(n\) 为数组或链表长度。
+在哈希表中，查找、插入、删除操作的平均时间复杂度都为 \(O(1)\) ，这意味着无论是高频增删还是高频查找场景，哈希查找的性能表现都非常好。当然，一切的前提是保证哈希表未退化。
+即使如此，哈希查找仍存在一些问题，在实际应用中，需要根据情况灵活选择方法。
+「线性查找 Linear Search」是一种最基础的查找方法，其从数据结构的一端开始，依次访问每个元素，直到另一端后停止。
+线性查找实质上就是遍历数据结构 + 判断条件。比如，我们想要在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引，那么可以在数组中进行线性查找。
再比如，我们想要在给定一个目标结点值 target ，返回此结点对象，也可以在链表中进行线性查找。
时间复杂度 \(O(n)\) ：其中 \(n\) 为数组或链表长度。
+空间复杂度 \(O(1)\) ：无需使用额外空间。
+线性查找的通用性极佳。由于线性查找是依次访问元素的，即没有跳跃访问元素，因此数组或链表皆适用。
+线性查找的时间复杂度太高。在数据量 \(n\) 很大时，查找效率很低。
+ + + + + +Table. 三种查找方法对比
+ +| + | 线性查找 | +二分查找 | +哈希查找 | +
|---|---|---|---|
| 适用数据结构 | +数组、链表 | +数组 | +数组、链表 | +
| 输入数据要求 | +无 | +有序 | +无 | +
| 平均时间复杂度查找 / 插入 / 删除 | +\(O(n)\) / \(O(1)\) / \(O(n)\) | +\(O(\log n)\) / \(O(n)\) / \(O(n)\) | +\(O(1)\) / \(O(1)\) / \(O(1)\) | +
| 最差时间复杂度查找 / 插入 / 删除 | +\(O(n)\) / \(O(1)\) / \(O(n)\) | +\(O(\log n)\) / \(O(n)\) / \(O(n)\) | +\(O(n)\) / \(O(n)\) / \(O(n)\) | +
| 空间复杂度 | +\(O(1)\) | +\(O(1)\) | +\(O(n)\) | +
「冒泡排序 Bubble Sort」是一种最基础的排序算法，非常适合作为第一个学习的排序算法。顾名思义，「冒泡」是该算法的核心操作。
+为什么叫“冒泡”
+在水中，越大的泡泡浮力越大，所以最大的泡泡会最先浮到水面。
+「冒泡」操作则是在模拟上述过程，具体做法为：从数组最左端开始向右遍历，依次对比相邻元素大小，若 左元素 > 右元素 则将它俩交换，最终可将最大元素移动至数组最右端。
+完成此次冒泡操作后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 \(n - 1\) 个元素。
+
Fig. 冒泡操作
+ +
Fig. 冒泡排序流程
+ +/* 冒泡排序 */
+void bubbleSort(int[] nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+void bubbleSort(vector<int>& nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ // 这里使用了 std::swap() 函数
+ swap(nums[j], nums[j + 1]);
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+function bubbleSort(nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+function bubbleSort(nums: number[]): void {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+void bubbleSort(int nums[], int size) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = 0; i < size - 1; i++)
+ {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < size - 1 - i; j++)
+ {
+ if (nums[j] > nums[j + 1])
+ {
+ int temp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = temp;
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+void bubbleSort(int[] nums)
+{
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)
+ {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++)
+ {
+ if (nums[j] > nums[j + 1])
+ {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ }
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+func bubbleSort(nums: inout [Int]) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {
+ // 内循环：冒泡操作
+ for j in stride(from: 0, to: i, by: 1) {
+ if nums[j] > nums[j + 1] {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j]
+ nums[j] = nums[j + 1]
+ nums[j + 1] = tmp
+ }
+ }
+ }
+}
+时间复杂度 \(O(n^2)\) ：各轮「冒泡」遍历的数组长度为 \(n - 1\) , \(n - 2\) , \(\cdots\) , \(2\) , \(1\) 次，求和为 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) ，因此使用 \(O(n^2)\) 时间。
+空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) , \(j\) 使用常数大小的额外空间。
+原地排序：指针变量仅使用常数大小额外空间。
+稳定排序：不交换相等元素。
+自适应排序：引入 flag 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 \(O(N)\) 。
我们发现，若在某轮「冒泡」中未执行任何交换操作，则说明数组已经完成排序，可直接返回结果。考虑可以增加一个标志位 flag 来监听该情况，若出现则直接返回。
优化后，冒泡排序的最差和平均时间复杂度仍为 \(O(n^2)\) ；而在输入数组 已排序 时，达到 最佳时间复杂度 \(O(n)\) 。
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+void bubbleSortWithFlag(int[] nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ boolean flag = false; // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ flag = true; // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if (!flag) break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ }
+}
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+void bubbleSortWithFlag(vector<int>& nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
+ bool flag = false; // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ // 这里使用了 std::swap() 函数
+ swap(nums[j], nums[j + 1]);
+ flag = true; // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if (!flag) break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ }
+}
+""" 冒泡排序（标志优化） """
+def bubble_sort_with_flag(nums):
+ n = len(nums)
+ # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i in range(n - 1, 0, -1):
+ flag = False # 初始化标志位
+ # 内循环：冒泡操作
+ for j in range(i):
+ if nums[j] > nums[j + 1]:
+ # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]
+ flag = True # 记录交换元素
+ if not flag:
+ break # 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+func bubbleSortWithFlag(nums []int) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
+ flag := false // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for j := 0; j < i; j++ {
+ if nums[j] > nums[j+1] {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
+ flag = true // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if flag == false { // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ break
+ }
+ }
+}
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+function bubbleSortWithFlag(nums) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ let flag = false; // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ flag = true; // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if (!flag) break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ }
+}
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+function bubbleSortWithFlag(nums: number[]): void {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+ let flag = false; // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (let j = 0; j < i; j++) {
+ if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ flag = true; // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if (!flag) break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ }
+}
+/* 冒泡排序 */
+void bubbleSortWithFlag(int nums[], int size) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = 0; i < size - 1; i++)
+ {
+ bool flag = false;
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < size - 1 - i; j++)
+ {
+ if (nums[j] > nums[j + 1])
+ {
+ int temp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = temp;
+ flag = true;
+ }
+ }
+ if(!flag) break;
+ }
+}
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+void bubbleSortWithFlag(int[] nums)
+{
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)
+ {
+ bool flag = false; // 初始化标志位
+ // 内循环：冒泡操作
+ for (int j = 0; j < i; j++)
+ {
+ if (nums[j] > nums[j + 1])
+ {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ int tmp = nums[j];
+ nums[j] = nums[j + 1];
+ nums[j + 1] = tmp;
+ flag = true; // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if (!flag) break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ }
+}
+/* 冒泡排序（标志优化）*/
+func bubbleSortWithFlag(nums: inout [Int]) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {
+ var flag = false // 初始化标志位
+ for j in stride(from: 0, to: i, by: 1) {
+ if nums[j] > nums[j + 1] {
+ // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
+ let tmp = nums[j]
+ nums[j] = nums[j + 1]
+ nums[j + 1] = tmp
+ flag = true // 记录交换元素
+ }
+ }
+ if !flag { // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
+ break
+ }
+ }
+}
+「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 数组插入操作 的排序算法。
+「插入操作」原理：选定某个待排序元素为基准数 base，将 base 与其左侧已排序区间元素依次对比大小，并插入到正确位置。
回忆数组插入操作，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。
Fig. 插入操作
+ +base ，执行「插入操作」后，数组前 2 个元素已完成排序。base ，执行「插入操作」后，数组前 3 个元素已完成排序。base ，执行「插入操作」后，所有元素已完成排序。
Fig. 插入排序流程
+ +/* 插入排序 */
+void insertionSort(int[] nums) {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
+ int base = nums[i], j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > base) {
+ nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--;
+ }
+ nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+void insertionSort(vector<int>& nums) {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
+ int base = nums[i], j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > base) {
+ nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--;
+ }
+ nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+""" 插入排序 """
+def insertion_sort(nums):
+ # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for i in range(1, len(nums)):
+ base = nums[i]
+ j = i - 1
+ # 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while j >= 0 and nums[j] > base:
+ nums[j + 1] = nums[j] # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j -= 1
+ nums[j + 1] = base # 2. 将 base 赋值到正确位置
+/* 插入排序 */
+func insertionSort(nums []int) {
+ // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
+ for i := 1; i < len(nums); i++ {
+ base := nums[i]
+ j := i - 1
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ for j >= 0 && nums[j] > base {
+ nums[j+1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--
+ }
+ nums[j+1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+function insertionSort(nums) {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
+ let base = nums[i], j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > base) {
+ nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--;
+ }
+ nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+function insertionSort(nums: number[]): void {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
+ const base = nums[i];
+ let j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > base) {
+ nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--;
+ }
+ nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+void insertionSort(int nums[], int size) {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (int i = 1; i < size; i++)
+ {
+ int base = nums[i], j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > base)
+ {
+ // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ nums[j + 1] = nums[j];
+ j--;
+ }
+ // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ nums[j + 1] = base;
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+void insertionSort(int[] nums)
+{
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for (int i = 1; i < nums.Length; i++)
+ {
+ int bas = nums[i], j = i - 1;
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while (j >= 0 && nums[j] > bas)
+ {
+ nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j--;
+ }
+ nums[j + 1] = bas; // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+/* 插入排序 */
+func insertionSort(nums: inout [Int]) {
+ // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
+ for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
+ let base = nums[i]
+ var j = i - 1
+ // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
+ while j >= 0, nums[j] > base {
+ nums[j + 1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
+ j -= 1
+ }
+ nums[j + 1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
+ }
+}
+时间复杂度 \(O(n^2)\) ：最差情况下，各轮插入操作循环 \(n - 1\) , \(n-2\) , \(\cdots\) , \(2\) , \(1\) 次，求和为 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) ，使用 \(O(n^2)\) 时间。
+空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) , \(j\) 使用常数大小的额外空间。
+原地排序：指针变量仅使用常数大小额外空间。
+稳定排序：不交换相等元素。
+自适应排序：最佳情况下，时间复杂度为 \(O(n)\) 。
+Question
+虽然「插入排序」和「冒泡排序」的时间复杂度皆为 \(O(n^2)\) ，但实际运行速度却有很大差别，这是为什么呢？
+回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 元素交换，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 赋值，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。
+插入排序运行速度快，并且具有原地、稳定、自适应的优点，因此很受欢迎。实际上，包括 Java 在内的许多编程语言的排序库函数的实现都用到了插入排序。库函数的大致思路：
+在数组较短时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用，此时插入排序运行地更快。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。
+ + + + + +「排序算法 Sorting Algorithm」使得列表中的所有元素按照从小到大的顺序排列。
+
Fig. 排序中的不同元素类型和判断规则
+ +排序算法主要可根据 稳定性 、就地性 、自适应性 、比较类 来分类。
+假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1, 2 列分别是姓名和年龄。那么在以下示例中，「非稳定排序」会导致输入数据的有序性丢失。因此「稳定排序」是很好的特性，在多级排序中是必须的。
+ # 输入数据是按照姓名排序好的
+ # (name, age)
+ ('A', 19)
+ ('B', 18)
+ ('C', 21)
+ ('D', 19)
+ ('E', 23)
+
+ # 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表，
+ # 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变，
+ # 输入数据按姓名排序的性质丢失
+ ('B', 18)
+ ('D', 19)
+ ('A', 19)
+ ('C', 21)
+ ('E', 23)
+「原地排序」不使用额外空间，可以节约内存；并且一般情况下，由于数据操作减少，原地排序的运行效率也更高。
+我们希望 最差 = 平均，即不希望排序算法的运行效率在某些输入数据下发生劣化。
+「比较类排序」的时间复杂度最优为 \(O(n \log n)\) ；而「非比较类排序」可以达到 \(O(n)\) 的时间复杂度，但通用性较差。
+然而，没有排序算法同时具备以上所有特性。排序算法的选型使用取决于具体的列表类型、列表长度、元素分布等因素。
+ + + + + +「归并排序 Merge Sort」是算法中“分治思想”的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：
+
Fig. 归并排序两阶段：划分与合并
+ +「递归划分」 从顶至底递归地 将数组从中点切为两个子数组，直至长度为 1 ；
+mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）；1. 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；「回溯合并」 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 有序数组 ；
+需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 每个子数组都是有序的。因此，合并任务本质是要 将两个有序子数组合并为一个有序数组。
+
观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。
+/**
+ * 合并左子数组和右子数组
+ * 左子数组区间 [left, mid]
+ * 右子数组区间 [mid + 1, right]
+ */
+void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
+ // 初始化辅助数组
+ int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ int i = leftStart, j = rightStart;
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for (int k = left; k <= right; k++) {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if (i > leftEnd)
+ nums[k] = tmp[j++];
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
+ nums[k] = tmp[i++];
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ else
+ nums[k] = tmp[j++];
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
+ // 终止条件
+ if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ // 递归划分
+ int mid = (left + right) / 2; // 计算数组中点
+ mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
+ mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
+ // 回溯合并
+ merge(nums, left, mid, right);
+}
+/**
+ * 合并左子数组和右子数组
+ * 左子数组区间 [left, mid]
+ * 右子数组区间 [mid + 1, right]
+ */
+void merge(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
+ // 初始化辅助数组
+ vector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ int i = leftStart, j = rightStart;
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for (int k = left; k <= right; k++) {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if (i > leftEnd)
+ nums[k] = tmp[j++];
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
+ nums[k] = tmp[i++];
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ else
+ nums[k] = tmp[j++];
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
+ // 终止条件
+ if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ // 划分阶段
+ int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
+ mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
+ mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
+ // 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right);
+}
+""" 合并左子数组和右子数组 """
+# 左子数组区间 [left, mid]
+# 右子数组区间 [mid + 1, right]
+def merge(nums, left, mid, right):
+ # 初始化辅助数组 借助 copy模块
+ tmp = nums[left:right + 1]
+ # 左子数组的起始索引和结束索引
+ left_start, left_end = left - left, mid - left
+ # 右子数组的起始索引和结束索引
+ right_start, right_end = mid + 1 - left, right - left
+ # i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ i, j = left_start, right_start
+ # 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for k in range(left, right + 1):
+ # 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if i > left_end:
+ nums[k] = tmp[j]
+ j += 1
+ # 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
+ nums[k] = tmp[i]
+ i += 1
+ # 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ else:
+ nums[k] = tmp[j]
+ j += 1
+
+""" 归并排序 """
+def merge_sort(nums, left, right):
+ # 终止条件
+ if left >= right:
+ return # 当子数组长度为 1 时终止递归
+ # 划分阶段
+ mid = (left + right) // 2 # 计算中点
+ merge_sort(nums, left, mid) # 递归左子数组
+ merge_sort(nums, mid + 1, right) # 递归右子数组
+ # 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right)
+/*
+ 合并左子数组和右子数组
+ 左子数组区间 [left, mid]
+ 右子数组区间 [mid + 1, right]
+*/
+func merge(nums []int, left, mid, right int) {
+ // 初始化辅助数组 借助 copy 模块
+ tmp := make([]int, right-left+1)
+ for i := left; i <= right; i++ {
+ tmp[i-left] = nums[i]
+ }
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ leftStart, leftEnd := left-left, mid-left
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ rightStart, rightEnd := mid+1-left, right-left
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ i, j := leftStart, rightStart
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for k := left; k <= right; k++ {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if i > leftEnd {
+ nums[k] = tmp[j]
+ j++
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ } else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
+ nums[k] = tmp[i]
+ i++
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ } else {
+ nums[k] = tmp[j]
+ j++
+ }
+ }
+}
+
+func mergeSort(nums []int, left, right int) {
+ // 终止条件
+ if left >= right {
+ return
+ }
+ // 划分阶段
+ mid := (left + right) / 2
+ mergeSort(nums, left, mid)
+ mergeSort(nums, mid+1, right)
+ // 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right)
+}
+/**
+ * 合并左子数组和右子数组
+ * 左子数组区间 [left, mid]
+ * 右子数组区间 [mid + 1, right]
+ */
+function merge(nums, left, mid, right) {
+ // 初始化辅助数组
+ let tmp = nums.slice(left, right + 1);
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ let leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ let rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ let i = leftStart, j = rightStart;
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for (let k = left; k <= right; k++) {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if (i > leftEnd) {
+ nums[k] = tmp[j++];
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ } else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
+ nums[k] = tmp[i++];
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ } else {
+ nums[k] = tmp[j++];
+ }
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+function mergeSort(nums, left, right) {
+ // 终止条件
+ if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ // 划分阶段
+ let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
+ mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
+ mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
+ // 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right);
+}
+/**
+ * 合并左子数组和右子数组
+ * 左子数组区间 [left, mid]
+ * 右子数组区间 [mid + 1, right]
+ */
+function merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {
+ // 初始化辅助数组
+ let tmp = nums.slice(left, right + 1);
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ let leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ let rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ let i = leftStart, j = rightStart;
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for (let k = left; k <= right; k++) {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if (i > leftEnd) {
+ nums[k] = tmp[j++];
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ } else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
+ nums[k] = tmp[i++];
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ } else {
+ nums[k] = tmp[j++];
+ }
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+function mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
+ // 终止条件
+ if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ // 划分阶段
+ let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
+ mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
+ mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
+ // 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right);
+}
+/**
+ * 合并左子数组和右子数组
+ * 左子数组区间 [left, mid]
+ * 右子数组区间 [mid + 1, right]
+ */
+void merge(int[] nums, int left, int mid, int right)
+{
+ // 初始化辅助数组
+ int[] tmp = nums[left..(right + 1)];
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ int i = leftStart, j = rightStart;
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for (int k = left; k <= right; k++)
+ {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if (i > leftEnd)
+ nums[k] = tmp[j++];
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
+ nums[k] = tmp[i++];
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ else
+ nums[k] = tmp[j++];
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+void mergeSort(int[] nums, int left, int right)
+{
+ // 终止条件
+ if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ // 划分阶段
+ int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
+ mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
+ mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
+ // 合并阶段
+ merge(nums, left, mid, right);
+}
+/**
+* 合并左子数组和右子数组
+* 左子数组区间 [left, mid]
+* 右子数组区间 [mid + 1, right]
+*/
+func merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {
+ // 初始化辅助数组
+ let tmp = Array(nums[left ..< (right + 1)])
+ // 左子数组的起始索引和结束索引
+ let leftStart = left - left
+ let leftEnd = mid - left
+ // 右子数组的起始索引和结束索引
+ let rightStart = mid + 1 - left
+ let rightEnd = right - left
+ // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+ var i = leftStart
+ var j = rightStart
+ // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
+ for k in left ... right {
+ // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ if i > leftEnd {
+ nums[k] = tmp[j]
+ j += 1
+ }
+ // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
+ else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
+ nums[k] = tmp[i]
+ i += 1
+ }
+ // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
+ else {
+ nums[k] = tmp[j]
+ j += 1
+ }
+ }
+}
+
+/* 归并排序 */
+func mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
+ // 终止条件
+ if left >= right { // 当子数组长度为 1 时终止递归
+ return
+ }
+ // 划分阶段
+ let mid = (left + right) / 2 // 计算中点
+ mergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // 递归左子数组
+ mergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // 递归右子数组
+ // 合并阶段
+ merge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)
+}
+下面重点解释一下合并方法 merge() 的流程：
tmp 暂存待合并区间 [left, right] 内的元素，后续通过覆盖原数组 nums 的元素来实现合并；i , j , k 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；tmp[i] 和 tmp[j] 的大小，将较小的先覆盖至 nums[k] ，指针 i , j 根据判断结果交替前进（指针 k 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。合并方法 merge() 代码中的主要难点：
nums 的待合并区间为 [left, right] ，而因为 tmp 只复制了 nums 该区间元素，所以 tmp 对应区间为 [0, right - left] ，需要特别注意代码中各个变量的含义。tmp[i] 和 tmp[j] 的大小的操作中，还 需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，空间复杂度可被优化至 \(O(1)\) ，这是因为：
+tmp ；++ + + + + +详情参考：148. 排序链表
+
「快速排序 Quick Sort」是一种基于“分治思想”的排序算法，速度很快、应用很广。
+快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 基准数，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为：
+i , j 指向数组两端；i / j 分别寻找首个比基准数大 / 小的元素，并交换此两元素；2. ，直至 i , j 相遇时跳出，最终把基准数交换至两个子数组的分界线；「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 左子数组 和 右子数组，且满足 左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。
+
Fig. 哨兵划分
+ +/* 元素交换 */
+void swap(int[] nums, int i, int j) {
+ int tmp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = tmp;
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+int partition(int[] nums, int left, int right) {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ int i = left, j = right;
+ while (i < j) {
+ while (i < j && nums[j] >= nums[left])
+ j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ while (i < j && nums[i] <= nums[left])
+ i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i; // 返回基准数的索引
+}
+/* 元素交换 */
+void swap(vector<int>& nums, int i, int j) {
+ int tmp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = tmp;
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+int partition(vector<int>& nums, int left, int right) {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ int i = left, j = right;
+ while (i < j) {
+ while (i < j && nums[j] >= nums[left])
+ j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ while (i < j && nums[i] <= nums[left])
+ i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i; // 返回基准数的索引
+}
+""" 哨兵划分 """
+def partition(self, nums, left, right):
+ # 以 nums[left] 作为基准数
+ i, j = left, right
+ while i < j:
+ while i < j and nums[j] >= nums[left]:
+ j -= 1 # 从右向左找首个小于基准数的元素
+ while i < j and nums[i] <= nums[left]:
+ i += 1 # 从左向右找首个大于基准数的元素
+ # 元素交换
+ nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
+ # 将基准数交换至两子数组的分界线
+ nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
+ return i # 返回基准数的索引
+/* 哨兵划分 */
+func partition(nums []int, left, right int) int {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ i, j := left, right
+ for i < j {
+ for i < j && nums[j] >= nums[left] {
+ j-- // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ }
+ for i < j && nums[i] <= nums[left] {
+ i++ // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ }
+ //元素交换
+ nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
+ }
+ // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
+ return i // 返回基准数的索引
+}
+/* 元素交换 */
+function swap(nums, i, j) {
+ let tmp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = tmp;
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+function partition(nums, left, right) {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ let i = left, j = right;
+ while (i < j) {
+ while (i < j && nums[j] >= nums[left]) {
+ j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ }
+ while (i < j && nums[i] <= nums[left]) {
+ i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ }
+ // 元素交换
+ swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i; // 返回基准数的索引
+}
+/* 元素交换 */
+function swap(nums: number[], i: number, j: number): void {
+ let tmp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = tmp;
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+function partition(nums: number[], left: number, right: number): number {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ let i = left, j = right;
+ while (i < j) {
+ while (i < j && nums[j] >= nums[left]) {
+ j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ }
+ while (i < j && nums[i] <= nums[left]) {
+ i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ }
+ // 元素交换
+ swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i; // 返回基准数的索引
+}
+/* 元素交换 */
+void swap(int[] nums, int i, int j)
+{
+ int tmp = nums[i];
+ nums[i] = nums[j];
+ nums[j] = tmp;
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+int partition(int[] nums, int left, int right)
+{
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ int i = left, j = right;
+ while (i < j)
+ {
+ while (i < j && nums[j] >= nums[left])
+ j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ while (i < j && nums[i] <= nums[left])
+ i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i; // 返回基准数的索引
+}
+/* 元素交换 */
+func swap(nums: inout [Int], i: Int, j: Int) {
+ let tmp = nums[i]
+ nums[i] = nums[j]
+ nums[j] = tmp
+}
+
+/* 哨兵划分 */
+func partition(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) -> Int {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ var i = left
+ var j = right
+ while i < j {
+ while i < j, nums[j] >= nums[left] {
+ j -= 1 // 从右向左找首个小于基准数的元素
+ }
+ while i < j, nums[i] <= nums[left] {
+ i += 1 // 从左向右找首个大于基准数的元素
+ }
+ swap(nums: &nums, i: i, j: j) // 交换这两个元素
+ }
+ swap(nums: &nums, i: i, j: left) // 将基准数交换至两子数组的分界线
+ return i // 返回基准数的索引
+}
+快速排序的分治思想
+哨兵划分的实质是将 一个长数组的排序问题 简化为 两个短数组的排序问题。
+观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。
+
Fig. 快速排序流程
+ +/* 快速排序 */
+function quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
+ // 子数组长度为 1 时终止递归
+ if (left >= right) {
+ return;
+ }
+ // 哨兵划分
+ const pivot = partition(nums, left, right);
+ // 递归左子数组、右子数组
+ quickSort(nums, left, pivot - 1);
+ quickSort(nums, pivot + 1, right);
+}
+/* 快速排序 */
+func quickSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
+ // 子数组长度为 1 时终止递归
+ if left >= right {
+ return
+ }
+ // 哨兵划分
+ let pivot = partition(nums: &nums, left: left, right: right)
+ // 递归左子数组、右子数组
+ quickSort(nums: &nums, left: left, right: pivot - 1)
+ quickSort(nums: &nums, left: pivot + 1, right: right)
+}
+平均时间复杂度 \(O(n \log n)\) ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 \(\log n\) ，每层中的总循环数为 \(n\) ，总体使用 \(O(n \log n)\) 时间。
+最差时间复杂度 \(O(n^2)\) ：最差情况下，哨兵划分操作将长度为 \(n\) 的数组划分为长度为 \(0\) 和 \(n - 1\) 的两个子数组，此时递归层数达到 \(n\) 层，每层中的循环数为 \(n\) ，总体使用 \(O(n^2)\) 时间。
+空间复杂度 \(O(n)\) ：输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 \(n\) 。
+原地排序：只在递归中使用 \(O(\log n)\) 大小的栈帧空间。
+非稳定排序：哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。
+自适应排序：最差情况下，时间复杂度劣化至 \(O(n^2)\) 。
+从命名能够看出，快速排序在效率方面一定“有两把刷子”。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 效率更高，这是因为：
+普通快速排序在某些输入下的时间效率变差。举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 左子数组长度为 \(n - 1\)、右子数组长度为 \(0\) 。这样进一步递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 \(0\) ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。
+为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 随机选取一个元素作为基准数。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。
+进一步地，我们可以在数组中选取 3 个候选元素（一般为数组的首、尾、中点元素），并将三个候选元素的中位数作为基准数，这样基准数“既不大也不小”的概率就大大提升了。当然，如果数组很长的话，我们也可以选取更多候选元素，来进一步提升算法的稳健性。采取该方法后，时间复杂度劣化至 \(O(n^2)\) 的概率极低。
+/* 选取三个元素的中位数 */
+int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
+ // 使用了异或操作来简化代码
+ // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))
+ return left;
+ else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
+ return mid;
+ else
+ return right;
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+int partition(int[] nums, int left, int right) {
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums, left, med);
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+/* 选取三个元素的中位数 */
+int medianThree(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
+ // 使用了异或操作来简化代码
+ // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))
+ return left;
+ else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
+ return mid;
+ else
+ return right;
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+int partition(vector<int>& nums, int left, int right) {
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums, left, med);
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+""" 选取三个元素的中位数 """
+def median_three(self, nums, left, mid, right):
+ # 使用了异或操作来简化代码
+ # 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if (nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]):
+ return left
+ elif (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] > nums[right]):
+ return mid
+ return right
+
+""" 哨兵划分（三数取中值） """
+def partition(self, nums, left, right):
+ # 以 nums[left] 作为基准数
+ med = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)
+ # 将中位数交换至数组最左端
+ nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
+ # 以 nums[left] 作为基准数
+ i, j = left, right
+ while i < j:
+ while i < j and nums[j] >= nums[left]:
+ j -= 1 # 从右向左找首个小于基准数的元素
+ while i < j and nums[i] <= nums[left]:
+ i += 1 # 从左向右找首个大于基准数的元素
+ # 元素交换
+ nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
+ # 将基准数交换至两子数组的分界线
+ nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
+ return i # 返回基准数的索引
+/* 选取三个元素的中位数 */
+func medianThree(nums []int, left, mid, right int) int {
+ if (nums[left] < nums[mid]) != (nums[left] < nums[right]) {
+ return left
+ } else if (nums[mid] > nums[left]) != (nums[mid] > nums[right]) {
+ return mid
+ }
+ return right
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值）*/
+func partition(nums []int, left, right int) int {
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ med := medianThree(nums, left, (left+right)/2, right)
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+/* 选取三个元素的中位数 */
+function medianThree(nums, left, mid, right) {
+ // 使用了异或操作来简化代码
+ // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))
+ return left;
+ else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
+ return mid;
+ else
+ return right;
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+function partition(nums, left, right) {
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ let med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums, left, med);
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+/* 选取三个元素的中位数 */
+function medianThree(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): number {
+ // 使用了异或操作来简化代码
+ // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if (Number(nums[left] < nums[mid]) ^ Number(nums[left] < nums[right])) {
+ return left;
+ } else if (Number(nums[mid] < nums[left]) ^ Number(nums[mid] < nums[right])) {
+ return mid;
+ } else {
+ return right;
+ }
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+function partition(nums: number[], left: number, right: number): number {
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ let med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums, left, med);
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+/* 选取三个元素的中位数 */
+int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right)
+{
+ // 使用了异或操作来简化代码
+ // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+ if ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))
+ return left;
+ else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
+ return mid;
+ else
+ return right;
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+int partition(int[] nums, int left, int right)
+{
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums, left, med);
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+/* 选取三个元素的中位数 */
+func medianThree(nums: [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) -> Int {
+ if (nums[left] < nums[mid]) != (nums[left] < nums[right]) {
+ return left
+ } else if (nums[mid] < nums[left]) != (nums[mid] < nums[right]) {
+ return mid
+ } else {
+ return right
+ }
+}
+
+/* 哨兵划分（三数取中值） */
+func partition(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) -> Int {
+ // 选取三个候选元素的中位数
+ let med = medianThree(nums: nums, left: left, mid: (left + right) / 2, right: right)
+ // 将中位数交换至数组最左端
+ swap(nums: &nums, i: left, j: med)
+ // 以 nums[left] 作为基准数
+ // 下同省略...
+}
+普通快速排序在某些输入下的空间效率变差。仍然以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 0 ，那么将形成一个高度为 \(n - 1\) 的递归树，此时使用的栈帧空间大小劣化至 \(O(n)\) 。
+为了避免栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，判断两个子数组的长度大小，仅递归排序较短的子数组。由于较短的子数组长度不会超过 \(\frac{n}{2}\) ，因此这样做能保证递归深度不超过 \(\log n\) ，即最差空间复杂度被优化至 \(O(\log n)\) 。
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while (left < right) {
+ // 哨兵划分操作
+ int pivot = partition(nums, left, right);
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left < right - pivot) {
+ quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+void quickSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while (left < right) {
+ // 哨兵划分操作
+ int pivot = partition(nums, left, right);
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left < right - pivot) {
+ quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+""" 快速排序（尾递归优化） """
+def quick_sort(self, nums, left, right):
+ # 子数组长度为 1 时终止
+ while left < right:
+ # 哨兵划分操作
+ pivot = self.partition(nums, left, right)
+ # 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if pivot - left < right - pivot:
+ self.quick_sort(nums, left, pivot - 1) # 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1 # 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ else:
+ self.quick_sort(nums, pivot + 1, right) # 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1 # 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+/* 快速排序（尾递归优化）*/
+func quickSort(nums []int, left, right int) {
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ for left < right {
+ // 哨兵划分操作
+ pivot := partition(nums, left, right)
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if pivot-left < right-pivot {
+ quickSort(nums, left, pivot-1) // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1 // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums, pivot+1, right) // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1 // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+function quickSort(nums, left, right) {
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while (left < right) {
+ // 哨兵划分操作
+ let pivot = partition(nums, left, right);
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left < right - pivot) {
+ quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+function quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while (left < right) {
+ // 哨兵划分操作
+ let pivot = partition(nums, left, right);
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left < right - pivot) {
+ quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+void quickSort(int[] nums, int left, int right)
+{
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while (left < right)
+ {
+ // 哨兵划分操作
+ int pivot = partition(nums, left, right);
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left < right - pivot)
+ {
+ quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ }
+ else
+ {
+ quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+/* 快速排序（尾递归优化） */
+func quickSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
+ var left = left
+ var right = right
+ // 子数组长度为 1 时终止
+ while left < right {
+ // 哨兵划分操作
+ let pivot = partition(nums: &nums, left: left, right: right)
+ // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+ if (pivot - left) < (right - pivot) {
+ quickSort(nums: &nums, left: left, right: pivot - 1) // 递归排序左子数组
+ left = pivot + 1 // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+ } else {
+ quickSort(nums: &nums, left: pivot + 1, right: right) // 递归排序右子数组
+ right = pivot - 1 // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+ }
+ }
+}
+对于队列，我们只能在头部删除或在尾部添加元素，而「双向队列 Deque」更加灵活，在其头部和尾部都能执行元素添加或删除操作。
+
Fig. 双向队列的操作
+ +双向队列的常用操作见下表，方法名需根据特定语言来确定。
+Table. 双向队列的常用操作
+ +| 方法名 | +描述 | +时间复杂度 | +
|---|---|---|
| pushFirst() | +将元素添加至队首 | +\(O(1)\) | +
| pushLast() | +将元素添加至队尾 | +\(O(1)\) | +
| pollFirst() | +删除队首元素 | +\(O(1)\) | +
| pollLast() | +删除队尾元素 | +\(O(1)\) | +
| peekFirst() | +访问队首元素 | +\(O(1)\) | +
| peekLast() | +访问队尾元素 | +\(O(1)\) | +
| size() | +获取队列的长度 | +\(O(1)\) | +
| isEmpty() | +判断队列是否为空 | +\(O(1)\) | +
相同地，我们可以直接使用编程语言实现好的双向队列类。
+/* 初始化双向队列 */
+Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
+
+/* 元素入队 */
+deque.offerLast(2); // 添加至队尾
+deque.offerLast(5);
+deque.offerLast(4);
+deque.offerFirst(3); // 添加至队首
+deque.offerFirst(1);
+
+/* 访问元素 */
+int peekFirst = deque.peekFirst(); // 队首元素
+int peekLast = deque.peekLast(); // 队尾元素
+
+/* 元素出队 */
+int pollFirst = deque.pollFirst(); // 队首元素出队
+int pollLast = deque.pollLast(); // 队尾元素出队
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+int size = deque.size();
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+boolean isEmpty = deque.isEmpty();
+/* 初始化双向队列 */
+deque<int> deque;
+
+/* 元素入队 */
+deque.push_back(2); // 添加至队尾
+deque.push_back(5);
+deque.push_back(4);
+deque.push_front(3); // 添加至队首
+deque.push_front(1);
+
+/* 访问元素 */
+int front = deque.front(); // 队首元素
+int back = deque.back(); // 队尾元素
+
+/* 元素出队 */
+deque.pop_front(); // 队首元素出队
+deque.pop_back(); // 队尾元素出队
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+int size = deque.size();
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+bool empty = deque.empty();
+""" 初始化双向队列 """
+duque = deque()
+
+""" 元素入队 """
+duque.append(2) # 添加至队尾
+duque.append(5)
+duque.append(4)
+duque.appendleft(3) # 添加至队首
+duque.appendleft(1)
+
+""" 访问元素 """
+front = duque[0] # 队首元素
+rear = duque[-1] # 队尾元素
+
+""" 元素出队 """
+pop_front = duque.popleft() # 队首元素出队
+pop_rear = duque.pop() # 队尾元素出队
+
+""" 获取双向队列的长度 """
+size = len(duque)
+
+""" 判断双向队列是否为空 """
+is_empty = len(duque) == 0
+/* 初始化双向队列 */
+// 在 Go 中，将 list 作为双向队列使用
+deque := list.New()
+
+/* 元素入队 */
+deque.PushBack(2) // 添加至队尾
+deque.PushBack(5)
+deque.PushBack(4)
+deque.PushFront(3) // 添加至队首
+deque.PushFront(1)
+
+/* 访问元素 */
+front := deque.Front() // 队首元素
+rear := deque.Back() // 队尾元素
+
+/* 元素出队 */
+deque.Remove(front) // 队首元素出队
+deque.Remove(rear) // 队尾元素出队
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+size := deque.Len()
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+isEmpty := deque.Len() == 0
+/* 初始化双向队列 */
+// JavaScript 没有内置的双端队列，只能把 Array 当作双端队列来使用
+const deque = [];
+
+/* 元素入队 */
+deque.push(2);
+deque.push(5);
+deque.push(4);
+// 请注意，由于是数组，unshift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+deque.unshift(3);
+deque.unshift(1);
+console.log("双向队列 deque = ", deque);
+
+/* 访问元素 */
+const peekFirst = deque[0];
+console.log("队首元素 peekFirst = " + peekFirst);
+const peekLast = deque[deque.length - 1];
+console.log("队尾元素 peekLast = " + peekLast);
+
+/* 元素出队 */
+// 请注意，由于是数组，shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+const popFront = deque.shift();
+console.log("队首出队元素 popFront = " + popFront + "，队首出队后 deque = " + deque);
+const popBack = deque.pop();
+console.log("队尾出队元素 popBack = " + popBack + "，队尾出队后 deque = " + deque);
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+const size = deque.length;
+console.log("双向队列长度 size = " + size);
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+const isEmpty = size === 0;
+console.log("双向队列是否为空 = " + isEmpty);
+/* 初始化双向队列 */
+// TypeScript 没有内置的双端队列，只能把 Array 当作双端队列来使用
+const deque: number[] = [];
+
+/* 元素入队 */
+deque.push(2);
+deque.push(5);
+deque.push(4);
+// 请注意，由于是数组，unshift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+deque.unshift(3);
+deque.unshift(1);
+console.log("双向队列 deque = ", deque);
+
+/* 访问元素 */
+const peekFirst: number = deque[0];
+console.log("队首元素 peekFirst = " + peekFirst);
+const peekLast: number = deque[deque.length - 1];
+console.log("队尾元素 peekLast = " + peekLast);
+
+/* 元素出队 */
+// 请注意，由于是数组，shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+const popFront: number = deque.shift() as number;
+console.log("队首出队元素 popFront = " + popFront + "，队首出队后 deque = " + deque);
+const popBack: number = deque.pop() as number;
+console.log("队尾出队元素 popBack = " + popBack + "，队尾出队后 deque = " + deque);
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+const size: number = deque.length;
+console.log("双向队列长度 size = " + size);
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+const isEmpty: boolean = size === 0;
+console.log("双向队列是否为空 = " + isEmpty);
+/* 初始化双向队列 */
+// 在 C# 中，将链表 LinkedList 看作双向队列来使用
+LinkedList<int> deque = new LinkedList<int>();
+
+/* 元素入队 */
+deque.AddLast(2); // 添加至队尾
+deque.AddLast(5);
+deque.AddLast(4);
+deque.AddFirst(3); // 添加至队首
+deque.AddFirst(1);
+
+/* 访问元素 */
+int peekFirst = deque.First.Value; // 队首元素
+int peekLast = deque.Last.Value; // 队尾元素
+
+/* 元素出队 */
+deque.RemoveFirst(); // 队首元素出队
+deque.RemoveLast(); // 队尾元素出队
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+int size = deque.Count;
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+bool isEmpty = deque.Count == 0;
+/* 初始化双向队列 */
+// Swift 没有内置的双向队列类，可以把 Array 当作双向队列来使用
+var deque: [Int] = []
+
+/* 元素入队 */
+deque.append(2) // 添加至队尾
+deque.append(5)
+deque.append(4)
+deque.insert(3, at: 0) // 添加至队首
+deque.insert(1, at: 0)
+
+/* 访问元素 */
+let peekFirst = deque.first! // 队首元素
+let peekLast = deque.last! // 队尾元素
+
+/* 元素出队 */
+// 使用 Array 模拟时 pollFirst 的复杂度为 O(n)
+let pollFirst = deque.removeFirst() // 队首元素出队
+let pollLast = deque.removeLast() // 队尾元素出队
+
+/* 获取双向队列的长度 */
+let size = deque.count
+
+/* 判断双向队列是否为空 */
+let isEmpty = deque.isEmpty
+双向队列需要一种可以在两端添加、两端删除的数据结构。与队列的实现方法类似，双向队列也可以使用双向链表和循环数组来实现。
+我们将双向链表的头结点和尾结点分别看作双向队列的队首和队尾，并且实现在两端都能添加与删除结点。
+
以下是使用双向链表实现双向队列的示例代码。
+/* 双向链表结点 */
+class ListNode {
+ int val; // 结点值
+ ListNode next; // 后继结点引用（指针）
+ ListNode prev; // 前驱结点引用（指针）
+ ListNode(int val) {
+ this.val = val;
+ prev = next = null;
+ }
+}
+
+/* 基于双向链表实现的双向队列 */
+class LinkedListDeque {
+private ListNode front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
+private int size = 0; // 双向队列的长度
+
+ public LinkedListDeque() {
+ front = rear = null;
+ }
+
+ /* 获取双向队列的长度 */
+ public int size() {
+ return size;
+ }
+
+ /* 判断双向队列是否为空 */
+ public boolean isEmpty() {
+ return size() == 0;
+ }
+
+ /* 入队操作 */
+ private void push(int num, boolean isFront) {
+ ListNode node = new ListNode(num);
+ // 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
+ if (isEmpty())
+ front = rear = node;
+ // 队首入队操作
+ else if (isFront) {
+ // 将 node 添加至链表头部
+ front.prev = node;
+ node.next = front;
+ front = node; // 更新头结点
+ // 队尾入队操作
+ } else {
+ // 将 node 添加至链表尾部
+ rear.next = node;
+ node.prev = rear;
+ rear = node; // 更新尾结点
+ }
+ size++; // 更新队列长度
+ }
+
+ /* 队首入队 */
+ public void pushFirst(int num) {
+ push(num, true);
+ }
+
+ /* 队尾入队 */
+ public void pushLast(int num) {
+ push(num, false);
+ }
+
+ /* 出队操作 */
+ private Integer poll(boolean isFront) {
+ // 若队列为空，直接返回 null
+ if (isEmpty())
+ return null;
+ int val;
+ // 队首出队操作
+ if (isFront) {
+ val = front.val; // 暂存头结点值
+ // 删除头结点
+ ListNode fNext = front.next;
+ if (fNext != null) {
+ fNext.prev = null;
+ front.next = null;
+ }
+ front = fNext; // 更新头结点
+ // 队尾出队操作
+ } else {
+ val = rear.val; // 暂存尾结点值
+ // 删除尾结点
+ ListNode rPrev = rear.prev;
+ if (rPrev != null) {
+ rPrev.next = null;
+ rear.prev = null;
+ }
+ rear = rPrev; // 更新尾结点
+ }
+ size--; // 更新队列长度
+ return val;
+ }
+
+ /* 队首出队 */
+ public Integer pollFirst() {
+ return poll(true);
+ }
+
+ /* 队尾出队 */
+ public Integer pollLast() {
+ return poll(false);
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ public Integer peekFirst() {
+ return isEmpty() ? null : front.val;
+ }
+
+ /* 访问队尾元素 */
+ public Integer peekLast() {
+ return isEmpty() ? null : rear.val;
+ }
+}
+/* 双向链表结点 */
+class ListNode {
+ prev; // 前驱结点引用 (指针)
+ next; // 后继结点引用 (指针)
+ val; // 结点值
+
+ constructor(val) {
+ this.val = val;
+ this.next = null;
+ this.prev = null;
+ }
+}
+
+/* 基于双向链表实现的双向队列 */
+class LinkedListDeque {
+ front; // 头结点 front
+ rear; // 尾结点 rear
+ len; // 双向队列的长度
+
+ constructor() {
+ this.front = null;
+ this.rear = null;
+ this.len = 0;
+ }
+
+ /* 队尾入队操作 */
+ pushLast(val) {
+ const node = new ListNode(val);
+ // 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
+ if (this.len === 0) {
+ this.front = node;
+ this.rear = node;
+ } else {
+ // 将 node 添加至链表尾部
+ this.rear.next = node;
+ node.prev = this.rear;
+ this.rear = node; // 更新尾结点
+ }
+ this.len++;
+ }
+
+ /* 队首入队操作 */
+ pushFirst(val) {
+ const node = new ListNode(val);
+ // 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
+ if (this.len === 0) {
+ this.front = node;
+ this.rear = node;
+ } else {
+ // 将 node 添加至链表头部
+ this.front.prev = node;
+ node.next = this.front;
+ this.front = node; // 更新头结点
+ }
+ this.len++;
+ }
+
+ /* 队尾出队操作 */
+ pollLast() {
+ if (this.len === 0) {
+ return null;
+ }
+ const value = this.rear.val; // 存储尾结点值
+ // 删除尾结点
+ let temp = this.rear.prev;
+ if (temp !== null) {
+ temp.next = null;
+ this.rear.prev = null;
+ }
+ this.rear = temp; // 更新尾结点
+ this.len--;
+ return value;
+ }
+
+ /* 队首出队操作 */
+ pollFirst() {
+ if (this.len === 0) {
+ return null;
+ }
+ const value = this.front.val; // 存储尾结点值
+ // 删除头结点
+ let temp = this.front.next;
+ if (temp !== null) {
+ temp.prev = null;
+ this.front.next = null;
+ }
+ this.front = temp; // 更新头结点
+ this.len--;
+ return value;
+ }
+
+ /* 访问队尾元素 */
+ peekLast() {
+ return this.len === 0 ? null : this.rear.val;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ peekFirst() {
+ return this.len === 0 ? null : this.front.val;
+ }
+
+ /* 获取双向队列的长度 */
+ size() {
+ return this.len;
+ }
+
+ /* 判断双向队列是否为空 */
+ isEmpty() {
+ return this.len === 0;
+ }
+
+ /* 打印双向队列 */
+ print() {
+ const arr = [];
+ let temp = this.front;
+ while (temp !== null) {
+ arr.push(temp.val);
+ temp = temp.next;
+ }
+ console.log("[" + arr.join(", ") + "]");
+ }
+}
+/* 双向链表结点 */
+class ListNode {
+ prev: ListNode; // 前驱结点引用 (指针)
+ next: ListNode; // 后继结点引用 (指针)
+ val: number; // 结点值
+
+ constructor(val: number) {
+ this.val = val;
+ this.next = null;
+ this.prev = null;
+ }
+}
+
+/* 基于双向链表实现的双向队列 */
+class LinkedListDeque {
+ front: ListNode; // 头结点 front
+ rear: ListNode; // 尾结点 rear
+ len: number; // 双向队列的长度
+
+ constructor() {
+ this.front = null;
+ this.rear = null;
+ this.len = 0;
+ }
+
+ /* 队尾入队操作 */
+ pushLast(val: number): void {
+ const node: ListNode = new ListNode(val);
+ // 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
+ if (this.len === 0) {
+ this.front = node;
+ this.rear = node;
+ } else {
+ // 将 node 添加至链表尾部
+ this.rear.next = node;
+ node.prev = this.rear;
+ this.rear = node; // 更新尾结点
+ }
+ this.len++;
+ }
+
+ /* 队首入队操作 */
+ pushFirst(val: number): void {
+ const node: ListNode = new ListNode(val);
+ // 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
+ if (this.len === 0) {
+ this.front = node;
+ this.rear = node;
+ } else {
+ // 将 node 添加至链表头部
+ this.front.prev = node;
+ node.next = this.front;
+ this.front = node; // 更新头结点
+ }
+ this.len++;
+ }
+
+ /* 队尾出队操作 */
+ pollLast(): number {
+ if (this.len === 0) {
+ return null;
+ }
+ const value: number = this.rear.val; // 存储尾结点值
+ // 删除尾结点
+ let temp: ListNode = this.rear.prev;
+ if (temp !== null) {
+ temp.next = null;
+ this.rear.prev = null;
+ }
+ this.rear = temp; // 更新尾结点
+ this.len--;
+ return value;
+ }
+
+ /* 队首出队操作 */
+ pollFirst(): number {
+ if (this.len === 0) {
+ return null;
+ }
+ const value: number = this.front.val; // 存储尾结点值
+ // 删除头结点
+ let temp: ListNode = this.front.next;
+ if (temp !== null) {
+ temp.prev = null;
+ this.front.next = null;
+ }
+ this.front = temp; // 更新头结点
+ this.len--;
+ return value;
+ }
+
+ /* 访问队尾元素 */
+ peekLast(): number {
+ return this.len === 0 ? null : this.rear.val;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ peekFirst(): number {
+ return this.len === 0 ? null : this.front.val;
+ }
+
+ /* 获取双向队列的长度 */
+ size(): number {
+ return this.len;
+ }
+
+ /* 判断双向队列是否为空 */
+ isEmpty(): boolean {
+ return this.len === 0;
+ }
+
+ /* 打印双向队列 */
+ print(): void {
+ const arr: number[] = [];
+ let temp: ListNode = this.front;
+ while (temp !== null) {
+ arr.push(temp.val);
+ temp = temp.next;
+ }
+ console.log("[" + arr.join(", ") + "]");
+ }
+}
+「队列 Queue」是一种遵循「先入先出 first in, first out」数据操作规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟的是排队现象，即外面的人不断加入队列尾部，而处于队列头部的人不断地离开。
+我们将队列头部称为「队首」，队列尾部称为「队尾」，将把元素加入队尾的操作称为「入队」，删除队首元素的操作称为「出队」。
+
Fig. 队列的先入先出特性
+ +队列的常用操作见下表，方法名需根据特定语言来确定。
+Table. 队列的常用操作
+ +| 方法名 | +描述 | +时间复杂度 | +
|---|---|---|
| push() | +元素入队，即将元素添加至队尾 | +\(O(1)\) | +
| poll() | +队首元素出队 | +\(O(1)\) | +
| front() | +访问队首元素 | +\(O(1)\) | +
| size() | +获取队列的长度 | +\(O(1)\) | +
| isEmpty() | +判断队列是否为空 | +\(O(1)\) | +
我们可以直接使用编程语言实现好的队列类。
+/* 初始化队列 */
+Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
+
+/* 元素入队 */
+queue.offer(1);
+queue.offer(3);
+queue.offer(2);
+queue.offer(5);
+queue.offer(4);
+
+/* 访问队首元素 */
+int peek = queue.peek();
+
+/* 元素出队 */
+int poll = queue.poll();
+
+/* 获取队列的长度 */
+int size = queue.size();
+
+/* 判断队列是否为空 */
+boolean isEmpty = queue.isEmpty();
+""" 初始化队列 """
+# 在 Python 中，我们一般将双向队列类 deque 看作队列使用
+# 虽然 queue.Queue() 是纯正的队列类，但不太好用，因此不建议
+que = collections.deque()
+
+""" 元素入队 """
+que.append(1)
+que.append(3)
+que.append(2)
+que.append(5)
+que.append(4)
+
+""" 访问队首元素 """
+front = que[0];
+
+""" 元素出队 """
+pop = que.popleft()
+
+""" 获取队列的长度 """
+size = len(que)
+
+""" 判断队列是否为空 """
+is_empty = len(que) == 0
+/* 初始化队列 */
+// 在 Go 中，将 list 作为队列来使用
+queue := list.New()
+
+/* 元素入队 */
+queue.PushBack(1)
+queue.PushBack(3)
+queue.PushBack(2)
+queue.PushBack(5)
+queue.PushBack(4)
+
+/* 访问队首元素 */
+peek := queue.Front()
+
+/* 元素出队 */
+poll := queue.Front()
+queue.Remove(poll)
+
+/* 获取队列的长度 */
+size := queue.Len()
+
+/* 判断队列是否为空 */
+isEmpty := queue.Len() == 0
+/* 初始化队列 */
+// JavaScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用
+const queue = [];
+
+/* 元素入队 */
+queue.push(1);
+queue.push(3);
+queue.push(2);
+queue.push(5);
+queue.push(4);
+
+/* 访问队首元素 */
+const peek = queue[0];
+
+/* 元素出队 */
+// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+const poll = queue.shift();
+
+/* 获取队列的长度 */
+const size = queue.length;
+
+/* 判断队列是否为空 */
+const empty = queue.length === 0;
+/* 初始化队列 */
+// TypeScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用
+const queue: number[] = [];
+
+/* 元素入队 */
+queue.push(1);
+queue.push(3);
+queue.push(2);
+queue.push(5);
+queue.push(4);
+
+/* 访问队首元素 */
+const peek = queue[0];
+
+/* 元素出队 */
+// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
+const poll = queue.shift();
+
+/* 获取队列的长度 */
+const size = queue.length;
+
+/* 判断队列是否为空 */
+const empty = queue.length === 0;
+/* 初始化队列 */
+Queue<int> queue = new();
+
+/* 元素入队 */
+queue.Enqueue(1);
+queue.Enqueue(3);
+queue.Enqueue(2);
+queue.Enqueue(5);
+queue.Enqueue(4);
+
+/* 访问队首元素 */
+int peek = queue.Peek();
+
+/* 元素出队 */
+int poll = queue.Dequeue();
+
+/* 获取队列的长度 */
+int size = queue.Count();
+
+/* 判断队列是否为空 */
+bool isEmpty = queue.Count() == 0;
+/* 初始化队列 */
+// Swift 没有内置的队列类，可以把 Array 当作队列来使用
+var queue: [Int] = []
+
+/* 元素入队 */
+queue.append(1)
+queue.append(3)
+queue.append(2)
+queue.append(5)
+queue.append(4)
+
+/* 访问队首元素 */
+let peek = queue.first!
+
+/* 元素出队 */
+// 使用 Array 模拟时 poll 的复杂度为 O(n)
+let pool = queue.removeFirst()
+
+/* 获取队列的长度 */
+let size = queue.count
+
+/* 判断队列是否为空 */
+let isEmpty = queue.isEmpty
+队列需要一种可以在一端添加，并在另一端删除的数据结构，也可以使用链表或数组来实现。
+我们将链表的「头结点」和「尾结点」分别看作是队首和队尾，并规定队尾只可添加结点，队首只可删除结点。
+
以下是使用链表实现队列的示例代码。
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue {
+ private ListNode front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
+ private int queSize = 0;
+
+ public LinkedListQueue() {
+ front = null;
+ rear = null;
+ }
+ /* 获取队列的长度 */
+ public int size() {
+ return queSize;
+ }
+ /* 判断队列是否为空 */
+ public boolean isEmpty() {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入队 */
+ public void push(int num) {
+ // 尾结点后添加 num
+ ListNode node = new ListNode(num);
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if (front == null) {
+ front = node;
+ rear = node;
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ } else {
+ rear.next = node;
+ rear = node;
+ }
+ queSize++;
+ }
+ /* 出队 */
+ public int poll() {
+ int num = peek();
+ // 删除头结点
+ front = front.next;
+ queSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问队首元素 */
+ public int peek() {
+ if (size() == 0)
+ throw new EmptyStackException();
+ return front.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue {
+private:
+ ListNode *front, *rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
+ int queSize;
+
+public:
+ LinkedListQueue() {
+ front = nullptr;
+ rear = nullptr;
+ queSize = 0;
+ }
+ ~LinkedListQueue() {
+ delete front;
+ delete rear;
+ }
+ /* 获取队列的长度 */
+ int size() {
+ return queSize;
+ }
+ /* 判断队列是否为空 */
+ bool empty() {
+ return queSize == 0;
+ }
+ /* 入队 */
+ void push(int num) {
+ // 尾结点后添加 num
+ ListNode* node = new ListNode(num);
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if (front == nullptr) {
+ front = node;
+ rear = node;
+ }
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ else {
+ rear->next = node;
+ rear = node;
+ }
+ queSize++;
+ }
+ /* 出队 */
+ void poll() {
+ int num = peek();
+ // 删除头结点
+ ListNode *tmp = front;
+ front = front->next;
+ // 释放内存
+ delete tmp;
+ queSize--;
+ }
+ /* 访问队首元素 */
+ int peek() {
+ if (size() == 0)
+ throw out_of_range("队列为空");
+ return front->val;
+ }
+};
+""" 基于链表实现的队列 """
+class LinkedListQueue:
+ def __init__(self):
+ self.__front = None # 头结点 front
+ self.__rear = None # 尾结点 rear
+ self.__size = 0
+
+ """ 获取队列的长度 """
+ def size(self):
+ return self.__size
+
+ """ 判断队列是否为空 """
+ def is_empty(self):
+ return not self.__front
+
+ """ 入队 """
+ def push(self, num):
+ # 尾结点后添加 num
+ node = ListNode(num)
+ # 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if self.__front is None:
+ self.__front = node
+ self.__rear = node
+ # 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ else:
+ self.__rear.next = node
+ self.__rear = node
+ self.__size += 1
+
+ """ 出队 """
+ def poll(self):
+ num = self.peek()
+ # 删除头结点
+ self.__front = self.__front.next
+ self.__size -= 1
+ return num
+
+ """ 访问队首元素 """
+ def peek(self):
+ if self.size() == 0:
+ print("队列为空")
+ return False
+ return self.__front.val
+
+ """ 转化为列表用于打印 """
+ def to_list(self):
+ queue = []
+ temp = self.__front
+ while temp:
+ queue.append(temp.val)
+ temp = temp.next
+ return queue
+/* 基于链表实现的队列 */
+type linkedListQueue struct {
+ // 使用内置包 list 来实现队列
+ data *list.List
+}
+
+// newLinkedListQueue 初始化链表
+func newLinkedListQueue() *linkedListQueue {
+ return &linkedListQueue{
+ data: list.New(),
+ }
+}
+
+// push 入队
+func (s *linkedListQueue) push(value any) {
+ s.data.PushBack(value)
+}
+
+// poll 出队
+func (s *linkedListQueue) poll() any {
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ e := s.data.Front()
+ s.data.Remove(e)
+ return e.Value
+}
+
+// peek 访问队首元素
+func (s *linkedListQueue) peek() any {
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ e := s.data.Front()
+ return e.Value
+}
+
+// size 获取队列的长度
+func (s *linkedListQueue) size() int {
+ return s.data.Len()
+}
+
+// isEmpty 判断队列是否为空
+func (s *linkedListQueue) isEmpty() bool {
+ return s.data.Len() == 0
+}
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue {
+ #front; // 头结点 #front
+ #rear; // 尾结点 #rear
+ #queSize = 0;
+ constructor() {
+ this.#front = null;
+ this.#rear = null;
+ }
+ /* 获取队列的长度 */
+ get size() {
+ return this.#queSize;
+ }
+ /* 判断队列是否为空 */
+ isEmpty() {
+ return this.size === 0;
+ }
+ /* 入队 */
+ push(num) {
+ // 尾结点后添加 num
+ const node = new ListNode(num);
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if (!this.#front) {
+ this.#front = node;
+ this.#rear = node;
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ } else {
+ this.#rear.next = node;
+ this.#rear = node;
+ }
+ this.#queSize++;
+ }
+ /* 出队 */
+ poll() {
+ const num = this.peek();
+ // 删除头结点
+ this.#front = this.#front.next;
+ this.#queSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问队首元素 */
+ peek() {
+ if (this.size === 0)
+ throw new Error("队列为空");
+ return this.#front.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue {
+ private front: ListNode | null; // 头结点 front
+ private rear: ListNode | null; // 尾结点 rear
+ private queSize: number = 0;
+ constructor() {
+ this.front = null;
+ this.rear = null;
+ }
+ /* 获取队列的长度 */
+ get size(): number {
+ return this.queSize;
+ }
+ /* 判断队列是否为空 */
+ isEmpty(): boolean {
+ return this.size === 0;
+ }
+ /* 入队 */
+ push(num: number): void {
+ // 尾结点后添加 num
+ const node = new ListNode(num);
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if (!this.front) {
+ this.front = node;
+ this.rear = node;
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ } else {
+ this.rear!.next = node;
+ this.rear = node;
+ }
+ this.queSize++;
+ }
+ /* 出队 */
+ poll(): number {
+ const num = this.peek();
+ if (!this.front)
+ throw new Error("队列为空")
+ // 删除头结点
+ this.front = this.front.next;
+ this.queSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问队首元素 */
+ peek(): number {
+ if (this.size === 0)
+ throw new Error("队列为空");
+ return this.front!.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue
+{
+ private ListNode? front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
+ private int queSize = 0;
+ public LinkedListQueue()
+ {
+ front = null;
+ rear = null;
+ }
+ /* 获取队列的长度 */
+ public int size()
+ {
+ return queSize;
+ }
+ /* 判断队列是否为空 */
+ public bool isEmpty()
+ {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入队 */
+ public void push(int num)
+ {
+ // 尾结点后添加 num
+ ListNode node = new ListNode(num);
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if (front == null)
+ {
+ front = node;
+ rear = node;
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ }
+ else if (rear != null)
+ {
+ rear.next = node;
+ rear = node;
+ }
+ queSize++;
+ }
+ /* 出队 */
+ public int poll()
+ {
+ int num = peek();
+ // 删除头结点
+ front = front?.next;
+ queSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问队首元素 */
+ public int peek()
+ {
+ if (size() == 0 || front == null)
+ throw new Exception();
+ return front.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的队列 */
+class LinkedListQueue {
+ private var front: ListNode? // 头结点
+ private var rear: ListNode? // 尾结点
+ private var _size = 0
+
+ init() {}
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ func size() -> Int {
+ _size
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ func isEmpty() -> Bool {
+ size() == 0
+ }
+
+ /* 入队 */
+ func push(num: Int) {
+ // 尾结点后添加 num
+ let node = ListNode(x: num)
+ // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
+ if front == nil {
+ front = node
+ rear = node
+ }
+ // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
+ else {
+ rear?.next = node
+ rear = node
+ }
+ _size += 1
+ }
+
+ /* 出队 */
+ @discardableResult
+ func poll() -> Int {
+ let num = peek()
+ // 删除头结点
+ front = front?.next
+ _size -= 1
+ return num
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ func peek() -> Int {
+ if isEmpty() {
+ fatalError("队列为空")
+ }
+ return front!.val
+ }
+}
+数组的删除首元素的时间复杂度为 \(O(n)\) ，因此不适合直接用来实现队列。然而，我们可以借助两个指针 front , rear 来分别记录队首和队尾的索引位置，在入队 / 出队时分别将 front / rear 向后移动一位即可，这样每次仅需操作一个元素，时间复杂度降至 \(O(1)\) 。
细心的同学可能会发现一个问题，即在入队与出队的过程中，两个指针都在向后移动，在到达尾部后则无法继续移动了。
+为了解决此问题，我们可以采取一个取巧方案，即将数组看作是“环形”的。具体做法是规定指针越过数组尾部后，再次回到头部接续遍历，这样相当于使数组“首尾相连”了。在环形数组的设定下，获取长度 size() 、入队 push() 、出队 poll() 方法都需要做相应的取余操作处理，使得当尾指针绕回数组头部时，仍然可以正确处理操作。
/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue {
+ private int[] nums; // 用于存储队列元素的数组
+ private int front; // 队首指针，指向队首元素
+ private int queSize; // 队列长度
+
+ public ArrayQueue(int capacity) {
+ nums = new int[capacity];
+ front = queSize = 0;
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ public int capacity() {
+ return nums.length;
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ public int size() {
+ return queSize;
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ public boolean isEmpty() {
+ return queSize == 0;
+ }
+
+ /* 入队 */
+ public void push(int num) {
+ if (queSize == capacity()) {
+ System.out.println("队列已满");
+ return;
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ int rear = (front + queSize) % capacity();
+ // 尾结点后添加 num
+ nums[rear] = num;
+ queSize++;
+ }
+
+ /* 出队 */
+ public int poll() {
+ int num = peek();
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ front = (front + 1) % capacity();
+ queSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ public int peek() {
+ if (isEmpty())
+ throw new EmptyStackException();
+ return nums[front];
+ }
+}
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue {
+private:
+ int *nums; // 用于存储队列元素的数组
+ int front; // 队首指针，指向队首元素
+ int queSize; // 队列长度
+ int queCapacity; // 队列容量
+
+public:
+ ArrayQueue(int capacity) {
+ // 初始化数组
+ nums = new int[capacity];
+ queCapacity = capacity;
+ front = queSize = 0;
+ }
+
+ ~ArrayQueue() {
+ delete[] nums;
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ int capacity() {
+ return queCapacity;
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ int size() {
+ return queSize;
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ bool empty() {
+ return size() == 0;
+ }
+
+ /* 入队 */
+ void push(int num) {
+ if (queSize == queCapacity) {
+ cout << "队列已满" << endl;
+ return;
+ }
+ // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ int rear = (front + queSize) % queCapacity;
+ // 尾结点后添加 num
+ nums[rear] = num;
+ queSize++;
+ }
+
+ /* 出队 */
+ void poll() {
+ int num = peek();
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ front = (front + 1) % queCapacity;
+ queSize--;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ int peek() {
+ if (empty())
+ throw out_of_range("队列为空");
+ return nums[front];
+ }
+};
+""" 基于环形数组实现的队列 """
+class ArrayQueue:
+ def __init__(self, size):
+ self.__nums = [0] * size # 用于存储队列元素的数组
+ self.__front = 0 # 队首指针，指向队首元素
+ self.__size = 0 # 队列长度
+
+ """ 获取队列的容量 """
+ def capacity(self):
+ return len(self.__nums)
+
+ """ 获取队列的长度 """
+ def size(self):
+ return self.__size
+
+ """ 判断队列是否为空 """
+ def is_empty(self):
+ return self.__size == 0
+
+ """ 入队 """
+ def push(self, num):
+ assert self.__size < self.capacity(), "队列已满"
+ # 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ # 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ rear = (self.__front + self.__size) % self.capacity()
+ # 尾结点后添加 num
+ self.__nums[rear] = num
+ self.__size += 1
+
+ """ 出队 """
+ def poll(self):
+ num = self.peek()
+ # 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ self.__front = (self.__front + 1) % self.capacity()
+ self.__size -= 1
+ return num
+
+ """ 访问队首元素 """
+ def peek(self):
+ assert not self.is_empty(), "队列为空"
+ return self.__nums[self.__front]
+
+ """ 返回列表用于打印 """
+ def to_list(self):
+ res = [0] * self.size()
+ j = self.__front
+ for i in range(self.size()):
+ res[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]
+ j += 1
+ return res
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+type arrayQueue struct {
+ nums []int // 用于存储队列元素的数组
+ front int // 队首指针，指向队首元素
+ queSize int // 队列长度
+ queCapacity int // 队列容量（即最大容纳元素数量）
+}
+
+// newArrayQueue 基于环形数组实现的队列
+func newArrayQueue(queCapacity int) *arrayQueue {
+ return &arrayQueue{
+ nums: make([]int, queCapacity),
+ queCapacity: queCapacity,
+ front: 0,
+ queSize: 0,
+ }
+}
+
+// size 获取队列的长度
+func (q *arrayQueue) size() int {
+ return q.queSize
+}
+
+// isEmpty 判断队列是否为空
+func (q *arrayQueue) isEmpty() bool {
+ return q.queSize == 0
+}
+
+// push 入队
+func (q *arrayQueue) push(num int) {
+ // 当 rear == queCapacity 表示队列已满
+ if q.queSize == q.queCapacity {
+ return
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ rear := (q.front + q.queSize) % q.queCapacity
+ // 尾结点后添加 num
+ q.nums[rear] = num
+ q.queSize++
+}
+
+// poll 出队
+func (q *arrayQueue) poll() any {
+ num := q.peek()
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ q.front = (q.front + 1) % q.queCapacity
+ q.queSize--
+ return num
+}
+
+// peek 访问队首元素
+func (q *arrayQueue) peek() any {
+ if q.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ return q.nums[q.front]
+}
+
+// 获取 Slice 用于打印
+func (q *arrayQueue) toSlice() []int {
+ rear := (q.front + q.queSize)
+ if rear >= q.queCapacity {
+ rear %= q.queCapacity
+ return append(q.nums[q.front:], q.nums[:rear]...)
+ }
+ return q.nums[q.front:rear]
+}
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue {
+ #nums; // 用于存储队列元素的数组
+ #front = 0; // 队首指针，指向队首元素
+ #queSize = 0; // 队列长度
+
+ constructor(capacity) {
+ this.#nums = new Array(capacity);
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ get capacity() {
+ return this.#nums.length;
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ get size() {
+ return this.#queSize;
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ empty() {
+ return this.#queSize == 0;
+ }
+
+ /* 入队 */
+ push(num) {
+ if (this.size == this.capacity) {
+ console.log("队列已满");
+ return;
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ const rear = (this.#front + this.size) % this.capacity;
+ // 尾结点后添加 num
+ this.#nums[rear] = num;
+ this.#queSize++;
+ }
+
+ /* 出队 */
+ poll() {
+ const num = this.peek();
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ this.#front = (this.#front + 1) % this.capacity;
+ this.#queSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ peek() {
+ if (this.empty())
+ throw new Error("队列为空");
+ return this.#nums[this.#front];
+ }
+}
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue {
+ private nums: number[]; // 用于存储队列元素的数组
+ private front: number; // 队首指针，指向队首元素
+ private queSize: number; // 队列长度
+
+ constructor(capacity: number) {
+ this.nums = new Array(capacity);
+ this.front = this.queSize = 0;
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ get capacity(): number {
+ return this.nums.length;
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ get size(): number {
+ return this.queSize;
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ empty(): boolean {
+ return this.queSize == 0;
+ }
+
+ /* 入队 */
+ push(num: number): void {
+ if (this.size == this.capacity) {
+ console.log("队列已满");
+ return;
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ const rear = (this.front + this.queSize) % this.capacity;
+ // 尾结点后添加 num
+ this.nums[rear] = num;
+ this.queSize++;
+ }
+
+ /* 出队 */
+ poll(): number {
+ const num = this.peek();
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ this.front = (this.front + 1) % this.capacity;
+ this.queSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ peek(): number {
+ if (this.empty())
+ throw new Error("队列为空");
+ return this.nums[this.front];
+ }
+}
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue
+{
+ private int[] nums; // 用于存储队列元素的数组
+ private int front; // 队首指针，指向队首元素
+ private int queSize; // 队列长度
+
+ public ArrayQueue(int capacity)
+ {
+ nums = new int[capacity];
+ front = queSize = 0;
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ public int capacity()
+ {
+ return nums.Length;
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ public int size()
+ {
+ return queSize;
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ public bool isEmpty()
+ {
+ return queSize == 0;
+ }
+
+ /* 入队 */
+ public void push(int num)
+ {
+ if (queSize == capacity())
+ {
+ Console.WriteLine("队列已满");
+ return;
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ int rear = (front + queSize) % capacity();
+ // 尾结点后添加 num
+ nums[rear] = num;
+ queSize++;
+ }
+
+ /* 出队 */
+ public int poll()
+ {
+ int num = peek();
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ front = (front + 1) % capacity();
+ queSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ public int peek()
+ {
+ if (isEmpty())
+ throw new Exception();
+ return nums[front];
+ }
+}
+/* 基于环形数组实现的队列 */
+class ArrayQueue {
+ private var nums: [Int] // 用于存储队列元素的数组
+ private var front = 0 // 队首指针，指向队首元素
+ private var queSize = 0 // 队列长度
+
+ init(capacity: Int) {
+ // 初始化数组
+ nums = Array(repeating: 0, count: capacity)
+ }
+
+ /* 获取队列的容量 */
+ func capacity() -> Int {
+ nums.count
+ }
+
+ /* 获取队列的长度 */
+ func size() -> Int {
+ queSize
+ }
+
+ /* 判断队列是否为空 */
+ func isEmpty() -> Bool {
+ queSize == 0
+ }
+
+ /* 入队 */
+ func push(num: Int) {
+ if size() == capacity() {
+ print("队列已满")
+ return
+ }
+ // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
+ // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
+ let rear = (front + queSize) % capacity()
+ // 尾结点后添加 num
+ nums[rear] = num
+ queSize += 1
+ }
+
+ /* 出队 */
+ @discardableResult
+ func poll() -> Int {
+ let num = peek()
+ // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
+ front = (front + 1) % capacity()
+ queSize -= 1
+ return num
+ }
+
+ /* 访问队首元素 */
+ func peek() -> Int {
+ if isEmpty() {
+ fatalError("队列为空")
+ }
+ return nums[front]
+ }
+}
+以上代码仍存在局限性，即长度不可变。然而，我们可以通过将数组替换为列表（即动态数组）来引入扩容机制，有兴趣的同学可以尝试实现。
+与栈的结论一致，在此不再赘述。
+「栈 Stack」是一种遵循「先入后出 first in, last out」数据操作规则的线性数据结构。我们可以将栈类比为放在桌面上的一摞盘子，如果需要拿出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次取出。
+“盘子”是一种形象比喻，我们将盘子替换为任意一种元素（例如整数、字符、对象等），就得到了栈数据结构。
+我们将这一摞元素的顶部称为「栈顶」，将底部称为「栈底」，将把元素添加到栈顶的操作称为「入栈」，将删除栈顶元素的操作称为「出栈」。
+
Fig. 栈的先入后出特性
+ +栈的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。
+Table. 栈的常用操作
+ +| 方法 | +描述 | +时间复杂度 | +
|---|---|---|
| push() | +元素入栈（添加至栈顶） | +\(O(1)\) | +
| pop() | +栈顶元素出栈 | +\(O(1)\) | +
| peek() | +访问栈顶元素 | +\(O(1)\) | +
| size() | +获取栈的长度 | +\(O(1)\) | +
| isEmpty() | +判断栈是否为空 | +\(O(1)\) | +
我们可以直接使用编程语言实现好的栈类。 某些语言并未专门提供栈类，但我们可以直接把该语言的「数组」或「链表」看作栈来使用，并通过“脑补”来屏蔽无关操作。
+/* 初始化栈 */
+// 在 Java 中，推荐将 ArrayList 当作栈来使用
+List<Integer> stack = new ArrayList<>();
+
+/* 元素入栈 */
+stack.add(1);
+stack.add(3);
+stack.add(2);
+stack.add(5);
+stack.add(4);
+
+/* 访问栈顶元素 */
+int peek = stack.get(stack.size() - 1);
+
+/* 元素出栈 */
+int pop = stack.remove(stack.size() - 1);
+
+/* 获取栈的长度 */
+int size = stack.size();
+
+/* 判断是否为空 */
+boolean isEmpty = stack.isEmpty();
+""" 初始化栈 """
+# Python 没有内置的栈类，可以把 List 当作栈来使用
+stack = []
+
+""" 元素入栈 """
+stack.append(1)
+stack.append(3)
+stack.append(2)
+stack.append(5)
+stack.append(4)
+
+""" 访问栈顶元素 """
+peek = stack[-1]
+
+""" 元素出栈 """
+pop = stack.pop()
+
+""" 获取栈的长度 """
+size = len(stack)
+
+""" 判断是否为空 """
+is_empty = len(stack) == 0
+/* 初始化栈 */
+// 在 Go 中，推荐将 Slice 当作栈来使用
+var stack []int
+
+/* 元素入栈 */
+stack = append(stack, 1)
+stack = append(stack, 3)
+stack = append(stack, 2)
+stack = append(stack, 5)
+stack = append(stack, 4)
+
+/* 访问栈顶元素 */
+peek := stack[len(stack)-1]
+
+/* 元素出栈 */
+pop := stack[len(stack)-1]
+stack = stack[:len(stack)-1]
+
+/* 获取栈的长度 */
+size := len(stack)
+
+/* 判断是否为空 */
+isEmpty := len(stack) == 0
+/* 初始化栈 */
+// Javascript 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用
+const stack = [];
+
+/* 元素入栈 */
+stack.push(1);
+stack.push(3);
+stack.push(2);
+stack.push(5);
+stack.push(4);
+
+/* 访问栈顶元素 */
+const peek = stack[stack.length-1];
+
+/* 元素出栈 */
+const pop = stack.pop();
+
+/* 获取栈的长度 */
+const size = stack.length;
+
+/* 判断是否为空 */
+const is_empty = stack.length === 0;
+/* 初始化栈 */
+// Typescript 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用
+const stack: number[] = [];
+
+/* 元素入栈 */
+stack.push(1);
+stack.push(3);
+stack.push(2);
+stack.push(5);
+stack.push(4);
+
+/* 访问栈顶元素 */
+const peek = stack[stack.length - 1];
+
+/* 元素出栈 */
+const pop = stack.pop();
+
+/* 获取栈的长度 */
+const size = stack.length;
+
+/* 判断是否为空 */
+const is_empty = stack.length === 0;
+/* 初始化栈 */
+Stack<int> stack = new ();
+
+/* 元素入栈 */
+stack.Push(1);
+stack.Push(3);
+stack.Push(2);
+stack.Push(5);
+stack.Push(4);
+
+/* 访问栈顶元素 */
+int peek = stack.Peek();
+
+/* 元素出栈 */
+int pop = stack.Pop();
+
+/* 获取栈的长度 */
+int size = stack.Count();
+
+/* 判断是否为空 */
+bool isEmpty = stack.Count()==0;
+/* 初始化栈 */
+// Swift 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用
+var stack: [Int] = []
+
+/* 元素入栈 */
+stack.append(1)
+stack.append(3)
+stack.append(2)
+stack.append(5)
+stack.append(4)
+
+/* 访问栈顶元素 */
+let peek = stack.last!
+
+/* 元素出栈 */
+let pop = stack.removeLast()
+
+/* 获取栈的长度 */
+let size = stack.count
+
+/* 判断是否为空 */
+let isEmpty = stack.isEmpty
+为了更加清晰地了解栈的运行机制，接下来我们来自己动手实现一个栈类。
+栈规定元素是先入后出的，因此我们只能在栈顶添加或删除元素。然而，数组或链表都可以在任意位置添加删除元素，因此 栈可被看作是一种受约束的数组或链表。换言之，我们可以“屏蔽”数组或链表的部分无关操作，使之对外的表现逻辑符合栈的规定即可。
+使用「链表」实现栈时，将链表的头结点看作栈顶，将尾结点看作栈底。
+对于入栈操作，将元素插入到链表头部即可，这种结点添加方式被称为“头插法”。而对于出栈操作，则将头结点从链表中删除即可。
+
以下是基于链表实现栈的示例代码。
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack {
+ private ListNode stackPeek; // 将头结点作为栈顶
+ private int stkSize = 0; // 栈的长度
+ public LinkedListStack() {
+ stackPeek = null;
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ public int size() {
+ return stkSize;
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ public boolean isEmpty() {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ public void push(int num) {
+ ListNode node = new ListNode(num);
+ node.next = stackPeek;
+ stackPeek = node;
+ stkSize++;
+ }
+ /* 出栈 */
+ public int pop() {
+ int num = peek();
+ stackPeek = stackPeek.next;
+ stkSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ public int peek() {
+ if (size() == 0)
+ throw new EmptyStackException();
+ return stackPeek.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack {
+private:
+ ListNode* stackTop; // 将头结点作为栈顶
+ int stkSize; // 栈的长度
+
+public:
+ LinkedListStack() {
+ stackTop = nullptr;
+ stkSize = 0;
+ }
+ ~LinkedListStack() {
+ freeMemoryLinkedList(stackTop);
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ int size() {
+ return stkSize;
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ bool empty() {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ void push(int num) {
+ ListNode* node = new ListNode(num);
+ node->next = stackTop;
+ stackTop = node;
+ stkSize++;
+ }
+ /* 出栈 */
+ void pop() {
+ int num = top();
+ ListNode *tmp = stackTop;
+ stackTop = stackTop->next;
+ // 释放内存
+ delete tmp;
+ stkSize--;
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ int top() {
+ if (size() == 0)
+ throw out_of_range("栈为空");
+ return stackTop->val;
+ }
+};
+""" 基于链表实现的栈 """
+class LinkedListStack:
+ def __init__(self):
+ self.__peek = None
+ self.__size = 0
+
+ """ 获取栈的长度 """
+ def size(self):
+ return self.__size
+
+ """ 判断栈是否为空 """
+ def is_empty(self):
+ return not self.__peek
+
+ """ 入栈 """
+ def push(self, val):
+ node = ListNode(val)
+ node.next = self.__peek
+ self.__peek = node
+ self.__size += 1
+
+ """ 出栈 """
+ def pop(self):
+ num = self.peek()
+ self.__peek = self.__peek.next
+ self.__size -= 1
+ return num
+
+ """ 访问栈顶元素 """
+ def peek(self):
+ # 判空处理
+ if not self.__peek: return None
+ return self.__peek.val
+
+ """ 转化为列表用于打印 """
+ def to_list(self):
+ arr = []
+ node = self.__peek
+ while node:
+ arr.append(node.val)
+ node = node.next
+ arr.reverse()
+ return arr
+/* 基于链表实现的栈 */
+type linkedListStack struct {
+ // 使用内置包 list 来实现栈
+ data *list.List
+}
+
+// newLinkedListStack 初始化链表
+func newLinkedListStack() *linkedListStack {
+ return &linkedListStack{
+ data: list.New(),
+ }
+}
+
+// push 入栈
+func (s *linkedListStack) push(value int) {
+ s.data.PushBack(value)
+}
+
+// pop 出栈
+func (s *linkedListStack) pop() any {
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ e := s.data.Back()
+ s.data.Remove(e)
+ return e.Value
+}
+
+// peek 访问栈顶元素
+func (s *linkedListStack) peek() any {
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ e := s.data.Back()
+ return e.Value
+}
+
+// size 获取栈的长度
+func (s *linkedListStack) size() int {
+ return s.data.Len()
+}
+
+// isEmpty 判断栈是否为空
+func (s *linkedListStack) isEmpty() bool {
+ return s.data.Len() == 0
+}
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack {
+ #stackPeek; // 将头结点作为栈顶
+ #stkSize = 0; // 栈的长度
+
+ constructor() {
+ this.#stackPeek = null;
+ }
+
+ /* 获取栈的长度 */
+ get size() {
+ return this.#stkSize;
+ }
+
+ /* 判断栈是否为空 */
+ isEmpty() {
+ return this.size == 0;
+ }
+
+ /* 入栈 */
+ push(num) {
+ const node = new ListNode(num);
+ node.next = this.#stackPeek;
+ this.#stackPeek = node;
+ this.#stkSize++;
+ }
+
+ /* 出栈 */
+ pop() {
+ const num = this.peek();
+ if (!this.#stackPeek) {
+ throw new Error("栈为空！");
+ }
+ this.#stackPeek = this.#stackPeek.next;
+ this.#stkSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问栈顶元素 */
+ peek() {
+ if (!this.#stackPeek) {
+ throw new Error("栈为空！");
+ }
+ return this.#stackPeek.val;
+ }
+
+ /* 将链表转化为 Array 并返回 */
+ toArray() {
+ let node = this.#stackPeek;
+ const res = new Array(this.size);
+ for (let i = res.length - 1; i >= 0; i--) {
+ res[i] = node.val;
+ node = node.next;
+ }
+ return res;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack {
+ private stackPeek: ListNode | null; // 将头结点作为栈顶
+ private stkSize: number = 0; // 栈的长度
+
+ constructor() {
+ this.stackPeek = null;
+ }
+
+ /* 获取栈的长度 */
+ get size(): number {
+ return this.stkSize;
+ }
+
+ /* 判断栈是否为空 */
+ isEmpty(): boolean {
+ return this.size == 0;
+ }
+
+ /* 入栈 */
+ push(num: number): void {
+ const node = new ListNode(num);
+ node.next = this.stackPeek;
+ this.stackPeek = node;
+ this.stkSize++;
+ }
+
+ /* 出栈 */
+ pop(): number {
+ const num = this.peek();
+ if (!this.stackPeek) {
+ throw new Error("栈为空！");
+ }
+ this.stackPeek = this.stackPeek.next;
+ this.stkSize--;
+ return num;
+ }
+
+ /* 访问栈顶元素 */
+ peek(): number {
+ if (!this.stackPeek) {
+ throw new Error("栈为空！");
+ }
+ return this.stackPeek.val;
+ }
+
+ /* 将链表转化为 Array 并返回 */
+ toArray(): number[] {
+ let node = this.stackPeek;
+ const res = new Array<number>(this.size);
+ for (let i = res.length - 1; i >= 0; i--) {
+ res[i] = node!.val;
+ node = node!.next;
+ }
+ return res;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack
+{
+ private ListNode stackPeek; // 将头结点作为栈顶
+ private int stkSize = 0; // 栈的长度
+ public LinkedListStack()
+ {
+ stackPeek = null;
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ public int size()
+ {
+ return stkSize;
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ public bool isEmpty()
+ {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ public void push(int num)
+ {
+ ListNode node = new ListNode(num);
+ node.next = stackPeek;
+ stackPeek = node;
+ stkSize++;
+ }
+ /* 出栈 */
+ public int pop()
+ {
+ int num = peek();
+ stackPeek = stackPeek?.next;
+ stkSize--;
+ return num;
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ public int peek()
+ {
+ if (size() == 0)
+ throw new Exception();
+ return stackPeek.val;
+ }
+}
+/* 基于链表实现的栈 */
+class LinkedListStack {
+ private var _peek: ListNode? // 将头结点作为栈顶
+ private var _size = 0 // 栈的长度
+
+ init() {}
+
+ /* 获取栈的长度 */
+ func size() -> Int {
+ _size
+ }
+
+ /* 判断栈是否为空 */
+ func isEmpty() -> Bool {
+ size() == 0
+ }
+
+ /* 入栈 */
+ func push(num: Int) {
+ let node = ListNode(x: num)
+ node.next = _peek
+ _peek = node
+ _size += 1
+ }
+
+ /* 出栈 */
+ @discardableResult
+ func pop() -> Int {
+ let num = peek()
+ _peek = _peek?.next
+ _size -= 1
+ return num
+ }
+
+ /* 访问栈顶元素 */
+ func peek() -> Int {
+ if isEmpty() {
+ fatalError("栈为空")
+ }
+ return _peek!.val
+ }
+}
+使用「数组」实现栈时，考虑将数组的尾部当作栈顶。这样设计下，「入栈」与「出栈」操作就对应在数组尾部「添加元素」与「删除元素」，时间复杂度都为 \(O(1)\) 。
+
由于入栈的元素可能是源源不断的，因此可以使用支持动态扩容的「列表」，这样就无需自行实现数组扩容了。以下是示例代码。
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack {
+ private ArrayList<Integer> stack;
+ public ArrayStack() {
+ // 初始化列表（动态数组）
+ stack = new ArrayList<>();
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ public int size() {
+ return stack.size();
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ public boolean isEmpty() {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ public void push(int num) {
+ stack.add(num);
+ }
+ /* 出栈 */
+ public int pop() {
+ if (isEmpty())
+ throw new EmptyStackException();
+ return stack.remove(size() - 1);
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ public int peek() {
+ if (isEmpty())
+ throw new EmptyStackException();
+ return stack.get(size() - 1);
+ }
+}
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack {
+private:
+ vector<int> stack;
+
+public:
+ /* 获取栈的长度 */
+ int size() {
+ return stack.size();
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ bool empty() {
+ return stack.empty();
+ }
+ /* 入栈 */
+ void push(int num) {
+ stack.push_back(num);
+ }
+ /* 出栈 */
+ void pop() {
+ int oldTop = top();
+ stack.pop_back();
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ int top() {
+ if(empty())
+ throw out_of_range("栈为空");
+ return stack.back();
+ }
+};
+""" 基于数组实现的栈 """
+class ArrayStack:
+ def __init__(self):
+ self.__stack = []
+
+ """ 获取栈的长度 """
+ def size(self):
+ return len(self.__stack)
+
+ """ 判断栈是否为空 """
+ def is_empty(self):
+ return self.__stack == []
+
+ """ 入栈 """
+ def push(self, item):
+ self.__stack.append(item)
+
+ """ 出栈 """
+ def pop(self):
+ assert not self.is_empty(), "栈为空"
+ return self.__stack.pop()
+
+ """ 访问栈顶元素 """
+ def peek(self):
+ assert not self.is_empty(), "栈为空"
+ return self.__stack[-1]
+
+ """ 返回列表用于打印 """
+ def to_list(self):
+ return self.__stack
+/* 基于数组实现的栈 */
+type arrayStack struct {
+ data []int // 数据
+}
+
+func newArrayStack() *arrayStack {
+ return &arrayStack{
+ // 设置栈的长度为 0，容量为 16
+ data: make([]int, 0, 16),
+ }
+}
+
+// size 栈的长度
+func (s *arrayStack) size() int {
+ return len(s.data)
+}
+
+// isEmpty 栈是否为空
+func (s *arrayStack) isEmpty() bool {
+ return s.size() == 0
+}
+
+// push 入栈
+func (s *arrayStack) push(v int) {
+ // 切片会自动扩容
+ s.data = append(s.data, v)
+}
+
+// pop 出栈
+func (s *arrayStack) pop() any {
+ // 弹出栈前，先判断是否为空
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ val := s.peek()
+ s.data = s.data[:len(s.data)-1]
+ return val
+}
+
+// peek 获取栈顶元素
+func (s *arrayStack) peek() any {
+ if s.isEmpty() {
+ return nil
+ }
+ val := s.data[len(s.data)-1]
+ return val
+}
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack {
+ stack;
+ constructor() {
+ this.stack = [];
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ get size() {
+ return this.stack.length;
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ empty() {
+ return this.stack.length === 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ push(num) {
+ this.stack.push(num);
+ }
+ /* 出栈 */
+ pop() {
+ if (this.empty())
+ throw new Error("栈为空");
+ return this.stack.pop();
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ top() {
+ if (this.empty())
+ throw new Error("栈为空");
+ return this.stack[this.stack.length - 1];
+ }
+};
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack {
+ private stack: number[];
+ constructor() {
+ this.stack = [];
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ get size(): number {
+ return this.stack.length;
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ empty(): boolean {
+ return this.stack.length === 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ push(num: number): void {
+ this.stack.push(num);
+ }
+ /* 出栈 */
+ pop(): number | undefined {
+ if (this.empty())
+ throw new Error('栈为空');
+ return this.stack.pop();
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ top(): number | undefined {
+ if (this.empty())
+ throw new Error('栈为空');
+ return this.stack[this.stack.length - 1];
+ }
+};
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack
+{
+ private List<int> stack;
+ public ArrayStack()
+ {
+ // 初始化列表（动态数组）
+ stack = new();
+ }
+ /* 获取栈的长度 */
+ public int size()
+ {
+ return stack.Count();
+ }
+ /* 判断栈是否为空 */
+ public bool isEmpty()
+ {
+ return size() == 0;
+ }
+ /* 入栈 */
+ public void push(int num)
+ {
+ stack.Add(num);
+ }
+ /* 出栈 */
+ public int pop()
+ {
+ if (isEmpty())
+ throw new Exception();
+ var val = peek();
+ stack.RemoveAt(size() - 1);
+ return val;
+ }
+ /* 访问栈顶元素 */
+ public int peek()
+ {
+ if (isEmpty())
+ throw new Exception();
+ return stack[size() - 1];
+ }
+}
+/* 基于数组实现的栈 */
+class ArrayStack {
+ private var stack: [Int]
+
+ init() {
+ // 初始化列表（动态数组）
+ stack = []
+ }
+
+ /* 获取栈的长度 */
+ func size() -> Int {
+ stack.count
+ }
+
+ /* 判断栈是否为空 */
+ func isEmpty() -> Bool {
+ stack.isEmpty
+ }
+
+ /* 入栈 */
+ func push(num: Int) {
+ stack.append(num)
+ }
+
+ /* 出栈 */
+ @discardableResult
+ func pop() -> Int {
+ if isEmpty() {
+ fatalError("栈为空")
+ }
+ return stack.removeLast()
+ }
+
+ /* 访问栈顶元素 */
+ func peek() -> Int {
+ if isEmpty() {
+ fatalError("栈为空")
+ }
+ return stack.last!
+ }
+}
+两种实现都支持栈定义中的各项操作，数组实现额外支持随机访问，但这已经超出栈的定义范畴，一般不会用到。
+在数组（列表）实现中，入栈与出栈操作都是在预先分配好的连续内存中操作，具有很好的缓存本地性，效率很好。然而，如果入栈时超出数组容量，则会触发扩容机制，那么该次入栈操作的时间复杂度为 \(O(n)\) 。
+在链表实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时变慢的问题。然而，入栈操作需要初始化结点对象并修改指针，因而效率不如数组。进一步地思考，如果入栈元素不是 int 而是结点对象，那么就可以省去初始化步骤，从而提升效率。
综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型（例如 int , double ）时，则结论如下：
在初始化列表时，系统会给列表分配“初始容量”，该容量可能超过我们的需求。并且扩容机制一般是按照特定倍率（比如 2 倍）进行扩容，扩容后的容量也可能超出我们的需求。因此，数组实现栈会造成一定的空间浪费。
+当然，由于结点需要额外存储指针，因此 链表结点比数组元素占用更大。
+综上，我们不能简单地确定哪种实现更加省内存，需要 case-by-case 地分析。
+在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 \(O(\log n)\) 劣化至 \(O(n)\) 。
+如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
+
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
+
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 \(O(\log n)\) 级别。
+换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。
+「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
+在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 height 变量。
class TreeNode {
+ val; // 结点值
+ left; // 左子结点指针
+ right; // 右子结点指针
+ height; //结点高度
+ constructor(val, left, right, height) {
+ this.val = val === undefined ? 0 : val;
+ this.left = left === undefined ? null : left;
+ this.right = right === undefined ? null : right;
+ this.height = height === undefined ? 0 : height;
+ }
+}
+「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。
+""" 获取结点高度 """
+def height(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:
+ # 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+ if node is not None:
+ return node.height
+ return -1
+
+""" 更新结点高度 """
+def __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):
+ # 结点高度等于最高子树高度 + 1
+ node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
+/* 获取结点高度 */
+func height(node *TreeNode) int {
+ // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+ if node != nil {
+ return node.Height
+ }
+ return -1
+}
+
+/* 更新结点高度 */
+func updateHeight(node *TreeNode) {
+ lh := height(node.Left)
+ rh := height(node.Right)
+ // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+ if lh > rh {
+ node.Height = lh + 1
+ } else {
+ node.Height = rh + 1
+ }
+}
+结点的「平衡因子 Balance Factor」是 结点的左子树高度减去右子树高度，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
+Note
+设平衡因子为 \(f\) ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 \(-1 \le f \le 1\) 。
+AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
+我们将平衡因子的绝对值 \(> 1\) 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
+如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 结点 3。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 node ，将其左子节点记为 child ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
进而，如果结点 child 本身有右子结点（记为 grandChild ），则需要在「右旋」中添加一步：将 grandChild 作为 node 的左子结点。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
+/* 右旋操作 */
+TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
+ TreeNode child = node.left;
+ TreeNode grandChild = child.right;
+ // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+ child.right = node;
+ node.left = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+/* 右旋操作 */
+TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
+ TreeNode* child = node->left;
+ TreeNode* grandChild = child->right;
+ // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+ child->right = node;
+ node->left = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+""" 右旋操作 """
+def __right_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:
+ child = node.left
+ grand_child = child.right
+ # 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+ child.right = node
+ node.left = grand_child
+ # 更新结点高度
+ self.__update_height(node)
+ self.__update_height(child)
+ # 返回旋转后子树的根节点
+ return child
+/* 右旋操作 */
+TreeNode? rightRotate(TreeNode? node)
+{
+ TreeNode? child = node.left;
+ TreeNode? grandChild = child?.right;
+ // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+ child.right = node;
+ node.left = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+/* 右旋操作 */
+func rightRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
+ let child = node?.left
+ let grandChild = child?.right
+ // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+ child?.right = node
+ node?.left = grandChild
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node: node)
+ updateHeight(node: child)
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child
+}
+类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。
+
同理，若结点 child 本身有左子结点（记为 grandChild ），则需要在「左旋」中添加一步：将 grandChild 作为 node 的右子结点。
观察发现，「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 left 替换为 right 、所有的 right 替换为 left ，即可得到「左旋」代码。
/* 左旋操作 */
+private TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
+ TreeNode child = node.right;
+ TreeNode grandChild = child.left;
+ // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+ child.left = node;
+ node.right = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+/* 左旋操作 */
+TreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {
+ TreeNode* child = node->right;
+ TreeNode* grandChild = child->left;
+ // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+ child->left = node;
+ node->right = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+""" 左旋操作 """
+def __left_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:
+ child = node.right
+ grand_child = child.left
+ # 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+ child.left = node
+ node.right = grand_child
+ # 更新结点高度
+ self.__update_height(node)
+ self.__update_height(child)
+ # 返回旋转后子树的根节点
+ return child
+/* 左旋操作 */
+TreeNode? leftRotate(TreeNode? node)
+{
+ TreeNode? child = node.right;
+ TreeNode? grandChild = child?.left;
+ // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+ child.left = node;
+ node.right = grandChild;
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node);
+ updateHeight(child);
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child;
+}
+/* 左旋操作 */
+func leftRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
+ let child = node?.right
+ let grandChild = child?.left
+ // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+ child?.left = node
+ node?.right = grandChild
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node: node)
+ updateHeight(node: child)
+ // 返回旋转后子树的根节点
+ return child
+}
+对于下图的失衡结点 3 ，单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 child 执行「左旋」，再对 node 执行「右旋」。
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 child 执行「右旋」，然后对 node 执行「左旋」。
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 右旋、左旋、先右后左、先左后右 的旋转操作。
+
具体地，在代码中使用 失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
+| 失衡结点的平衡因子 | +子结点的平衡因子 | +应采用的旋转方法 | +
|---|---|---|
| \(>0\) （即左偏树） | +\(\geq 0\) | +右旋 | +
| \(>0\) （即左偏树） | +\(<0\) | +先左旋后右旋 | +
| \(<0\) （即右偏树） | +\(\leq 0\) | +左旋 | +
| \(<0\) （即右偏树） | +\(>0\) | +先右旋后左旋 | +
为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡结点重新恢复平衡。
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+TreeNode rotate(TreeNode node) {
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ int balanceFactor = balanceFactor(node);
+ // 左偏树
+ if (balanceFactor > 1) {
+ if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
+ // 右旋
+ return rightRotate(node);
+ } else {
+ // 先左旋后右旋
+ node.left = leftRotate(node.left);
+ return rightRotate(node);
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if (balanceFactor < -1) {
+ if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
+ // 左旋
+ return leftRotate(node);
+ } else {
+ // 先右旋后左旋
+ node.right = rightRotate(node.right);
+ return leftRotate(node);
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node;
+}
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ int _balanceFactor = balanceFactor(node);
+ // 左偏树
+ if (_balanceFactor > 1) {
+ if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
+ // 右旋
+ return rightRotate(node);
+ } else {
+ // 先左旋后右旋
+ node->left = leftRotate(node->left);
+ return rightRotate(node);
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if (_balanceFactor < -1) {
+ if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
+ // 左旋
+ return leftRotate(node);
+ } else {
+ // 先右旋后左旋
+ node->right = rightRotate(node->right);
+ return leftRotate(node);
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node;
+}
+""" 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 """
+def __rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:
+ # 获取结点 node 的平衡因子
+ balance_factor = self.balance_factor(node)
+ # 左偏树
+ if balance_factor > 1:
+ if self.balance_factor(node.left) >= 0:
+ # 右旋
+ return self.__right_rotate(node)
+ else:
+ # 先左旋后右旋
+ node.left = self.__left_rotate(node.left)
+ return self.__right_rotate(node)
+ # 右偏树
+ elif balance_factor < -1:
+ if self.balance_factor(node.right) <= 0:
+ # 左旋
+ return self.__left_rotate(node)
+ else:
+ # 先右旋后左旋
+ node.right = self.__right_rotate(node.right)
+ return self.__left_rotate(node)
+ # 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+func rotate(node *TreeNode) *TreeNode {
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ // Go 推荐短变量，这里 bf 指代 balanceFactor
+ bf := balanceFactor(node)
+ // 左偏树
+ if bf > 1 {
+ if balanceFactor(node.Left) >= 0 {
+ // 右旋
+ return rightRotate(node)
+ } else {
+ // 先左旋后右旋
+ node.Left = leftRotate(node.Left)
+ return rightRotate(node)
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if bf < -1 {
+ if balanceFactor(node.Right) <= 0 {
+ // 左旋
+ return leftRotate(node)
+ } else {
+ // 先右旋后左旋
+ node.Right = rightRotate(node.Right)
+ return leftRotate(node)
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node
+}
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+rotate(node) {
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ let balanceFactor = this.balanceFactor(node);
+ // 左偏树
+ if (balanceFactor > 1) {
+ if (this.balanceFactor(node.left) >= 0) {
+ // 右旋
+ return this.rightRotate(node);
+ } else {
+ // 先左旋后右旋
+ node.left = this.leftRotate(node.left);
+ return this.rightRotate(node);
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if (balanceFactor < -1) {
+ if (this.balanceFactor(node.right) <= 0) {
+ // 左旋
+ return this.leftRotate(node);
+ } else {
+ // 先右旋后左旋
+ node.right = this.rightRotate(node.right);
+ return this.leftRotate(node);
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node;
+}
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+TreeNode? rotate(TreeNode? node)
+{
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ int balanceFactorInt = balanceFactor(node);
+ // 左偏树
+ if (balanceFactorInt > 1)
+ {
+ if (balanceFactor(node.left) >= 0)
+ {
+ // 右旋
+ return rightRotate(node);
+ }
+ else
+ {
+ // 先左旋后右旋
+ node.left = leftRotate(node?.left);
+ return rightRotate(node);
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if (balanceFactorInt < -1)
+ {
+ if (balanceFactor(node.right) <= 0)
+ {
+ // 左旋
+ return leftRotate(node);
+ }
+ else
+ {
+ // 先右旋后左旋
+ node.right = rightRotate(node?.right);
+ return leftRotate(node);
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node;
+}
+/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+func rotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
+ // 获取结点 node 的平衡因子
+ let balanceFactor = balanceFactor(node: node)
+ // 左偏树
+ if balanceFactor > 1 {
+ if self.balanceFactor(node: node?.left) >= 0 {
+ // 右旋
+ return rightRotate(node: node)
+ } else {
+ // 先左旋后右旋
+ node?.left = leftRotate(node: node?.left)
+ return rightRotate(node: node)
+ }
+ }
+ // 右偏树
+ if balanceFactor < -1 {
+ if self.balanceFactor(node: node?.right) <= 0 {
+ // 左旋
+ return leftRotate(node: node)
+ } else {
+ // 先右旋后左旋
+ node?.right = rightRotate(node: node?.right)
+ return leftRotate(node: node)
+ }
+ }
+ // 平衡树，无需旋转，直接返回
+ return node
+}
+「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以，我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡。
+/* 插入结点 */
+TreeNode insert(int val) {
+ root = insertHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
+ if (node == null) return new TreeNode(val);
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if (val < node.val)
+ node.left = insertHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val)
+ node.right = insertHelper(node.right, val);
+ else
+ return node; // 重复结点不插入，直接返回
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+TreeNode* insert(int val) {
+ root = insertHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
+ if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if (val < node->val)
+ node->left = insertHelper(node->left, val);
+ else if (val > node->val)
+ node->right = insertHelper(node->right, val);
+ else
+ return node; // 重复结点不插入，直接返回
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+""" 插入结点 """
+def insert(self, val) -> TreeNode:
+ self.root = self.__insert_helper(self.root, val)
+ return self.root
+
+""" 递归插入结点（辅助函数）"""
+def __insert_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:
+ if node is None:
+ return TreeNode(val)
+ # 1. 查找插入位置，并插入结点
+ if val < node.val:
+ node.left = self.__insert_helper(node.left, val)
+ elif val > node.val:
+ node.right = self.__insert_helper(node.right, val)
+ else:
+ # 重复结点不插入，直接返回
+ return node
+ # 更新结点高度
+ self.__update_height(node)
+ # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
+ return self.__rotate(node)
+/* 插入结点 */
+func (t *avlTree) insert(val int) *TreeNode {
+ t.root = insertHelper(t.root, val)
+ return t.root
+}
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+func insertHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
+ if node == nil {
+ return NewTreeNode(val)
+ }
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if val < node.Val {
+ node.Left = insertHelper(node.Left, val)
+ } else if val > node.Val {
+ node.Right = insertHelper(node.Right, val)
+ } else {
+ // 重复结点不插入，直接返回
+ return node
+ }
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node)
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node)
+ // 返回子树的根节点
+ return node
+}
+/* 插入结点 */
+insert(val) {
+ this.root = this.insertHelper(this.root, val);
+ return this.root;
+}
+
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+insertHelper(node, val) {
+ if (node === null) return new TreeNode(val);
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if (val < node.val) node.left = this.insertHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val) node.right = this.insertHelper(node.right, val);
+ else return node; // 重复结点不插入，直接返回
+ this.updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = this.rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+public TreeNode? insert(int val)
+{
+ root = insertHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+private TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val)
+{
+ if (node == null) return new TreeNode(val);
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if (val < node.val)
+ node.left = insertHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val)
+ node.right = insertHelper(node.right, val);
+ else
+ return node; // 重复结点不插入，直接返回
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+@discardableResult
+func insert(val: Int) -> TreeNode? {
+ root = insertHelper(node: root, val: val)
+ return root
+}
+
+/* 递归插入结点（辅助函数） */
+func insertHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {
+ var node = node
+ if node == nil {
+ return TreeNode(x: val)
+ }
+ /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+ if val < node!.val {
+ node?.left = insertHelper(node: node?.left, val: val)
+ } else if val > node!.val {
+ node?.right = insertHelper(node: node?.right, val: val)
+ } else {
+ return node // 重复结点不插入，直接返回
+ }
+ updateHeight(node: node) // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node: node)
+ // 返回子树的根节点
+ return node
+}
+「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡。
+/* 删除结点 */
+TreeNode remove(int val) {
+ root = removeHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
+ if (node == null) return null;
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if (val < node.val)
+ node.left = removeHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val)
+ node.right = removeHelper(node.right, val);
+ else {
+ if (node.left == null || node.right == null) {
+ TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if (child == null)
+ return null;
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else
+ node = child;
+ } else {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ TreeNode temp = getInOrderNext(node.right);
+ node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
+ node.val = temp.val;
+ }
+ }
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 删除结点 */
+TreeNode* remove(int val) {
+ root = removeHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
+ if (node == nullptr) return nullptr;
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if (val < node->val)
+ node->left = removeHelper(node->left, val);
+ else if (val > node->val)
+ node->right = removeHelper(node->right, val);
+ else {
+ if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
+ TreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if (child == nullptr) {
+ delete node;
+ return nullptr;
+ }
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else {
+ delete node;
+ node = child;
+ }
+ } else {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ TreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);
+ node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
+ node->val = temp->val;
+ }
+ }
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+""" 删除结点 """
+def remove(self, val: int):
+ root = self.__remove_helper(self.root, val)
+ return root
+
+""" 递归删除结点（辅助函数） """
+def __remove_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:
+ if node is None:
+ return None
+ # 1. 查找结点，并删除之
+ if val < node.val:
+ node.left = self.__remove_helper(node.left, val)
+ elif val > node.val:
+ node.right = self.__remove_helper(node.right, val)
+ else:
+ if node.left is None or node.right is None:
+ child = node.left or node.right
+ # 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if child is None:
+ return None
+ # 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else:
+ node = child
+ else: # 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ temp = self.__get_inorder_next(node.right)
+ node.right = self.__remove_helper(node.right, temp.val)
+ node.val = temp.val
+ # 更新结点高度
+ self.__update_height(node)
+ # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
+ return self.__rotate(node)
+/* 删除结点 */
+func (t *avlTree) remove(val int) *TreeNode {
+ root := removeHelper(t.root, val)
+ return root
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+func removeHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
+ if node == nil {
+ return nil
+ }
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if val < node.Val {
+ node.Left = removeHelper(node.Left, val)
+ } else if val > node.Val {
+ node.Right = removeHelper(node.Right, val)
+ } else {
+ if node.Left == nil || node.Right == nil {
+ child := node.Left
+ if node.Right != nil {
+ child = node.Right
+ }
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if child == nil {
+ return nil
+ } else {
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ node = child
+ }
+ } else {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ temp := getInOrderNext(node.Right)
+ node.Right = removeHelper(node.Right, temp.Val)
+ node.Val = temp.Val
+ }
+ }
+ // 更新结点高度
+ updateHeight(node)
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node)
+ // 返回子树的根节点
+ return node
+}
+/* 删除结点 */
+remove(val) {
+ this.root = this.removeHelper(this.root, val);
+ return this.root;
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+removeHelper(node, val) {
+ if (node === null) return null;
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if (val < node.val) node.left = this.removeHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val) node.right = this.removeHelper(node.right, val);
+ else {
+ if (node.left === null || node.right === null) {
+ let child = node.left !== null ? node.left : node.right;
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if (child === null) return null;
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else node = child;
+ } else {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ let temp = this.getInOrderNext(node.right);
+ node.right = this.removeHelper(node.right, temp.val);
+ node.val = temp.val;
+ }
+ }
+ this.updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = this.rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 删除结点 */
+public TreeNode? remove(int val)
+{
+ root = removeHelper(root, val);
+ return root;
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+private TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val)
+{
+ if (node == null) return null;
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if (val < node.val)
+ node.left = removeHelper(node.left, val);
+ else if (val > node.val)
+ node.right = removeHelper(node.right, val);
+ else
+ {
+ if (node.left == null || node.right == null)
+ {
+ TreeNode? child = node.left != null ? node.left : node.right;
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if (child == null)
+ return null;
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else
+ node = child;
+ }
+ else
+ {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ TreeNode? temp = getInOrderNext(node.right);
+ node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
+ node.val = temp.val;
+ }
+ }
+ updateHeight(node); // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node);
+ // 返回子树的根节点
+ return node;
+}
+/* 删除结点 */
+@discardableResult
+func remove(val: Int) -> TreeNode? {
+ root = removeHelper(node: root, val: val)
+ return root
+}
+
+/* 递归删除结点（辅助函数） */
+func removeHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {
+ var node = node
+ if node == nil {
+ return nil
+ }
+ /* 1. 查找结点，并删除之 */
+ if val < node!.val {
+ node?.left = removeHelper(node: node?.left, val: val)
+ } else if val > node!.val {
+ node?.right = removeHelper(node: node?.right, val: val)
+ } else {
+ if node?.left == nil || node?.right == nil {
+ let child = node?.left != nil ? node?.left : node?.right
+ // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+ if child == nil {
+ return nil
+ }
+ // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+ else {
+ node = child
+ }
+ } else {
+ // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+ let temp = getInOrderNext(node: node?.right)
+ node?.right = removeHelper(node: node?.right, val: temp!.val)
+ node?.val = temp!.val
+ }
+ }
+ updateHeight(node: node) // 更新结点高度
+ /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+ node = rotate(node: node)
+ // 返回子树的根节点
+ return node
+}
+「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。
+为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？
+红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
+「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
+1. ；
给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系
cur.val < num ，说明目标结点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；cur.val > num ，说明目标结点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；cur.val = num ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 \(O(\log n)\) 时间。
+/* 查找结点 */
+TreeNode search(int num) {
+ TreeNode cur = root;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null) {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ else if (cur.val > num) cur = cur.left;
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ else break;
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur;
+}
+/* 查找结点 */
+TreeNode* search(int num) {
+ TreeNode* cur = root;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != nullptr) {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ if (cur->val < num) cur = cur->right;
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ else if (cur->val > num) cur = cur->left;
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ else break;
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur;
+}
+""" 查找结点 """
+def search(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+ cur = self.root
+ # 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while cur is not None:
+ # 目标结点在 cur 的右子树中
+ if cur.val < num:
+ cur = cur.right
+ # 目标结点在 cur 的左子树中
+ elif cur.val > num:
+ cur = cur.left
+ # 找到目标结点，跳出循环
+ else:
+ break
+ return cur
+/* 查找结点 */
+func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
+ node := bst.root
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ for node != nil {
+ if node.Val < num {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ node = node.Right
+ } else if node.Val > num {
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ node = node.Left
+ } else {
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ break
+ }
+ }
+ // 返回目标结点
+ return node
+}
+/* 查找结点 */
+function search(num) {
+ let cur = root;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ else if (cur.val > num) cur = cur.left;
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ else break;
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur;
+}
+/* 查找结点 */
+function search(num: number): TreeNode | null {
+ let cur = root;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ if (cur.val < num) {
+ cur = cur.right; // 目标结点在 cur 的右子树中
+ } else if (cur.val > num) {
+ cur = cur.left; // 目标结点在 cur 的左子树中
+ } else {
+ break; // 找到目标结点，跳出循环
+ }
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur;
+}
+/* 查找结点 */
+TreeNode? search(int num)
+{
+ TreeNode? cur = root;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null)
+ {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ else if (cur.val > num) cur = cur.left;
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ else break;
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur;
+}
+/* 查找结点 */
+func search(num: Int) -> TreeNode? {
+ var cur = root
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while cur != nil {
+ // 目标结点在 cur 的右子树中
+ if cur!.val < num {
+ cur = cur?.right
+ }
+ // 目标结点在 cur 的左子树中
+ else if cur!.val > num {
+ cur = cur?.left
+ }
+ // 找到目标结点，跳出循环
+ else {
+ break
+ }
+ }
+ // 返回目标结点
+ return cur
+}
+给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 \(\text{null}\) ）时跳出循环；num ，将该结点放到 \(\text{null}\) 的位置 ；二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
+
/* 插入结点 */
+TreeNode insert(int num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == null) return null;
+ TreeNode cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null) {
+ // 找到重复结点，直接返回
+ if (cur.val == num) return null;
+ pre = cur;
+ // 插入位置在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 插入位置在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+ // 插入结点 val
+ TreeNode node = new TreeNode(num);
+ if (pre.val < num) pre.right = node;
+ else pre.left = node;
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+TreeNode* insert(int num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == nullptr) return nullptr;
+ TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != nullptr) {
+ // 找到重复结点，直接返回
+ if (cur->val == num) return nullptr;
+ pre = cur;
+ // 插入位置在 cur 的右子树中
+ if (cur->val < num) cur = cur->right;
+ // 插入位置在 cur 的左子树中
+ else cur = cur->left;
+ }
+ // 插入结点 val
+ TreeNode* node = new TreeNode(num);
+ if (pre->val < num) pre->right = node;
+ else pre->left = node;
+ return node;
+}
+""" 插入结点 """
+def insert(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+ root = self.root
+ # 若树为空，直接提前返回
+ if root is None:
+ return None
+
+ # 循环查找，越过叶结点后跳出
+ cur, pre = root, None
+ while cur is not None:
+ # 找到重复结点，直接返回
+ if cur.val == num:
+ return None
+ pre = cur
+ # 插入位置在 cur 的右子树中
+ if cur.val < num:
+ cur = cur.right
+ # 插入位置在 cur 的左子树中
+ else:
+ cur = cur.left
+
+ # 插入结点 val
+ node = TreeNode(num)
+ if pre.val < num:
+ pre.right = node
+ else:
+ pre.left = node
+ return node
+/* 插入结点 */
+func (bst *binarySearchTree) insert(num int) *TreeNode {
+ cur := bst.root
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if cur == nil {
+ return nil
+ }
+ // 待插入结点之前的结点位置
+ var pre *TreeNode = nil
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ for cur != nil {
+ if cur.Val == num {
+ return nil
+ }
+ pre = cur
+ if cur.Val < num {
+ cur = cur.Right
+ } else {
+ cur = cur.Left
+ }
+ }
+ // 插入结点
+ node := NewTreeNode(num)
+ if pre.Val < num {
+ pre.Right = node
+ } else {
+ pre.Left = node
+ }
+ return cur
+}
+/* 插入结点 */
+function insert(num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root === null) return null;
+ let cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ // 找到重复结点，直接返回
+ if (cur.val === num) return null;
+ pre = cur;
+ // 插入位置在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 插入位置在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+ // 插入结点 val
+ let node = new Tree.TreeNode(num);
+ if (pre.val < num) pre.right = node;
+ else pre.left = node;
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+function insert(num: number): TreeNode | null {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root === null) {
+ return null;
+ }
+ let cur = root,
+ pre: TreeNode | null = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ if (cur.val === num) {
+ return null; // 找到重复结点，直接返回
+ }
+ pre = cur;
+ if (cur.val < num) {
+ cur = cur.right as TreeNode; // 插入位置在 cur 的右子树中
+ } else {
+ cur = cur.left as TreeNode; // 插入位置在 cur 的左子树中
+ }
+ }
+ // 插入结点 val
+ let node = new TreeNode(num);
+ if (pre!.val < num) {
+ pre!.right = node;
+ } else {
+ pre!.left = node;
+ }
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+TreeNode? insert(int num)
+{
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == null) return null;
+ TreeNode? cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null)
+ {
+ // 找到重复结点，直接返回
+ if (cur.val == num) return null;
+ pre = cur;
+ // 插入位置在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 插入位置在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+
+ // 插入结点 val
+ TreeNode node = new TreeNode(num);
+ if (pre != null)
+ {
+ if (pre.val < num) pre.right = node;
+ else pre.left = node;
+ }
+ return node;
+}
+/* 插入结点 */
+func insert(num: Int) -> TreeNode? {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if root == nil {
+ return nil
+ }
+ var cur = root
+ var pre: TreeNode?
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while cur != nil {
+ // 找到重复结点，直接返回
+ if cur!.val == num {
+ return nil
+ }
+ pre = cur
+ // 插入位置在 cur 的右子树中
+ if cur!.val < num {
+ cur = cur?.right
+ }
+ // 插入位置在 cur 的左子树中
+ else {
+ cur = cur?.left
+ }
+ }
+ // 插入结点 val
+ let node = TreeNode(x: num)
+ if pre!.val < num {
+ pre?.right = node
+ } else {
+ pre?.left = node
+ }
+ return node
+}
+为了插入结点，需要借助 辅助结点 pre 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \(\text{null}\) 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。
与查找结点相同，插入结点使用 \(O(\log n)\) 时间。
+与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：
+当待删除结点的子结点数量 \(= 0\) 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。
+
当待删除结点的子结点数量 \(= 1\) 时，将待删除结点替换为其子结点即可。
+
当待删除结点的子结点数量 \(= 2\) 时，删除操作分为三步：
+nex ；nex ；nex 替换待删除结点；
删除结点操作也使用 \(O(\log n)\) 时间，其中查找待删除结点 \(O(\log n)\) ，获取中序遍历后继结点 \(O(\log n)\) 。
+/* 删除结点 */
+TreeNode remove(int num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == null) return null;
+ TreeNode cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null) {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if (cur.val == num) break;
+ pre = cur;
+ // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if (cur == null) return null;
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if (cur.left == null || cur.right == null) {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
+ // 删除结点 cur
+ if (pre.left == cur) pre.left = child;
+ else pre.right = child;
+ // 释放内存
+ delete cur;
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ TreeNode nex = getInOrderNext(cur.right);
+ int tmp = nex.val;
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(nex.val);
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur.val = tmp;
+ }
+ return cur;
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+public TreeNode getInOrderNext(TreeNode root) {
+ if (root == null) return root;
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while (root.left != null) {
+ root = root.left;
+ }
+ return root;
+}
+/* 删除结点 */
+TreeNode* remove(int num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == nullptr) return nullptr;
+ TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != nullptr) {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if (cur->val == num) break;
+ pre = cur;
+ // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ if (cur->val < num) cur = cur->right;
+ // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ else cur = cur->left;
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if (cur == nullptr) return nullptr;
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子结点
+ TreeNode* child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
+ // 删除结点 cur
+ if (pre->left == cur) pre->left = child;
+ else pre->right = child;
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ TreeNode* nex = getInOrderNext(cur->right);
+ int tmp = nex->val;
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(nex->val);
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur->val = tmp;
+ }
+ return cur;
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+TreeNode* getInOrderNext(TreeNode* root) {
+ if (root == nullptr) return root;
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while (root->left != nullptr) {
+ root = root->left;
+ }
+ return root;
+}
+""" 删除结点 """
+def remove(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+ root = self.root
+ # 若树为空，直接提前返回
+ if root is None:
+ return None
+
+ # 循环查找，越过叶结点后跳出
+ cur, pre = root, None
+ while cur is not None:
+ # 找到待删除结点，跳出循环
+ if cur.val == num:
+ break
+ pre = cur
+ if cur.val < num: # 待删除结点在 cur 的右子树中
+ cur = cur.right
+ else: # 待删除结点在 cur 的左子树中
+ cur = cur.left
+ # 若无待删除结点，则直接返回
+ if cur is None:
+ return None
+
+ # 子结点数量 = 0 or 1
+ if cur.left is None or cur.right is None:
+ # 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ child = cur.left or cur.right
+ # 删除结点 cur
+ if pre.left == cur:
+ pre.left = child
+ else:
+ pre.right = child
+ # 子结点数量 = 2
+ else:
+ # 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ nex = self.get_inorder_next(cur.right)
+ tmp = nex.val
+ # 递归删除结点 nex
+ self.remove(nex.val)
+ # 将 nex 的值复制给 cur
+ cur.val = tmp
+ return cur
+
+""" 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） """
+def get_inorder_next(self, root: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+ if root is None:
+ return root
+ # 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while root.left is not None:
+ root = root.left
+ return root
+/* 删除结点 */
+func (bst *binarySearchTree) remove(num int) *TreeNode {
+ cur := bst.root
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if cur == nil {
+ return nil
+ }
+ // 待删除结点之前的结点位置
+ var pre *TreeNode = nil
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ for cur != nil {
+ if cur.Val == num {
+ break
+ }
+ pre = cur
+ if cur.Val < num {
+ // 待删除结点在右子树中
+ cur = cur.Right
+ } else {
+ // 待删除结点在左子树中
+ cur = cur.Left
+ }
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if cur == nil {
+ return nil
+ }
+ // 子结点数为 0 或 1
+ if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
+ var child *TreeNode = nil
+ // 取出待删除结点的子结点
+ if cur.Left != nil {
+ child = cur.Left
+ } else {
+ child = cur.Right
+ }
+ // 将子结点替换为待删除结点
+ if pre.Left == cur {
+ pre.Left = child
+ } else {
+ pre.Right = child
+ }
+ // 子结点数为 2
+ } else {
+ // 获取中序遍历中待删除结点 cur 的下一个结点
+ next := bst.getInOrderNext(cur)
+ temp := next.Val
+ // 递归删除结点 next
+ bst.remove(next.Val)
+ // 将 next 的值复制给 cur
+ cur.Val = temp
+ }
+ return cur
+}
+
+/* 获取中序遍历的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+func (bst *binarySearchTree) getInOrderNext(node *TreeNode) *TreeNode {
+ if node == nil {
+ return node
+ }
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ for node.Left != nil {
+ node = node.Left
+ }
+ return node
+}
+/* 删除结点 */
+function remove(num) {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root === null) return null;
+ let cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if (cur.val === num) break;
+ pre = cur;
+ // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if (cur === null) return null;
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if (cur.left === null || cur.right === null) {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
+ // 删除结点 cur
+ if (pre.left === cur) pre.left = child;
+ else pre.right = child;
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ let nex = getInOrderNext(cur.right);
+ let tmp = nex.val;
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(nex.val);
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur.val = tmp;
+ }
+ return cur;
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+function getInOrderNext(root) {
+ if (root === null) return root;
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while (root.left !== null) {
+ root = root.left;
+ }
+ return root;
+}
+/* 删除结点 */
+function remove(num: number): TreeNode | null {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root === null) {
+ return null;
+ }
+ let cur = root,
+ pre: TreeNode | null = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur !== null) {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if (cur.val === num) {
+ break;
+ }
+ pre = cur;
+ if (cur.val < num) {
+ cur = cur.right as TreeNode; // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ } else {
+ cur = cur.left as TreeNode; // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ }
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if (cur === null) {
+ return null;
+ }
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if (cur.left === null || cur.right === null) {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
+ // 删除结点 cur
+ if (pre!.left === cur) {
+ pre!.left = child;
+ } else {
+ pre!.right = child;
+ }
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ let next = getInOrderNext(cur.right);
+ let tmp = next!.val;
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(next!.val);
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur.val = tmp;
+ }
+ return cur;
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+function getInOrderNext(root: TreeNode | null): TreeNode | null {
+ if (root === null) {
+ return null;
+ }
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while (root.left !== null) {
+ root = root.left;
+ }
+ return root;
+}
+/* 删除结点 */
+TreeNode? remove(int num)
+{
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if (root == null) return null;
+ TreeNode? cur = root, pre = null;
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while (cur != null)
+ {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if (cur.val == num) break;
+ pre = cur;
+ // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ if (cur.val < num) cur = cur.right;
+ // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ else cur = cur.left;
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if (cur == null || pre == null) return null;
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if (cur.left == null || cur.right == null)
+ {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ TreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
+ // 删除结点 cur
+ if (pre.left == cur)
+ {
+ pre.left = child;
+ }
+ else
+ {
+ pre.right = child;
+ }
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else
+ {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ TreeNode? nex = getInOrderNext(cur.right);
+ if (nex != null)
+ {
+ int tmp = nex.val;
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(nex.val);
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur.val = tmp;
+ }
+ }
+ return cur;
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+private TreeNode? getInOrderNext(TreeNode? root)
+{
+ if (root == null) return root;
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while (root.left != null)
+ {
+ root = root.left;
+ }
+ return root;
+}
+/* 删除结点 */
+@discardableResult
+func remove(num: Int) -> TreeNode? {
+ // 若树为空，直接提前返回
+ if root == nil {
+ return nil
+ }
+ var cur = root
+ var pre: TreeNode?
+ // 循环查找，越过叶结点后跳出
+ while cur != nil {
+ // 找到待删除结点，跳出循环
+ if cur!.val == num {
+ break
+ }
+ pre = cur
+ // 待删除结点在 cur 的右子树中
+ if cur!.val < num {
+ cur = cur?.right
+ }
+ // 待删除结点在 cur 的左子树中
+ else {
+ cur = cur?.left
+ }
+ }
+ // 若无待删除结点，则直接返回
+ if cur == nil {
+ return nil
+ }
+ // 子结点数量 = 0 or 1
+ if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
+ // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
+ let child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right
+ // 删除结点 cur
+ if pre?.left === cur {
+ pre?.left = child
+ } else {
+ pre?.right = child
+ }
+ }
+ // 子结点数量 = 2
+ else {
+ // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
+ let nex = getInOrderNext(root: cur?.right)
+ let tmp = nex!.val
+ // 递归删除结点 nex
+ remove(num: nex!.val)
+ // 将 nex 的值复制给 cur
+ cur?.val = tmp
+ }
+ return cur
+}
+
+/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+func getInOrderNext(root: TreeNode?) -> TreeNode? {
+ var root = root
+ if root == nil {
+ return root
+ }
+ // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+ while root?.left != nil {
+ root = root?.left
+ }
+ return root
+}
+我们知道，「中序遍历」遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 \(<\) 根结点 \(<\) 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
+借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 \(O(n)\) 时间，而无需额外排序，非常高效。
+
假设给定 \(n\) 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
+为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：
+观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 \(n\) 很大时有巨大优势。
+| + | 无序数组 | +有序数组 | +二叉搜索树 | +
|---|---|---|---|
| 查找指定元素 | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +\(O(\log n)\) | +
| 插入元素 | +\(O(1)\) | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +
| 删除元素 | +\(O(n)\) | +\(O(n)\) | +\(O(\log n)\) | +
| 获取最小 / 最大元素 | +\(O(n)\) | +\(O(1)\) | +\(O(\log n)\) | +
理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 \(\log n\) 轮循环内查找任意结点。
+如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 \(O(n)\) 。
+Note
+在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。
+
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
+/* 链表结点类 */
+class TreeNode {
+ val: number;
+ left: TreeNode | null;
+ right: TreeNode | null;
+
+ constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
+ this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
+ this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
+ this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
+ }
+}
+结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。
+除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 及其以下结点形成的树」和「结点 5 及其以下结点形成的树」。
+
Fig. 子结点与子树
+ +二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
+
Fig. 二叉树的常见术语
+ +高度与深度的定义
+值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
+初始化二叉树。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
+插入与删除结点。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
+
Fig. 在二叉树中插入与删除结点
+ +Note
+插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
+「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 \(= h\) ，则结点总数 \(= 2^{h+1} - 1\) ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
+Tip
+在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。
+
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
+完全二叉树非常适合用数组来表示。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 null 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
+
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 \(\leq 1\) 。
+
当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
+
Fig. 二叉树的最佳和最差结构
+ +如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
+| + | 完美二叉树 | +链表 | +
|---|---|---|
| 第 \(i\) 层的结点数量 | +\(2^{i-1}\) | +\(1\) | +
| 树的高度为 \(h\) 时的叶结点数量 | +\(2^h\) | +\(1\) | +
| 树的高度为 \(h\) 时的结点总数 | +\(2^{h+1} - 1\) | +\(h + 1\) | +
| 树的结点总数为 \(n\) 时的高度 | +\(\log_2 (n+1) - 1\) | +\(n - 1\) | +
我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 TreeNode ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：设结点的索引为 \(i\) ，则该结点的左子结点索引为 \(2i + 1\) 、右子结点索引为 \(2i + 2\) 。
+本质上，映射公式的作用就是链表中的指针。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
+
然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 null ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。
+
回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
+
数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。
+ + + + + +非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
+「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
+层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
+
Fig. 二叉树的层序遍历
+ +广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。
+/* 层序遍历 */
+List<Integer> hierOrder(TreeNode root) {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ List<Integer> list = new ArrayList<>();
+ while (!queue.isEmpty()) {
+ TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
+ list.add(node.val); // 保存结点值
+ if (node.left != null)
+ queue.offer(node.left); // 左子结点入队
+ if (node.right != null)
+ queue.offer(node.right); // 右子结点入队
+ }
+ return list;
+}
+/* 层序遍历 */
+vector<int> hierOrder(TreeNode* root) {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ queue<TreeNode*> queue;
+ queue.push(root);
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ vector<int> vec;
+ while (!queue.empty()) {
+ TreeNode* node = queue.front();
+ queue.pop(); // 队列出队
+ vec.push_back(node->val); // 保存结点
+ if (node->left != nullptr)
+ queue.push(node->left); // 左子结点入队
+ if (node->right != nullptr)
+ queue.push(node->right); // 右子结点入队
+ }
+ return vec;
+}
+""" 层序遍历 """
+def hier_order(root: Optional[TreeNode]):
+ # 初始化队列，加入根结点
+ queue = collections.deque()
+ queue.append(root)
+ # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ res = []
+ while queue:
+ node = queue.popleft() # 队列出队
+ res.append(node.val) # 保存节点值
+ if node.left is not None:
+ queue.append(node.left) # 左子结点入队
+ if node.right is not None:
+ queue.append(node.right) # 右子结点入队
+ return res
+/* 层序遍历 */
+func levelOrder(root *TreeNode) []int {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ queue := list.New()
+ queue.PushBack(root)
+ // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
+ nums := make([]int, 0)
+ for queue.Len() > 0 {
+ // poll
+ node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
+ // 保存结点
+ nums = append(nums, node.Val)
+ if node.Left != nil {
+ // 左子结点入队
+ queue.PushBack(node.Left)
+ }
+ if node.Right != nil {
+ // 右子结点入队
+ queue.PushBack(node.Right)
+ }
+ }
+ return nums
+}
+/* 层序遍历 */
+function hierOrder(root) {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ let queue = [root];
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ let list = [];
+ while (queue.length) {
+ let node = queue.shift(); // 队列出队
+ list.push(node.val); // 保存结点
+ if (node.left)
+ queue.push(node.left); // 左子结点入队
+ if (node.right)
+ queue.push(node.right); // 右子结点入队
+ }
+ return list;
+}
+/* 层序遍历 */
+function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ const queue = [root];
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ const list: number[] = [];
+ while (queue.length) {
+ let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
+ list.push(node.val); // 保存结点
+ if (node.left) {
+ queue.push(node.left); // 左子结点入队
+ }
+ if (node.right) {
+ queue.push(node.right); // 右子结点入队
+ }
+ }
+ return list;
+}
+/* 层序遍历 */
+public List<int?> hierOrder(TreeNode root)
+{
+ // 初始化队列，加入根结点
+ Queue<TreeNode> queue = new();
+ queue.Enqueue(root);
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ List<int> list = new();
+ while (queue.Count != 0)
+ {
+ TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
+ list.Add(node.val); // 保存结点值
+ if (node.left != null)
+ queue.Enqueue(node.left); // 左子结点入队
+ if (node.right != null)
+ queue.Enqueue(node.right); // 右子结点入队
+ }
+ return list;
+}
+/* 层序遍历 */
+func hierOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
+ // 初始化队列，加入根结点
+ var queue: [TreeNode] = [root]
+ // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+ var list: [Int] = []
+ while !queue.isEmpty {
+ let node = queue.removeFirst() // 队列出队
+ list.append(node.val) // 保存结点
+ if let left = node.left {
+ queue.append(left) // 左子结点入队
+ }
+ if let right = node.right {
+ queue.append(right) // 右子结点入队
+ }
+ }
+ return list
+}
+相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
+如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
+
Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历
+ +| 位置 | +含义 | +此处访问结点时对应 | +
|---|---|---|
| 橙色圆圈处 | +刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | +前序遍历 Pre-Order Traversal | +
| 蓝色圆圈处 | +已访问完左子树，即将访问右子树 | +中序遍历 In-Order Traversal | +
| 紫色圆圈处 | +已访问完左子树和右子树，即将返回 | +后序遍历 Post-Order Traversal | +
/* 前序遍历 */
+void preOrder(TreeNode root) {
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ list.add(root.val);
+ preOrder(root.left);
+ preOrder(root.right);
+}
+
+/* 中序遍历 */
+void inOrder(TreeNode root) {
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root.left);
+ list.add(root.val);
+ inOrder(root.right);
+}
+
+/* 后序遍历 */
+void postOrder(TreeNode root) {
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root.left);
+ postOrder(root.right);
+ list.add(root.val);
+}
+/* 前序遍历 */
+void preOrder(TreeNode* root) {
+ if (root == nullptr) return;
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ vec.push_back(root->val);
+ preOrder(root->left);
+ preOrder(root->right);
+}
+
+/* 中序遍历 */
+void inOrder(TreeNode* root) {
+ if (root == nullptr) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root->left);
+ vec.push_back(root->val);
+ inOrder(root->right);
+}
+
+/* 后序遍历 */
+void postOrder(TreeNode* root) {
+ if (root == nullptr) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root->left);
+ postOrder(root->right);
+ vec.push_back(root->val);
+}
+""" 前序遍历 """
+def pre_order(root: Optional[TreeNode]):
+ if root is None:
+ return
+ # 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ res.append(root.val)
+ pre_order(root=root.left)
+ pre_order(root=root.right)
+
+""" 中序遍历 """
+def in_order(root: Optional[TreeNode]):
+ if root is None:
+ return
+ # 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ in_order(root=root.left)
+ res.append(root.val)
+ in_order(root=root.right)
+
+""" 后序遍历 """
+def post_order(root: Optional[TreeNode]):
+ if root is None:
+ return
+ # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ post_order(root=root.left)
+ post_order(root=root.right)
+ res.append(root.val)
+/* 前序遍历 */
+func preOrder(node *TreeNode) {
+ if node == nil {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ nums = append(nums, node.Val)
+ preOrder(node.Left)
+ preOrder(node.Right)
+}
+
+/* 中序遍历 */
+func inOrder(node *TreeNode) {
+ if node == nil {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(node.Left)
+ nums = append(nums, node.Val)
+ inOrder(node.Right)
+}
+
+/* 后序遍历 */
+func postOrder(node *TreeNode) {
+ if node == nil {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(node.Left)
+ postOrder(node.Right)
+ nums = append(nums, node.Val)
+}
+/* 前序遍历 */
+function preOrder(root){
+ if (root === null) return;
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ list.push(root.val);
+ preOrder(root.left);
+ preOrder(root.right);
+}
+
+/* 中序遍历 */
+function inOrder(root) {
+ if (root === null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root.left);
+ list.push(root.val);
+ inOrder(root.right);
+}
+
+/* 后序遍历 */
+function postOrder(root) {
+ if (root === null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root.left);
+ postOrder(root.right);
+ list.push(root.val);
+}
+/* 前序遍历 */
+function preOrder(root: TreeNode | null): void {
+ if (root === null) {
+ return;
+ }
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ list.push(root.val);
+ preOrder(root.left);
+ preOrder(root.right);
+}
+
+/* 中序遍历 */
+function inOrder(root: TreeNode | null): void {
+ if (root === null) {
+ return;
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root.left);
+ list.push(root.val);
+ inOrder(root.right);
+}
+
+/* 后序遍历 */
+function postOrder(root: TreeNode | null): void {
+ if (root === null) {
+ return;
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root.left);
+ postOrder(root.right);
+ list.push(root.val);
+}
+/* 前序遍历 */
+void preOrder(TreeNode? root)
+{
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ list.Add(root.val);
+ preOrder(root.left);
+ preOrder(root.right);
+}
+
+/* 中序遍历 */
+void inOrder(TreeNode? root)
+{
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root.left);
+ list.Add(root.val);
+ inOrder(root.right);
+}
+
+/* 后序遍历 */
+void postOrder(TreeNode? root)
+{
+ if (root == null) return;
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root.left);
+ postOrder(root.right);
+ list.Add(root.val);
+}
+/* 前序遍历 */
+func preOrder(root: TreeNode?) {
+ guard let root = root else {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+ list.append(root.val)
+ preOrder(root: root.left)
+ preOrder(root: root.right)
+}
+
+/* 中序遍历 */
+func inOrder(root: TreeNode?) {
+ guard let root = root else {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+ inOrder(root: root.left)
+ list.append(root.val)
+ inOrder(root: root.right)
+}
+
+/* 后序遍历 */
+func postOrder(root: TreeNode?) {
+ guard let root = root else {
+ return
+ }
+ // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+ postOrder(root: root.left)
+ postOrder(root: root.right)
+ list.append(root.val)
+}
+Note
+使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。
+二叉树可以使用数组表示，具体做法是将结点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父结点和子结点之间的索引映射公式实现指针。
+二叉树层序遍历是一种广度优先搜索，体现着“一圈一圈向外”的层进式遍历方式，通常借助队列来实现。
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\u300a Hello\uff0c\u7b97\u6cd5 \u300b
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@Krahets \u300c\u6e05\u6670\u52a8\u753b\u8bb2\u89e3\u300d
\u52a8\u753b\u8be0\u91ca\u91cd\u70b9\uff0c\u5e73\u6ed1\u5b66\u4e60\u66f2\u7ebf\u7535\u8111\u3001\u5e73\u677f\u3001\u624b\u673a\u5168\u7ec8\u7aef\u9605\u8bfb
\"A picture is worth a thousand words.\"
\u201c\u4e00\u56fe\u80dc\u5343\u8a00\u201d
\u300c\u4ee3\u7801\u5b9e\u8df5\u5bfc\u5411\u300d\u63d0\u4f9b\u7ecf\u5178\u7b97\u6cd5\u7684\u6e05\u6670\u5b9e\u73b0\u4e0e\u6d4b\u8bd5\u4ee3\u7801\u591a\u79cd\u8bed\u8a00\uff0c\u8be6\u7ec6\u6ce8\u91ca\uff0c\u7686\u53ef\u4e00\u952e\u8fd0\u884c
\"Talk is cheap. Show me the code.\"
\u201c\u5c11\u5439\u725b\uff0c\u770b\u4ee3\u7801\u201d
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\u300c\u6570\u7ec4 Array\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u5c06 \u76f8\u540c\u7c7b\u578b\u5143\u7d20 \u5b58\u50a8\u5728 \u8fde\u7eed\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4 \u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u5c06\u5143\u7d20\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u4f4d\u7f6e\u79f0\u4e3a\u5143\u7d20\u7684\u300c\u7d22\u5f15 Index\u300d\u3002
Fig. \u6570\u7ec4\u5b9a\u4e49\u4e0e\u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f
Note
\u89c2\u5bdf\u4e0a\u56fe\uff0c\u6211\u4eec\u53d1\u73b0 \u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u7684\u7d22\u5f15\u4e3a \\(0\\) \u3002\u4f60\u53ef\u80fd\u4f1a\u60f3\uff0c\u8fd9\u5e76\u4e0d\u7b26\u5408\u65e5\u5e38\u4e60\u60ef\uff0c\u9996\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u7d22\u5f15\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u662f \\(1\\) \u5462\uff0c\u8fd9\u4e0d\u662f\u66f4\u52a0\u81ea\u7136\u5417\uff1f\u6211\u8ba4\u540c\u4f60\u7684\u60f3\u6cd5\uff0c\u4f46\u8bf7\u5148\u8bb0\u4f4f\u8fd9\u4e2a\u8bbe\u5b9a\uff0c\u540e\u9762\u8bb2\u5185\u5b58\u5730\u5740\u8ba1\u7b97\u65f6\uff0c\u6211\u4f1a\u5c1d\u8bd5\u89e3\u7b54\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u3002
\u6570\u7ec4\u6709\u591a\u79cd\u521d\u59cb\u5316\u5199\u6cd5\u3002\u6839\u636e\u5b9e\u9645\u9700\u8981\uff0c\u9009\u4ee3\u7801\u6700\u77ed\u7684\u90a3\u4e00\u79cd\u5c31\u597d\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java
+
+
/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nint[] arr = new int[5]; // { 0, 0, 0, 0, 0 }\nint[] nums = { 1, 3, 2, 5, 4 };\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nint* arr = new int[5];\nint* nums = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 \"\"\"\narr = [0] * 5 # [ 0, 0, 0, 0, 0 ]\nnums = [1, 3, 2, 5, 4] \n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nvar arr [5]int\n// \u5728 Go \u4e2d\uff0c\u6307\u5b9a\u957f\u5ea6\u65f6\uff08[5]int\uff09\u4e3a\u6570\u7ec4\uff0c\u4e0d\u6307\u5b9a\u957f\u5ea6\u65f6\uff08[]int\uff09\u4e3a\u5207\u7247\n// \u7531\u4e8e Go \u7684\u6570\u7ec4\u88ab\u8bbe\u8ba1\u4e3a\u5728\u7f16\u8bd1\u671f\u786e\u5b9a\u957f\u5ea6\uff0c\u56e0\u6b64\u53ea\u80fd\u4f7f\u7528\u5e38\u91cf\u6765\u6307\u5b9a\u957f\u5ea6\n// \u4e3a\u4e86\u65b9\u4fbf\u5b9e\u73b0\u6269\u5bb9 extend() \u65b9\u6cd5\uff0c\u4ee5\u4e0b\u5c06\u5207\u7247\uff08Slice\uff09\u770b\u4f5c\u6570\u7ec4\uff08Array\uff09\nnums := []int{1, 3, 2, 5, 4}\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nvar arr = new Array(5).fill(0);\nvar nums = [1, 3, 2, 5, 4];\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nlet arr: number[] = new Array(5).fill(0);\nlet nums: number[] = [1, 3, 2, 5, 4];\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nint[] arr = new int[5]; // { 0, 0, 0, 0, 0 }\nint[] nums = { 1, 3, 2, 5, 4 };\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4 */\nlet arr = Array(repeating: 0, count: 5) // [0, 0, 0, 0, 0]\nlet nums = [1, 3, 2, 5, 4]\n// \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4\nvar arr = [_]i32{0} ** 5; // { 0, 0, 0, 0, 0 }\nvar nums = [_]i32{ 1, 3, 2, 5, 4 };\n\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\u975e\u5e38\u9ad8\u6548\u3002\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\uff0c\u8ba1\u7b97\u5143\u7d20\u7684\u5185\u5b58\u5730\u5740\u975e\u5e38\u5bb9\u6613\u3002\u7ed9\u5b9a\u6570\u7ec4\u9996\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u5730\u5740\u3001\u548c\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u7d22\u5f15\uff0c\u5229\u7528\u4ee5\u4e0b\u516c\u5f0f\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97\u5f97\u5230\u8be5\u5143\u7d20\u7684\u5185\u5b58\u5730\u5740\uff0c\u4ece\u800c\u76f4\u63a5\u8bbf\u95ee\u6b64\u5143\u7d20\u3002
Fig. \u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u7684\u5185\u5b58\u5730\u5740\u8ba1\u7b97
// \u5143\u7d20\u5185\u5b58\u5730\u5740 = \u6570\u7ec4\u5185\u5b58\u5730\u5740 + \u5143\u7d20\u957f\u5ea6 * \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nelementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex\n\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u7d22\u5f15\u4ece 0 \u5f00\u59cb\u7f16\u53f7\uff1f \u6839\u636e\u5730\u5740\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\uff0c\u7d22\u5f15\u672c\u8d28\u4e0a\u8868\u793a\u7684\u662f\u5185\u5b58\u5730\u5740\u504f\u79fb\u91cf\uff0c\u9996\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u5730\u5740\u504f\u79fb\u91cf\u662f \\(0\\) \uff0c\u90a3\u4e48\u7d22\u5f15\u662f \\(0\\) \u4e5f\u5c31\u5f88\u81ea\u7136\u4e86\u3002
\u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\u7684\u9ad8\u6548\u6027\u5e26\u6765\u4e86\u8bb8\u591a\u4fbf\u5229\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5728 \\(O(1)\\) \u65f6\u95f4\u5185\u968f\u673a\u83b7\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nint randomAccess(int[] nums) {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.length) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nint randomIndex = ThreadLocalRandom.current().\nnextInt(0, nums.length);\nint randomNum = nums[randomIndex];\nreturn randomNum;\n}\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nint randomAccess(int* nums, int size) {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, size) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nint randomIndex = rand() % size;\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nint randomNum = nums[randomIndex];\nreturn randomNum;\n}\n\"\"\" \u968f\u673a\u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef random_access(nums):\n# \u5728\u533a\u95f4 [0, len(nums)-1] \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nrandom_index = random.randint(0, len(nums) - 1)\n# \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nrandom_num = nums[random_index]\nreturn random_num\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nfunc randomAccess(nums []int) (randomNum int) {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.length) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nrandomIndex := rand.Intn(len(nums))\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nrandomNum = nums[randomIndex]\nreturn\n}\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nfunction randomAccess(nums) {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.length) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nconst random_index = Math.floor(Math.random() * nums.length);\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nconst random_num = nums[random_index];\nreturn random_num;\n}\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nfunction randomAccess(nums: number[]): number {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.length) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nconst random_index = Math.floor(Math.random() * nums.length);\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nconst random_num = nums[random_index];\nreturn random_num;\n}\n\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nint RandomAccess(int[] nums)\n{\nRandom random=new();\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.Length) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nint randomIndex = random.Next(nums.Length);\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nint randomNum = nums[randomIndex];\nreturn randomNum;\n}\n/* \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 */\nfunc randomAccess(nums: [Int]) -> Int {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.count) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\nlet randomIndex = nums.indices.randomElement()!\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nlet randomNum = nums[randomIndex]\nreturn randomNum\n}\n// \u968f\u673a\u8fd4\u56de\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\npub fn randomAccess(nums: []i32) i32 {\n// \u5728\u533a\u95f4 [0, nums.len) \u4e2d\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e2a\u6574\u6570\nvar randomIndex = std.crypto.random.intRangeLessThan(usize, 0, nums.len);\n// \u83b7\u53d6\u5e76\u8fd4\u56de\u968f\u673a\u5143\u7d20\nvar randomNum = nums[randomIndex];\nreturn randomNum;\n}\n\u6570\u7ec4\u5728\u521d\u59cb\u5316\u540e\u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8\u3002\u7531\u4e8e\u7cfb\u7edf\u65e0\u6cd5\u4fdd\u8bc1\u6570\u7ec4\u4e4b\u540e\u7684\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u662f\u53ef\u7528\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u65e0\u6cd5\u6269\u5c55\u3002\u800c\u82e5\u5e0c\u671b\u6269\u5bb9\u6570\u7ec4\uff0c\u5219\u9700\u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u7136\u540e\u628a\u539f\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u4f9d\u6b21\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\uff0c\u5728\u6570\u7ec4\u5f88\u5927\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u8fd9\u662f\u975e\u5e38\u8017\u65f6\u7684\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nint[] extend(int[] nums, int enlarge) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nint[] res = new int[nums.length + enlarge];\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.length; i++) {\nres[i] = nums[i];\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nint* extend(int* nums, int size, int enlarge) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nint* res = new int[size + enlarge];\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\nres[i] = nums[i];\n}\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete[] nums;\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n\"\"\" \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 \"\"\"\n# \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cPython \u7684 list \u662f\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff0c\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u6269\u5c55\n# \u4e3a\u4e86\u65b9\u4fbf\u5b66\u4e60\uff0c\u672c\u51fd\u6570\u5c06 list \u770b\u4f5c\u662f\u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8\u7684\u6570\u7ec4\ndef extend(nums, enlarge):\n# \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nres = [0] * (len(nums) + enlarge)\n# \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor i in range(len(nums)):\nres[i] = nums[i]\n# \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nfunc extend(nums []int, enlarge int) []int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nres := make([]int, len(nums)+enlarge)\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor i, num := range nums {\nres[i] = num\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res\n}\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nfunction extend(nums, enlarge) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nconst res = new Array(nums.length + enlarge).fill(0);\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nres[i] = nums[i];\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nfunction extend(nums: number[], enlarge: number): number[] {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nconst res = new Array(nums.length + enlarge).fill(0);\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nres[i] = nums[i];\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nint[] Extend(int[] nums, int enlarge)\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nint[] res = new int[nums.Length + enlarge];\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\nres[i] = nums[i];\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n/* \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6 */\nfunc extend(nums: [Int], enlarge: Int) -> [Int] {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nvar res = Array(repeating: 0, count: nums.count + enlarge)\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor i in nums.indices {\nres[i] = nums[i]\n}\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res\n}\n// \u6269\u5c55\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\npub fn extend(mem_allocator: std.mem.Allocator, nums: []i32, enlarge: usize) ![]i32 {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u6269\u5c55\u957f\u5ea6\u540e\u7684\u6570\u7ec4\nvar res = try mem_allocator.alloc(i32, nums.len + enlarge);\nstd.mem.set(i32, res, 0);\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nstd.mem.copy(i32, res, nums);\n// \u8fd4\u56de\u6269\u5c55\u540e\u7684\u65b0\u6570\u7ec4\nreturn res;\n}\n\u6570\u7ec4\u4e2d\u63d2\u5165\u6216\u5220\u9664\u5143\u7d20\u6548\u7387\u4f4e\u4e0b\u3002\u5047\u8bbe\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u95f4\u67d0\u4f4d\u7f6e\u63d2\u5165\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u7531\u4e8e\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u5728\u5185\u5b58\u4e2d\u662f\u201c\u7d27\u6328\u7740\u7684\u201d\uff0c\u5b83\u4eec\u4e4b\u95f4\u6ca1\u6709\u7a7a\u95f4\u518d\u653e\u4efb\u4f55\u6570\u636e\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u6211\u4eec\u4e0d\u5f97\u4e0d\u5c06\u6b64\u7d22\u5f15\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u7136\u540e\u518d\u628a\u5143\u7d20\u8d4b\u503c\u7ed9\u8be5\u7d22\u5f15\u3002\u5220\u9664\u5143\u7d20\u4e5f\u662f\u7c7b\u4f3c\uff0c\u9700\u8981\u628a\u6b64\u7d22\u5f15\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\u3002\u603b\u4f53\u770b\u6709\u4ee5\u4e0b\u7f3a\u70b9\uff1a
Fig. \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u5143\u7d20
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nvoid insert(int[] nums, int num, int index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = nums.length - 1; i > index; i--) {\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nvoid remove(int[] nums, int index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = index; i < nums.length - 1; i++) {\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nvoid insert(int* nums, int size, int num, int index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = size - 1; i > index; i--) {\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nvoid remove(int* nums, int size, int index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = index; i < size - 1; i++) {\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n\"\"\" \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num \"\"\"\ndef insert(nums, num, index):\n# \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i in range(len(nums) - 1, index, -1):\nnums[i] = nums[i - 1]\n# \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num\n\"\"\" \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef remove(nums, index):\n# \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i in range(index, len(nums) - 1):\nnums[i] = nums[i + 1]\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nfunc insert(nums []int, num int, index int) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i := len(nums) - 1; i > index; i-- {\nnums[i] = nums[i-1]\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nfunc remove(nums []int, index int) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i := index; i < len(nums)-1; i++ {\nnums[i] = nums[i+1]\n}\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nfunction insert(nums, num, index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nfunction remove(nums, index) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nfunction insert(nums: number[], num: number, index: number): void {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nfunction remove(nums: number[], index: number): void {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nvoid Insert(int[] nums, int num, int index)\n{\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = nums.Length - 1; i > index; i--)\n{\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nvoid Remove(int[] nums, int index)\n{\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int i = index; i < nums.Length - 1; i++)\n{\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num */\nfunc insert(nums: inout [Int], num: Int, index: Int) {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > index + 1 ? $0 - 1 : nil }) {\nnums[i] = nums[i - 1]\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num\n}\n/* \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20 */\nfunc remove(nums: inout [Int], index: Int) {\nlet count = nums.count\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor i in sequence(first: index, next: { $0 < count - 1 - 1 ? $0 + 1 : nil }) {\nnums[i] = nums[i + 1]\n}\n}\n// \u5728\u6570\u7ec4\u7684\u7d22\u5f15 index \u5904\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num\npub fn insert(nums: []i32, num: i32, index: usize) void {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nvar i = nums.len - 1;\nwhile (i > index) : (i -= 1) {\nnums[i] = nums[i - 1];\n}\n// \u5c06 num \u8d4b\u7ed9 index \u5904\u5143\u7d20\nnums[index] = num;\n}\n// \u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u5904\u5143\u7d20\npub fn remove(nums: []i32, index: usize) void {\n// \u628a\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nvar i = index;\nwhile (i < nums.len - 1) : (i += 1) {\nnums[i] = nums[i + 1];\n}\n}\n\u6570\u7ec4\u904d\u5386\u3002\u4ee5\u4e0b\u4ecb\u7ecd\u4e24\u79cd\u5e38\u7528\u7684\u904d\u5386\u65b9\u6cd5\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nvoid traverse(int[] nums) {\nint count = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.length; i++) {\ncount++;\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int num : nums) {\ncount++;\n}\n}\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nvoid traverse(int* nums, int size) {\nint count = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\ncount++;\n}\n} \"\"\" \u904d\u5386\u6570\u7ec4 \"\"\"\ndef traverse(nums):\ncount = 0\n# \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor i in range(len(nums)):\ncount += 1\n# \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor num in nums:\ncount += 1\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nfunc traverse(nums []int) {\ncount := 0\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor i := 0; i < len(nums); i++ {\ncount++\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor range nums {\ncount++\n}\n}\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nfunction traverse(nums) {\nlet count = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\ncount++;\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (let num of nums) {\ncount += 1;\n}\n}\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nfunction traverse(nums: number[]): void {\nlet count = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\ncount++;\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor(let num of nums){\ncount += 1;\n}\n}\n\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nvoid Traverse(int[] nums)\n{\nint count = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\ncount++;\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nforeach (int num in nums)\n{\ncount++;\n}\n}\n/* \u904d\u5386\u6570\u7ec4 */\nfunc traverse(nums: [Int]) {\nvar count = 0\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor _ in nums.indices {\ncount += 1\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor _ in nums {\ncount += 1\n}\n}\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\npub fn traverse(nums: []i32) void {\nvar count: i32 = 0;\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < nums.len) : (i += 1) {\ncount += 1;\n}\ncount = 0;\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (nums) |_| {\ncount += 1;\n}\n}\n\u6570\u7ec4\u67e5\u627e\u3002\u901a\u8fc7\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff0c\u67e5\u627e\u6570\u7ec4\u5185\u7684\u6307\u5b9a\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u8f93\u51fa\u5bf9\u5e94\u7d22\u5f15\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array.java/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nint find(int[] nums, int target) {\nfor (int i = 0; i < nums.length; i++) {\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nint find(int* nums, int size, int target) {\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef find(nums, target):\nfor i in range(len(nums)):\nif nums[i] == target:\nreturn i\nreturn -1\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nfunc find(nums []int, target int) (index int) {\nindex = -1\nfor i := 0; i < len(nums); i++ {\nif nums[i] == target {\nindex = i\nbreak\n}\n}\nreturn\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nfunction find(nums, target) {\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nif (nums[i] == target) return i;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nfunction find(nums: number[], target: number): number {\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nif (nums[i] === target) {\nreturn i;\n}\n}\nreturn -1;\n}\n\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nint Find(int[] nums, int target)\n{\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 */\nfunc find(nums: [Int], target: Int) -> Int {\nfor i in nums.indices {\nif nums[i] == target {\nreturn i\n}\n}\nreturn -1\n}\n// \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20\npub fn find(nums: []i32, target: i32) i32 {\nfor (nums) |num, i| {\nif (num == target) return @intCast(i32, i);\n}\nreturn -1;\n}\n\u968f\u673a\u8bbf\u95ee\u3002\u5982\u679c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u4e00\u4e9b\u6837\u672c\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u7528\u6570\u7ec4\u5b58\u50a8\uff0c\u5e76\u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u968f\u673a\u5e8f\u5217\uff0c\u6839\u636e\u7d22\u5f15\u5b9e\u73b0\u6837\u672c\u7684\u968f\u673a\u62bd\u53d6\u3002
\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u3002\u4f8b\u5982\u524d\u6587\u67e5\u5b57\u5178\u7684\u4f8b\u5b50\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u5b57\u5178\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5b57\u6309\u7167\u62fc\u97f3\u987a\u5e8f\u5b58\u50a8\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\uff0c\u7136\u540e\u4f7f\u7528\u4e0e\u65e5\u5e38\u67e5\u7eb8\u8d28\u5b57\u5178\u76f8\u540c\u7684\u201c\u7ffb\u5f00\u4e2d\u95f4\uff0c\u6392\u9664\u4e00\u534a\u201d\u7684\u65b9\u5f0f\uff0c\u6765\u5b9e\u73b0\u4e00\u4e2a\u67e5\u7535\u5b50\u5b57\u5178\u7684\u7b97\u6cd5\u3002
\u6df1\u5ea6\u5b66\u4e60\u3002\u795e\u7ecf\u7f51\u7edc\u4e2d\u5927\u91cf\u4f7f\u7528\u4e86\u5411\u91cf\u3001\u77e9\u9635\u3001\u5f20\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u8fd0\u7b97\uff0c\u8fd9\u4e9b\u6570\u636e\u90fd\u662f\u4ee5\u6570\u7ec4\u7684\u5f62\u5f0f\u6784\u5efa\u7684\u3002\u6570\u7ec4\u662f\u795e\u7ecf\u7f51\u7edc\u7f16\u7a0b\u4e2d\u6700\u5e38\u4f7f\u7528\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002
"},{"location":"chapter_array_and_linkedlist/linked_list/","title":"4.2. \u94fe\u8868","text":"\u5f15\u8a00
\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u662f\u6240\u6709\u7a0b\u5e8f\u7684\u516c\u5171\u8d44\u6e90\uff0c\u6392\u9664\u5df2\u5360\u7528\u7684\u5185\u5b58\uff0c\u7a7a\u95f2\u5185\u5b58\u5f80\u5f80\u662f\u6563\u843d\u5728\u5185\u5b58\u5404\u5904\u7684\u3002\u6211\u4eec\u77e5\u9053\uff0c\u5b58\u50a8\u6570\u7ec4\u9700\u8981\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u8fde\u7eed\uff0c\u5f53\u6211\u4eec\u9700\u8981\u7533\u8bf7\u4e00\u4e2a\u5f88\u5927\u7684\u6570\u7ec4\u65f6\uff0c\u7cfb\u7edf\u4e0d\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u8fd9\u4e48\u5927\u7684\u8fde\u7eed\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u3002\u800c\u94fe\u8868\u5219\u66f4\u52a0\u7075\u6d3b\uff0c\u4e0d\u9700\u8981\u5185\u5b58\u662f\u8fde\u7eed\u7684\uff0c\u53ea\u8981\u5269\u4f59\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u5927\u5c0f\u591f\u7528\u5373\u53ef\u3002
\u300c\u94fe\u8868 Linked List\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u5176\u4e2d\u6bcf\u4e2a\u5143\u7d20\u90fd\u662f\u5355\u72ec\u7684\u5bf9\u8c61\uff0c\u5404\u4e2a\u5143\u7d20\uff08\u4e00\u822c\u79f0\u4e3a\u7ed3\u70b9\uff09\u4e4b\u95f4\u901a\u8fc7\u6307\u9488\u8fde\u63a5\u3002\u7531\u4e8e\u7ed3\u70b9\u4e2d\u8bb0\u5f55\u4e86\u8fde\u63a5\u5173\u7cfb\uff0c\u56e0\u6b64\u94fe\u8868\u7684\u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f\u76f8\u6bd4\u4e8e\u6570\u7ec4\u66f4\u52a0\u7075\u6d3b\uff0c\u7cfb\u7edf\u4e0d\u5fc5\u4fdd\u8bc1\u5185\u5b58\u5730\u5740\u7684\u8fde\u7eed\u6027\u3002
\u94fe\u8868\u7684\u300c\u7ed3\u70b9 Node\u300d\u5305\u542b\u4e24\u9879\u6570\u636e\uff0c\u4e00\u662f\u7ed3\u70b9\u300c\u503c Value\u300d\uff0c\u4e8c\u662f\u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u300c\u6307\u9488 Pointer\u300d\uff08\u6216\u79f0\u300c\u5f15\u7528 Reference\u300d\uff09\u3002
Fig. \u94fe\u8868\u5b9a\u4e49\u4e0e\u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode next; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode(int x) { val = x; } // \u6784\u9020\u51fd\u6570\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\nstruct ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode *next; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {} // \u6784\u9020\u51fd\u6570\n};\n\"\"\" \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b \"\"\" \nclass ListNode:\ndef __init__(self, x):\nself.val = x # \u7ed3\u70b9\u503c\nself.next = None # \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\ntype ListNode struct {\nVal int // \u7ed3\u70b9\u503c\nNext *ListNode // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n}\n// NewListNode \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u521b\u5efa\u4e00\u4e2a\u65b0\u7684\u94fe\u8868\nfunc NewListNode(val int) *ListNode {\nreturn &ListNode{\nVal: val,\nNext: nil,\n}\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\nclass ListNode {\nval;\nnext;\nconstructor(val, next) {\nthis.val = (val === undefined ? 0 : val); // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = (next === undefined ? null : next); // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u5f15\u7528\n}\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\nclass ListNode {\nval: number;\nnext: ListNode | null;\nconstructor(val?: number, next?: ListNode | null) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = next === undefined ? null : next; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u5f15\u7528\n}\n}\n\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode\n{\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode next; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u5f15\u7528\nListNode(int x) => val = x; //\u6784\u9020\u51fd\u6570\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nvar val: Int // \u7ed3\u70b9\u503c\nvar next: ListNode? // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\ninit(x: Int) { // \u6784\u9020\u51fd\u6570\nval = x\n}\n}\n// \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b\npub fn ListNode(comptime T: type) type {\nreturn struct {\nconst Self = @This();\nval: T = 0, // \u7ed3\u70b9\u503c\nnext: ?*Self = null, // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n// \u6784\u9020\u51fd\u6570\npub fn init(self: *Self, x: i32) void {\nself.val = x;\nself.next = null;\n}\n};\n}\n\u5c3e\u7ed3\u70b9\u6307\u5411\u4ec0\u4e48\uff1f \u6211\u4eec\u4e00\u822c\u5c06\u94fe\u8868\u7684\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\u79f0\u4e3a\u300c\u5c3e\u7ed3\u70b9\u300d\uff0c\u5176\u6307\u5411\u7684\u662f\u300c\u7a7a\u300d\uff0c\u5728 Java / C++ / Python \u4e2d\u5206\u522b\u8bb0\u4e3a null / nullptr / None \u3002\u5728\u4e0d\u5f15\u8d77\u6b67\u4e49\u4e0b\uff0c\u672c\u4e66\u90fd\u4f7f\u7528 null \u6765\u8868\u793a\u7a7a\u3002
\u94fe\u8868\u521d\u59cb\u5316\u65b9\u6cd5\u3002\u5efa\u7acb\u94fe\u8868\u5206\u4e3a\u4e24\u6b65\uff0c\u7b2c\u4e00\u6b65\u662f\u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\uff0c\u7b2c\u4e8c\u6b65\u662f\u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\u5173\u7cfb\u3002\u5b8c\u6210\u540e\uff0c\u5373\u53ef\u4ee5\u4ece\u94fe\u8868\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u5934\u7ed3\u70b9\uff09\u51fa\u53d1\uff0c\u8bbf\u95ee\u5176\u4f59\u6240\u6709\u7684\u7ed3\u70b9\u3002
Tip
\u6211\u4eec\u901a\u5e38\u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u5f53\u4f5c\u94fe\u8868\u7684\u4ee3\u79f0\uff0c\u4f8b\u5982\u5934\u7ed3\u70b9 head \u548c\u94fe\u8868 head \u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u540c\u4e49\u7684\u3002
/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9 \nListNode n0 = new ListNode(1);\nListNode n1 = new ListNode(3);\nListNode n2 = new ListNode(2);\nListNode n3 = new ListNode(5);\nListNode n4 = new ListNode(4);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1;\nn1.next = n2;\nn2.next = n3;\nn3.next = n4;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9 \nListNode* n0 = new ListNode(1);\nListNode* n1 = new ListNode(3);\nListNode* n2 = new ListNode(2);\nListNode* n3 = new ListNode(5);\nListNode* n4 = new ListNode(4);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0->next = n1;\nn1->next = n2;\nn2->next = n3;\nn3->next = n4;\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 \"\"\"\n# \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9 \nn0 = ListNode(1)\nn1 = ListNode(3)\nn2 = ListNode(2)\nn3 = ListNode(5)\nn4 = ListNode(4)\n# \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1\nn1.next = n2\nn2.next = n3\nn3.next = n4\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\nn0 := NewListNode(1)\nn1 := NewListNode(3)\nn2 := NewListNode(2)\nn3 := NewListNode(5)\nn4 := NewListNode(4)\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.Next = n1\nn1.Next = n2\nn2.Next = n3\nn3.Next = n4\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\nconst n0 = new ListNode(1);\nconst n1 = new ListNode(3);\nconst n2 = new ListNode(2);\nconst n3 = new ListNode(5);\nconst n4 = new ListNode(4);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1;\nn1.next = n2;\nn2.next = n3;\nn3.next = n4;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\nconst n0 = new ListNode(1);\nconst n1 = new ListNode(3);\nconst n2 = new ListNode(2);\nconst n3 = new ListNode(5);\nconst n4 = new ListNode(4);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1;\nn1.next = n2;\nn2.next = n3;\nn3.next = n4;\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9 \nListNode n0 = new ListNode(1);\nListNode n1 = new ListNode(3);\nListNode n2 = new ListNode(2);\nListNode n3 = new ListNode(5);\nListNode n4 = new ListNode(4);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1;\nn1.next = n2;\nn2.next = n3;\nn3.next = n4;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\nlet n0 = ListNode(x: 1)\nlet n1 = ListNode(x: 3)\nlet n2 = ListNode(x: 2)\nlet n3 = ListNode(x: 5)\nlet n4 = ListNode(x: 4)\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = n1\nn1.next = n2\nn2.next = n3\nn3.next = n4\n// \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868\n// \u521d\u59cb\u5316\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9 \nvar n0 = inc.ListNode(i32){.val = 1};\nvar n1 = inc.ListNode(i32){.val = 3};\nvar n2 = inc.ListNode(i32){.val = 2};\nvar n3 = inc.ListNode(i32){.val = 5};\nvar n4 = inc.ListNode(i32){.val = 4};\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\nn0.next = &n1;\nn1.next = &n2;\nn2.next = &n3;\nn3.next = &n4;\n\u5728\u94fe\u8868\u4e2d\uff0c\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u64cd\u4f5c\u6548\u7387\u9ad8\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5982\u679c\u60f3\u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u95f4\u7684\u4e24\u4e2a\u7ed3\u70b9 A , B \u4e4b\u95f4\u63d2\u5165\u4e00\u4e2a\u65b0\u7ed3\u70b9 P \uff0c\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u8981\u6539\u53d8\u4e24\u4e2a\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\u5373\u53ef\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(1)\\) \uff0c\u76f8\u6bd4\u6570\u7ec4\u7684\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u9ad8\u6548\u5f88\u591a\u3002\u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u67d0\u4e2a\u7ed3\u70b9\u4e5f\u5f88\u65b9\u4fbf\uff0c\u53ea\u9700\u8981\u6539\u53d8\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\u5373\u53ef\u3002
Fig. \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig linked_list.java/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nvoid insert(ListNode n0, ListNode P) {\nListNode n1 = n0.next;\nn0.next = P;\nP.next = n1;\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nvoid remove(ListNode n0) {\nif (n0.next == null)\nreturn;\n// n0 -> P -> n1\nListNode P = n0.next;\nListNode n1 = P.next;\nn0.next = n1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nvoid insert(ListNode* n0, ListNode* P) {\nListNode* n1 = n0->next;\nn0->next = P;\nP->next = n1;\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nvoid remove(ListNode* n0) {\nif (n0->next == nullptr)\nreturn;\n// n0 -> P -> n1\nListNode* P = n0->next;\nListNode* n1 = P->next;\nn0->next = n1;\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete P;\n}\n\"\"\" \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P \"\"\"\ndef insert(n0, P):\nn1 = n0.next\nn0.next = P\nP.next = n1\n\"\"\" \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef remove(n0):\nif not n0.next:\nreturn\n# n0 -> P -> n1\nP = n0.next\nn1 = P.next\nn0.next = n1\n/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nfunc insert(n0 *ListNode, P *ListNode) {\nn1 := n0.Next\nn0.Next = P\nP.Next = n1\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunc removeNode(n0 *ListNode) {\nif n0.Next == nil {\nreturn\n}\n// n0 -> P -> n1\nP := n0.Next\nn1 := P.Next\nn0.Next = n1\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nfunction insert(n0, P) {\nlet n1 = n0.next;\nn0.next = P;\nP.next = n1;\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunction remove(n0) {\nif (!n0.next)\nreturn;\n// n0 -> P -> n1\nlet P = n0.next;\nlet n1 = P.next;\nn0.next = n1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nfunction insert(n0: ListNode, P: ListNode): void {\nconst n1 = n0.next;\nn0.next = P;\nP.next = n1;\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunction remove(n0: ListNode): void {\nif (!n0.next) {\nreturn;\n}\n// n0 -> P -> n1\nconst P = n0.next;\nconst n1 = P.next;\nn0.next = n1;\n}\n\n// \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nvoid Insert(ListNode n0, ListNode P)\n{\nListNode n1 = n0.next;\nn0.next = P;\nP.next = n1;\n}\n// \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\nvoid Remove(ListNode n0)\n{\nif (n0.next == null)\nreturn;\n// n0 -> P -> n1\nListNode P = n0.next;\nListNode n1 = P.next;\nn0.next = n1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P */\nfunc insert(n0: ListNode, P: ListNode) {\nlet n1 = n0.next\nn0.next = P\nP.next = n1\n}\n/* \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunc remove(n0: ListNode) {\nif n0.next == nil {\nreturn\n}\n// n0 -> P -> n1\nlet P = n0.next\nlet n1 = P?.next\nn0.next = n1\nP?.next = nil\n}\n// \u5728\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\npub fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void {\nvar n1 = n0.?.next;\nn0.?.next = P;\nP.?.next = n1;\n}\n// \u5220\u9664\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9 n0 \u4e4b\u540e\u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\npub fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void {\nif (n0.?.next == null) return;\n// n0 -> P -> n1\nvar P = n0.?.next;\nvar n1 = P.?.next;\nn0.?.next = n1;\n}\n\u94fe\u8868\u8bbf\u95ee\u7ed3\u70b9\u6548\u7387\u4f4e\u3002\u4e0a\u8282\u63d0\u5230\uff0c\u6570\u7ec4\u53ef\u4ee5\u5728 \\(O(1)\\) \u65f6\u95f4\u4e0b\u8bbf\u95ee\u4efb\u610f\u5143\u7d20\uff0c\u4f46\u94fe\u8868\u65e0\u6cd5\u76f4\u63a5\u8bbf\u95ee\u4efb\u610f\u7ed3\u70b9\u3002\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\u8ba1\u7b97\u673a\u9700\u8981\u4ece\u5934\u7ed3\u70b9\u51fa\u53d1\uff0c\u4e00\u4e2a\u4e00\u4e2a\u5730\u5411\u540e\u904d\u5386\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5018\u82e5\u60f3\u8981\u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u7d22\u5f15\u4e3a index \uff08\u5373\u7b2c index + 1 \u4e2a\uff09\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u90a3\u4e48\u9700\u8981 index \u6b21\u8bbf\u95ee\u64cd\u4f5c\u3002
/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nListNode access(ListNode head, int index) {\nfor (int i = 0; i < index; i++) {\nif (head == null)\nreturn null;\nhead = head.next;\n}\nreturn head;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nListNode* access(ListNode* head, int index) {\nfor (int i = 0; i < index; i++) {\nif (head == nullptr)\nreturn nullptr;\nhead = head->next;\n}\nreturn head;\n}\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef access(head, index):\nfor _ in range(index):\nif not head:\nreturn None\nhead = head.next\nreturn head\n/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nfunc access(head *ListNode, index int) *ListNode {\nfor i := 0; i < index; i++ {\nif head == nil {\nreturn nil\n}\nhead = head.Next\n}\nreturn head\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nfunction access(head, index) {\nfor (let i = 0; i < index; i++) {\nif (!head)\nreturn null;\nhead = head.next;\n}\nreturn head;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nfunction access(head: ListNode | null, index: number): ListNode | null {\nfor (let i = 0; i < index; i++) {\nif (!head) {\nreturn null;\n}\nhead = head.next;\n}\nreturn head;\n}\n\n// \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9\nListNode Access(ListNode head, int index)\n{\nfor (int i = 0; i < index; i++)\n{\nif (head == null)\nreturn null;\nhead = head.next;\n}\nreturn head;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9 */\nfunc access(head: ListNode, index: Int) -> ListNode? {\nvar head: ListNode? = head\nfor _ in 0 ..< index {\nif head == nil {\nreturn nil\n}\nhead = head?.next\n}\nreturn head\n}\n// \u8bbf\u95ee\u94fe\u8868\u4e2d\u7d22\u5f15\u4e3a index \u7684\u7ed3\u70b9\npub fn access(node: ?*inc.ListNode(i32), index: i32) ?*inc.ListNode(i32) {\nvar head = node;\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < index) : (i += 1) {\nhead = head.?.next;\nif (head == null) return null;\n}\nreturn head;\n}\n\u94fe\u8868\u7684\u5185\u5b58\u5360\u7528\u591a\u3002\u94fe\u8868\u4ee5\u7ed3\u70b9\u4e3a\u5355\u4f4d\uff0c\u6bcf\u4e2a\u7ed3\u70b9\u9664\u4e86\u4fdd\u5b58\u503c\u5916\uff0c\u8fd8\u9700\u989d\u5916\u4fdd\u5b58\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\u3002\u8fd9\u610f\u5473\u7740\u540c\u6837\u6570\u636e\u91cf\u4e0b\uff0c\u94fe\u8868\u6bd4\u6570\u7ec4\u9700\u8981\u5360\u7528\u66f4\u591a\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u3002
"},{"location":"chapter_array_and_linkedlist/linked_list/#423","title":"4.2.3. \u94fe\u8868\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c","text":"\u904d\u5386\u94fe\u8868\u67e5\u627e\u3002\u904d\u5386\u94fe\u8868\uff0c\u67e5\u627e\u94fe\u8868\u5185\u503c\u4e3a target \u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8f93\u51fa\u7ed3\u70b9\u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u7684\u7d22\u5f15\u3002
/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nint find(ListNode head, int target) {\nint index = 0;\nwhile (head != null) {\nif (head.val == target)\nreturn index;\nhead = head.next;\nindex++;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nint find(ListNode* head, int target) {\nint index = 0;\nwhile (head != nullptr) {\nif (head->val == target)\nreturn index;\nhead = head->next;\nindex++;\n}\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef find(head, target):\nindex = 0\nwhile head:\nif head.val == target:\nreturn index\nhead = head.next\nindex += 1\nreturn -1\n/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunc find(head *ListNode, target int) int {\nindex := 0\nfor head != nil {\nif head.Val == target {\nreturn index\n}\nhead = head.Next\nindex++\n}\nreturn -1\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunction find(head, target) {\nlet index = 0;\nwhile (head !== null) {\nif (head.val === target) {\nreturn index;\n}\nhead = head.next;\nindex += 1;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunction find(head: ListNode | null, target: number): number {\nlet index = 0;\nwhile (head !== null) {\nif (head.val === target) {\nreturn index;\n}\nhead = head.next;\nindex += 1;\n}\nreturn -1;\n}\n\n// \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\nint Find(ListNode head, int target)\n{\nint index = 0;\nwhile (head != null)\n{\nif (head.val == target)\nreturn index;\nhead = head.next;\nindex++;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9 */\nfunc find(head: ListNode, target: Int) -> Int {\nvar head: ListNode? = head\nvar index = 0\nwhile head != nil {\nif head?.val == target {\nreturn index\n}\nhead = head?.next\nindex += 1\n}\nreturn -1\n}\n// \u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u67e5\u627e\u503c\u4e3a target \u7684\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\npub fn find(node: ?*inc.ListNode(i32), target: i32) i32 {\nvar head = node;\nvar index: i32 = 0;\nwhile (head != null) {\nif (head.?.val == target) return index;\nhead = head.?.next;\nindex += 1;\n}\nreturn -1;\n}\n\u5355\u5411\u94fe\u8868\u3002\u5373\u4e0a\u8ff0\u4ecb\u7ecd\u7684\u666e\u901a\u94fe\u8868\u3002\u5355\u5411\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9\u6709\u300c\u503c\u300d\u548c\u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u300c\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\u300d\u4e24\u9879\u6570\u636e\u3002\u6211\u4eec\u5c06\u9996\u4e2a\u7ed3\u70b9\u79f0\u4e3a\u5934\u7ed3\u70b9\uff0c\u5c3e\u7ed3\u70b9\u6307\u5411 null \u3002
\u73af\u5f62\u94fe\u8868\u3002\u5982\u679c\u6211\u4eec\u4ee4\u5355\u5411\u94fe\u8868\u7684\u5c3e\u7ed3\u70b9\u6307\u5411\u5934\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u9996\u5c3e\u76f8\u63a5\uff09\uff0c\u5219\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u73af\u5f62\u94fe\u8868\u3002\u5728\u73af\u5f62\u94fe\u8868\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u4efb\u610f\u7ed3\u70b9\u770b\u4f5c\u662f\u5934\u7ed3\u70b9\u3002
\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u3002\u5355\u5411\u94fe\u8868\u4ec5\u8bb0\u5f55\u4e86\u4e00\u4e2a\u65b9\u5411\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\uff0c\u5728\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7684\u7ed3\u70b9\u5b9a\u4e49\u4e2d\uff0c\u540c\u65f6\u6709\u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\uff08\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\uff09\u548c\u4e0a\u4e00\u7ed3\u70b9\uff08\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\uff09\u7684\u300c\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\u300d\u3002\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u76f8\u5bf9\u4e8e\u5355\u5411\u94fe\u8868\u66f4\u52a0\u7075\u6d3b\uff0c\u5373\u53ef\u4ee5\u671d\u4e24\u4e2a\u65b9\u5411\u904d\u5386\u94fe\u8868\uff0c\u4f46\u4e5f\u9700\u8981\u5360\u7528\u66f4\u591a\u7684\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode next; // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode prev; // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode(int x) { val = x; } // \u6784\u9020\u51fd\u6570\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\nstruct ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode *next; // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode *prev; // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode(int x) : val(x), next(nullptr), prev(nullptr) {} // \u6784\u9020\u51fd\u6570\n};\n\"\"\" \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b \"\"\" \nclass ListNode:\ndef __init__(self, x):\nself.val = x # \u7ed3\u70b9\u503c\nself.next = None # \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nself.prev = None # \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\ntype DoublyListNode struct {\nVal int // \u7ed3\u70b9\u503c\nNext *DoublyListNode // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nPrev *DoublyListNode // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n}\n// NewDoublyListNode \u521d\u59cb\u5316\nfunc NewDoublyListNode(val int) *DoublyListNode {\nreturn &DoublyListNode{\nVal: val,\nNext: nil,\nPrev: nil,\n}\n}\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nval;\nnext;\nprev;\nconstructor(val, next) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = next === undefined ? null : next; // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nthis.prev = prev === undefined ? null : prev; // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n}\n}\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nval: number;\nnext: ListNode | null;\nprev: ListNode | null;\nconstructor(val?: number, next?: ListNode | null, prev?: ListNode | null) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = next === undefined ? null : next; // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nthis.prev = prev === undefined ? null : prev; // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n}\n}\n\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode next; // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode prev; // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nListNode(int x) => val = x; // \u6784\u9020\u51fd\u6570\n}\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass ListNode {\nvar val: Int // \u7ed3\u70b9\u503c\nvar next: ListNode? // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nvar prev: ListNode? // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\ninit(x: Int) { // \u6784\u9020\u51fd\u6570\nval = x\n}\n}\n// \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b\npub fn ListNode(comptime T: type) type {\nreturn struct {\nconst Self = @This();\nval: T = 0, // \u7ed3\u70b9\u503c\nnext: ?*Self = null, // \u6307\u5411\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\nprev: ?*Self = null, // \u6307\u5411\u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n// \u6784\u9020\u51fd\u6570\npub fn init(self: *Self, x: i32) void {\nself.val = x;\nself.next = null;\nself.prev = null;\n}\n};\n}\nFig. \u5e38\u89c1\u94fe\u8868\u7c7b\u578b
"},{"location":"chapter_array_and_linkedlist/list/","title":"4.3. \u5217\u8868","text":"\u7531\u4e8e\u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8\uff0c\u6570\u7ec4\u7684\u5b9e\u7528\u6027\u5927\u5927\u964d\u4f4e\u3002\u5728\u5f88\u591a\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u6211\u4eec\u4e8b\u5148\u5e76\u4e0d\u77e5\u9053\u4f1a\u8f93\u5165\u591a\u5c11\u6570\u636e\uff0c\u8fd9\u5c31\u4e3a\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u7684\u9009\u62e9\u5e26\u6765\u4e86\u5f88\u5927\u56f0\u96be\u3002\u957f\u5ea6\u9009\u5c0f\u4e86\uff0c\u9700\u8981\u5728\u6dfb\u52a0\u6570\u636e\u4e2d\u9891\u7e41\u5730\u6269\u5bb9\u6570\u7ec4\uff1b\u957f\u5ea6\u9009\u5927\u4e86\uff0c\u53c8\u9020\u6210\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u7684\u6d6a\u8d39\u3002
\u4e3a\u4e86\u89e3\u51b3\u6b64\u95ee\u9898\uff0c\u8bde\u751f\u4e86\u4e00\u79cd\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u5217\u8868 List\u300d\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u5217\u8868\u53ef\u4ee5\u88ab\u7406\u89e3\u4e3a\u957f\u5ea6\u53ef\u53d8\u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u56e0\u6b64\u4e5f\u5e38\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u52a8\u6001\u6570\u7ec4 Dynamic Array\u300d\u3002\u5217\u8868\u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\uff0c\u7ee7\u627f\u4e86\u6570\u7ec4\u7684\u4f18\u70b9\uff0c\u540c\u65f6\u8fd8\u53ef\u4ee5\u5728\u7a0b\u5e8f\u8fd0\u884c\u4e2d\u5b9e\u65f6\u6269\u5bb9\u3002\u5728\u5217\u8868\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u81ea\u7531\u5730\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\uff0c\u800c\u4e0d\u7528\u62c5\u5fc3\u8d85\u8fc7\u5bb9\u91cf\u9650\u5236\u3002
"},{"location":"chapter_array_and_linkedlist/list/#431","title":"4.3.1. \u5217\u8868\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c","text":"\u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\u3002\u6211\u4eec\u901a\u5e38\u4f1a\u4f7f\u7528\u5230\u201c\u65e0\u521d\u59cb\u503c\u201d\u548c\u201c\u6709\u521d\u59cb\u503c\u201d\u7684\u4e24\u79cd\u521d\u59cb\u5316\u65b9\u6cd5\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig list.java/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nList<Integer> list1 = new ArrayList<>();\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\uff08\u6ce8\u610f\u6570\u7ec4\u7684\u5143\u7d20\u7c7b\u578b\u9700\u4e3a int[] \u7684\u5305\u88c5\u7c7b Integer[]\uff09\nInteger[] numbers = new Integer[] { 1, 3, 2, 5, 4 };\nList<Integer> list = new ArrayList<>(Arrays.asList(numbers));\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u9700\u6ce8\u610f\uff0cC++ \u4e2d vector \u5373\u662f\u672c\u6587\u63cf\u8ff0\u7684 list\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nvector<int> list1;\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\nvector<int> list = { 1, 3, 2, 5, 4 };\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 \"\"\"\n# \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nlist1 = []\n# \u6709\u521d\u59cb\u503c\nlist = [1, 3, 2, 5, 4]\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nlist1 := []int\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\nlist := []int{1, 3, 2, 5, 4}\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nconst list1 = [];\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\nconst list = [1, 3, 2, 5, 4];\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nconst list1: number[] = [];\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\nconst list: number[] = [1, 3, 2, 5, 4];\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nList<int> list1 = new ();\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\uff08\u6ce8\u610f\u6570\u7ec4\u7684\u5143\u7d20\u7c7b\u578b\u9700\u4e3a int[] \u7684\u5305\u88c5\u7c7b Integer[]\uff09\nint[] numbers = new int[] { 1, 3, 2, 5, 4 };\nList<int> list = numbers.ToList();\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868 */\n// \u65e0\u521d\u59cb\u503c\nlet list1: [Int] = []\n// \u6709\u521d\u59cb\u503c\nvar list = [1, 3, 2, 5, 4]\n// \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\nvar list = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);\ndefer list.deinit();\ntry list.appendSlice(&[_]i32{ 1, 3, 2, 5, 4 });\n\u8bbf\u95ee\u4e0e\u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u3002\u5217\u8868\u7684\u5e95\u5c42\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u662f\u6570\u7ec4\uff0c\u56e0\u6b64\u53ef\u4ee5\u5728 \\(O(1)\\) \u65f6\u95f4\u5185\u8bbf\u95ee\u4e0e\u66f4\u65b0\u5143\u7d20\uff0c\u6548\u7387\u5f88\u9ad8\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig list.java/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint num = list.get(1); // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist.set(1, 0); // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint num = list[1]; // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0; // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 \"\"\"\nnum = list[1] # \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n\"\"\" \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 \"\"\"\nlist[1] = 0 # \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nnum := list[1] // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0 // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nconst num = list[1]; // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0; // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nconst num: number = list[1]; // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0; // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint num = list[1]; // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0; // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nlet num = list[1] // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nlist[1] = 0 // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0\n// \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\nvar num = list.items[1]; // \u8bbf\u95ee\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\nlist.items[1] = 0; // \u5c06\u7d22\u5f15 1 \u5904\u7684\u5143\u7d20\u66f4\u65b0\u4e3a 0 \n\u5728\u5217\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u3001\u63d2\u5165\u3001\u5220\u9664\u5143\u7d20\u3002\u76f8\u5bf9\u4e8e\u6570\u7ec4\uff0c\u5217\u8868\u53ef\u4ee5\u81ea\u7531\u5730\u6dfb\u52a0\u4e0e\u5220\u9664\u5143\u7d20\u3002\u5728\u5217\u8868\u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(1)\\) \uff0c\u4f46\u662f\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u5143\u7d20\u7684\u6548\u7387\u4ecd\u4e0e\u6570\u7ec4\u4e00\u6837\u4f4e\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(N)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig list.java/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.clear();\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.add(1);\nlist.add(3);\nlist.add(2);\nlist.add(5);\nlist.add(4);\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.add(3, 6); // \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.remove(3); // \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.clear();\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.push_back(1);\nlist.push_back(3);\nlist.push_back(2);\nlist.push_back(5);\nlist.push_back(4);\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.insert(list.begin() + 3, 6); // \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.erase(list.begin() + 3); // \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n\"\"\" \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 \"\"\"\nlist.clear()\n\"\"\" \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 \"\"\"\nlist.append(1)\nlist.append(3)\nlist.append(2)\nlist.append(5)\nlist.append(4)\n\"\"\" \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 \"\"\"\nlist.insert(3, 6) # \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n\"\"\" \u5220\u9664\u5143\u7d20 \"\"\"\nlist.pop(3) # \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist = nil\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist = append(list, 1)\nlist = append(list, 3)\nlist = append(list, 2)\nlist = append(list, 5)\nlist = append(list, 4)\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist = append(list[:3], append([]int{6}, list[3:]...)...) // \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist = append(list[:3], list[4:]...) // \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.length = 0;\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.push(1);\nlist.push(3);\nlist.push(2);\nlist.push(5);\nlist.push(4);\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.splice(3, 0, 6);\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.splice(3, 1);\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.length = 0;\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.push(1);\nlist.push(3);\nlist.push(2);\nlist.push(5);\nlist.push(4);\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.splice(3, 0, 6);\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.splice(3, 1);\n\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.Clear();\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.Add(1);\nlist.Add(3);\nlist.Add(2);\nlist.Add(5);\nlist.Add(4);\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.Insert(3, 6);\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.RemoveAt(3);\n/* \u6e05\u7a7a\u5217\u8868 */\nlist.removeAll()\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nlist.append(1)\nlist.append(3)\nlist.append(2)\nlist.append(5)\nlist.append(4)\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nlist.insert(6, at: 3) // \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nlist.remove(at: 3) // \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n// \u6e05\u7a7a\u5217\u8868\nlist.clearRetainingCapacity();\n// \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\ntry list.append(1);\ntry list.append(3);\ntry list.append(2);\ntry list.append(5);\ntry list.append(4);\n// \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20\ntry list.insert(3, 6); // \u5728\u7d22\u5f15 3 \u5904\u63d2\u5165\u6570\u5b57 6\n// \u5220\u9664\u5143\u7d20\n_ = list.orderedRemove(3); // \u5220\u9664\u7d22\u5f15 3 \u5904\u7684\u5143\u7d20\n\u904d\u5386\u5217\u8868\u3002\u4e0e\u6570\u7ec4\u4e00\u6837\uff0c\u5217\u8868\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u7d22\u5f15\u904d\u5386\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528 for-each \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u3002
/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < list.size(); i++) {\ncount++;\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0;\nfor (int n : list) {\ncount++;\n}\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < list.size(); i++) {\ncount++;\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0;\nfor (int n : list) {\ncount++;\n}\n\"\"\" \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 \"\"\"\ncount = 0\nfor i in range(len(list)):\ncount += 1\n\"\"\" \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 \"\"\"\ncount = 0\nfor n in list:\ncount += 1\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\ncount := 0\nfor i := 0; i < len(list); i++ {\ncount++\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0\nfor range list {\ncount++\n}\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nlet count = 0;\nfor (let i = 0; i < list.length; i++) {\ncount++;\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0;\nfor (const n of list) {\ncount++;\n}\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nlet count = 0;\nfor (let i = 0; i < list.length; i++) {\ncount++;\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0;\nfor (const n of list) {\ncount++;\n}\n\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < list.Count(); i++)\n{\ncount++;\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0;\nforeach (int n in list)\n{\ncount++;\n}\n/* \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868 */\nvar count = 0\nfor _ in list.indices {\ncount += 1\n}\n/* \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20 */\ncount = 0\nfor _ in list {\ncount += 1\n}\n// \u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u904d\u5386\u5217\u8868\nvar count: i32 = 0;\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < list.items.len) : (i += 1) {\ncount += 1;\n}\n// \u76f4\u63a5\u904d\u5386\u5217\u8868\u5143\u7d20\ncount = 0;\nfor (list.items) |_| {\ncount += 1;\n}\n\u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868\u3002\u518d\u521b\u5efa\u4e00\u4e2a\u65b0\u5217\u8868 list1 \uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\u62fc\u63a5\u5230\u53e6\u4e00\u4e2a\u7684\u5c3e\u90e8\u3002
/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nList<Integer> list1 = new ArrayList<>(Arrays.asList(new Integer[] { 6, 8, 7, 10, 9 }));\nlist.addAll(list1); // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nvector<int> list1 = { 6, 8, 7, 10, 9 };\n// \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\nlist.insert(list.end(), list1.begin(), list1.end());\n\"\"\" \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 \"\"\"\nlist1 = [6, 8, 7, 10, 9]\nlist += list1 # \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nlist1 := []int{6, 8, 7, 10, 9}\nlist = append(list, list1...) // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nconst list1 = [6, 8, 7, 10, 9];\nlist.push(...list1); // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nconst list1: number[] = [6, 8, 7, 10, 9];\nlist.push(...list1); // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nList<int> list1 = new() { 6, 8, 7, 10, 9 };\nlist.AddRange(list1); // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n/* \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868 */\nlet list1 = [6, 8, 7, 10, 9]\nlist.append(contentsOf: list1) // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n// \u62fc\u63a5\u4e24\u4e2a\u5217\u8868\nvar list1 = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);\ndefer list1.deinit();\ntry list1.appendSlice(&[_]i32{ 6, 8, 7, 10, 9 });\ntry list.insertSlice(list.items.len, list1.items); // \u5c06\u5217\u8868 list1 \u62fc\u63a5\u5230 list \u4e4b\u540e\n\u6392\u5e8f\u5217\u8868\u3002\u6392\u5e8f\u4e5f\u662f\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u4e4b\u4e00\uff0c\u5b8c\u6210\u5217\u8868\u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u5728\u6570\u7ec4\u7c7b\u7b97\u6cd5\u9898\u4e2d\u7ecf\u5e38\u8003\u5bdf\u7684\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u548c\u300c\u53cc\u6307\u9488\u300d\u7b97\u6cd5\u4e86\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig list.java/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nCollections.sort(list); // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nsort(list.begin(), list.end()); // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n\"\"\" \u6392\u5e8f\u5217\u8868 \"\"\"\nlist.sort() # \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nsort.Ints(list) // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */ list.sort((a, b) => a - b); // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nlist.sort((a, b) => a - b); // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nlist.Sort(); // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n/* \u6392\u5e8f\u5217\u8868 */\nlist.sort() // \u6392\u5e8f\u540e\uff0c\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\n// \u6392\u5e8f\u5217\u8868\nstd.sort.sort(i32, list.items, {}, comptime std.sort.asc(i32));\n\u4e3a\u4e86\u5e2e\u52a9\u52a0\u6df1\u5bf9\u5217\u8868\u7684\u7406\u89e3\uff0c\u6211\u4eec\u5728\u6b64\u63d0\u4f9b\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\u7684\u7b80\u6613\u7248\u672c\u7684\u5b9e\u73b0\u3002\u9700\u8981\u5173\u6ce8\u4e09\u4e2a\u6838\u5fc3\u70b9\uff1a
initialCapacity \u3002\u5728\u672c\u793a\u4f8b\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u9009\u62e9 10 \u4f5c\u4e3a\u521d\u59cb\u5bb9\u91cf\u3002size \uff0c\u7528\u6765\u8bb0\u5f55\u5217\u8868\u5f53\u524d\u6709\u591a\u5c11\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u968f\u7740\u5143\u7d20\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u5b9e\u65f6\u66f4\u65b0\u3002\u6839\u636e\u6b64\u53d8\u91cf\uff0c\u53ef\u4ee5\u5b9a\u4f4d\u5217\u8868\u7684\u5c3e\u90e8\uff0c\u4ee5\u53ca\u5224\u65ad\u662f\u5426\u9700\u8981\u6269\u5bb9\u3002extendRatio \uff0c\u5728\u672c\u793a\u4f8b\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u89c4\u5b9a\u6bcf\u6b21\u5c06\u6570\u7ec4\u6269\u5bb9\u81f3\u4e4b\u524d\u7684 2 \u500d\u3002\u672c\u793a\u4f8b\u662f\u4e3a\u4e86\u5e2e\u52a9\u8bfb\u8005\u5bf9\u5982\u4f55\u5b9e\u73b0\u5217\u8868\u4ea7\u751f\u76f4\u89c2\u7684\u8ba4\u8bc6\u3002\u5b9e\u9645\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u4e2d\uff0c\u5217\u8868\u7684\u5b9e\u73b0\u8fdc\u6bd4\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\u590d\u6742\u4e14\u6807\u51c6\uff0c\u611f\u5174\u8da3\u7684\u8bfb\u8005\u53ef\u4ee5\u67e5\u9605\u6e90\u7801\u5b66\u4e60\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_list.java/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\nclass MyList {\nprivate int[] nums; // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nprivate int capacity = 10; // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nprivate int size = 0; // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nprivate int extendRatio = 2; // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\npublic MyList() {\nnums = new int[capacity];\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\npublic int size() {\nreturn size;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\npublic int capacity() {\nreturn capacity;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\npublic int get(int index) {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfBoundsException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nreturn nums[index];\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\npublic void set(int index, int num) {\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfBoundsException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\npublic void add(int num) {\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size == capacity())\nextendCapacity();\nnums[size] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize++;\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\npublic void insert(int index, int num) {\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfBoundsException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size == capacity())\nextendCapacity();\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = size - 1; j >= index; j--) {\nnums[j + 1] = nums[j];\n}\nnums[index] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize++;\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\npublic int remove(int index) {\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfBoundsException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nint num = nums[index];\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = index; j < size - 1; j++) {\nnums[j] = nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize--;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\npublic void extendCapacity() {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nnums = Arrays.copyOf(nums, capacity() * extendRatio);\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\ncapacity = nums.length;\n}\n}\n/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\nclass MyList {\nprivate:\nint* nums; // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nint numsCapacity = 10; // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nint numsSize = 0; // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nint extendRatio = 2; // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\npublic:\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\nMyList() {\nnums = new int[numsCapacity];\n}\n/* \u6790\u6784\u51fd\u6570 */\n~MyList() {\ndelete[] nums;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\nint size() {\nreturn numsSize;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\nint capacity() {\nreturn numsCapacity;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint get(int index) {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 || index >= size())\nthrow out_of_range(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nreturn nums[index];\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nvoid set(int index, int num) {\nif (index < 0 || index >= size())\nthrow out_of_range(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nvoid add(int num) {\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size() == capacity())\nextendCapacity();\nnums[size()] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nnumsSize++;\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nvoid insert(int index, int num) {\nif (index < 0 || index >= size())\nthrow out_of_range(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size() == capacity())\nextendCapacity();\n// \u7d22\u5f15 i \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = size() - 1; j >= index; j--) {\nnums[j + 1] = nums[j];\n}\nnums[index] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nnumsSize++;\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nint remove(int index) {\nif (index < 0 || index >= size())\nthrow out_of_range(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nint num = nums[index];\n// \u7d22\u5f15 i \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = index; j < size() - 1; j++) {\nnums[j] = nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nnumsSize--;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\nvoid extendCapacity() {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size * extendRatio \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nint newCapacity = capacity() * extendRatio;\nint* tmp = nums;\nnums = new int[newCapacity];\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < size(); i++) {\nnums[i] = tmp[i];\n}\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete[] tmp;\nnumsCapacity = newCapacity;\n}\n};\n\"\"\" \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 \"\"\"\nclass MyList:\n\"\"\" \u6784\u9020\u51fd\u6570 \"\"\"\ndef __init__(self):\nself.__capacity = 10 # \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nself.__nums = [0] * self.__capacity # \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nself.__size = 0 # \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nself.__extend_ratio = 2 # \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09 \"\"\"\ndef size(self):\nreturn self.__size\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf \"\"\"\ndef capacity(self):\nreturn self.__capacity\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef get(self, index):\n# \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nassert index >= 0 and index < self.__size, \"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\"\nreturn self.__nums[index]\n\"\"\" \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef set(self, num, index):\nassert index >= 0 and index < self.__size, \"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\"\nself.__nums[index] = num\n\"\"\" \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\uff08\u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\uff09\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef add(self, num, index=-1):\nassert index >= 0 and index < self.__size, \"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\"\n# \u82e5\u4e0d\u6307\u5b9a\u7d22\u5f15 index \uff0c\u5219\u5411\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\nif index == -1:\nindex = self.__size\n# \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif self.__size == self.capacity():\nself.extend_capacity()\n# \u7d22\u5f15 i \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j in range(self.__size - 1, index - 1, -1):\nself.__nums[j + 1] = self.__nums[j]\nself.__nums[index] = num\n# \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nself.__size += 1\n\"\"\" \u5220\u9664\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef remove(self, index):\nassert index >= 0 and index < self.__size, \"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\"\nnum = self.nums[index]\n# \u7d22\u5f15 i \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j in range(index, self.__size - 1):\nself.__nums[j] = self.__nums[j + 1]\n# \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nself.__size -= 1\n# \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num\n\"\"\" \u5217\u8868\u6269\u5bb9 \"\"\"\ndef extend_capacity(self):\n# \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a self.__size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nself.__nums = self.__nums + [0] * self.capacity() * (self.__extend_ratio - 1)\n# \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nself.__capacity = len(self.__nums)\n\"\"\" \u8fd4\u56de\u6709\u6548\u957f\u5ea6\u7684\u5217\u8868 \"\"\"\ndef to_array(self):\nreturn self.__nums[:self.__size]\n/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\ntype myList struct {\nnumsCapacity int\nnums []int\nnumsSize int\nextendRatio int\n}\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\nfunc newMyList() *myList {\nreturn &myList{\nnumsCapacity: 10, // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nnums: make([]int, 10), // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nnumsSize: 0, // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nextendRatio: 2, // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09 */\nfunc (l *myList) size() int {\nreturn l.numsSize\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\nfunc (l *myList) capacity() int {\nreturn l.numsCapacity\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nfunc (l *myList) get(index int) int {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif index < 0 || index >= l.numsSize {\npanic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nreturn l.nums[index]\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nfunc (l *myList) set(num, index int) {\nif index < 0 || index >= l.numsSize {\npanic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nl.nums[index] = num\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nfunc (l *myList) add(num int) {\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif l.numsSize == l.numsCapacity {\nl.extendCapacity()\n}\nl.nums[l.numsSize] = num\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nl.numsSize++\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nfunc (l *myList) insert(num, index int) {\nif index < 0 || index >= l.numsSize {\npanic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif l.numsSize == l.numsCapacity {\nl.extendCapacity()\n}\n// \u7d22\u5f15 i \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j := l.numsSize - 1; j >= index; j-- {\nl.nums[j+1] = l.nums[j]\n}\nl.nums[index] = num\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nl.numsSize++\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nfunc (l *myList) remove(index int) int {\nif index < 0 || index >= l.numsSize {\npanic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nnum := l.nums[index]\n// \u7d22\u5f15 i \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j := index; j < l.numsSize-1; j++ {\nl.nums[j] = l.nums[j+1]\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nl.numsSize--\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\nfunc (l *myList) extendCapacity() {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a self.__size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nl.nums = append(l.nums, make([]int, l.numsCapacity*(l.extendRatio-1))...)\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nl.numsCapacity = len(l.nums)\n}\n/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\nclass MyList {\n#nums = new Array(); // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\n#capacity = 10; // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\n#size = 0; // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\n#extendRatio = 2; // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\nconstructor() {\nthis.#nums = new Array(this.#capacity);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\nsize() {\nreturn this.#size;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\ncapacity() {\nreturn this.#capacity;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nget(index) {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 || index >= this.#size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nreturn this.#nums[index];\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nset(index, num) {\nif (index < 0 || index >= this.#size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nthis.#nums[index] = num;\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nadd(num) {\n// \u5982\u679c\u957f\u5ea6\u7b49\u4e8e\u5bb9\u91cf\uff0c\u5219\u9700\u8981\u6269\u5bb9\nif (this.#size === this.#capacity) {\nthis.extendCapacity();\n}\n// \u5c06\u65b0\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u5230\u5217\u8868\u5c3e\u90e8\nthis.#nums[this.#size] = num;\nthis.#size++;\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\ninsert(index, num) {\nif (index < 0 || index >= this.#size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (this.#size === this.#capacity) {\nthis.extendCapacity();\n}\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let j = this.#size - 1; j >= index; j--) {\nthis.#nums[j + 1] = this.#nums[j];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nthis.#nums[index] = num;\nthis.#size++;\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\nremove(index) {\nif (index < 0 || index >= this.#size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nlet num = this.#nums[index];\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let j = index; j < this.#size - 1; j++) {\nthis.#nums[j] = this.#nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nthis.#size--;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\nextendCapacity() {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nthis.#nums = this.#nums.concat(\nnew Array(this.capacity() * (this.#extendRatio - 1))\n);\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nthis.#capacity = this.#nums.length;\n}\n}\n/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\nclass MyList {\nprivate nums: Array<number>; // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nprivate _capacity: number = 10; // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nprivate _size: number = 0; // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nprivate extendRatio: number = 2; // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\nconstructor() {\nthis.nums = new Array(this._capacity);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\npublic size(): number {\nreturn this._size;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\npublic capacity(): number {\nreturn this._capacity;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\npublic get(index: number): number {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 || index >= this._size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nreturn this.nums[index];\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\npublic set(index: number, num: number): void {\nif (index < 0 || index >= this._size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nthis.nums[index] = num;\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\npublic add(num: number): void {\n// \u5982\u679c\u957f\u5ea6\u7b49\u4e8e\u5bb9\u91cf\uff0c\u5219\u9700\u8981\u6269\u5bb9\nif (this._size === this._capacity)\nthis.extendCapacity();\n// \u5c06\u65b0\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u5230\u5217\u8868\u5c3e\u90e8\nthis.nums[this._size] = num;\nthis._size++;\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\npublic insert(index: number, num: number): void {\nif (index < 0 || index >= this._size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (this._size === this._capacity) {\nthis.extendCapacity();\n}\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let j = this._size - 1; j >= index; j--) {\nthis.nums[j + 1] = this.nums[j];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nthis.nums[index] = num;\nthis._size++;\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\npublic remove(index: number): number {\nif (index < 0 || index >= this._size)\nthrow new Error('\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c');\nlet num = this.nums[index];\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (let j = index; j < this._size - 1; j++) {\nthis.nums[j] = this.nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nthis._size--;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\npublic extendCapacity(): void {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nthis.nums = this.nums.concat(\nnew Array(this.capacity() * (this.extendRatio - 1))\n);\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nthis._capacity = this.nums.length;\n}\n}\n\nclass MyList\n{\nprivate int[] nums; // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nprivate int capacity = 10; // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nprivate int size = 0; // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nprivate int extendRatio = 2; // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\npublic MyList()\n{\nnums = new int[capacity];\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\npublic int Size()\n{\nreturn size;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\npublic int Capacity()\n{\nreturn capacity;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\npublic int Get(int index)\n{\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfRangeException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nreturn nums[index];\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\npublic void Set(int index, int num)\n{\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfRangeException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nnums[index] = num;\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\npublic void Add(int num)\n{\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size == Capacity())\nExtendCapacity();\nnums[size] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize++;\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\npublic void Insert(int index, int num)\n{\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfRangeException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (size == Capacity())\nExtendCapacity();\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = size - 1; j >= index; j--)\n{\nnums[j + 1] = nums[j];\n}\nnums[index] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize++;\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\npublic int Remove(int index)\n{\nif (index < 0 || index >= size)\nthrow new IndexOutOfRangeException(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nint num = nums[index];\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor (int j = index; j < size - 1; j++)\n{\nnums[j] = nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nsize--;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\npublic void ExtendCapacity()\n{\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nSystem.Array.Resize(ref nums, Capacity() * extendRatio);\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\ncapacity = nums.Length;\n}\n}\n/* \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0 */\nclass MyList {\nprivate var nums: [Int] // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nprivate var _capacity = 10 // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nprivate var _size = 0 // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nprivate let extendRatio = 2 // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\ninit() {\nnums = Array(repeating: 0, count: _capacity)\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09*/\nfunc size() -> Int {\n_size\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf */\nfunc capacity() -> Int {\n_capacity\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nfunc get(index: Int) -> Int {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u9519\u8bef\uff0c\u4e0b\u540c\nif index < 0 || index >= _size {\nfatalError(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nreturn nums[index]\n}\n/* \u66f4\u65b0\u5143\u7d20 */\nfunc set(index: Int, num: Int) {\nif index < 0 || index >= _size {\nfatalError(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nnums[index] = num\n}\n/* \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 */\nfunc add(num: Int) {\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif _size == _capacity {\nextendCapacity()\n}\nnums[_size] = num\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\n_size += 1\n}\n/* \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20 */\nfunc insert(index: Int, num: Int) {\nif index < 0 || index >= _size {\nfatalError(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif _size == _capacity {\nextendCapacity()\n}\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j in sequence(first: _size - 1, next: { $0 >= index + 1 ? $0 - 1 : nil }) {\nnums[j + 1] = nums[j]\n}\nnums[index] = num\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\n_size += 1\n}\n/* \u5220\u9664\u5143\u7d20 */\n@discardableResult\nfunc remove(index: Int) -> Int {\nif index < 0 || index >= _size {\nfatalError(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\")\n}\nlet num = nums[index]\n// \u5c06\u7d22\u5f15 index \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nfor j in index ..< (_size - 1) {\nnums[j] = nums[j + 1]\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\n_size -= 1\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num\n}\n/* \u5217\u8868\u6269\u5bb9 */\nfunc extendCapacity() {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nnums = nums + Array(repeating: 0, count: _capacity * (extendRatio - 1))\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\n_capacity = nums.count\n}\n}\n// \u5217\u8868\u7c7b\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\npub fn MyList(comptime T: type) type {\nreturn struct {\nconst Self = @This();\nnums: []T = undefined, // \u6570\u7ec4\uff08\u5b58\u50a8\u5217\u8868\u5143\u7d20\uff09\nnumsCapacity: usize = 10, // \u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nnumSize: usize = 0, // \u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\nextendRatio: usize = 2, // \u6bcf\u6b21\u5217\u8868\u6269\u5bb9\u7684\u500d\u6570\nmem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,\nmem_allocator: std.mem.Allocator = undefined, // \u5185\u5b58\u5206\u914d\u5668\n// \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff08\u5206\u914d\u5185\u5b58+\u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\uff09\npub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator) !void {\nif (self.mem_arena == null) {\nself.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);\nself.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();\n}\nself.nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.numsCapacity);\nstd.mem.set(T, self.nums, @as(T, 0));\n}\n// \u6790\u6784\u51fd\u6570\uff08\u91ca\u653e\u5185\u5b58\uff09\npub fn deinit(self: *Self) void {\nif (self.mem_arena == null) return;\nself.mem_arena.?.deinit();\n}\n// \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u957f\u5ea6\uff08\u5373\u5f53\u524d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\npub fn size(self: *Self) usize {\nreturn self.numSize;\n}\n// \u83b7\u53d6\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\npub fn capacity(self: *Self) usize {\nreturn self.numsCapacity;\n}\n// \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\npub fn get(self: *Self, index: usize) T {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 or index >= self.size()) @panic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nreturn self.nums[index];\n} // \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\npub fn set(self: *Self, index: usize, num: T) void {\n// \u7d22\u5f15\u5982\u679c\u8d8a\u754c\u5219\u629b\u51fa\u5f02\u5e38\uff0c\u4e0b\u540c\nif (index < 0 or index >= self.size()) @panic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nself.nums[index] = num;\n} // \u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\npub fn add(self: *Self, num: T) !void {\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (self.size() == self.capacity()) try self.extendCapacity();\nself.nums[self.size()] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nself.numSize += 1;\n} // \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u5143\u7d20\npub fn insert(self: *Self, index: usize, num: T) !void {\nif (index < 0 or index >= self.size()) @panic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\n// \u5143\u7d20\u6570\u91cf\u8d85\u51fa\u5bb9\u91cf\u65f6\uff0c\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\nif (self.size() == self.capacity()) try self.extendCapacity();\n// \u7d22\u5f15 i \u4ee5\u53ca\u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nvar j = self.size() - 1;\nwhile (j >= index) : (j -= 1) {\nself.nums[j + 1] = self.nums[j];\n}\nself.nums[index] = num;\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nself.numSize += 1;\n}\n// \u5220\u9664\u5143\u7d20\npub fn remove(self: *Self, index: usize) T {\nif (index < 0 or index >= self.size()) @panic(\"\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\");\nvar num = self.nums[index];\n// \u7d22\u5f15 i \u4e4b\u540e\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u5411\u524d\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nvar j = index;\nwhile (j < self.size() - 1) : (j += 1) {\nself.nums[j] = self.nums[j + 1];\n}\n// \u66f4\u65b0\u5143\u7d20\u6570\u91cf\nself.numSize -= 1;\n// \u8fd4\u56de\u88ab\u5220\u9664\u5143\u7d20\nreturn num;\n}\n// \u5217\u8868\u6269\u5bb9\npub fn extendCapacity(self: *Self) !void {\n// \u65b0\u5efa\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a size * extendRatio \u7684\u6570\u7ec4\uff0c\u5e76\u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u62f7\u8d1d\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nvar newCapacity = self.capacity() * self.extendRatio;\nvar extend = try self.mem_allocator.alloc(T, newCapacity);\nstd.mem.set(T, extend, @as(T, 0));\n// \u5c06\u539f\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u590d\u5236\u5230\u65b0\u6570\u7ec4\nstd.mem.copy(T, extend, self.nums);\nself.nums = extend;\n// \u66f4\u65b0\u5217\u8868\u5bb9\u91cf\nself.numsCapacity = newCapacity;\n}\n// \u5c06\u5217\u8868\u8f6c\u6362\u4e3a\u6570\u7ec4\npub fn toArray(self: *Self) ![]T {\n// \u4ec5\u8f6c\u6362\u6709\u6548\u957f\u5ea6\u8303\u56f4\u5185\u7684\u5217\u8868\u5143\u7d20\nvar nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());\nstd.mem.set(T, nums, @as(T, 0));\nfor (nums) |*num, i| {\nnum.* = self.get(i);\n}\nreturn nums;\n}\n};\n}\nTable. \u6570\u7ec4\u4e0e\u94fe\u8868\u7279\u70b9\u5bf9\u6bd4
\u6570\u7ec4 \u94fe\u8868 \u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f \u8fde\u7eed\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4 \u79bb\u6563\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4 \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u957f\u5ea6 \u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8 \u957f\u5ea6\u53ef\u53d8 \u5185\u5b58\u4f7f\u7528\u7387 \u5360\u7528\u5185\u5b58\u5c11\u3001\u7f13\u5b58\u5c40\u90e8\u6027\u597d \u5360\u7528\u5185\u5b58\u591a \u4f18\u52bf\u64cd\u4f5c \u968f\u673a\u8bbf\u95ee \u63d2\u5165\u3001\u5220\u9664Tip
\u300c\u7f13\u5b58\u5c40\u90e8\u6027\uff08Cache locality\uff09\u300d\u6d89\u53ca\u5230\u4e86\u8ba1\u7b97\u673a\u64cd\u4f5c\u7cfb\u7edf\uff0c\u5728\u672c\u4e66\u4e0d\u505a\u5c55\u5f00\u4ecb\u7ecd\uff0c\u5efa\u8bae\u6709\u5174\u8da3\u7684\u540c\u5b66 Google / Baidu \u4e00\u4e0b\u3002
Table. \u6570\u7ec4\u4e0e\u94fe\u8868\u64cd\u4f5c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
\u64cd\u4f5c \u6570\u7ec4 \u94fe\u8868 \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) \\(O(N)\\) \u6dfb\u52a0\u5143\u7d20 \\(O(N)\\) \\(O(1)\\) \u5220\u9664\u5143\u7d20 \\(O(N)\\) \\(O(1)\\)"},{"location":"chapter_computational_complexity/performance_evaluation/","title":"2.1. \u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u8bc4\u4f30","text":""},{"location":"chapter_computational_complexity/performance_evaluation/#211","title":"2.1.1. \u7b97\u6cd5\u8bc4\u4ef7\u7ef4\u5ea6","text":"\u5728\u5f00\u59cb\u5b66\u4e60\u7b97\u6cd5\u4e4b\u524d\uff0c\u6211\u4eec\u9996\u5148\u8981\u60f3\u6e05\u695a\u7b97\u6cd5\u7684\u8bbe\u8ba1\u76ee\u6807\u662f\u4ec0\u4e48\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\uff0c\u5982\u4f55\u6765\u8bc4\u5224\u7b97\u6cd5\u7684\u597d\u4e0e\u574f\u3002\u6574\u4f53\u4e0a\u770b\uff0c\u6211\u4eec\u8bbe\u8ba1\u7b97\u6cd5\u65f6\u8ffd\u6c42\u4e24\u4e2a\u5c42\u9762\u7684\u76ee\u6807\u3002
\u6362\u8a00\u4e4b\uff0c\u5728\u53ef\u4ee5\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u524d\u63d0\u4e0b\uff0c\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u5219\u662f\u4e3b\u8981\u8bc4\u4ef7\u7ef4\u5ea6\uff0c\u5305\u62ec\uff1a
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"},{"location":"chapter_computational_complexity/performance_evaluation/#213","title":"2.1.3. \u590d\u6742\u5ea6\u5206\u6790\u91cd\u8981\u6027","text":"\u590d\u6742\u5ea6\u5206\u6790\u7ed9\u51fa\u4e00\u628a\u8bc4\u4ef7\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u7684\u201c\u6807\u5c3a\u201d\uff0c\u544a\u8bc9\u6211\u4eec\u6267\u884c\u67d0\u4e2a\u7b97\u6cd5\u9700\u8981\u591a\u5c11\u65f6\u95f4\u548c\u7a7a\u95f4\u8d44\u6e90\uff0c\u4e5f\u8ba9\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5f00\u5c55\u4e0d\u540c\u7b97\u6cd5\u4e4b\u95f4\u7684\u6548\u7387\u5bf9\u6bd4\u3002
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"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_complexity/#231","title":"2.3.1. \u7b97\u6cd5\u76f8\u5173\u7a7a\u95f4","text":"\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u4e2d\uff0c\u4f7f\u7528\u7684\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u4e3b\u8981\u6709\u4ee5\u4e0b\u51e0\u79cd\uff1a
Tip
\u901a\u5e38\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7edf\u8ba1\u8303\u56f4\u662f\u300c\u6682\u5b58\u7a7a\u95f4\u300d+\u300c\u8f93\u51fa\u7a7a\u95f4\u300d\u3002
\u6682\u5b58\u7a7a\u95f4\u53ef\u5206\u4e3a\u4e09\u4e2a\u90e8\u5206\uff1a
Fig. \u7b97\u6cd5\u4f7f\u7528\u7684\u76f8\u5173\u7a7a\u95f4
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig/* \u7c7b */\nclass Node {\nint val;\nNode next;\nNode(int x) { val = x; }\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nint function() {\n// do something...\nreturn 0;\n}\nint algorithm(int n) { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nfinal int a = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nint b = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nNode node = new Node(0); // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nint c = function(); // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c; // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n/* \u7ed3\u6784\u4f53 */\nstruct Node {\nint val;\nNode *next;\nNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}\n};\n/* \u51fd\u6570 */\nint func() {\n// do something...\nreturn 0;\n}\nint algorithm(int n) { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nconst int a = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nint b = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nNode* node = new Node(0); // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nint c = func(); // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c; // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n\"\"\" \u7c7b \"\"\"\nclass Node:\ndef __init__(self, x):\nself.val = x # \u7ed3\u70b9\u503c\nself.next = None # \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff08\u5f15\u7528\uff09\n\"\"\" \u51fd\u6570 \"\"\"\ndef function():\n# do something...\nreturn 0\ndef algorithm(n): # \u8f93\u5165\u6570\u636e\nb = 0 # \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nnode = Node(0) # \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nc = function() # \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c # \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n/* \u7ed3\u6784\u4f53 */\ntype node struct {\nval int\nnext *node\n}\n/* \u521b\u5efa node \u7ed3\u6784\u4f53 */\nfunc newNode(val int) *node {\nreturn &node{val: val}\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nfunc function() int {\n// do something...\nreturn 0\n}\nfunc algorithm(n int) int { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nconst a = 0 // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nb := 0 // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nnewNode(0) // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nc := function() // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n/* \u7c7b */\nclass Node {\nval;\nnext;\nconstructor(val) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = null; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u5f15\u7528\n}\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nfunction constFunc() {\n// do something\nreturn 0;\n}\nfunction algorithm(n) { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nconst a = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nconst b = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nconst node = new Node(0); // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nconst c = constFunc(); // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c; // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n/* \u7c7b */\nclass Node {\nval: number;\nnext: Node | null;\nconstructor(val?: number) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.next = null; // \u6307\u5411\u4e0b\u4e00\u7ed3\u70b9\u7684\u5f15\u7528\n}\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nfunction constFunc(): number {\n// do something\nreturn 0;\n}\nfunction algorithm(n: number): number { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nconst a = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nconst b = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nconst node = new Node(0); // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nconst c = constFunc(); // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c; // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n\n/* \u7c7b */\nclass Node\n{\nint val;\nNode next;\nNode(int x) { val = x; }\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nint function()\n{\n// do something...\nreturn 0;\n}\nint algorithm(int n) // \u8f93\u5165\u6570\u636e\n{\nint a = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nint b = 0; // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nNode node = new Node(0); // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nint c = function(); // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c; // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n/* \u7c7b */\nclass Node {\nvar val: Int\nvar next: Node?\ninit(x: Int) {\nval = x\n}\n}\n/* \u51fd\u6570 */\nfunc function() -> Int {\n// do something...\nreturn 0\n}\nfunc algorithm(n: Int) -> Int { // \u8f93\u5165\u6570\u636e\nlet a = 0 // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5e38\u91cf\uff09\nvar b = 0 // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u53d8\u91cf\uff09\nlet node = Node(x: 0) // \u6682\u5b58\u6570\u636e\uff08\u5bf9\u8c61\uff09\nlet c = function() // \u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff08\u8c03\u7528\u51fd\u6570\uff09\nreturn a + b + c // \u8f93\u51fa\u6570\u636e\n}\n\n\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7684\u63a8\u7b97\u65b9\u6cd5\u548c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u603b\u4f53\u7c7b\u4f3c\uff0c\u53ea\u662f\u4ece\u7edf\u8ba1\u201c\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u201d\u53d8\u4e3a\u7edf\u8ba1\u201c\u4f7f\u7528\u7a7a\u95f4\u5927\u5c0f\u201d\u3002\u4e0e\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e0d\u540c\u7684\u662f\uff0c\u6211\u4eec\u4e00\u822c\u53ea\u5173\u6ce8\u300c\u6700\u5dee\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u3002\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u662f\u4e00\u4e2a\u786c\u6027\u8981\u6c42\uff0c\u6211\u4eec\u5fc5\u987b\u4fdd\u8bc1\u5728\u6240\u6709\u8f93\u5165\u6570\u636e\u4e0b\u90fd\u6709\u8db3\u591f\u7684\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u9884\u7559\u3002
\u6700\u5dee\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e2d\u7684\u201c\u6700\u5dee\u201d\u6709\u4e24\u5c42\u542b\u4e49\uff0c\u5206\u522b\u4e3a\u8f93\u5165\u6570\u636e\u7684\u6700\u5dee\u5206\u5e03\u3001\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u4e2d\u7684\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u70b9\u3002
nums \u4f7f\u7528 \\(O(n)\\) \u7a7a\u95f4\uff1b\u56e0\u6b64\u6700\u5dee\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \uff1bnums \u65f6\uff0c\u7a0b\u5e8f\u4f7f\u7528 \\(O(n)\\) \u7a7a\u95f4\uff1b\u56e0\u6b64\u6700\u5dee\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \uff1bvoid algorithm(int n) {\nint a = 0; // O(1)\nint[] b = new int[10000]; // O(1)\nif (n > 10)\nint[] nums = new int[n]; // O(n)\n}\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 0; // O(1)\nvector<int> b(10000); // O(1)\nif (n > 10)\nvector<int> nums(n); // O(n)\n}\ndef algorithm(n):\na = 0 # O(1)\nb = [0] * 10000 # O(1)\nif n > 10:\nnums = [0] * n # O(n)\nfunc algorithm(n int) {\na := 0 // O(1)\nb := make([]int, 10000) // O(1)\nvar nums []int\nif n > 10 {\nnums := make([]int, n) // O(n)\n}\nfmt.Println(a, b, nums)\n}\nfunction algorithm(n) {\nconst a = 0; // O(1)\nconst b = new Array(10000); // O(1)\nif (n > 10) {\nconst nums = new Array(n); // O(n)\n}\n}\nfunction algorithm(n: number): void {\nconst a = 0; // O(1)\nconst b = new Array(10000); // O(1)\nif (n > 10) {\nconst nums = new Array(n); // O(n)\n}\n}\n\nvoid algorithm(int n)\n{\nint a = 0; // O(1)\nint[] b = new int[10000]; // O(1)\nif (n > 10)\n{\nint[] nums = new int[n]; // O(n)\n}\n}\nfunc algorithm(n: Int) {\nlet a = 0 // O(1)\nlet b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)\nif n > 10 {\nlet nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)\n}\n}\n\n\u5728\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4e2d\uff0c\u9700\u8981\u6ce8\u610f\u7edf\u8ba1\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u3002\u4f8b\u5982\u51fd\u6570 loop()\uff0c\u5728\u5faa\u73af\u4e2d\u8c03\u7528\u4e86 \\(n\\) \u6b21 function() \uff0c\u6bcf\u8f6e\u4e2d\u7684 function() \u90fd\u8fd4\u56de\u5e76\u91ca\u653e\u4e86\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff0c\u56e0\u6b64\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4ecd\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002\u800c\u9012\u5f52\u51fd\u6570 recur() \u5728\u8fd0\u884c\u4e2d\u4f1a\u540c\u65f6\u5b58\u5728 \\(n\\) \u4e2a\u672a\u8fd4\u56de\u7684 recur() \uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u7528 \\(O(n)\\) \u7684\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u3002
int function() {\n// do something\nreturn 0;\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nvoid loop(int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfunction();\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nvoid recur(int n) {\nif (n == 1) return;\nreturn recur(n - 1);\n}\nint func() {\n// do something\nreturn 0;\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nvoid loop(int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfunc();\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nvoid recur(int n) {\nif (n == 1) return;\nreturn recur(n - 1);\n}\ndef function():\n# do something\nreturn 0\n\"\"\" \u5faa\u73af O(1) \"\"\"\ndef loop(n):\nfor _ in range(n):\nfunction()\n\"\"\" \u9012\u5f52 O(n) \"\"\"\ndef recur(n):\nif n == 1: return\nreturn recur(n - 1)\nfunc function() int {\n// do something\nreturn 0\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nfunc loop(n int) {\nfor i := 0; i < n; i++ {\nfunction()\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nfunc recur(n int) {\nif n == 1 {\nreturn\n}\nrecur(n - 1)\n}\nfunction constFunc() {\n// do something\nreturn 0;\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nfunction loop(n) {\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconstFunc();\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nfunction recur(n) {\nif (n === 1) return;\nreturn recur(n - 1);\n}\nfunction constFunc(): number {\n// do something\nreturn 0;\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nfunction loop(n: number): void {\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconstFunc();\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nfunction recur(n: number): void {\nif (n === 1) return;\nreturn recur(n - 1);\n}\n\nint function()\n{\n// do something\nreturn 0;\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nvoid loop(int n)\n{\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nfunction();\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nint recur(int n)\n{\nif (n == 1) return 1;\nreturn recur(n - 1);\n}\n@discardableResult\nfunc function() -> Int {\n// do something\nreturn 0\n}\n/* \u5faa\u73af O(1) */\nfunc loop(n: Int) {\nfor _ in 0 ..< n {\nfunction()\n}\n}\n/* \u9012\u5f52 O(n) */\nfunc recur(n: Int) {\nif n == 1 {\nreturn\n}\nrecur(n: n - 1)\n}\n\n\u8bbe\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u5e38\u89c1\u7684\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7c7b\u578b\u6709\uff08\u4ece\u4f4e\u5230\u9ad8\u6392\u5217\uff09
\\[ \\begin{aligned} O(1) < O(\\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \\newline \\text{\u5e38\u6570\u9636} < \\text{\u5bf9\u6570\u9636} < \\text{\u7ebf\u6027\u9636} < \\text{\u5e73\u65b9\u9636} < \\text{\u6307\u6570\u9636} \\end{aligned} \\]Fig. \u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7684\u5e38\u89c1\u7c7b\u578b
Tip
\u90e8\u5206\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u9700\u8981\u4e00\u4e9b\u524d\u7f6e\u77e5\u8bc6\uff0c\u5305\u62ec\u6570\u7ec4\u3001\u94fe\u8868\u3001\u4e8c\u53c9\u6811\u3001\u9012\u5f52\u7b97\u6cd5\u7b49\u3002\u5982\u679c\u9047\u5230\u770b\u4e0d\u61c2\u7684\u5730\u65b9\u65e0\u9700\u62c5\u5fc3\uff0c\u53ef\u4ee5\u5728\u5b66\u4e60\u5b8c\u540e\u9762\u7ae0\u8282\u540e\u518d\u6765\u590d\u4e60\uff0c\u73b0\u9636\u6bb5\u5148\u805a\u7126\u5728\u7406\u89e3\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u542b\u4e49\u548c\u63a8\u7b97\u65b9\u6cd5\u4e0a\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_complexity/#o1","title":"\u5e38\u6570\u9636 \\(O(1)\\)","text":"\u5e38\u6570\u9636\u5e38\u89c1\u4e8e\u6570\u91cf\u4e0e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u65e0\u5173\u7684\u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u3002
\u9700\u8981\u6ce8\u610f\u7684\u662f\uff0c\u5728\u5faa\u73af\u4e2d\u521d\u59cb\u5316\u53d8\u91cf\u6216\u8c03\u7528\u51fd\u6570\u800c\u5360\u7528\u7684\u5185\u5b58\uff0c\u5728\u8fdb\u5165\u4e0b\u4e00\u5faa\u73af\u540e\u5c31\u4f1a\u88ab\u91ca\u653e\uff0c\u5373\u4e0d\u4f1a\u7d2f\u79ef\u5360\u7528\u7a7a\u95f4\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4ecd\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig space_complexity.java/* \u5e38\u6570\u9636 */\nvoid constant(int n) {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfinal int a = 0;\nint b = 0;\nint[] nums = new int[10000];\nListNode node = new ListNode(0);\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nint c = 0;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfunction();\n}\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nvoid constant(int n) {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nconst int a = 0;\nint b = 0;\nvector<int> nums(10000);\nListNode node(0);\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nint c = 0;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfunc();\n}\n}\n\"\"\" \u5e38\u6570\u9636 \"\"\"\ndef constant(n):\n# \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\na = 0\nnums = [0] * 10000\nnode = ListNode(0)\n# \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor _ in range(n):\nc = 0\n# \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor _ in range(n):\nfunction()\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunc spaceConstant(n int) {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nconst a = 0\nb := 0\nnums := make([]int, 10000)\nListNode := newNode(0)\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nvar c int\nfor i := 0; i < n; i++ {\nc = 0\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor i := 0; i < n; i++ {\nfunction()\n}\nfmt.Println(a, b, nums, c, ListNode)\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunction constant(n) {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nconst a = 0;\nconst b = 0;\nconst nums = new Array(10000);\nconst node = new ListNode(0);\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconst c = 0;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconstFunc();\n}\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunction constant(n: number): void {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nconst a = 0;\nconst b = 0;\nconst nums = new Array(10000);\nconst node = new ListNode(0);\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconst c = 0;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconstFunc();\n}\n}\n\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nvoid constant(int n)\n{\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nint a = 0;\nint b = 0;\nint[] nums = new int[10000];\nListNode node = new ListNode(0);\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nint c = 0;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nfunction();\n}\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunc constant(n: Int) {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nlet a = 0\nvar b = 0\nlet nums = Array(repeating: 0, count: 10000)\nlet node = ListNode(x: 0)\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor _ in 0 ..< n {\nlet c = 0\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nfor _ in 0 ..< n {\nfunction()\n}\n}\n// \u5e38\u6570\u9636\nfn constant(n: i32) void {\n// \u5e38\u91cf\u3001\u53d8\u91cf\u3001\u5bf9\u8c61\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nconst a: i32 = 0;\nvar b: i32 = 0;\nvar nums = [_]i32{0}**10000;\nvar node = inc.ListNode(i32){.val = 0};\nvar i: i32 = 0;\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u53d8\u91cf\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\nwhile (i < n) : (i += 1) {\nvar c: i32 = 0;\n_ = c;\n}\n// \u5faa\u73af\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5360\u7528 O(1) \u7a7a\u95f4\ni = 0;\nwhile (i < n) : (i += 1) {\n_ = function();\n}\n_ = a;\n_ = b;\n_ = nums;\n_ = node;\n}\n\u7ebf\u6027\u9636\u5e38\u89c1\u4e8e\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e0e \\(n\\) \u6210\u6b63\u6bd4\u7684\u6570\u7ec4\u3001\u94fe\u8868\u3001\u6808\u3001\u961f\u5217\u7b49\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig space_complexity.java/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nvoid linear(int n) {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nint[] nums = new int[n];\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nList<ListNode> nodes = new ArrayList<>();\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nnodes.add(new ListNode(i));\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nMap<Integer, String> map = new HashMap<>();\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nmap.put(i, String.valueOf(i));\n}\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nvoid linear(int n) {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvector<int> nums(n);\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvector<ListNode> nodes;\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nnodes.push_back(ListNode(i));\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nunordered_map<int, string> map;\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nmap[i] = to_string(i);\n}\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u9636 \"\"\"\ndef linear(n):\n# \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nnums = [0] * n\n# \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nmapp = {}\nfor i in range(n):\nmapp[i] = str(i)\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunc spaceLinear(n int) {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\n_ = make([]int, n)\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvar nodes []*node\nfor i := 0; i < n; i++ {\nnodes = append(nodes, newNode(i))\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nm := make(map[int]string, n)\nfor i := 0; i < n; i++ {\nm[i] = strconv.Itoa(i)\n}\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunction linear(n) {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst nums = new Array(n);\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst nodes = [];\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nnodes.push(new ListNode(i));\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst map = new Map();\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nmap.set(i, i.toString());\n}\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunction linear(n: number): void {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst nums = new Array(n);\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst nodes: ListNode[] = [];\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nnodes.push(new ListNode(i));\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nconst map = new Map();\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nmap.set(i, i.toString());\n}\n}\n\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nvoid linear(int n)\n{\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nint[] nums = new int[n];\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nList<ListNode> nodes = new();\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nnodes.Add(new ListNode(i));\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nDictionary<int, String> map = new();\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nmap.Add(i, i.ToString());\n}\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunc linear(n: Int) {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nlet nums = Array(repeating: 0, count: n)\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nlet nodes = (0 ..< n).map { ListNode(x: $0) }\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nlet map = Dictionary(uniqueKeysWithValues: (0 ..< n).map { ($0, \"\\($0)\") })\n}\n// \u7ebf\u6027\u9636\nfn linear(comptime n: i32) !void {\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u6570\u7ec4\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvar nums = [_]i32{0}**n;\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvar nodes = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);\ndefer nodes.deinit();\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < n) : (i += 1) {\ntry nodes.append(i);\n}\n// \u957f\u5ea6\u4e3a n \u7684\u54c8\u5e0c\u8868\u5360\u7528 O(n) \u7a7a\u95f4\nvar map = std.AutoArrayHashMap(i32, []const u8).init(std.heap.page_allocator);\ndefer map.deinit();\nvar j: i32 = 0;\nwhile (j < n) : (j += 1) {\nconst string = try std.fmt.allocPrint(std.heap.page_allocator, \"{d}\", .{j});\ndefer std.heap.page_allocator.free(string);\ntry map.put(i, string);\n}\n_ = nums;\n}\n\u4ee5\u4e0b\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4f1a\u540c\u65f6\u5b58\u5728 \\(n\\) \u4e2a\u672a\u8fd4\u56de\u7684 algorithm() \u51fd\u6570\uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(n)\\) \u5927\u5c0f\u7684\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u3002
/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nvoid linearRecur(int n) {\nSystem.out.println(\"\u9012\u5f52 n = \" + n);\nif (n == 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nvoid linearRecur(int n) {\ncout << \"\u9012\u5f52 n = \" << n << endl;\nif (n == 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 \"\"\"\ndef linear_recur(n):\nprint(\"\u9012\u5f52 n =\", n)\nif n == 1: return\nlinear_recur(n - 1)\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc spaceLinearRecur(n int) {\nfmt.Println(\"\u9012\u5f52 n =\", n)\nif n == 1 {\nreturn\n}\nspaceLinearRecur(n - 1)\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction linearRecur(n) {\nconsole.log(`\u9012\u5f52 n = ${n}`);\nif (n === 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction linearRecur(n: number): void {\nconsole.log(`\u9012\u5f52 n = ${n}`);\nif (n === 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\n\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nvoid linearRecur(int n)\n{\nConsole.WriteLine(\"\u9012\u5f52 n = \" + n);\nif (n == 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc linearRecur(n: Int) {\nprint(\"\u9012\u5f52 n = \\(n)\")\nif n == 1 {\nreturn\n}\nlinearRecur(n: n - 1)\n}\n// \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\nfn linearRecur(comptime n: i32) void {\nstd.debug.print(\"\u9012\u5f52 n = {}\\n\", .{n});\nif (n == 1) return;\nlinearRecur(n - 1);\n}\nFig. \u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4ea7\u751f\u7684\u7ebf\u6027\u9636\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_complexity/#on2","title":"\u5e73\u65b9\u9636 \\(O(n^2)\\)","text":"\u5e73\u65b9\u9636\u5e38\u89c1\u4e8e\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e0e \\(n\\) \u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\u7684\u77e9\u9635\u3001\u56fe\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig space_complexity.java/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nvoid quadratic(int n) {\n// \u77e9\u9635\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nint [][]numMatrix = new int[n][n];\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nList<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nList<Integer> tmp = new ArrayList<>();\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\ntmp.add(0);\n}\nnumList.add(tmp);\n}\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nvoid quadratic(int n) {\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nvector<vector<int>> numMatrix;\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nvector<int> tmp;\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\ntmp.push_back(0);\n}\nnumMatrix.push_back(tmp);\n}\n}\n\"\"\" \u5e73\u65b9\u9636 \"\"\"\ndef quadratic(n):\n# \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nnum_matrix = [[0] * n for _ in range(n)]\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunc spaceQuadratic(n int) {\n// \u77e9\u9635\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nnumMatrix := make([][]int, n)\nfor i := 0; i < n; i++ {\nnumMatrix[i] = make([]int, n)\n}\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunction quadratic(n) {\n// \u77e9\u9635\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nconst numMatrix = Array(n).fill(null).map(() => Array(n).fill(null));\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nconst numList = [];\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconst tmp = [];\nfor (let j = 0; j < n; j++) {\ntmp.push(0);\n}\nnumList.push(tmp);\n}\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunction quadratic(n: number): void {\n// \u77e9\u9635\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nconst numMatrix = Array(n).fill(null).map(() => Array(n).fill(null));\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nconst numList = [];\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconst tmp = [];\nfor (let j = 0; j < n; j++) {\ntmp.push(0);\n}\nnumList.push(tmp);\n}\n}\n\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nvoid quadratic(int n)\n{\n// \u77e9\u9635\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nint[,] numMatrix = new int[n, n];\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nList<List<int>> numList = new();\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nList<int> tmp = new();\nfor (int j = 0; j < n; j++)\n{\ntmp.Add(0);\n}\nnumList.Add(tmp);\n}\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunc quadratic(n: Int) {\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nlet numList = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n), count: n)\n}\n// \u5e73\u65b9\u9636\nfn quadratic(n: i32) !void {\n// \u4e8c\u7ef4\u5217\u8868\u5360\u7528 O(n^2) \u7a7a\u95f4\nvar nodes = std.ArrayList(std.ArrayList(i32)).init(std.heap.page_allocator);\ndefer nodes.deinit();\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < n) : (i += 1) {\nvar tmp = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);\ndefer tmp.deinit();\nvar j: i32 = 0;\nwhile (j < n) : (j += 1) {\ntry tmp.append(0);\n}\ntry nodes.append(tmp);\n}\n}\n\u5728\u4ee5\u4e0b\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4e2d\uff0c\u540c\u65f6\u5b58\u5728 \\(n\\) \u4e2a\u672a\u8fd4\u56de\u7684 algorithm() \uff0c\u5e76\u4e14\u6bcf\u4e2a\u51fd\u6570\u4e2d\u90fd\u521d\u59cb\u5316\u4e86\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u957f\u5ea6\u5206\u522b\u4e3a \\(n, n-1, n-2, ..., 2, 1\\) \uff0c\u5e73\u5747\u957f\u5ea6\u4e3a \\(\\frac{n}{2}\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u603b\u4f53\u4f7f\u7528 \\(O(n^2)\\) \u7a7a\u95f4\u3002
/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint quadraticRecur(int n) {\nif (n <= 0) return 0;\n// \u6570\u7ec4 nums \u957f\u5ea6\u4e3a n, n-1, ..., 2, 1\nint[] nums = new int[n];\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint quadraticRecur(int n) {\nif (n <= 0) return 0;\nvector<int> nums(n);\ncout << \"\u9012\u5f52 n = \" << n << \" \u4e2d\u7684 nums \u957f\u5ea6 = \" << nums.size() << endl;\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\n\"\"\" \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 \"\"\"\ndef quadratic_recur(n):\nif n <= 0: return 0\n# \u6570\u7ec4 nums \u957f\u5ea6\u4e3a n, n-1, ..., 2, 1\nnums = [0] * n\nreturn quadratic_recur(n - 1)\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc spaceQuadraticRecur(n int) int {\nif n <= 0 {\nreturn 0\n}\n// \u6570\u7ec4 nums \u957f\u5ea6\u4e3a n, n-1, ..., 2, 1\nnums := make([]int, n)\nreturn spaceQuadraticRecur(n - 1)\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction quadraticRecur(n) {\nif (n <= 0) return 0;\nconst nums = new Array(n);\nconsole.log(`\u9012\u5f52 n = ${n} \u4e2d\u7684 nums \u957f\u5ea6 = ${nums.length}`);\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction quadraticRecur(n: number): number {\nif (n <= 0) return 0;\nconst nums = new Array(n);\nconsole.log(`\u9012\u5f52 n = ${n} \u4e2d\u7684 nums \u957f\u5ea6 = ${nums.length}`);\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\n\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint quadraticRecur(int n)\n{\nif (n <= 0) return 0;\n// \u6570\u7ec4 nums \u957f\u5ea6\u4e3a n, n-1, ..., 2, 1\nint[] nums = new int[n];\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc quadraticRecur(n: Int) -> Int {\nif n <= 0 {\nreturn 0\n}\n// \u6570\u7ec4 nums \u957f\u5ea6\u4e3a n, n-1, ..., 2, 1\nlet nums = Array(repeating: 0, count: n)\nreturn quadraticRecur(n: n - 1)\n}\n// \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\nfn quadraticRecur(comptime n: i32) i32 {\nif (n <= 0) return 0;\nvar nums = [_]i32{0}**n;\nstd.debug.print(\"\u9012\u5f52 n = {} \u4e2d\u7684 nums \u957f\u5ea6 = {}\\n\", .{n, nums.len});\nreturn quadraticRecur(n - 1);\n}\nFig. \u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4ea7\u751f\u7684\u5e73\u65b9\u9636\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_complexity/#o2n","title":"\u6307\u6570\u9636 \\(O(2^n)\\)","text":"\u6307\u6570\u9636\u5e38\u89c1\u4e8e\u4e8c\u53c9\u6811\u3002\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(n\\) \u7684\u300c\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u7684\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf\u4e3a \\(2^n - 1\\) \uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(2^n)\\) \u7a7a\u95f4\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig space_complexity.java/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nTreeNode buildTree(int n) {\nif (n == 0) return null;\nTreeNode root = new TreeNode(0);\nroot.left = buildTree(n - 1);\nroot.right = buildTree(n - 1);\nreturn root;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nTreeNode* buildTree(int n) {\nif (n == 0) return nullptr;\nTreeNode* root = new TreeNode(0);\nroot->left = buildTree(n - 1);\nroot->right = buildTree(n - 1);\nreturn root;\n}\n\"\"\" \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 \"\"\"\ndef build_tree(n):\nif n == 0: return None\nroot = TreeNode(0)\nroot.left = build_tree(n - 1)\nroot.right = build_tree(n - 1)\nreturn root\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nfunc buildTree(n int) *treeNode {\nif n == 0 {\nreturn nil\n}\nroot := newTreeNode(0)\nroot.left = buildTree(n - 1)\nroot.right = buildTree(n - 1)\nreturn root\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nfunction buildTree(n) {\nif (n === 0) return null;\nconst root = new TreeNode(0);\nroot.left = buildTree(n - 1);\nroot.right = buildTree(n - 1);\nreturn root;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nfunction buildTree(n: number): TreeNode | null {\nif (n === 0) return null;\nconst root = new TreeNode(0);\nroot.left = buildTree(n - 1);\nroot.right = buildTree(n - 1);\nreturn root;\n}\n\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nTreeNode? buildTree(int n)\n{\nif (n == 0) return null;\nTreeNode root = new TreeNode(0);\nroot.left = buildTree(n - 1);\nroot.right = buildTree(n - 1);\nreturn root;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09 */\nfunc buildTree(n: Int) -> TreeNode? {\nif n == 0 {\nreturn nil\n}\nlet root = TreeNode(x: 0)\nroot.left = buildTree(n: n - 1)\nroot.right = buildTree(n: n - 1)\nreturn root\n}\n// \u6307\u6570\u9636\uff08\u5efa\u7acb\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\uff09\nfn buildTree(mem_allocator: std.mem.Allocator, n: i32) !?*inc.TreeNode(i32) {\nif (n == 0) return null;\nconst root = try mem_allocator.create(inc.TreeNode(i32));\nroot.init(0);\nroot.left = try buildTree(mem_allocator, n - 1);\nroot.right = try buildTree(mem_allocator, n - 1);\nreturn root;\n}\nFig. \u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811\u4e0b\u7684\u6307\u6570\u9636\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_complexity/#olog-n","title":"\u5bf9\u6570\u9636 \\(O(\\log n)\\)","text":"\u5bf9\u6570\u9636\u5e38\u89c1\u4e8e\u5206\u6cbb\u7b97\u6cd5\u3001\u6570\u636e\u7c7b\u578b\u8f6c\u6362\u7b49\u3002
\u4f8b\u5982\u300c\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u300d\uff0c\u957f\u5ea6\u4e3a \\(n\\) \u7684\u6570\u7ec4\u53ef\u4ee5\u5f62\u6210\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(\\log n\\) \u7684\u9012\u5f52\u6811\uff0c\u56e0\u6b64\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \u3002
\u518d\u4f8b\u5982\u300c\u6570\u5b57\u8f6c\u5316\u4e3a\u5b57\u7b26\u4e32\u300d\uff0c\u8f93\u5165\u4efb\u610f\u6b63\u6574\u6570 \\(n\\) \uff0c\u5b83\u7684\u4f4d\u6570\u4e3a \\(\\log_{10} n\\) \uff0c\u5373\u5bf9\u5e94\u5b57\u7b26\u4e32\u957f\u5ea6\u4e3a \\(\\log_{10} n\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(\\log_{10} n) = O(\\log n)\\) \u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff/","title":"2.4. \u6743\u8861\u65f6\u95f4\u4e0e\u7a7a\u95f4","text":"\u7406\u60f3\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u6211\u4eec\u5e0c\u671b\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u548c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u90fd\u80fd\u591f\u8fbe\u5230\u6700\u4f18\uff0c\u800c\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u540c\u65f6\u4f18\u5316\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u548c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u662f\u975e\u5e38\u56f0\u96be\u7684\u3002
\u964d\u4f4e\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff0c\u5f80\u5f80\u662f\u4ee5\u63d0\u5347\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a\u4ee3\u4ef7\u7684\uff0c\u53cd\u4e4b\u4ea6\u7136\u3002\u6211\u4eec\u628a\u727a\u7272\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u6765\u63d0\u5347\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u901f\u5ea6\u7684\u601d\u8def\u79f0\u4e3a\u300c\u4ee5\u7a7a\u95f4\u6362\u65f6\u95f4\u300d\uff1b\u53cd\u4e4b\uff0c\u79f0\u4e4b\u4e3a\u300c\u4ee5\u65f6\u95f4\u6362\u7a7a\u95f4\u300d\u3002\u9009\u62e9\u54ea\u79cd\u601d\u8def\u53d6\u51b3\u4e8e\u6211\u4eec\u66f4\u770b\u91cd\u54ea\u4e2a\u65b9\u9762\u3002
\u5927\u591a\u6570\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u65f6\u95f4\u90fd\u662f\u6bd4\u7a7a\u95f4\u66f4\u5b9d\u8d35\u7684\uff0c\u53ea\u8981\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e0d\u8981\u592a\u79bb\u8c31\u3001\u80fd\u63a5\u53d7\u5c31\u884c\uff0c\u56e0\u6b64\u4ee5\u7a7a\u95f4\u6362\u65f6\u95f4\u6700\u4e3a\u5e38\u7528\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff/#241","title":"2.4.1. \u793a\u4f8b\u9898\u76ee *","text":"\u4ee5 LeetCode \u5168\u7ad9\u7b2c\u4e00\u9898 \u4e24\u6570\u4e4b\u548c \u4e3a\u4f8b\u3002
\u4e24\u6570\u4e4b\u548c
\u7ed9\u5b9a\u4e00\u4e2a\u6574\u6570\u6570\u7ec4 nums \u548c\u4e00\u4e2a\u6574\u6570\u76ee\u6807\u503c target \uff0c\u8bf7\u4f60\u5728\u8be5\u6570\u7ec4\u4e2d\u627e\u51fa\u201c\u548c\u201d\u4e3a\u76ee\u6807\u503c target \u7684\u90a3\u4e24\u4e2a\u6574\u6570\uff0c\u5e76\u8fd4\u56de\u5b83\u4eec\u7684\u6570\u7ec4\u4e0b\u6807\u3002
\u4f60\u53ef\u4ee5\u5047\u8bbe\u6bcf\u79cd\u8f93\u5165\u53ea\u4f1a\u5bf9\u5e94\u4e00\u4e2a\u7b54\u6848\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u6570\u7ec4\u4e2d\u540c\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u5728\u7b54\u6848\u91cc\u4e0d\u80fd\u91cd\u590d\u51fa\u73b0\u3002
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\u300c\u66b4\u529b\u679a\u4e3e\u300d\u548c\u300c\u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\u300d\u5206\u522b\u4e3a \u7a7a\u95f4\u6700\u4f18 \u548c \u65f6\u95f4\u6700\u4f18 \u7684\u4e24\u79cd\u89e3\u6cd5\u3002\u672c\u7740\u65f6\u95f4\u6bd4\u7a7a\u95f4\u66f4\u5b9d\u8d35\u7684\u539f\u5219\uff0c\u540e\u8005\u662f\u672c\u9898\u7684\u6700\u4f73\u89e3\u6cd5\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff/#_1","title":"\u65b9\u6cd5\u4e00\uff1a\u66b4\u529b\u679a\u4e3e","text":"\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(N^2)\\) \uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff0c\u5c5e\u4e8e\u300c\u65f6\u95f4\u6362\u7a7a\u95f4\u300d\u3002
\u867d\u7136\u4ec5\u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u7684\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\uff0c\u4f46\u8fd0\u884c\u901f\u5ea6\u8fc7\u6162\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig leetcode_two_sum.javaclass SolutionBruteForce {\npublic int[] twoSum(int[] nums, int target) {\nint size = nums.length;\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor (int i = 0; i < size - 1; i++) {\nfor (int j = i + 1; j < size; j++) {\nif (nums[i] + nums[j] == target)\nreturn new int[] { i, j };\n}\n}\nreturn new int[0];\n}\n}\nclass SolutionBruteForce {\npublic:\nvector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {\nint size = nums.size();\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor (int i = 0; i < size - 1; i++) {\nfor (int j = i + 1; j < size; j++) {\nif (nums[i] + nums[j] == target)\nreturn { i, j };\n}\n}\nreturn {};\n}\n};\n\"\"\" \u65b9\u6cd5\u4e00\uff1a\u66b4\u529b\u679a\u4e3e \"\"\"\nclass SolutionBruteForce:\ndef twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:\n# \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor i in range(len(nums) - 1):\nfor j in range(i + 1, len(nums)):\nif nums[i] + nums[j] == target:\nreturn i, j\nreturn []\nfunc twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {\nsize := len(nums)\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor i := 0; i < size-1; i++ {\nfor j := i + 1; i < size; j++ {\nif nums[i]+nums[j] == target {\nreturn []int{i, j}\n}\n}\n}\nreturn nil\n}\nfunction twoSumBruteForce(nums, target) {\nconst n = nums.length;\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = i + 1; j < n; j++) {\nif (nums[i] + nums[j] === target) {\nreturn [i, j];\n}\n}\n}\nreturn [];\n}\nfunction twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {\nconst n = nums.length;\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = i + 1; j < n; j++) {\nif (nums[i] + nums[j] === target) {\nreturn [i, j];\n}\n}\n}\nreturn [];\n};\n\nclass SolutionBruteForce\n{\npublic int[] twoSum(int[] nums, int target)\n{\nint size = nums.Length;\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor (int i = 0; i < size - 1; i++)\n{\nfor (int j = i + 1; j < size; j++)\n{\nif (nums[i] + nums[j] == target)\nreturn new int[] { i, j };\n}\n}\nreturn new int[0];\n}\n}\nfunc twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nfor i in nums.indices.dropLast() {\nfor j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {\nif nums[i] + nums[j] == target {\nreturn [i, j]\n}\n}\n}\nreturn [0]\n}\nconst SolutionBruteForce = struct {\npub fn twoSum(self: *SolutionBruteForce, nums: []i32, target: i32) [2]i32 {\n_ = self;\nvar size: usize = nums.len;\nvar i: usize = 0;\n// \u4e24\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n^2)\nwhile (i < size - 1) : (i += 1) {\nvar j = i + 1;\nwhile (j < size) : (j += 1) {\nif (nums[i] + nums[j] == target) {\nreturn [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};\n}\n}\n}\nreturn undefined;\n}\n};\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(N)\\) \uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(N)\\) \uff0c\u5c5e\u4e8e\u300c\u7a7a\u95f4\u6362\u65f6\u95f4\u300d\u3002
\u501f\u52a9\u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868 dic \uff0c\u901a\u8fc7\u4fdd\u5b58\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u4e0e\u7d22\u5f15\u7684\u6620\u5c04\u6765\u63d0\u5347\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u901f\u5ea6\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig leetcode_two_sum.javaclass SolutionHashMap {\npublic int[] twoSum(int[] nums, int target) {\nint size = nums.length;\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nMap<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\nif (dic.containsKey(target - nums[i])) {\nreturn new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };\n}\ndic.put(nums[i], i);\n}\nreturn new int[0];\n}\n}\nclass SolutionHashMap {\npublic:\nvector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {\nint size = nums.size();\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nunordered_map<int, int> dic;\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\nif (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {\nreturn { dic[target - nums[i]], i };\n}\ndic.emplace(nums[i], i);\n}\nreturn {};\n}\n};\n\"\"\" \u65b9\u6cd5\u4e8c\uff1a\u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868 \"\"\"\nclass SolutionHashMap:\ndef twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:\n# \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\ndic = {}\n# \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor i in range(len(nums)):\nif target - nums[i] in dic:\nreturn dic[target - nums[i]], i\ndic[nums[i]] = i\nreturn []\nfunc twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nhashTable := map[int]int{}\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor idx, val := range nums {\nif preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {\nreturn []int{preIdx, idx}\n}\nhashTable[val] = idx\n}\nreturn nil\n}\nfunction twoSumHashTable(nums, target) {\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nlet m = {};\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nif (m[nums[i]] !== undefined) {\nreturn [m[nums[i]], i];\n} else {\nm[target - nums[i]] = i;\n}\n}\nreturn [];\n}\nfunction twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nlet m: Map<number, number> = new Map();\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\nlet index = m.get(nums[i]);\nif (index !== undefined) {\nreturn [index, i];\n} else {\nm.set(target - nums[i], i);\n}\n}\nreturn [];\n};\n\nclass SolutionHashMap\n{\npublic int[] twoSum(int[] nums, int target)\n{\nint size = nums.Length;\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nDictionary<int, int> dic = new();\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor (int i = 0; i < size; i++)\n{\nif (dic.ContainsKey(target - nums[i]))\n{\nreturn new int[] { dic[target - nums[i]], i };\n}\ndic.Add(nums[i], i);\n}\nreturn new int[0];\n}\n}\nfunc twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nvar dic: [Int: Int] = [:]\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nfor i in nums.indices {\nif let j = dic[target - nums[i]] {\nreturn [j, i]\n}\ndic[nums[i]] = i\n}\nreturn [0]\n}\nconst SolutionHashMap = struct {\npub fn twoSum(self: *SolutionHashMap, nums: []i32, target: i32) ![2]i32 {\n_ = self;\nvar size: usize = nums.len;\n// \u8f85\u52a9\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nvar dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);\ndefer dic.deinit();\nvar i: usize = 0;\n// \u5355\u5c42\u5faa\u73af\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nwhile (i < size) : (i += 1) {\nif (dic.contains(target - nums[i])) {\nreturn [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};\n}\ntry dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));\n}\nreturn undefined;\n}\n};\n\u4e0e\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7684\u5b9a\u4e49\u7c7b\u4f3c\uff0c\u300c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u7edf\u8ba1\u7b97\u6cd5\u5360\u7528\u7a7a\u95f4\u968f\u7740\u6570\u636e\u91cf\u53d8\u5927\u65f6\u7684\u589e\u957f\u8d8b\u52bf\u3002
\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u4e2d\u76f8\u5173\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u53ef\u5206\u4e3a\u8f93\u5165\u7a7a\u95f4\u3001\u6682\u5b58\u7a7a\u95f4\u3001\u8f93\u51fa\u7a7a\u95f4\u3002\u901a\u5e38\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u8f93\u5165\u7a7a\u95f4\u4e0d\u8ba1\u5165\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u8ba1\u7b97\u3002\u6682\u5b58\u7a7a\u95f4\u53ef\u5206\u4e3a\u6307\u4ee4\u7a7a\u95f4\u3001\u6570\u636e\u7a7a\u95f4\u3001\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\uff0c\u5176\u4e2d\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u4e00\u822c\u5728\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u4e2d\u624d\u4f1a\u5f71\u54cd\u5230\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u3002
\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u80fd\u591f\u76f4\u89c2\u4e14\u51c6\u786e\u5730\u4f53\u73b0\u51fa\u7b97\u6cd5\u7684\u6548\u7387\u6c34\u5e73\u3002\u5982\u679c\u6211\u4eec\u60f3\u8981 \u51c6\u786e\u9884\u4f30\u4e00\u6bb5\u4ee3\u7801\u7684\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4 \uff0c\u8be5\u5982\u4f55\u505a\u5462\uff1f
+ \u9700\u8981 1 ns \uff0c\u4e58\u6cd5\u64cd\u4f5c * \u9700\u8981 10 ns \uff0c\u6253\u5370\u64cd\u4f5c\u9700\u8981 5 ns \u7b49\u3002\u4f8b\u5982\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\uff0c\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u6839\u636e\u4ee5\u4e0a\u65b9\u6cd5\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u4e3a \\(6n + 12\\) ns \u3002
\\[ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \\times n = 6n + 12 \\] JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\nSystem.out.println(0); // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\ncout << 0 << endl; // 5 ns\n}\n}\n# \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\ndef algorithm(n):\na = 2 # 1 ns\na = a + 1 # 1 ns\na = a * 2 # 10 ns\n# \u5faa\u73af n \u6b21\nfor _ in range(n): # 1 ns\nprint(0) # 5 ns\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nfunc algorithm(n int) {\na := 2 // 1 ns\na = a + 1 // 1 ns\na = a * 2 // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor i := 0; i < n; i++ { // 1 ns\nfmt.Println(a) // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nfunction algorithm(n) {\nvar a = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\nconsole.log(0); // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nfunction algorithm(n: number): void {\nvar a: number = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\nconsole.log(0); // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\nprintf(\"%d\", 0); // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nvoid algorithm(int n)\n{\nint a = 2; // 1 ns\na = a + 1; // 1 ns\na = a * 2; // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{ // 1 ns \uff0c\u6bcf\u8f6e\u90fd\u8981\u6267\u884c i++\nConsole.WriteLine(0); // 5 ns\n}\n}\n// \u5728\u67d0\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u4e0b\nfunc algorithm(_ n: Int) {\nvar a = 2 // 1 ns\na = a + 1 // 1 ns\na = a * 2 // 10 ns\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor _ in 0 ..< n { // 1 ns\nprint(0) // 5 ns\n}\n}\n\n\u4f46\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c \u7edf\u8ba1\u7b97\u6cd5\u7684\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u65e2\u4e0d\u5408\u7406\u4e5f\u4e0d\u73b0\u5b9e\u3002\u9996\u5148\uff0c\u6211\u4eec\u4e0d\u5e0c\u671b\u9884\u4f30\u65f6\u95f4\u548c\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u7ed1\u5b9a\uff0c\u6bd5\u7adf\u7b97\u6cd5\u9700\u8981\u8dd1\u5728\u5404\u5f0f\u5404\u6837\u7684\u5e73\u53f0\u4e4b\u4e0a\u3002\u5176\u6b21\uff0c\u6211\u4eec\u5f88\u96be\u83b7\u77e5\u6bcf\u4e00\u79cd\u64cd\u4f5c\u7684\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\uff0c\u8fd9\u4e3a\u9884\u4f30\u8fc7\u7a0b\u5e26\u6765\u4e86\u6781\u5927\u7684\u96be\u5ea6\u3002
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\u201c\u65f6\u95f4\u589e\u957f\u8d8b\u52bf\u201d\u8fd9\u4e2a\u6982\u5ff5\u6bd4\u8f83\u62bd\u8c61\uff0c\u6211\u4eec\u501f\u52a9\u4e00\u4e2a\u4f8b\u5b50\u6765\u7406\u89e3\u3002\u8bbe\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u7ed9\u5b9a\u4e09\u4e2a\u7b97\u6cd5 A , B , C \u3002
A \u53ea\u6709 \\(1\\) \u4e2a\u6253\u5370\u64cd\u4f5c\uff0c\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u4e0d\u968f\u7740 \\(n\\) \u589e\u5927\u800c\u589e\u957f\u3002\u6211\u4eec\u79f0\u6b64\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a\u300c\u5e38\u6570\u9636\u300d\u3002B \u4e2d\u7684\u6253\u5370\u64cd\u4f5c\u9700\u8981\u5faa\u73af \\(n\\) \u6b21\uff0c\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u968f\u7740 \\(n\\) \u589e\u5927\u6210\u7ebf\u6027\u589e\u957f\u3002\u6b64\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u7ebf\u6027\u9636\u300d\u3002C \u4e2d\u7684\u6253\u5370\u64cd\u4f5c\u9700\u8981\u5faa\u73af \\(1000000\\) \u6b21\uff0c\u4f46\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u4ecd\u4e0e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u65e0\u5173\u3002\u56e0\u6b64 C \u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u548c A \u76f8\u540c\uff0c\u4ecd\u4e3a\u300c\u5e38\u6570\u9636\u300d\u3002// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_A(int n) {\nSystem.out.println(0);\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nvoid algorithm_B(int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nSystem.out.println(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_C(int n) {\nfor (int i = 0; i < 1000000; i++) {\nSystem.out.println(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_A(int n) {\ncout << 0 << endl;\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nvoid algorithm_B(int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncout << 0 << endl;\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_C(int n) {\nfor (int i = 0; i < 1000000; i++) {\ncout << 0 << endl;\n}\n}\n# \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\ndef algorithm_A(n):\nprint(0)\n# \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\ndef algorithm_B(n):\nfor _ in range(n):\nprint(0)\n# \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\ndef algorithm_C(n):\nfor _ in range(1000000):\nprint(0)\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunc algorithm_A(n int) {\nfmt.Println(0)\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nfunc algorithm_B(n int) {\nfor i := 0; i < n; i++ {\nfmt.Println(0)\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunc algorithm_C(n int) {\nfor i := 0; i < 1000000; i++ {\nfmt.Println(0)\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunction algorithm_A(n) {\nconsole.log(0);\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nfunction algorithm_B(n) {\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunction algorithm_C(n) {\nfor (let i = 0; i < 1000000; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunction algorithm_A(n: number): void {\nconsole.log(0);\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nfunction algorithm_B(n: number): void {\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunction algorithm_C(n: number): void {\nfor (let i = 0; i < 1000000; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_A(int n) {\nprintf(\"%d\", 0);\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nvoid algorithm_B(int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nprintf(\"%d\", 0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_C(int n) {\nfor (int i = 0; i < 1000000; i++) {\nprintf(\"%d\", 0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_A(int n)\n{\nConsole.WriteLine(0);\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nvoid algorithm_B(int n)\n{\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nConsole.WriteLine(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nvoid algorithm_C(int n)\n{\nfor (int i = 0; i < 1000000; i++)\n{\nConsole.WriteLine(0);\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 A \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunc algorithmA(_ n: Int) {\nprint(0)\n}\n// \u7b97\u6cd5 B \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u7ebf\u6027\u9636\nfunc algorithmB(_ n: Int) {\nfor _ in 0 ..< n {\nprint(0)\n}\n}\n// \u7b97\u6cd5 C \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff1a\u5e38\u6570\u9636\nfunc algorithmC(_ n: Int) {\nfor _ in 0 ..< 1000000 {\nprint(0)\n}\n}\n\nFig. \u7b97\u6cd5 A, B, C \u7684\u65f6\u95f4\u589e\u957f\u8d8b\u52bf
\u76f8\u6bd4\u76f4\u63a5\u7edf\u8ba1\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5206\u6790\u7684\u505a\u6cd5\u6709\u4ec0\u4e48\u597d\u5904\u5462\uff1f\u4ee5\u53ca\u6709\u4ec0\u4e48\u4e0d\u8db3\uff1f
\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u53ef\u4ee5\u6709\u6548\u8bc4\u4f30\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u3002\u7b97\u6cd5 B \u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u7684\u589e\u957f\u662f\u7ebf\u6027\u7684\uff0c\u5728 \\(n > 1\\) \u65f6\u6162\u4e8e\u7b97\u6cd5 A \uff0c\u5728 \\(n > 1000000\\) \u65f6\u6162\u4e8e\u7b97\u6cd5 C \u3002\u5b9e\u8d28\u4e0a\uff0c\u53ea\u8981\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u8db3\u591f\u5927\uff0c\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a\u300c\u5e38\u6570\u9636\u300d\u7684\u7b97\u6cd5\u4e00\u5b9a\u4f18\u4e8e\u300c\u7ebf\u6027\u9636\u300d\u7684\u7b97\u6cd5\uff0c\u8fd9\u4e5f\u6b63\u662f\u65f6\u95f4\u589e\u957f\u8d8b\u52bf\u7684\u542b\u4e49\u3002
\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7684\u63a8\u7b97\u65b9\u6cd5\u66f4\u52a0\u7b80\u4fbf\u3002\u5728\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5206\u6790\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u7edf\u8ba1\u300c\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u7684\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u300d\u7b80\u5316\u4e3a\u7edf\u8ba1\u300c\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u7684\u6570\u91cf\u300d\uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\uff0c\u65e0\u8bba\u662f\u8fd0\u884c\u5e73\u53f0\u8fd8\u662f\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u7c7b\u578b\uff0c\u90fd\u4e0e\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u7684\u589e\u957f\u8d8b\u52bf\u65e0\u5173\u3002\u56e0\u800c\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7b80\u5355\u5730\u5c06\u6240\u6709\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u7684\u6267\u884c\u65f6\u95f4\u7edf\u4e00\u770b\u4f5c\u662f\u76f8\u540c\u7684\u201c\u5355\u4f4d\u65f6\u95f4\u201d\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u7b80\u5316\u505a\u6cd5\u5927\u5927\u964d\u4f4e\u4e86\u4f30\u7b97\u96be\u5ea6\u3002
\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e5f\u5b58\u5728\u4e00\u5b9a\u7684\u5c40\u9650\u6027\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u867d\u7136\u7b97\u6cd5 A \u548c C \u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u76f8\u540c\uff0c\u4f46\u662f\u5b9e\u9645\u7684\u8fd0\u884c\u65f6\u95f4\u6709\u975e\u5e38\u5927\u7684\u5dee\u522b\u3002\u518d\u6bd4\u5982\uff0c\u867d\u7136\u7b97\u6cd5 B \u6bd4 C \u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u8981\u66f4\u9ad8\uff0c\u4f46\u5728\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u6bd4\u8f83\u5c0f\u65f6\uff0c\u7b97\u6cd5 B \u662f\u8981\u660e\u663e\u4f18\u4e8e\u7b97\u6cd5 C \u7684\u3002\u5bf9\u4e8e\u4ee5\u4e0a\u60c5\u51b5\uff0c\u6211\u4eec\u5f88\u96be\u4ec5\u51ed\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u6765\u5224\u5b9a\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u9ad8\u4f4e\u3002\u7136\u800c\uff0c\u5373\u4f7f\u5b58\u5728\u8fd9\u4e9b\u95ee\u9898\uff0c\u8ba1\u7b97\u590d\u6742\u5ea6\u4ecd\u7136\u662f\u8bc4\u5224\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u7684\u6700\u6709\u6548\u4e14\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
\u8bbe\u7b97\u6cd5\u300c\u8ba1\u7b97\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u300d\u4e3a \\(T(n)\\) \uff0c\u5176\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u7684\u51fd\u6570\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u4ee5\u4e0b\u7b97\u6cd5\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u4e3a
\\[ T(n) = 3 + 2n \\] JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZigvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +1\na = a + 1; // +1\na = a * 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\nSystem.out.println(0); // +1\n}\n}\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +1\na = a + 1; // +1\na = a * 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\ncout << 0 << endl; // +1\n}\n}\ndef algorithm(n):\na = 1 # +1\na = a + 1 # +1\na = a * 2 # +1\n# \u5faa\u73af n \u6b21\nfor i in range(n): # +1\nprint(0) # +1\nfunc algorithm(n int) {\na := 1 // +1\na = a + 1 // +1\na = a * 2 // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor i := 0; i < n; i++ { // +1\nfmt.Println(a) // +1\n}\n}\nfunction algorithm(n){\nvar a = 1; // +1\na += 1; // +1\na *= 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor(let i = 0; i < n; i++){ // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\nconsole.log(0); // +1\n}\n}\nfunction algorithm(n: number): void{\nvar a: number = 1; // +1\na += 1; // +1\na *= 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor(let i = 0; i < n; i++){ // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\nconsole.log(0); // +1\n}\n}\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +1\na = a + 1; // +1\na = a * 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\nprintf(\"%d\", 0); // +1\n}\n} void algorithm(int n) {\nint a = 1; // +1\na = a + 1; // +1\na = a * 2; // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor (int i = 0; i < n; i++) { // +1\uff08\u6bcf\u8f6e\u90fd\u6267\u884c i ++\uff09\nConsole.WriteLine(0); // +1\n}\n}\nfunc algorithm(n: Int) {\nvar a = 1 // +1\na = a + 1 // +1\na = a * 2 // +1\n// \u5faa\u73af n \u6b21\nfor _ in 0 ..< n { // +1\nprint(0) // +1\n}\n}\n\n\\(T(n)\\) \u662f\u4e2a\u4e00\u6b21\u51fd\u6570\uff0c\u8bf4\u660e\u65f6\u95f4\u589e\u957f\u8d8b\u52bf\u662f\u7ebf\u6027\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u6613\u5f97\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u662f\u7ebf\u6027\u9636\u3002
\u6211\u4eec\u5c06\u7ebf\u6027\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u8bb0\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u8fd9\u4e2a\u6570\u5b66\u7b26\u53f7\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u5927 \\(O\\) \u8bb0\u53f7 Big-\\(O\\) Notation\u300d\uff0c\u4ee3\u8868\u51fd\u6570 \\(T(n)\\) \u7684\u300c\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c asymptotic upper bound\u300d\u3002
\u6211\u4eec\u8981\u63a8\u7b97\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff0c\u672c\u8d28\u4e0a\u662f\u5728\u8ba1\u7b97\u300c\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u51fd\u6570 \\(T(n)\\) \u300d\u7684\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u3002\u4e0b\u9762\u6211\u4eec\u5148\u6765\u770b\u770b\u51fd\u6570\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u7684\u6570\u5b66\u5b9a\u4e49\u3002
\u51fd\u6570\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c
\u82e5\u5b58\u5728\u6b63\u5b9e\u6570 \\(c\\) \u548c\u5b9e\u6570 \\(n_0\\) \uff0c\u4f7f\u5f97\u5bf9\u4e8e\u6240\u6709\u7684 \\(n > n_0\\) \uff0c\u5747\u6709 $$ T(n) \\leq c \\cdot f(n) $$ \u5219\u53ef\u8ba4\u4e3a \\(f(n)\\) \u7ed9\u51fa\u4e86 \\(T(n)\\) \u7684\u4e00\u4e2a\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\uff0c\u8bb0\u4e3a $$ T(n) = O(f(n)) $$
Fig. \u51fd\u6570\u7684\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c
\u672c\u8d28\u4e0a\u770b\uff0c\u8ba1\u7b97\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u5c31\u662f\u5728\u627e\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570 \\(f(n)\\) \uff0c\u4f7f\u5f97\u5728 \\(n\\) \u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c\\(T(n)\\) \u548c \\(f(n)\\) \u5904\u4e8e\u76f8\u540c\u7684\u589e\u957f\u7ea7\u522b\uff08\u4ec5\u76f8\u5dee\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\u9879 \\(c\\) \u7684\u500d\u6570\uff09\u3002
Tip
\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u7684\u6570\u5b66\u5473\u513f\u6709\u70b9\u91cd\uff0c\u5982\u679c\u4f60\u611f\u89c9\u6ca1\u6709\u5b8c\u5168\u7406\u89e3\uff0c\u65e0\u9700\u62c5\u5fc3\uff0c\u56e0\u4e3a\u5728\u5b9e\u9645\u4f7f\u7528\u4e2d\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u8981\u4f1a\u63a8\u7b97\u5373\u53ef\uff0c\u6570\u5b66\u610f\u4e49\u53ef\u4ee5\u6162\u6162\u9886\u609f\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#224","title":"2.2.4. \u63a8\u7b97\u65b9\u6cd5","text":"\u63a8\u7b97\u51fa \\(f(n)\\) \u540e\uff0c\u6211\u4eec\u5c31\u5f97\u5230\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(f(n))\\) \u3002\u90a3\u4e48\uff0c\u5982\u4f55\u6765\u786e\u5b9a\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c \\(f(n)\\) \u5462\uff1f\u603b\u4f53\u5206\u4e3a\u4e24\u6b65\uff0c\u9996\u5148\u300c\u7edf\u8ba1\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u300d\uff0c\u7136\u540e\u300c\u5224\u65ad\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u300d\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#1","title":"1) \u7edf\u8ba1\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf","text":"\u5bf9\u7740\u4ee3\u7801\uff0c\u4ece\u4e0a\u5230\u4e0b\u4e00\u884c\u4e00\u884c\u5730\u8ba1\u6570\u5373\u53ef\u3002\u7136\u800c\uff0c\u7531\u4e8e\u4e0a\u8ff0 \\(c \\cdot f(n)\\) \u4e2d\u7684\u5e38\u6570\u9879 \\(c\\) \u53ef\u4ee5\u53d6\u4efb\u610f\u5927\u5c0f\uff0c\u56e0\u6b64\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf \\(T(n)\\) \u4e2d\u7684\u5404\u79cd\u7cfb\u6570\u3001\u5e38\u6570\u9879\u90fd\u53ef\u4ee5\u88ab\u5ffd\u7565\u3002\u6839\u636e\u6b64\u539f\u5219\uff0c\u53ef\u4ee5\u603b\u7ed3\u51fa\u4ee5\u4e0b\u8ba1\u6570\u5077\u61d2\u6280\u5de7\uff1a
1. \u548c 2. \u6280\u5de7\u3002\u6839\u636e\u4ee5\u4e0b\u793a\u4f8b\uff0c\u4f7f\u7528\u4e0a\u8ff0\u6280\u5de7\u524d\u3001\u540e\u7684\u7edf\u8ba1\u7ed3\u679c\u5206\u522b\u4e3a
\\[ \\begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \\text{\u5b8c\u6574\u7edf\u8ba1 (-.-|||)} \\newline & = 2n^2 + 7n + 3 \\newline T(n) & = n^2 + n & \\text{\u5077\u61d2\u7edf\u8ba1 (o.O)} \\end{aligned} \\]\u6700\u7ec8\uff0c\u4e24\u8005\u90fd\u80fd\u63a8\u51fa\u76f8\u540c\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7ed3\u679c\uff0c\u5373 \\(O(n^2)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZigvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {\nSystem.out.println(0);\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (int i = 0; i < 2 * n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n + 1; j++) {\nSystem.out.println(0);\n}\n}\n}\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {\ncout << 0 << endl;\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (int i = 0; i < 2 * n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n + 1; j++) {\ncout << 0 << endl;\n}\n}\n}\ndef algorithm(n):\na = 1 # +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n # +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n# +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor i in range(5 * n + 1):\nprint(0)\n# +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor i in range(2 * n):\nfor j in range(n + 1):\nprint(0)\nfunc algorithm(n int) {\na := 1 // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {\nfmt.Println(0)\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor i := 0; i < 2 * n; i++ {\nfor j := 0; j < n + 1; j++ {\nfmt.Println(0)\n}\n}\n}\nfunction algorithm(n) {\nlet a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (let i = 0; i < 2 * n; i++) {\nfor (let j = 0; j < n + 1; j++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n}\nfunction algorithm(n: number): void {\nlet a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {\nconsole.log(0);\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (let i = 0; i < 2 * n; i++) {\nfor (let j = 0; j < n + 1; j++) {\nconsole.log(0);\n}\n}\n}\nvoid algorithm(int n) {\nint a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {\nprintf(\"%d\", 0);\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (int i = 0; i < 2 * n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n + 1; j++) {\nprintf(\"%d\", 0);\n}\n}\n}\nvoid algorithm(int n)\n{\nint a = 1; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n; // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++)\n{\nConsole.WriteLine(0);\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor (int i = 0; i < 2 * n; i++)\n{\nfor (int j = 0; j < n + 1; j++)\n{\nConsole.WriteLine(0);\n}\n}\n}\nfunc algorithm(n: Int) {\nvar a = 1 // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\na = a + n // +0\uff08\u6280\u5de7 1\uff09\n// +n\uff08\u6280\u5de7 2\uff09\nfor _ in 0 ..< (5 * n + 1) {\nprint(0)\n}\n// +n*n\uff08\u6280\u5de7 3\uff09\nfor _ in 0 ..< (2 * n) {\nfor _ in 0 ..< (n + 1) {\nprint(0)\n}\n}\n}\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7531\u591a\u9879\u5f0f \\(T(n)\\) \u4e2d\u6700\u9ad8\u9636\u7684\u9879\u6765\u51b3\u5b9a\u3002\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\u5728 \\(n\\) \u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c\u6700\u9ad8\u9636\u7684\u9879\u5c06\u5904\u4e8e\u4e3b\u5bfc\u4f5c\u7528\uff0c\u5176\u5b83\u9879\u7684\u5f71\u54cd\u90fd\u53ef\u4ee5\u88ab\u5ffd\u7565\u3002
\u4ee5\u4e0b\u8868\u683c\u7ed9\u51fa\u4e86\u4e00\u4e9b\u4f8b\u5b50\uff0c\u5176\u4e2d\u6709\u4e00\u4e9b\u5938\u5f20\u7684\u503c\uff0c\u662f\u60f3\u8981\u5411\u5927\u5bb6\u5f3a\u8c03 \u7cfb\u6570\u65e0\u6cd5\u64bc\u52a8\u9636\u6570 \u8fd9\u4e00\u7ed3\u8bba\u3002\u5728 \\(n\\) \u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c\u8fd9\u4e9b\u5e38\u6570\u90fd\u662f\u201c\u6d6e\u4e91\u201d\u3002
\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf \\(T(n)\\) \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(f(n))\\) \\(100000\\) \\(O(1)\\) \\(3n + 2\\) \\(O(n)\\) \\(2n^2 + 3n + 2\\) \\(O(n^2)\\) \\(n^3 + 10000n^2\\) \\(O(n^3)\\) \\(2^n + 10000n^{10000}\\) \\(O(2^n)\\)"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#225","title":"2.2.5. \u5e38\u89c1\u7c7b\u578b","text":"\u8bbe\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u5e38\u89c1\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7c7b\u578b\u6709\uff08\u4ece\u4f4e\u5230\u9ad8\u6392\u5217\uff09
\\[ \\begin{aligned} O(1) < O(\\log n) < O(n) < O(n \\log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \\newline \\text{\u5e38\u6570\u9636} < \\text{\u5bf9\u6570\u9636} < \\text{\u7ebf\u6027\u9636} < \\text{\u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636} < \\text{\u5e73\u65b9\u9636} < \\text{\u6307\u6570\u9636} < \\text{\u9636\u4e58\u9636} \\end{aligned} \\]Fig. \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7684\u5e38\u89c1\u7c7b\u578b
Tip
\u90e8\u5206\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u9700\u8981\u4e00\u4e9b\u524d\u7f6e\u77e5\u8bc6\uff0c\u5305\u62ec\u6570\u7ec4\u3001\u9012\u5f52\u7b97\u6cd5\u7b49\u3002\u5982\u679c\u9047\u5230\u770b\u4e0d\u61c2\u7684\u5730\u65b9\u65e0\u9700\u62c5\u5fc3\uff0c\u53ef\u4ee5\u5728\u5b66\u4e60\u5b8c\u540e\u9762\u7ae0\u8282\u540e\u518d\u6765\u590d\u4e60\uff0c\u73b0\u9636\u6bb5\u5148\u805a\u7126\u5728\u7406\u89e3\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u542b\u4e49\u548c\u63a8\u7b97\u65b9\u6cd5\u4e0a\u3002
"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#o1","title":"\u5e38\u6570\u9636 \\(O(1)\\)","text":"\u5e38\u6570\u9636\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u4e0e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u65e0\u5173\uff0c\u5373\u4e0d\u968f\u7740 \\(n\\) \u7684\u53d8\u5316\u800c\u53d8\u5316\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4ee5\u4e0b\u7b97\u6cd5\uff0c\u65e0\u8bba\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf size \u6709\u591a\u5927\uff0c\u53ea\u8981\u4e0e\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u65e0\u5173\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5c31\u4ecd\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002
/* \u5e38\u6570\u9636 */\nint constant(int n) {\nint count = 0;\nint size = 100000;\nfor (int i = 0; i < size; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nint constant(int n) {\nint count = 0;\nint size = 100000;\nfor (int i = 0; i < size; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u5e38\u6570\u9636 \"\"\"\ndef constant(n):\ncount = 0\nsize = 100000\nfor _ in range(size):\ncount += 1\nreturn count\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunc constant(n int) int {\ncount := 0\nsize := 100000\nfor i := 0; i < size; i++ {\ncount ++\n}\nreturn count\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunction constant(n) {\nlet count = 0;\nconst size = 100000;\nfor (let i = 0; i < size; i++) count++;\nreturn count;\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunction constant(n: number): number {\nlet count = 0;\nconst size = 100000;\nfor (let i = 0; i < size; i++) count++;\nreturn count;\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nint constant(int n) {\nint count = 0;\nint size = 100000;\nint i = 0;\nfor (int i = 0; i < size; i++) {\ncount ++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nint constant(int n)\n{\nint count = 0;\nint size = 100000;\nfor (int i = 0; i < size; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n/* \u5e38\u6570\u9636 */\nfunc constant(n: Int) -> Int {\nvar count = 0\nlet size = 100000\nfor _ in 0 ..< size {\ncount += 1\n}\nreturn count\n}\n// \u5e38\u6570\u9636\nfn constant(n: i32) i32 {\n_ = n;\nvar count: i32 = 0;\nconst size: i32 = 100_000;\nvar i: i32 = 0;\nwhile(i<size) : (i += 1) {\ncount += 1;\n}\nreturn count;\n}\n\u7ebf\u6027\u9636\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u76f8\u5bf9\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u6210\u7ebf\u6027\u7ea7\u522b\u589e\u957f\u3002\u7ebf\u6027\u9636\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u5355\u5c42\u5faa\u73af\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nint linear(int n) {\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < n; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nint linear(int n) {\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < n; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u9636 \"\"\"\ndef linear(n):\ncount = 0\nfor _ in range(n):\ncount += 1\nreturn count\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunc linear(n int) int {\ncount := 0\nfor i := 0; i < n; i++ {\ncount++\n}\nreturn count\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunction linear(n) {\nlet count = 0;\nfor (let i = 0; i < n; i++) count++;\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunction linear(n: number): number {\nlet count = 0;\nfor (let i = 0; i < n; i++) count++;\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nint linear(int n) {\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount ++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nint linear(int n)\n{\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < n; i++)\ncount++;\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636 */\nfunc linear(n: Int) -> Int {\nvar count = 0\nfor _ in 0 ..< n {\ncount += 1\n}\nreturn count\n}\n// \u7ebf\u6027\u9636\nfn linear(n: i32) i32 {\nvar count: i32 = 0;\nvar i: i32 = 0;\nwhile (i < n) : (i += 1) {\ncount += 1;\n}\nreturn count;\n}\n\u300c\u904d\u5386\u6570\u7ec4\u300d\u548c\u300c\u904d\u5386\u94fe\u8868\u300d\u7b49\u64cd\u4f5c\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u90fd\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u5176\u4e2d \\(n\\) \u4e3a\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u7684\u957f\u5ea6\u3002
Tip
\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u662f\u6839\u636e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u7684\u7c7b\u578b\u6765\u786e\u5b9a\u7684\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u5728\u4e0a\u8ff0\u793a\u4f8b\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u76f4\u63a5\u5c06 \\(n\\) \u770b\u4f5c\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\uff1b\u4ee5\u4e0b\u904d\u5386\u6570\u7ec4\u793a\u4f8b\u4e2d\uff0c\u6570\u636e\u5927\u5c0f \\(n\\) \u4e3a\u6570\u7ec4\u7684\u957f\u5ea6\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nint arrayTraversal(int[] nums) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (int num : nums) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nint arrayTraversal(vector<int>& nums) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (int num : nums) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09\"\"\"\ndef array_traversal(nums):\ncount = 0\n# \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor num in nums:\ncount += 1\nreturn count\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc arrayTraversal(nums []int) int {\ncount := 0\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor range nums {\ncount++\n}\nreturn count\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunction arrayTraversal(nums) {\nlet count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunction arrayTraversal(nums: number[]): number {\nlet count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nint arrayTraversal(int *nums, int n) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount ++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nint arrayTraversal(int[] nums)\n{\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nforeach(int num in nums)\n{\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {\nvar count = 0\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor _ in nums {\ncount += 1\n}\nreturn count\n}\n// \u7ebf\u6027\u9636\uff08\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff09\nfn arrayTraversal(nums: []i32) i32 {\nvar count: i32 = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u6b63\u6bd4\nfor (nums) |_| {\ncount += 1;\n}\nreturn count;\n}\n\u5e73\u65b9\u9636\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\u76f8\u5bf9\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u6210\u5e73\u65b9\u7ea7\u522b\u589e\u957f\u3002\u5e73\u65b9\u9636\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u5d4c\u5957\u5faa\u73af\uff0c\u5916\u5c42\u5faa\u73af\u548c\u5185\u5c42\u5faa\u73af\u90fd\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u603b\u4f53\u4e3a \\(O(n^2)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nint quadratic(int n) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\ncount++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nint quadratic(int n) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\ncount++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u5e73\u65b9\u9636 \"\"\"\ndef quadratic(n):\ncount = 0\n# \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor i in range(n):\nfor j in range(n):\ncount += 1\nreturn count\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunc quadratic(n int) int {\ncount := 0\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor i := 0; i < n; i++ {\nfor j := 0; j < n; j++ {\ncount++\n}\n}\nreturn count\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunction quadratic(n) {\nlet count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = 0; j < n; j++) {\ncount++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunction quadratic(n: number): number {\nlet count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = 0; j < n; j++) {\ncount++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nint quadratic(int n) {\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\ncount ++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nint quadratic(int n)\n{\nint count = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nfor (int j = 0; j < n; j++)\n{\ncount++;\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636 */\nfunc quadratic(n: Int) -> Int {\nvar count = 0\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nfor _ in 0 ..< n {\nfor _ in 0 ..< n {\ncount += 1\n}\n}\nreturn count\n}\n// \u5e73\u65b9\u9636\nfn quadratic(n: i32) i32 {\nvar count: i32 = 0;\nvar i: i32 = 0;\n// \u5faa\u73af\u6b21\u6570\u4e0e\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u6210\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\nwhile (i < n) : (i += 1) {\nvar j: i32 = 0;\nwhile (j < n) : (j += 1) {\ncount += 1;\n}\n}\nreturn count;\n} Fig. \u5e38\u6570\u9636\u3001\u7ebf\u6027\u9636\u3001\u5e73\u65b9\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
\u4ee5\u300c\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\u300d\u4e3a\u4f8b\uff0c\u5916\u5c42\u5faa\u73af \\(n - 1\\) \u6b21\uff0c\u5185\u5c42\u5faa\u73af \\(n-1, n-2, \\cdots, 2, 1\\) \u6b21\uff0c\u5e73\u5747\u4e3a \\(\\frac{n}{2}\\) \u6b21\uff0c\u56e0\u6b64\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n^2)\\) \u3002
\\[ O((n - 1) \\frac{n}{2}) = O(n^2) \\] JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nint bubbleSort(int[] nums) {\nint count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nint bubbleSort(vector<int>& nums) {\nint count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09\"\"\"\ndef bubble_sort(nums):\ncount = 0 # \u8ba1\u6570\u5668\n# \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in range(len(nums) - 1, 0, -1):\n# \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j in range(i):\nif nums[j] > nums[j + 1]:\n# \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\ntmp = nums[j]\nnums[j] = nums[j + 1]\nnums[j + 1] = tmp\ncount += 3 # \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\nreturn count\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nfunc bubbleSort(nums []int) int {\ncount := 0 // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j := 0; j < i; j++ {\nif nums[j] > nums[j+1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\ntmp := nums[j]\nnums[j] = nums[j+1]\nnums[j+1] = tmp\ncount += 3 // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nfunction bubbleSort(nums) {\nlet count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nfunction bubbleSort(nums: number[]): number {\nlet count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nint bubbleSort(int *nums, int n) {\nint count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668 \n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = n - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums [j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nint bubbleSort(int[] nums)\n{\nint count = 0; // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)\n{\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++)\n{\nif (nums[j] > nums[j + 1])\n{\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09 */\nfunc bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {\nvar count = 0 // \u8ba1\u6570\u5668\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 + 1 ? $0 - 1 : nil }) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j in 0 ..< i {\nif nums[j] > nums[j + 1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j]\nnums[j] = nums[j + 1]\nnums[j + 1] = tmp\ncount += 3 // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count\n}\n// \u5e73\u65b9\u9636\uff08\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff09\nfn bubbleSort(nums: []i32) i32 {\nvar count: i32 = 0; // \u8ba1\u6570\u5668 \n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nvar i: i32 = @intCast(i32, nums.len ) - 1;\nwhile (i > 0) : (i -= 1) {\nvar j: usize = 0;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nwhile (j < i) : (j += 1) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nvar tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\ncount += 3; // \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u5305\u542b 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\n}\n}\n}\nreturn count;\n}\nNote
\u751f\u7269\u5b66\u79d1\u4e2d\u7684\u201c\u7ec6\u80de\u5206\u88c2\u201d\u5373\u662f\u6307\u6570\u9636\u589e\u957f\uff1a\u521d\u59cb\u72b6\u6001\u4e3a \\(1\\) \u4e2a\u7ec6\u80de\uff0c\u5206\u88c2\u4e00\u8f6e\u540e\u4e3a \\(2\\) \u4e2a\uff0c\u5206\u88c2\u4e24\u8f6e\u540e\u4e3a \\(4\\) \u4e2a\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u5206\u88c2 \\(n\\) \u8f6e\u540e\u6709 \\(2^n\\) \u4e2a\u7ec6\u80de\u3002
\u6307\u6570\u9636\u589e\u957f\u5f97\u975e\u5e38\u5feb\uff0c\u5728\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\u4e00\u822c\u662f\u4e0d\u80fd\u88ab\u63a5\u53d7\u7684\u3002\u82e5\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\u4f7f\u7528\u300c\u66b4\u529b\u679a\u4e3e\u300d\u6c42\u89e3\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u662f \\(O(2^n)\\) \uff0c\u90a3\u4e48\u4e00\u822c\u90fd\u9700\u8981\u4f7f\u7528\u300c\u52a8\u6001\u89c4\u5212\u300d\u6216\u300c\u8d2a\u5fc3\u7b97\u6cd5\u300d\u7b49\u7b97\u6cd5\u6765\u6c42\u89e3\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint exponential(int n) {\nint count = 0, base = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < base; j++) {\ncount++;\n}\nbase *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint exponential(int n) {\nint count = 0, base = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < base; j++) {\ncount++;\n}\nbase *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09\"\"\"\ndef exponential(n):\ncount, base = 0, 1\n# cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor _ in range(n):\nfor _ in range(base):\ncount += 1\nbase *= 2\n# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09*/\nfunc exponential(n int) int {\ncount, base := 0, 1\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor i := 0; i < n; i++ {\nfor j := 0; j < base; j++ {\ncount++\n}\nbase *= 2\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction exponential(n) {\nlet count = 0,\nbase = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = 0; j < base; j++) {\ncount++;\n}\nbase *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction exponential(n: number): number {\nlet count = 0,\nbase = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nfor (let j = 0; j < base; j++) {\ncount++;\n}\nbase *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint exponential(int n) {\nint count = 0;\nint bas = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nfor (int j = 0; j < bas; j++) {\ncount++;\n}\nbas *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint exponential(int n)\n{\nint count = 0, bas = 1;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nfor (int j = 0; j < bas; j++)\n{\ncount++;\n}\nbas *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc exponential(n: Int) -> Int {\nvar count = 0\nvar base = 1\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nfor _ in 0 ..< n {\nfor _ in 0 ..< base {\ncount += 1\n}\nbase *= 2\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count\n}\n// \u6307\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09\nfn exponential(n: i32) i32{\nvar count: i32 = 0;\nvar bas: i32 = 1;\nvar i: i32 = 0;\n// cell \u6bcf\u8f6e\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5f62\u6210\u6570\u5217 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)\nwhile (i < n) : (i += 1) {\nvar j: i32 = 0;\nwhile (j < bas) : (j += 1) {\ncount += 1;\n}\nbas *= 2;\n}\n// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1\nreturn count;\n} Fig. \u6307\u6570\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
\u5728\u5b9e\u9645\u7b97\u6cd5\u4e2d\uff0c\u6307\u6570\u9636\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u3002\u4f8b\u5982\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\uff0c\u4e0d\u65ad\u5730\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5206\u88c2 \\(n\\) \u6b21\u540e\u505c\u6b62\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint expRecur(int n) {\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint expRecur(int n) {\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n\"\"\" \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\"\"\"\ndef exp_recur(n):\nif n == 1: return 1\nreturn exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09*/\nfunc expRecur(n int) int {\nif n == 1 {\nreturn 1\n}\nreturn expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction expRecur(n) {\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction expRecur(n: number): number {\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint expRecur(int n) {\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint expRecur(int n)\n{\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n/* \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc expRecur(n: Int) -> Int {\nif n == 1 {\nreturn 1\n}\nreturn expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1\n}\n// \u6307\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\nfn expRecur(n: i32) i32{\nif (n == 1) return 1;\nreturn expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;\n}\n\u5bf9\u6570\u9636\u4e0e\u6307\u6570\u9636\u6b63\u597d\u76f8\u53cd\uff0c\u540e\u8005\u53cd\u6620\u201c\u6bcf\u8f6e\u589e\u52a0\u5230\u4e24\u500d\u7684\u60c5\u51b5\u201d\uff0c\u800c\u524d\u8005\u53cd\u6620\u201c\u6bcf\u8f6e\u7f29\u51cf\u5230\u4e00\u534a\u7684\u60c5\u51b5\u201d\u3002\u5bf9\u6570\u9636\u4ec5\u6b21\u4e8e\u5e38\u6570\u9636\uff0c\u65f6\u95f4\u589e\u957f\u5f97\u5f88\u6162\uff0c\u662f\u7406\u60f3\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u3002
\u5bf9\u6570\u9636\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u548c\u300c\u5206\u6cbb\u7b97\u6cd5\u300d\u4e2d\uff0c\u4f53\u73b0\u201c\u4e00\u5206\u4e3a\u591a\u201d\u3001\u201c\u5316\u7e41\u4e3a\u7b80\u201d\u7684\u7b97\u6cd5\u601d\u60f3\u3002
\u8bbe\u8f93\u5165\u6570\u636e\u5927\u5c0f\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u7531\u4e8e\u6bcf\u8f6e\u7f29\u51cf\u5230\u4e00\u534a\uff0c\u56e0\u6b64\u5faa\u73af\u6b21\u6570\u662f \\(\\log_2 n\\) \uff0c\u5373 \\(2^n\\) \u7684\u53cd\u51fd\u6570\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logarithmic(float n) {\nint count = 0;\nwhile (n > 1) {\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logarithmic(float n) {\nint count = 0;\nwhile (n > 1) {\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09\"\"\"\ndef logarithmic(n):\ncount = 0\nwhile n > 1:\nn = n / 2\ncount += 1\nreturn count\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09*/\nfunc logarithmic(n float64) int {\ncount := 0\nfor n > 1 {\nn = n / 2\ncount++\n}\nreturn count\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction logarithmic(n) {\nlet count = 0;\nwhile (n > 1) {\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction logarithmic(n: number): number {\nlet count = 0;\nwhile (n > 1) {\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logarithmic(float n) {\nint count = 0;\nwhile (n > 1) {\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logarithmic(float n)\n{\nint count = 0;\nwhile (n > 1)\n{\nn = n / 2;\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc logarithmic(n: Int) -> Int {\nvar count = 0\nvar n = n\nwhile n > 1 {\nn = n / 2\ncount += 1\n}\nreturn count\n}\n// \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u5faa\u73af\u5b9e\u73b0\uff09\nfn logarithmic(n: f32) i32\n{\nvar count: i32 = 0;\nvar n_var = n;\nwhile (n_var > 1)\n{\nn_var = n_var / 2;\ncount +=1;\n}\nreturn count;\n}\nFig. \u5bf9\u6570\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
\u4e0e\u6307\u6570\u9636\u7c7b\u4f3c\uff0c\u5bf9\u6570\u9636\u4e5f\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u9012\u5f52\u51fd\u6570\u3002\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\u5f62\u6210\u4e86\u4e00\u4e2a\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(\\log_2 n\\) \u7684\u9012\u5f52\u6811\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n\"\"\" \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\"\"\"\ndef log_recur(n):\nif n <= 1: return 0\nreturn log_recur(n / 2) + 1\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09*/\nfunc logRecur(n float64) int {\nif n <= 1 {\nreturn 0\n}\nreturn logRecur(n/2) + 1\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction logRecur(n) {\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction logRecur(n: number): number {\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint logRecur(float n)\n{\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n/* \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc logRecur(n: Int) -> Int {\nif n <= 1 {\nreturn 0\n}\nreturn logRecur(n: n / 2) + 1\n}\n// \u5bf9\u6570\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\nfn logRecur(n: f32) i32\n{\nif (n <= 1) return 0;\nreturn logRecur(n / 2) + 1;\n}\n\u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636\u5e38\u51fa\u73b0\u4e8e\u5d4c\u5957\u5faa\u73af\u4e2d\uff0c\u4e24\u5c42\u5faa\u73af\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5206\u522b\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \u548c \\(O(n)\\) \u3002
\u4e3b\u6d41\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u90fd\u662f \\(O(n \\log n )\\) \uff0c\u4f8b\u5982\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u3001\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u3001\u5806\u6392\u5e8f\u7b49\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nint linearLogRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 1;\nint count = linearLogRecur(n / 2) +\nlinearLogRecur(n / 2);\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nint linearLogRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 1;\nint count = linearLogRecur(n / 2) +\nlinearLogRecur(n / 2);\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 \"\"\"\ndef linear_log_recur(n):\nif n <= 1: return 1\ncount = linear_log_recur(n // 2) + \\\n linear_log_recur(n // 2)\nfor _ in range(n):\ncount += 1\nreturn count\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nfunc linearLogRecur(n float64) int {\nif n <= 1 {\nreturn 1\n}\ncount := linearLogRecur(n/2) +\nlinearLogRecur(n/2)\nfor i := 0.0; i < n; i++ {\ncount++\n}\nreturn count\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nfunction linearLogRecur(n) {\nif (n <= 1) return 1;\nlet count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nfunction linearLogRecur(n: number): number {\nif (n <= 1) return 1;\nlet count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nint linearLogRecur(float n) {\nif (n <= 1) return 1;\nint count = linearLogRecur(n / 2) +\nlinearLogRecur(n / 2);\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount ++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nint linearLogRecur(float n)\n{\nif (n <= 1) return 1;\nint count = linearLogRecur(n / 2) +\nlinearLogRecur(n / 2);\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\ncount++;\n}\nreturn count;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636 */\nfunc linearLogRecur(n: Double) -> Int {\nif n <= 1 {\nreturn 1\n}\nvar count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)\nfor _ in 0 ..< Int(n) {\ncount += 1\n}\nreturn count\n}\n// \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636\nfn linearLogRecur(n: f32) i32\n{\nif (n <= 1) return 1;\nvar count: i32 = linearLogRecur(n / 2) +\nlinearLogRecur(n / 2);\nvar i: f32 = 0;\nwhile (i < n) : (i += 1) {\ncount += 1;\n}\nreturn count;\n}\nFig. \u7ebf\u6027\u5bf9\u6570\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#on_1","title":"\u9636\u4e58\u9636 \\(O(n!)\\)","text":"\u9636\u4e58\u9636\u5bf9\u5e94\u6570\u5b66\u4e0a\u7684\u300c\u5168\u6392\u5217\u300d\u3002\u5373\u7ed9\u5b9a \\(n\\) \u4e2a\u4e92\u4e0d\u91cd\u590d\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u6c42\u5176\u6240\u6709\u53ef\u80fd\u7684\u6392\u5217\u65b9\u6848\uff0c\u5219\u65b9\u6848\u6570\u91cf\u4e3a
\\[ n! = n \\times (n - 1) \\times (n - 2) \\times \\cdots \\times 2 \\times 1 \\]\u9636\u4e58\u5e38\u4f7f\u7528\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\u3002\u4f8b\u5982\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\uff0c\u7b2c\u4e00\u5c42\u5206\u88c2\u51fa \\(n\\) \u4e2a\uff0c\u7b2c\u4e8c\u5c42\u5206\u88c2\u51fa \\(n - 1\\) \u4e2a\uff0c\u2026\u2026 \uff0c\u76f4\u81f3\u5230\u7b2c \\(n\\) \u5c42\u65f6\u7ec8\u6b62\u5206\u88c2\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig time_complexity.java/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint factorialRecur(int n) {\nif (n == 0) return 1;\nint count = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint factorialRecur(int n) {\nif (n == 0) return 1;\nint count = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n\"\"\" \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\"\"\"\ndef factorial_recur(n):\nif n == 0: return 1\ncount = 0\n# \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor _ in range(n):\ncount += factorial_recur(n - 1)\nreturn count\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc factorialRecur(n int) int {\nif n == 0 {\nreturn 1\n}\ncount := 0\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor i := 0; i < n; i++ {\ncount += factorialRecur(n - 1)\n}\nreturn count\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction factorialRecur(n) {\nif (n == 0) return 1;\nlet count = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunction factorialRecur(n: number): number {\nif (n == 0) return 1;\nlet count = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint factorialRecur(int n) {\nif (n == 0) return 1;\nint count = 0;\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nint factorialRecur(int n)\n{\nif (n == 0) return 1;\nint count = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\n/* \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09 */\nfunc factorialRecur(n: Int) -> Int {\nif n == 0 {\nreturn 1\n}\nvar count = 0\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nfor _ in 0 ..< n {\ncount += factorialRecur(n: n - 1)\n}\nreturn count\n}\n// \u9636\u4e58\u9636\uff08\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\uff09\nfn factorialRecur(n: i32) i32 {\nif (n == 0) return 1;\nvar count: i32 = 0;\nvar i: i32 = 0;\n// \u4ece 1 \u4e2a\u5206\u88c2\u51fa n \u4e2a\nwhile (i < n) : (i += 1) {\ncount += factorialRecur(n - 1);\n}\nreturn count;\n}\nFig. \u9636\u4e58\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6
"},{"location":"chapter_computational_complexity/time_complexity/#226","title":"2.2.6. \u6700\u5dee\u3001\u6700\u4f73\u3001\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6","text":"\u67d0\u4e9b\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e0d\u662f\u6052\u5b9a\u7684\uff0c\u800c\u662f\u4e0e\u8f93\u5165\u6570\u636e\u7684\u5206\u5e03\u6709\u5173\u3002\u4e3e\u4e00\u4e2a\u4f8b\u5b50\uff0c\u8f93\u5165\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a \\(n\\) \u6570\u7ec4 nums \uff0c\u5176\u4e2d nums \u7531\u4ece \\(1\\) \u81f3 \\(n\\) \u7684\u6570\u5b57\u7ec4\u6210\uff0c\u4f46\u5143\u7d20\u987a\u5e8f\u662f\u968f\u673a\u6253\u4e71\u7684\uff1b\u7b97\u6cd5\u7684\u4efb\u52a1\u662f\u8fd4\u56de\u5143\u7d20 \\(1\\) \u7684\u7d22\u5f15\u3002\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5f97\u51fa\u4ee5\u4e0b\u7ed3\u8bba\uff1a
nums = [?, ?, ..., 1]\uff0c\u5373\u5f53\u672b\u5c3e\u5143\u7d20\u662f \\(1\\) \u65f6\uff0c\u5219\u9700\u5b8c\u6574\u904d\u5386\u6570\u7ec4\uff0c\u6b64\u65f6\u8fbe\u5230 \u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \uff1bnums = [1, ?, ?, ...] \uff0c\u5373\u5f53\u9996\u4e2a\u6570\u5b57\u4e3a \\(1\\) \u65f6\uff0c\u65e0\u8bba\u6570\u7ec4\u591a\u957f\u90fd\u4e0d\u9700\u8981\u7ee7\u7eed\u904d\u5386\uff0c\u6b64\u65f6\u8fbe\u5230 \u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(\\Omega(1)\\) \uff1b\u300c\u51fd\u6570\u6e10\u8fd1\u4e0a\u754c\u300d\u4f7f\u7528\u5927 \\(O\\) \u8bb0\u53f7\u8868\u793a\uff0c\u4ee3\u8868\u300c\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u3002\u4e0e\u4e4b\u5bf9\u5e94\uff0c\u300c\u51fd\u6570\u6e10\u8fd1\u4e0b\u754c\u300d\u7528 \\(\\Omega\\) \u8bb0\u53f7\uff08Omega Notation\uff09\u6765\u8868\u793a\uff0c\u4ee3\u8868\u300c\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig worst_best_time_complexity.javapublic class worst_best_time_complexity {\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nint[] randomNumbers(int n) {\nInteger[] nums = new Integer[n];\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nCollections.shuffle(Arrays.asList(nums));\n// Integer[] -> int[]\nint[] res = new int[n];\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nres[i] = nums[i];\n}\nreturn res;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nint findOne(int[] nums) {\nfor (int i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] == 1)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nvector<int> randomNumbers(int n) {\nvector<int> nums(n);\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u4f7f\u7528\u7cfb\u7edf\u65f6\u95f4\u751f\u6210\u968f\u673a\u79cd\u5b50\nunsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nshuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));\nreturn nums;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nint findOne(vector<int>& nums) {\nfor (int i = 0; i < nums.size(); i++) {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] == 1)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a: 1, 2, ..., n \uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 \"\"\"\ndef random_numbers(n):\n# \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums =: 1, 2, 3, ..., n\nnums = [i for i in range(1, n + 1)]\n# \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nrandom.shuffle(nums)\nreturn nums\n\"\"\" \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 \"\"\"\ndef find_one(nums):\nfor i in range(len(nums)):\n# \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n# \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif nums[i] == 1:\nreturn i\nreturn -1\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nfunc randomNumbers(n int) []int {\nnums := make([]int, n)\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor i := 0; i < n; i++ {\nnums[i] = i + 1\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nrand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {\nnums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]\n})\nreturn nums\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nfunc findOne(nums []int) int {\nfor i := 0; i < len(nums); i++ {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif nums[i] == 1 {\nreturn i\n}\n}\nreturn -1\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nfunction randomNumbers(n) {\nlet nums = Array(n);\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nconst r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));\nconst temp = nums[i];\nnums[i] = nums[r];\nnums[r] = temp;\n}\nreturn nums;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nfunction findOne(nums) {\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] === 1) {\nreturn i;\n}\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nfunction randomNumbers(n: number): number[] {\nlet nums = Array(n);\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nfor (let i = 0; i < n; i++) {\nlet r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));\nlet temp = nums[i];\nnums[i] = nums[r];\nnums[r] = temp;\n}\nreturn nums;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nfunction findOne(nums: number[]): number {\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] === 1) {\nreturn i;\n}\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nint *randomNumbers(int n) {\n// \u5206\u914d\u5806\u533a\u5185\u5b58\uff08\u521b\u5efa\u4e00\u7ef4\u53ef\u53d8\u957f\u6570\u7ec4\uff1a\u6570\u7ec4\u4e2d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3an\uff0c\u5143\u7d20\u7c7b\u578b\u4e3aint\uff09\nint *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 \nfor (int i = n - 1; i > 0; i--) {\nint j = rand() % (i + 1);\nint temp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = temp; }\nreturn nums;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nint findOne(int *nums, int n) {\nfor (int i = 0; i < n; i++) {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] == 1) return i;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nint[] randomNumbers(int n)\n{\nint[] nums = new int[n];\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (int i = 0; i < n; i++)\n{\nnums[i] = i + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\nvar index = new Random().Next(i, nums.Length);\nvar tmp = nums[i];\nvar ran = nums[index];\nnums[i] = ran;\nnums[index] = tmp;\n}\nreturn nums;\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nint findOne(int[] nums)\n{\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (nums[i] == 1)\nreturn i;\n}\nreturn -1;\n}\n/* \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71 */\nfunc randomNumbers(n: Int) -> [Int] {\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nvar nums = Array(1 ... n)\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nnums.shuffle()\nreturn nums\n}\n/* \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15 */\nfunc findOne(nums: [Int]) -> Int {\nfor i in nums.indices {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif nums[i] == 1 {\nreturn i\n}\n}\nreturn -1\n}\n// \u751f\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\uff0c\u5143\u7d20\u4e3a { 1, 2, ..., n }\uff0c\u987a\u5e8f\u88ab\u6253\u4e71\npub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {\nvar nums: [n]i32 = undefined;\n// \u751f\u6210\u6570\u7ec4 nums = { 1, 2, 3, ..., n }\nfor (nums) |*num, i| {\nnum.* = @intCast(i32, i) + 1;\n}\n// \u968f\u673a\u6253\u4e71\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\nconst rand = std.crypto.random;\nrand.shuffle(i32, &nums);\nreturn nums;\n}\n// \u67e5\u627e\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u6570\u5b57 1 \u6240\u5728\u7d22\u5f15\npub fn findOne(nums: []i32) i32 {\nfor (nums) |num, i| {\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(1)\n// \u5f53\u5143\u7d20 1 \u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 O(n)\nif (num == 1) return @intCast(i32, i);\n}\nreturn -1;\n}\nTip
\u6211\u4eec\u5728\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\u5f88\u5c11\u4f7f\u7528\u300c\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\uff0c\u56e0\u4e3a\u5f80\u5f80\u53ea\u6709\u5f88\u5c0f\u6982\u7387\u4e0b\u624d\u80fd\u8fbe\u5230\uff0c\u4f1a\u5e26\u6765\u4e00\u5b9a\u7684\u8bef\u5bfc\u6027\u3002\u53cd\u4e4b\uff0c\u300c\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u6700\u4e3a\u5b9e\u7528\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u7ed9\u51fa\u4e86\u4e00\u4e2a\u201c\u6548\u7387\u5b89\u5168\u503c\u201d\uff0c\u8ba9\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u653e\u5fc3\u5730\u4f7f\u7528\u7b97\u6cd5\u3002
\u4ece\u4e0a\u8ff0\u793a\u4f8b\u53ef\u4ee5\u770b\u51fa\uff0c\u6700\u5dee\u6216\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u53ea\u51fa\u73b0\u5728\u201c\u7279\u6b8a\u5206\u5e03\u7684\u6570\u636e\u201d\u4e2d\uff0c\u8fd9\u4e9b\u60c5\u51b5\u7684\u51fa\u73b0\u6982\u7387\u5f80\u5f80\u5f88\u5c0f\uff0c\u56e0\u6b64\u5e76\u4e0d\u80fd\u6700\u771f\u5b9e\u5730\u53cd\u6620\u7b97\u6cd5\u8fd0\u884c\u6548\u7387\u3002\u76f8\u5bf9\u5730\uff0c\u300c\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u300d\u53ef\u4ee5\u4f53\u73b0\u7b97\u6cd5\u5728\u968f\u673a\u8f93\u5165\u6570\u636e\u4e0b\u7684\u8fd0\u884c\u6548\u7387\uff0c\u7528 \\(\\Theta\\) \u8bb0\u53f7\uff08Theta Notation\uff09\u6765\u8868\u793a\u3002
\u5bf9\u4e8e\u90e8\u5206\u7b97\u6cd5\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7b80\u5355\u5730\u63a8\u7b97\u51fa\u968f\u673a\u6570\u636e\u5206\u5e03\u4e0b\u7684\u5e73\u5747\u60c5\u51b5\u3002\u6bd4\u5982\u4e0a\u8ff0\u793a\u4f8b\uff0c\u7531\u4e8e\u8f93\u5165\u6570\u7ec4\u662f\u88ab\u6253\u4e71\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u5143\u7d20 \\(1\\) \u51fa\u73b0\u5728\u4efb\u610f\u7d22\u5f15\u7684\u6982\u7387\u90fd\u662f\u76f8\u7b49\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\u7b97\u6cd5\u7684\u5e73\u5747\u5faa\u73af\u6b21\u6570\u5219\u662f\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u7684\u4e00\u534a \\(\\frac{n}{2}\\) \uff0c\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(\\Theta(\\frac{n}{2}) = \\Theta(n)\\) \u3002
\u4f46\u5728\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\uff0c\u5c24\u5176\u662f\u8f83\u4e3a\u590d\u6742\u7684\u7b97\u6cd5\uff0c\u8ba1\u7b97\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u6bd4\u8f83\u56f0\u96be\uff0c\u56e0\u4e3a\u5f88\u96be\u7b80\u4fbf\u5730\u5206\u6790\u51fa\u5728\u6570\u636e\u5206\u5e03\u4e0b\u7684\u6574\u4f53\u6570\u5b66\u671f\u671b\u3002\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u6211\u4eec\u4e00\u822c\u4f7f\u7528\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u6765\u4f5c\u4e3a\u7b97\u6cd5\u6548\u7387\u7684\u8bc4\u5224\u6807\u51c6\u3002
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5f88\u5c11\u770b\u5230 \\(\\Theta\\) \u7b26\u53f7\uff1f
\u5b9e\u9645\u4e2d\u6211\u4eec\u7ecf\u5e38\u4f7f\u7528\u300c\u5927 \\(O\\) \u7b26\u53f7\u300d\u6765\u8868\u793a\u300c\u5e73\u5747\u590d\u6742\u5ea6\u300d\uff0c\u8fd9\u6837\u4e25\u683c\u610f\u4e49\u4e0a\u6765\u8bf4\u662f\u4e0d\u89c4\u8303\u7684\u3002\u8fd9\u53ef\u80fd\u662f\u56e0\u4e3a \\(O\\) \u7b26\u53f7\u5b9e\u5728\u662f\u592a\u6717\u6717\u4e0a\u53e3\u4e86\u3002\u5982\u679c\u5728\u672c\u4e66\u548c\u5176\u4ed6\u8d44\u6599\u4e2d\u770b\u5230\u7c7b\u4f3c \u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \u7684\u8868\u8ff0\uff0c\u8bf7\u4f60\u76f4\u63a5\u7406\u89e3\u4e3a \\(\\Theta(n)\\) \u5373\u53ef\u3002
"},{"location":"chapter_data_structure/classification_of_data_structure/","title":"3.2. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u5206\u7c7b","text":"\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e3b\u8981\u53ef\u6839\u636e\u300c\u903b\u8f91\u7ed3\u6784\u300d\u548c\u300c\u7269\u7406\u7ed3\u6784\u300d\u4e24\u79cd\u89d2\u5ea6\u8fdb\u884c\u5206\u7c7b\u3002
"},{"location":"chapter_data_structure/classification_of_data_structure/#321","title":"3.2.1. \u903b\u8f91\u7ed3\u6784\uff1a\u7ebf\u6027\u4e0e\u975e\u7ebf\u6027","text":"\u300c\u903b\u8f91\u7ed3\u6784\u300d\u53cd\u6620\u4e86\u6570\u636e\u4e4b\u95f4\u7684\u903b\u8f91\u5173\u7cfb\u3002\u6570\u7ec4\u548c\u94fe\u8868\u7684\u6570\u636e\u6309\u7167\u987a\u5e8f\u4f9d\u6b21\u6392\u5217\uff0c\u53cd\u6620\u4e86\u6570\u636e\u95f4\u7684\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\uff1b\u6811\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u6309\u5c42\u7ea7\u6392\u5217\uff0c\u53cd\u6620\u4e86\u7956\u5148\u4e0e\u540e\u4ee3\u4e4b\u95f4\u7684\u6d3e\u751f\u5173\u7cfb\uff1b\u56fe\u7531\u7ed3\u70b9\u548c\u8fb9\u7ec4\u6210\uff0c\u53cd\u6620\u4e86\u590d\u6742\u7f51\u7edc\u5173\u7cfb\u3002
\u6211\u4eec\u4e00\u822c\u5c06\u903b\u8f91\u7ed3\u6784\u5206\u4e3a\u300c\u7ebf\u6027\u300d\u548c\u300c\u975e\u7ebf\u6027\u300d\u4e24\u79cd\u3002\u201c\u7ebf\u6027\u201d\u8fd9\u4e2a\u6982\u5ff5\u5f88\u76f4\u89c2\uff0c\u5373\u8868\u660e\u6570\u636e\u5728\u903b\u8f91\u5173\u7cfb\u4e0a\u662f\u6392\u6210\u4e00\u6761\u7ebf\u7684\uff1b\u800c\u5982\u679c\u6570\u636e\u4e4b\u95f4\u7684\u903b\u8f91\u5173\u7cfb\u662f\u975e\u7ebf\u6027\u7684\uff08\u4f8b\u5982\u662f\u7f51\u72b6\u6216\u6811\u72b6\u7684\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u662f\u975e\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002
Fig. \u7ebf\u6027\u4e0e\u975e\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784
"},{"location":"chapter_data_structure/classification_of_data_structure/#322","title":"3.2.2. \u7269\u7406\u7ed3\u6784\uff1a\u8fde\u7eed\u4e0e\u79bb\u6563","text":"Note
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\u300c\u7269\u7406\u7ed3\u6784\u300d\u53cd\u6620\u4e86\u6570\u636e\u5728\u8ba1\u7b97\u673a\u5185\u5b58\u4e2d\u7684\u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f\u3002\u4ece\u672c\u8d28\u4e0a\u770b\uff0c\u5206\u522b\u662f \u6570\u7ec4\u7684\u8fde\u7eed\u7a7a\u95f4\u5b58\u50a8 \u548c \u94fe\u8868\u7684\u79bb\u6563\u7a7a\u95f4\u5b58\u50a8\u3002\u7269\u7406\u7ed3\u6784\u4ece\u5e95\u5c42\u4e0a\u51b3\u5b9a\u4e86\u6570\u636e\u7684\u8bbf\u95ee\u3001\u66f4\u65b0\u3001\u589e\u5220\u7b49\u64cd\u4f5c\u65b9\u6cd5\uff0c\u5728\u65f6\u95f4\u6548\u7387\u548c\u7a7a\u95f4\u6548\u7387\u65b9\u9762\u5448\u73b0\u51fa\u6b64\u6d88\u5f7c\u957f\u7684\u7279\u6027\u3002
Fig. \u8fde\u7eed\u7a7a\u95f4\u5b58\u50a8\u4e0e\u79bb\u6563\u7a7a\u95f4\u5b58\u50a8
\u6240\u6709\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u90fd\u662f\u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u3001\u6216\u94fe\u8868\u3001\u6216\u4e24\u8005\u7ec4\u5408\u5b9e\u73b0\u7684\u3002\u4f8b\u5982\u6808\u548c\u961f\u5217\uff0c\u65e2\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u3001\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\uff0c\u800c\u4f8b\u5982\u54c8\u5e0c\u8868\uff0c\u5176\u5b9e\u73b0\u540c\u65f6\u5305\u542b\u4e86\u6570\u7ec4\u548c\u94fe\u8868\u3002
\u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e5f\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u9759\u6001\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u300d\uff0c\u8fd9\u610f\u5473\u7740\u8be5\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u5728\u5728\u88ab\u521d\u59cb\u5316\u540e\uff0c\u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8\u3002\u76f8\u53cd\u5730\uff0c\u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u52a8\u6001\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u300d\uff0c\u8be5\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u5728\u88ab\u521d\u59cb\u5316\u540e\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5728\u7a0b\u5e8f\u8fd0\u884c\u4e2d\u4fee\u6539\u5176\u957f\u5ea6\u3002
Tip
\u6570\u7ec4\u4e0e\u94fe\u8868\u662f\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u201c\u5e95\u5c42\u79ef\u6728\u201d\uff0c\u5efa\u8bae\u8bfb\u8005\u4e00\u5b9a\u8981\u591a\u82b1\u4e9b\u65f6\u95f4\u4e86\u89e3\u3002
"},{"location":"chapter_data_structure/data_and_memory/","title":"3.1. \u6570\u636e\u4e0e\u5185\u5b58","text":""},{"location":"chapter_data_structure/data_and_memory/#311","title":"3.1.1. \u57fa\u672c\u6570\u636e\u7c7b\u578b","text":"\u8c08\u5230\u8ba1\u7b97\u673a\u4e2d\u7684\u6570\u636e\uff0c\u6211\u4eec\u80fd\u591f\u60f3\u5230\u6587\u672c\u3001\u56fe\u7247\u3001\u89c6\u9891\u3001\u8bed\u97f3\u30013D \u6a21\u578b\u7b49\u7b49\uff0c\u8fd9\u4e9b\u6570\u636e\u867d\u7136\u7ec4\u7ec7\u5f62\u5f0f\u4e0d\u540c\uff0c\u4f46\u662f\u6709\u4e00\u4e2a\u5171\u540c\u70b9\uff0c\u5373\u90fd\u662f\u7531\u5404\u79cd\u57fa\u672c\u6570\u636e\u7c7b\u578b\u6784\u6210\u7684\u3002
\u300c\u57fa\u672c\u6570\u636e\u7c7b\u578b\u300d\u662f CPU \u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u8fdb\u884c\u8fd0\u7b97\u7684\u7c7b\u578b\uff0c\u5728\u7b97\u6cd5\u4e2d\u76f4\u63a5\u88ab\u4f7f\u7528\u3002
\u5b57\u8282\u4e0e\u6bd4\u7279
1 \u5b57\u8282 (byte) = 8 \u6bd4\u7279 (bit) \uff0c 1 \u6bd4\u7279\u5373\u6700\u57fa\u672c\u7684 1 \u4e2a\u4e8c\u8fdb\u5236\u4f4d
Table. Java \u7684\u57fa\u672c\u6570\u636e\u7c7b\u578b
\u7c7b\u522b \u7b26\u53f7 \u5360\u7528\u7a7a\u95f4 \u53d6\u503c\u8303\u56f4 \u9ed8\u8ba4\u503c \u6574\u6570 byte 1 byte \\(-2^7\\) ~ \\(2^7 - 1\\) ( \\(-128\\) ~ \\(127\\) ) \\(0\\) short 2 bytes \\(-2^{15}\\) ~ \\(2^{15} - 1\\) \\(0\\) int 4 bytes \\(-2^{31}\\) ~ \\(2^{31} - 1\\) \\(0\\) long 8 bytes \\(-2^{63}\\) ~ \\(2^{63} - 1\\) \\(0\\) \u6d6e\u70b9\u6570 float 4 bytes \\(-3.4 \\times 10^{38}\\) ~ \\(3.4 \\times 10^{38}\\) \\(0.0\\) f double 8 bytes \\(-1.7 \\times 10^{308}\\) ~ \\(1.7 \\times 10^{308}\\) \\(0.0\\) \u5b57\u7b26 char 2 bytes / 1 byte \\(0\\) ~ \\(2^{16} - 1\\) \\(0\\) \u5e03\u5c14 boolean(bool) 1 byte / 1 bit \\(\\text{true}\\) \u6216 \\(\\text{false}\\) \\(\\text{false}\\)Tip
\u4ee5\u4e0a\u8868\u683c\u4e2d\uff0c\u52a0\u7c97\u9879\u5728\u300c\u7b97\u6cd5\u9898\u300d\u4e2d\u6700\u4e3a\u5e38\u7528\u3002\u6b64\u8868\u683c\u65e0\u9700\u786c\u80cc\uff0c\u5927\u81f4\u7406\u89e3\u5373\u53ef\uff0c\u9700\u8981\u65f6\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u67e5\u8868\u6765\u56de\u5fc6\u3002
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Fig. \u5185\u5b58\u6761\u3001\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u3001\u5185\u5b58\u5730\u5740
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"},{"location":"chapter_data_structure/summary/","title":"3.3. \u5c0f\u7ed3","text":"\u300c\u56fe Graph\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u975e\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u7531\u300c\u9876\u70b9 Vertex\u300d\u548c\u300c\u8fb9 Edge\u300d\u7ec4\u6210\u3002\u6211\u4eec\u53ef\u5c06\u56fe \\(G\\) \u62bd\u8c61\u5730\u8868\u793a\u4e3a\u4e00\u7ec4\u9876\u70b9 \\(V\\) \u548c\u4e00\u7ec4\u8fb9 \\(E\\) \u7684\u96c6\u5408\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u4ee5\u4e0b\u8868\u793a\u4e00\u4e2a\u5305\u542b 5 \u4e2a\u9876\u70b9\u548c 7 \u6761\u8fb9\u7684\u56fe
\\[ \\begin{aligned} V & = \\{ 1, 2, 3, 4, 5 \\} \\newline E & = \\{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \\} \\newline G & = \\{ V, E \\} \\newline \\end{aligned} \\]\u90a3\u4e48\uff0c\u56fe\u4e0e\u5176\u4ed6\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u5173\u7cfb\u662f\u4ec0\u4e48\uff1f\u5982\u679c\u6211\u4eec\u628a\u300c\u9876\u70b9\u300d\u770b\u4f5c\u7ed3\u70b9\uff0c\u628a\u300c\u8fb9\u300d\u770b\u4f5c\u8fde\u63a5\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\u7684\u6307\u9488\uff0c\u5219\u53ef\u5c06\u300c\u56fe\u300d\u770b\u6210\u4e00\u79cd\u4ece\u300c\u94fe\u8868\u300d\u62d3\u5c55\u800c\u6765\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u76f8\u6bd4\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\uff08\u94fe\u8868\uff09\u548c\u5206\u6cbb\u5173\u7cfb\uff08\u6811\uff09\uff0c\u7f51\u7edc\u5173\u7cfb\uff08\u56fe\uff09\u7684\u81ea\u7531\u5ea6\u66f4\u9ad8\uff0c\u4e5f\u4ece\u800c\u66f4\u4e3a\u590d\u6742\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph/#911","title":"9.1.1. \u56fe\u5e38\u89c1\u7c7b\u578b","text":"\u6839\u636e\u8fb9\u662f\u5426\u6709\u65b9\u5411\uff0c\u5206\u4e3a\u300c\u65e0\u5411\u56fe Undirected Graph\u300d\u548c\u300c\u6709\u5411\u56fe Directed Graph\u300d\u3002
\u6839\u636e\u6240\u6709\u9876\u70b9\u662f\u5426\u8fde\u901a\uff0c\u5206\u4e3a\u300c\u8fde\u901a\u56fe Connected Graph\u300d\u548c\u300c\u975e\u8fde\u901a\u56fe Disconnected Graph\u300d\u3002
\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7ed9\u8fb9\u6dfb\u52a0\u201c\u6743\u91cd\u201d\u53d8\u91cf\uff0c\u5f97\u5230\u300c\u6709\u6743\u56fe Weighted Graph\u300d\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5728\u738b\u8005\u8363\u8000\u7b49\u6e38\u620f\u4e2d\uff0c\u7cfb\u7edf\u4f1a\u6839\u636e\u5171\u540c\u6e38\u620f\u65f6\u95f4\u6765\u8ba1\u7b97\u73a9\u5bb6\u4e4b\u95f4\u7684\u201c\u4eb2\u5bc6\u5ea6\u201d\uff0c\u8fd9\u79cd\u4eb2\u5bc6\u5ea6\u7f51\u7edc\u5c31\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u6709\u6743\u56fe\u6765\u8868\u793a\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph/#912","title":"9.1.2. \u56fe\u5e38\u7528\u672f\u8bed","text":"\u56fe\u7684\u5e38\u7528\u8868\u793a\u65b9\u6cd5\u6709\u300c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u300d\u548c\u300c\u90bb\u63a5\u8868\u300d\u3002\u4ee5\u4e0b\u4f7f\u7528\u300c\u65e0\u5411\u56fe\u300d\u6765\u4e3e\u4f8b\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph/#_1","title":"\u90bb\u63a5\u77e9\u9635","text":"\u8bbe\u56fe\u7684\u9876\u70b9\u6570\u91cf\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u300c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635 Adjacency Matrix\u300d\u4f7f\u7528\u4e00\u4e2a \\(n \\times n\\) \u5927\u5c0f\u7684\u77e9\u9635\u6765\u8868\u793a\u56fe\uff0c\u6bcf\u4e00\u884c\uff08\u5217\uff09\u4ee3\u8868\u4e00\u4e2a\u9876\u70b9\uff0c\u77e9\u9635\u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u8fb9\uff0c\u4f7f\u7528 \\(1\\) \u6216 \\(0\\) \u6765\u8868\u793a\u4e24\u4e2a\u9876\u70b9\u4e4b\u95f4\u6709\u8fb9\u6216\u65e0\u8fb9\u3002
\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u5177\u6709\u4ee5\u4e0b\u6027\u8d28\uff1a
\u4f7f\u7528\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u8868\u793a\u56fe\u65f6\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u901a\u8fc7\u8bbf\u95ee\u77e9\u9635\u5143\u7d20\u6765\u83b7\u53d6\u8fb9\uff0c\u56e0\u6b64\u589e\u5220\u67e5\u64cd\u4f5c\u7684\u6548\u7387\u5f88\u9ad8\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5747\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002\u7136\u800c\uff0c\u77e9\u9635\u7684\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n^2)\\) \uff0c\u5185\u5b58\u5360\u7528\u8f83\u5927\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph/#_2","title":"\u90bb\u63a5\u8868","text":"\u300c\u90bb\u63a5\u8868 Adjacency List\u300d\u4f7f\u7528 \\(n\\) \u4e2a\u94fe\u8868\u6765\u8868\u793a\u56fe\uff0c\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u8868\u793a\u9876\u70b9\u3002\u7b2c \\(i\\) \u6761\u94fe\u8868\u5bf9\u5e94\u9876\u70b9 \\(i\\) \uff0c\u5176\u4e2d\u5b58\u50a8\u4e86\u6240\u6709\u4e0e\u8be5\u9876\u70b9\u76f8\u8fde\u7684\u9876\u70b9\u3002
\u90bb\u63a5\u8868\u4ec5\u5b58\u50a8\u5b58\u5728\u7684\u8fb9\uff0c\u800c\u8fb9\u7684\u603b\u6570\u5f80\u5f80\u8fdc\u5c0f\u4e8e \\(n^2\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u66f4\u52a0\u8282\u7701\u7a7a\u95f4\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u56e0\u4e3a\u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u9700\u8981\u901a\u8fc7\u904d\u5386\u94fe\u8868\u6765\u67e5\u627e\u8fb9\uff0c\u6240\u4ee5\u5176\u65f6\u95f4\u6548\u7387\u4e0d\u5982\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u3002
\u89c2\u5bdf\u4e0a\u56fe\u53d1\u73b0\uff0c\u90bb\u63a5\u8868\u7ed3\u6784\u4e0e\u54c8\u5e0c\u8868\u300c\u94fe\u5730\u5740\u6cd5\u300d\u975e\u5e38\u76f8\u4f3c\uff0c\u56e0\u6b64\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u7c7b\u4f3c\u65b9\u6cd5\u6765\u4f18\u5316\u6548\u7387\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u5f53\u94fe\u8868\u8f83\u957f\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u94fe\u8868\u8f6c\u5316\u4e3a\u300cAVL \u6811\u300d\uff0c\u4ece\u800c\u5c06\u65f6\u95f4\u6548\u7387\u4ece \\(O(n)\\) \u4f18\u5316\u81f3 \\(O(\\log n)\\) \uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u83b7\u53d6\u6709\u5e8f\u5e8f\u5217\uff1b\u8fd8\u53ef\u4ee5\u5c06\u94fe\u8868\u8f6c\u5316\u4e3a HashSet\uff08\u5373\u54c8\u5e0c\u8868\uff09\uff0c\u5c06\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u964d\u4f4e\u81f3 \\(O(1)\\) \uff0c\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph/#914","title":"9.1.4. \u56fe\u5e38\u89c1\u5e94\u7528","text":"\u73b0\u5b9e\u4e2d\u7684\u8bb8\u591a\u7cfb\u7edf\u90fd\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u56fe\u6765\u5efa\u6a21\uff0c\u5bf9\u5e94\u7684\u5f85\u6c42\u89e3\u95ee\u9898\u4e5f\u53ef\u4ee5\u88ab\u7ea6\u5316\u4e3a\u56fe\u8ba1\u7b97\u95ee\u9898\u3002
\u9876\u70b9 \u8fb9 \u56fe\u8ba1\u7b97\u95ee\u9898 \u793e\u4ea4\u7f51\u7edc \u7528\u6237 \u597d\u53cb\u5173\u7cfb \u6f5c\u5728\u597d\u53cb\u63a8\u8350 \u5730\u94c1\u7ebf\u8def \u7ad9\u70b9 \u7ad9\u70b9\u95f4\u7684\u8fde\u901a\u6027 \u6700\u77ed\u8def\u7ebf\u63a8\u8350 \u592a\u9633\u7cfb \u661f\u4f53 \u661f\u4f53\u95f4\u7684\u4e07\u6709\u5f15\u529b\u4f5c\u7528 \u884c\u661f\u8f68\u9053\u8ba1\u7b97"},{"location":"chapter_graph/graph_operations/","title":"9.2. \u56fe\u57fa\u7840\u64cd\u4f5c","text":"\u56fe\u7684\u57fa\u7840\u64cd\u4f5c\u5206\u4e3a\u5bf9\u300c\u8fb9\u300d\u7684\u64cd\u4f5c\u548c\u5bf9\u300c\u9876\u70b9\u300d\u7684\u64cd\u4f5c\uff0c\u5728\u300c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u300d\u548c\u300c\u90bb\u63a5\u8868\u300d\u8fd9\u4e24\u79cd\u8868\u793a\u4e0b\u7684\u5b9e\u73b0\u65b9\u5f0f\u4e0d\u540c\u3002
"},{"location":"chapter_graph/graph_operations/#921","title":"9.2.1. \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u7684\u5b9e\u73b0","text":"\u8bbe\u56fe\u7684\u9876\u70b9\u603b\u6570\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u5219\u6709\uff1a
vertices \uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(n)\\) \u65f6\u95f4\uff1b\u521d\u59cb\u5316 \\(n \\times n\\) \u5927\u5c0f\u7684\u90bb\u63a5\u77e9\u9635 adjMat \uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(n^2)\\) \u65f6\u95f4\u3002\u4ee5\u4e0b\u662f\u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u8868\u793a\u56fe\u7684\u5b9e\u73b0\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig graph_adjacency_matrix.java/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\nclass GraphAdjMat {\nList<Integer> vertices; // \u9876\u70b9\u5217\u8868\uff0c\u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u503c\u201d\uff0c\u7d22\u5f15\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\nList<List<Integer>> adjMat; // \u90bb\u63a5\u77e9\u9635\uff0c\u884c\u5217\u7d22\u5f15\u5bf9\u5e94\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\npublic GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {\nthis.vertices = new ArrayList<>();\nthis.adjMat = new ArrayList<>();\n// \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9\nfor (int val : vertices) {\naddVertex(val);\n}\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cedges \u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\uff0c\u5373\u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfor (int[] e : edges) {\naddEdge(e[0], e[1]);\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\npublic int size() {\nreturn vertices.size();\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\npublic void addVertex(int val) {\nint n = size();\n// \u5411\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u65b0\u9876\u70b9\u7684\u503c\nvertices.add(val);\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u884c\nList<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);\nfor (int j = 0; j < n; j++) {\nnewRow.add(0);\n}\nadjMat.add(newRow);\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u5217\nfor (List<Integer> row : adjMat) {\nrow.add(0);\n}\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\npublic void removeVertex(int index) {\nif (index >= size())\nthrow new IndexOutOfBoundsException();\n// \u5728\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u79fb\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u9876\u70b9\nvertices.remove(index);\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u884c\nadjMat.remove(index);\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u5217\nfor (List<Integer> row : adjMat) {\nrow.remove(index);\n}\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\npublic void addEdge(int i, int j) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)\nthrow new IndexOutOfBoundsException();\n// \u5728\u65e0\u5411\u56fe\u4e2d\uff0c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u6cbf\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u5373\u6ee1\u8db3 (i, j) == (j, i)\nadjMat.get(i).set(j, 1);\nadjMat.get(j).set(i, 1);\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\npublic void removeEdge(int i, int j) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)\nthrow new IndexOutOfBoundsException();\nadjMat.get(i).set(j, 0);\nadjMat.get(j).set(i, 0);\n}\n}\n\n\n/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\ntype graphAdjMat struct {\n// \u9876\u70b9\u5217\u8868\uff0c\u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u503c\u201d\uff0c\u7d22\u5f15\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\nvertices []int\n// \u90bb\u63a5\u77e9\u9635\uff0c\u884c\u5217\u7d22\u5f15\u5bf9\u5e94\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\nadjMat [][]int\n}\nfunc newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {\n// \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9\nn := len(vertices)\nadjMat := make([][]int, n)\nfor i := range adjMat {\nadjMat[i] = make([]int, n)\n}\n// \u521d\u59cb\u5316\u56fe\ng := &graphAdjMat{\nvertices: vertices,\nadjMat: adjMat,\n}\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cedges \u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\uff0c\u5373\u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfor i := range edges {\ng.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])\n}\nreturn g\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\nfunc (g *graphAdjMat) size() int {\nreturn len(g.vertices)\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\nfunc (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {\nn := g.size()\n// \u5411\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u65b0\u9876\u70b9\u7684\u503c\ng.vertices = append(g.vertices, val)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u884c\nnewRow := make([]int, n)\ng.adjMat = append(g.adjMat, newRow)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u5217\nfor i := range g.adjMat {\ng.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)\n}\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\nfunc (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {\nif index >= g.size() {\nreturn\n}\n// \u5728\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u79fb\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u9876\u70b9\ng.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u884c\ng.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u5217\nfor i := range g.adjMat {\ng.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)\n}\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfunc (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {\nfmt.Errorf(\"%s\", \"Index Out Of Bounds Exception\")\n}\n// \u5728\u65e0\u5411\u56fe\u4e2d\uff0c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u6cbf\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u5373\u6ee1\u8db3 (i, j) == (j, i)\ng.adjMat[i][j] = 1\ng.adjMat[j][i] = 1\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfunc (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {\nfmt.Errorf(\"%s\", \"Index Out Of Bounds Exception\")\n}\ng.adjMat[i][j] = 0\ng.adjMat[j][i] = 0\n}\n\n\n\n\n/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\nclass GraphAdjMat {\nprivate var vertices: [Int] // \u9876\u70b9\u5217\u8868\uff0c\u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u503c\u201d\uff0c\u7d22\u5f15\u4ee3\u8868\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\nprivate var adjMat: [[Int]] // \u90bb\u63a5\u77e9\u9635\uff0c\u884c\u5217\u7d22\u5f15\u5bf9\u5e94\u201c\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\u201d\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\ninit(vertices: [Int], edges: [[Int]]) {\nself.vertices = []\nadjMat = []\n// \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9\nfor val in vertices {\naddVertex(val: val)\n}\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cedges \u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u9876\u70b9\u7d22\u5f15\uff0c\u5373\u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfor e in edges {\naddEdge(i: e[0], j: e[1])\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\nfunc size() -> Int {\nvertices.count\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\nfunc addVertex(val: Int) {\nlet n = size()\n// \u5411\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u65b0\u9876\u70b9\u7684\u503c\nvertices.append(val)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u884c\nlet newRow = Array(repeating: 0, count: n)\nadjMat.append(newRow)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u5217\nfor i in adjMat.indices {\nadjMat[i].append(0)\n}\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\nfunc removeVertex(index: Int) {\nif index >= size() {\nfatalError(\"\u8d8a\u754c\")\n}\n// \u5728\u9876\u70b9\u5217\u8868\u4e2d\u79fb\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u9876\u70b9\nvertices.remove(at: index)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u884c\nadjMat.remove(at: index)\n// \u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u5220\u9664\u7d22\u5f15 index \u7684\u5217\nfor i in adjMat.indices {\nadjMat[i].remove(at: index)\n}\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfunc addEdge(i: Int, j: Int) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {\nfatalError(\"\u8d8a\u754c\")\n}\n// \u5728\u65e0\u5411\u56fe\u4e2d\uff0c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u6cbf\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u5373\u6ee1\u8db3 (i, j) == (j, i)\nadjMat[i][j] = 1\nadjMat[j][i] = 1\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\n// \u53c2\u6570 i, j \u5bf9\u5e94 vertices \u5143\u7d20\u7d22\u5f15\nfunc removeEdge(i: Int, j: Int) {\n// \u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u4e0e\u76f8\u7b49\u5904\u7406\nif i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {\nfatalError(\"\u8d8a\u754c\")\n}\nadjMat[i][j] = 0\nadjMat[j][i] = 0\n}\n}\n\n\u8bbe\u56fe\u7684\u9876\u70b9\u603b\u6570\u4e3a \\(n\\) \u3001\u8fb9\u603b\u6570\u4e3a \\(m\\) \uff0c\u5219\u6709\uff1a
\u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u8868\u5b9e\u73b0\u56fe\u7684\u4ee3\u7801\u5982\u4e0b\u6240\u793a\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig graph_adjacency_list.java/* \u9876\u70b9\u7c7b */\nclass Vertex {\nint val;\npublic Vertex(int val) {\nthis.val = val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\nclass GraphAdjList {\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cvertices \u548c adjList \u4e2d\u5b58\u50a8\u7684\u90fd\u662f Vertex \u5bf9\u8c61\nMap<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // \u90bb\u63a5\u8868\uff08\u4f7f\u7528\u54c8\u5e0c\u8868\u5b9e\u73b0\uff09\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\npublic GraphAdjList(Vertex[][] edges) {\nthis.adjList = new HashMap<>();\n// \u6dfb\u52a0\u6240\u6709\u9876\u70b9\u548c\u8fb9\nfor (Vertex[] edge : edges) {\naddVertex(edge[0]);\naddVertex(edge[1]);\naddEdge(edge[0], edge[1]);\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\npublic int size() {\nreturn adjList.size();\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\npublic void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {\nif (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)\nthrow new IllegalArgumentException();\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9 vet1 - vet2\nadjList.get(vet1).add(vet2);\nadjList.get(vet2).add(vet1);\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\npublic void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {\nif (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)\nthrow new IllegalArgumentException();\n// \u5220\u9664\u8fb9 vet1 - vet2\nadjList.get(vet1).remove(vet2);\nadjList.get(vet2).remove(vet1);\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\npublic void addVertex(Vertex vet) {\nif (adjList.containsKey(vet))\nreturn;\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u4e2a\u65b0\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\nadjList.put(vet, new HashSet<>());\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\npublic void removeVertex(Vertex vet) {\nif (!adjList.containsKey(vet))\nthrow new IllegalArgumentException();\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u9876\u70b9 vet \u5bf9\u5e94\u7684\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\nadjList.remove(vet);\n// \u904d\u5386\u5176\u5b83\u9876\u70b9\u7684\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\uff0c\u5220\u9664\u6240\u6709\u5305\u542b vet \u7684\u8fb9\nfor (Set<Vertex> set : adjList.values()) {\nset.remove(vet);\n}\n}\n}\n\n\n/* \u9876\u70b9\u7c7b */\ntype vertex struct {\nval int\n}\nfunc newVertex(val int) vertex {\nreturn vertex{\nval: val,\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\ntype graphAdjList struct {\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cvertices \u548c adjList \u4e2d\u5b58\u50a8\u7684\u90fd\u662f Vertex \u5bf9\u8c61\n// \u90bb\u63a5\u8868\uff08\u4f7f\u7528\u54c8\u5e0c\u8868\u5b9e\u73b0\uff09, \u4f7f\u7528\u54c8\u5e0c\u8868\u6a21\u62df\u96c6\u5408\nadjList map[vertex]map[vertex]struct{}\n}\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570 */\nfunc newGraphAdjList(edges [][]vertex) *graphAdjList {\ng := &graphAdjList{\nadjList: make(map[vertex]map[vertex]struct{}),\n}\n// \u6dfb\u52a0\u6240\u6709\u9876\u70b9\u548c\u8fb9\nfor _, edge := range edges {\ng.addVertex(edge[0])\ng.addVertex(edge[1])\ng.addEdge(edge[0], edge[1])\n}\nreturn g\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\nfunc (g *graphAdjList) size() int {\nreturn len(g.adjList)\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\nfunc (g *graphAdjList) addEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {\n_, ok1 := g.adjList[vet1]\n_, ok2 := g.adjList[vet2]\nif !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {\npanic(\"error\")\n}\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9 vet1 - vet2, \u6dfb\u52a0\u533f\u540d struct{},\ng.adjList[vet1][vet2] = struct{}{}\ng.adjList[vet2][vet1] = struct{}{}\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\nfunc (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {\n_, ok1 := g.adjList[vet1]\n_, ok2 := g.adjList[vet2]\nif !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {\npanic(\"error\")\n}\n// \u5220\u9664\u8fb9 vet1 - vet2, \u501f\u52a9 delete \u6765\u5220\u9664 map \u4e2d\u7684\u952e\ndelete(g.adjList[vet1], vet2)\ndelete(g.adjList[vet2], vet1)\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\nfunc (g *graphAdjList) addVertex(vet vertex) {\n_, ok := g.adjList[vet]\nif ok {\nreturn\n}\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u4e2a\u65b0\u94fe\u8868\uff08\u5373 set\uff09\ng.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{})\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\nfunc (g *graphAdjList) removeVertex(vet vertex) {\n_, ok := g.adjList[vet]\nif !ok {\npanic(\"error\")\n}\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u9876\u70b9 vet \u5bf9\u5e94\u7684\u94fe\u8868\ndelete(g.adjList, vet)\n// \u904d\u5386\u5176\u5b83\u9876\u70b9\u7684\u94fe\u8868\uff08\u5373 Set\uff09\uff0c\u5220\u9664\u6240\u6709\u5305\u542b vet \u7684\u8fb9\nfor _, set := range g.adjList {\n// \u64cd\u4f5c\ndelete(set, vet)\n}\n}\n\n\n\n\n/* \u9876\u70b9\u7c7b */\nclass Vertex: Hashable {\nvar val: Int\ninit(val: Int) {\nself.val = val\n}\nstatic func == (lhs: Vertex, rhs: Vertex) -> Bool {\nlhs.val == rhs.val\n}\nfunc hash(into hasher: inout Hasher) {\nhasher.combine(val)\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u90bb\u63a5\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u65e0\u5411\u56fe\u7c7b */\nclass GraphAdjList {\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0cvertices \u548c adjList \u4e2d\u5b58\u50a8\u7684\u90fd\u662f Vertex \u5bf9\u8c61\nprivate var adjList: [Vertex: Set<Vertex>] // \u90bb\u63a5\u8868\uff08\u4f7f\u7528\u54c8\u5e0c\u8868\u5b9e\u73b0\uff09\ninit(edges: [[Vertex]]) {\nadjList = [:]\n// \u6dfb\u52a0\u6240\u6709\u9876\u70b9\u548c\u8fb9\nfor edge in edges {\naddVertex(vet: edge[0])\naddVertex(vet: edge[1])\naddEdge(vet1: edge[0], vet2: edge[1])\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u9876\u70b9\u6570\u91cf */\nfunc size() -> Int {\nadjList.count\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u8fb9 */\nfunc addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {\nif adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {\nfatalError(\"\u53c2\u6570\u9519\u8bef\")\n}\n// \u6dfb\u52a0\u8fb9 vet1 - vet2\nadjList[vet1]?.insert(vet2)\nadjList[vet2]?.insert(vet1)\n}\n/* \u5220\u9664\u8fb9 */\nfunc removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {\nif adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {\nfatalError(\"\u53c2\u6570\u9519\u8bef\")\n}\n// \u5220\u9664\u8fb9 vet1 - vet2\nadjList[vet1]?.remove(vet2)\nadjList[vet2]?.remove(vet1)\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 */\nfunc addVertex(vet: Vertex) {\nif adjList[vet] != nil {\nreturn\n}\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u4e00\u4e2a\u65b0\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\nadjList[vet] = []\n}\n/* \u5220\u9664\u9876\u70b9 */\nfunc removeVertex(vet: Vertex) {\nif adjList[vet] == nil {\nfatalError(\"\u53c2\u6570\u9519\u8bef\")\n}\n// \u5728\u90bb\u63a5\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u9876\u70b9 vet \u5bf9\u5e94\u7684\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\nadjList.removeValue(forKey: vet)\n// \u904d\u5386\u5176\u5b83\u9876\u70b9\u7684\u94fe\u8868\uff08\u5373 HashSet\uff09\uff0c\u5220\u9664\u6240\u6709\u5305\u542b vet \u7684\u8fb9\nfor key in adjList.keys {\nadjList[key]?.remove(vet)\n}\n}\n}\n\n\u8bbe\u56fe\u4e2d\u5171\u6709 \\(n\\) \u4e2a\u9876\u70b9\u548c \\(m\\) \u6761\u8fb9\uff0c\u4e0b\u8868\u4e3a\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u548c\u90bb\u63a5\u8868\u7684\u65f6\u95f4\u548c\u7a7a\u95f4\u6548\u7387\u5bf9\u6bd4\u3002
\u90bb\u63a5\u77e9\u9635 \u90bb\u63a5\u8868\uff08\u94fe\u8868\uff09 \u90bb\u63a5\u8868\uff08\u54c8\u5e0c\u8868\uff09 \u5224\u65ad\u662f\u5426\u90bb\u63a5 \\(O(1)\\) \\(O(m)\\) \\(O(1)\\) \u6dfb\u52a0\u8fb9 \\(O(1)\\) \\(O(1)\\) \\(O(1)\\) \u5220\u9664\u8fb9 \\(O(1)\\) \\(O(m)\\) \\(O(1)\\) \u6dfb\u52a0\u9876\u70b9 \\(O(n)\\) \\(O(1)\\) \\(O(1)\\) \u5220\u9664\u9876\u70b9 \\(O(n^2)\\) \\(O(n + m)\\) \\(O(n)\\) \u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u5360\u7528 \\(O(n^2)\\) \\(O(n + m)\\) \\(O(n + m)\\)\u89c2\u5bdf\u4e0a\u8868\uff0c\u8c8c\u4f3c\u90bb\u63a5\u8868\uff08\u54c8\u5e0c\u8868\uff09\u7684\u65f6\u95f4\u4e0e\u7a7a\u95f4\u6548\u7387\u6700\u4f18\u3002\u4f46\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5728\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4e2d\u64cd\u4f5c\u8fb9\u7684\u6548\u7387\u66f4\u9ad8\uff0c\u53ea\u9700\u8981\u4e00\u6b21\u6570\u7ec4\u8bbf\u95ee\u6216\u8d4b\u503c\u64cd\u4f5c\u5373\u53ef\u3002\u603b\u7ed3\u4ee5\u4e0a\uff0c\u90bb\u63a5\u77e9\u9635\u4f53\u73b0\u201c\u4ee5\u7a7a\u95f4\u6362\u65f6\u95f4\u201d\uff0c\u90bb\u63a5\u8868\u4f53\u73b0\u201c\u4ee5\u65f6\u95f4\u6362\u7a7a\u95f4\u201d\u3002
"},{"location":"chapter_hashing/hash_collision/","title":"6.2. \u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81","text":"\u7406\u60f3\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u5e94\u8be5\u4e3a\u6bcf\u4e2a\u8f93\u5165\u4ea7\u751f\u552f\u4e00\u7684\u8f93\u51fa\uff0c\u4f7f\u5f97 key \u548c value \u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u3002\u800c\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5f80\u5f80\u5b58\u5728\u5411\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u8f93\u5165\u4e0d\u540c\u7684 key \u800c\u4ea7\u751f\u76f8\u540c\u8f93\u51fa\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81 Hash Collision\u300d\u3002\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u4f1a\u5bfc\u81f4\u67e5\u8be2\u7ed3\u679c\u9519\u8bef\uff0c\u4ece\u800c\u4e25\u91cd\u5f71\u54cd\u54c8\u5e0c\u8868\u7684\u53ef\u7528\u6027\u3002
\u90a3\u4e48\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4f1a\u51fa\u73b0\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u5462\uff1f\u672c\u8d28\u4e0a\u770b\uff0c\u7531\u4e8e\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u7684\u8f93\u5165\u7a7a\u95f4\u5f80\u5f80\u8fdc\u5927\u4e8e\u8f93\u51fa\u7a7a\u95f4\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u53ef\u907f\u514d\u5730\u4f1a\u51fa\u73b0\u591a\u4e2a\u8f93\u5165\u4ea7\u751f\u76f8\u540c\u8f93\u51fa\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u5373\u4e3a\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u8f93\u5165\u7a7a\u95f4\u662f\u5168\u4f53\u6574\u6570\uff0c\u8f93\u51fa\u7a7a\u95f4\u662f\u4e00\u4e2a\u56fa\u5b9a\u5927\u5c0f\u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\u7684\u7d22\u5f15\u8303\u56f4\uff0c\u90a3\u4e48\u5fc5\u5b9a\u4f1a\u6709\u591a\u4e2a\u6574\u6570\u540c\u65f6\u6620\u5c04\u5230\u4e00\u4e2a\u6876\u7d22\u5f15\u3002
\u4e3a\u4e86\u7f13\u89e3\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\uff0c\u4e00\u65b9\u9762\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u300c\u54c8\u5e0c\u8868\u6269\u5bb9\u300d\u6765\u51cf\u5c0f\u51b2\u7a81\u6982\u7387\u3002\u6781\u7aef\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u5f53\u8f93\u5165\u7a7a\u95f4\u548c\u8f93\u51fa\u7a7a\u95f4\u5927\u5c0f\u76f8\u7b49\u65f6\uff0c\u54c8\u5e0c\u8868\u5c31\u7b49\u4ef7\u4e8e\u6570\u7ec4\u4e86\uff0c\u53ef\u8c13\u201c\u5927\u529b\u51fa\u5947\u8ff9\u201d\u3002
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"},{"location":"chapter_hashing/hash_collision/#621","title":"6.2.1. \u54c8\u5e0c\u8868\u6269\u5bb9","text":"\u300c\u8d1f\u8f7d\u56e0\u5b50 Load Factor\u300d\u5b9a\u4e49\u4e3a \u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u9664\u4ee5\u6876\u69fd\u6570\u91cf\uff08\u5373\u6570\u7ec4\u5927\u5c0f\uff09\uff0c\u4ee3\u8868\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u7684\u4e25\u91cd\u7a0b\u5ea6\u3002
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"},{"location":"chapter_hashing/hash_collision/#622","title":"6.2.2. \u94fe\u5f0f\u5730\u5740","text":"\u5728\u539f\u59cb\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\uff0c\u6876\u5185\u7684\u6bcf\u4e2a\u5730\u5740\u53ea\u80fd\u5b58\u50a8\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff08\u5373\u952e\u503c\u5bf9\uff09\u3002\u8003\u8651\u5c06\u5355\u4e2a\u5143\u7d20\u8f6c\u5316\u6210\u4e00\u4e2a\u94fe\u8868\uff0c\u5c06\u6240\u6709\u51b2\u7a81\u5143\u7d20\u90fd\u5b58\u50a8\u5728\u4e00\u4e2a\u94fe\u8868\u4e2d\u3002
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"},{"location":"chapter_hashing/hash_collision/#623","title":"6.2.3. \u5f00\u653e\u5bfb\u5740","text":"\u300c\u5f00\u653e\u5bfb\u5740\u300d\u4e0d\u5f15\u5165\u989d\u5916\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u800c\u662f\u901a\u8fc7\u201c\u591a\u6b21\u63a2\u6d4b\u201d\u6765\u89e3\u51b3\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u3002\u6839\u636e\u63a2\u6d4b\u65b9\u6cd5\u7684\u4e0d\u540c\uff0c\u4e3b\u8981\u5206\u4e3a \u7ebf\u6027\u63a2\u6d4b\u3001\u5e73\u65b9\u63a2\u6d4b\u3001\u591a\u6b21\u54c8\u5e0c\u3002
"},{"location":"chapter_hashing/hash_collision/#_1","title":"\u7ebf\u6027\u63a2\u6d4b","text":"\u300c\u7ebf\u6027\u63a2\u6d4b\u300d\u4f7f\u7528\u56fa\u5b9a\u6b65\u957f\u7684\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u6765\u89e3\u51b3\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u3002
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2. \u79cd\u60c5\u51b5\uff09\u3002\u56e0\u6b64\u9700\u8981\u501f\u52a9\u4e00\u4e2a\u6807\u5fd7\u4f4d\u6765\u6807\u8bb0\u5220\u9664\u5143\u7d20\u3002\u987e\u540d\u601d\u4e49\uff0c\u300c\u591a\u6b21\u54c8\u5e0c\u300d\u7684\u601d\u8def\u662f\u4f7f\u7528\u591a\u4e2a\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 \\(f_1(x)\\) , \\(f_2(x)\\) , \\(f_3(x)\\) , \\(\\cdots\\) \u8fdb\u884c\u63a2\u6d4b\u3002
\u63d2\u5165\u5143\u7d20\uff1a\u82e5\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 \\(f_1(x)\\) \u51fa\u73b0\u51b2\u7a81\uff0c\u5219\u5c1d\u8bd5 \\(f_2(x)\\) \uff0c\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u2026\u2026\u76f4\u5230\u627e\u5230\u7a7a\u4f4d\u540e\u63d2\u5165\u5143\u7d20\u3002
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Python \u91c7\u7528\u300c\u5f00\u653e\u5bfb\u5740\u300d\u3002\u5b57\u5178 dict \u4f7f\u7528\u4f2a\u968f\u673a\u6570\u8fdb\u884c\u63a2\u6d4b\u3002
"},{"location":"chapter_hashing/hash_map/","title":"6.1. \u54c8\u5e0c\u8868","text":"\u54c8\u5e0c\u8868\u901a\u8fc7\u5efa\u7acb\u300c\u952e key\u300d\u548c\u300c\u503c value\u300d\u4e4b\u95f4\u7684\u6620\u5c04\uff0c\u5b9e\u73b0\u9ad8\u6548\u7684\u5143\u7d20\u67e5\u627e\u3002\u5177\u4f53\u5730\uff0c\u8f93\u5165\u4e00\u4e2a key \uff0c\u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u67e5\u8be2\u5e76\u83b7\u53d6 value \uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002
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Fig. \u54c8\u5e0c\u8868\u62bd\u8c61\u8868\u793a
"},{"location":"chapter_hashing/hash_map/#611","title":"6.1.1. \u54c8\u5e0c\u8868\u6548\u7387","text":"\u9664\u4e86\u54c8\u5e0c\u8868\u4e4b\u5916\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u4ee5\u4e0b\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u6765\u5b9e\u73b0\u4e0a\u8ff0\u67e5\u8be2\u529f\u80fd\uff1a
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JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig hash_map.java/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nMap<Integer, String> map = new HashMap<>();\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.put(12836, \"\u5c0f\u54c8\"); map.put(15937, \"\u5c0f\u5570\"); map.put(16750, \"\u5c0f\u7b97\"); map.put(13276, \"\u5c0f\u6cd5\");\nmap.put(10583, \"\u5c0f\u9e2d\");\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nString name = map.get(15937);\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.remove(10583);\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nunordered_map<int, string> map;\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap[12836] = \"\u5c0f\u54c8\";\nmap[15937] = \"\u5c0f\u5570\";\nmap[16750] = \"\u5c0f\u7b97\";\nmap[13276] = \"\u5c0f\u6cd5\";\nmap[10583] = \"\u5c0f\u9e2d\";\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nstring name = map[15937];\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.erase(10583);\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 \"\"\"\nmapp = {}\n\"\"\" \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c \"\"\"\n# \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmapp[12836] = \"\u5c0f\u54c8\"\nmapp[15937] = \"\u5c0f\u5570\"\nmapp[16750] = \"\u5c0f\u7b97\"\nmapp[13276] = \"\u5c0f\u6cd5\"\nmapp[10583] = \"\u5c0f\u9e2d\"\n\"\"\" \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c \"\"\"\n# \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nname = mapp[15937]\n\"\"\" \u5220\u9664\u64cd\u4f5c \"\"\"\n# \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmapp.pop(10583)\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nmapp := make(map[int]string)\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmapp[12836] = \"\u5c0f\u54c8\"\nmapp[15937] = \"\u5c0f\u5570\"\nmapp[16750] = \"\u5c0f\u7b97\"\nmapp[13276] = \"\u5c0f\u6cd5\"\nmapp[10583] = \"\u5c0f\u9e2d\"\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nname := mapp[15937]\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\ndelete(mapp, 10583)\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nconst map = new ArrayHashMap();\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.set(12836, '\u5c0f\u54c8');\nmap.set(15937, '\u5c0f\u5570');\nmap.set(16750, '\u5c0f\u7b97');\nmap.set(13276, '\u5c0f\u6cd5');\nmap.set(10583, '\u5c0f\u9e2d');\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nlet name = map.get(15937);\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.delete(10583);\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nconst map = new Map<number, string>();\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.set(12836, '\u5c0f\u54c8');\nmap.set(15937, '\u5c0f\u5570');\nmap.set(16750, '\u5c0f\u7b97');\nmap.set(13276, '\u5c0f\u6cd5');\nmap.set(10583, '\u5c0f\u9e2d');\nconsole.info('\\n\u6dfb\u52a0\u5b8c\u6210\u540e\uff0c\u54c8\u5e0c\u8868\u4e3a\\nKey -> Value');\nconsole.info(map);\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nlet name = map.get(15937);\nconsole.info('\\n\u8f93\u5165\u5b66\u53f7 15937 \uff0c\u67e5\u8be2\u5230\u59d3\u540d ' + name);\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.delete(10583);\nconsole.info('\\n\u5220\u9664 10583 \u540e\uff0c\u54c8\u5e0c\u8868\u4e3a\\nKey -> Value');\nconsole.info(map);\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nDictionary<int, String> map = new ();\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.Add(12836, \"\u5c0f\u54c8\");\nmap.Add(15937, \"\u5c0f\u5570\");\nmap.Add(16750, \"\u5c0f\u7b97\");\nmap.Add(13276, \"\u5c0f\u6cd5\");\nmap.Add(10583, \"\u5c0f\u9e2d\");\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nString name = map[15937];\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.Remove(10583);\n/* \u521d\u59cb\u5316\u54c8\u5e0c\u8868 */\nvar map: [Int: String] = [:]\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u6dfb\u52a0\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap[12836] = \"\u5c0f\u54c8\"\nmap[15937] = \"\u5c0f\u5570\"\nmap[16750] = \"\u5c0f\u7b97\"\nmap[13276] = \"\u5c0f\u6cd5\"\nmap[10583] = \"\u5c0f\u9e2d\"\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\n// \u5411\u54c8\u5e0c\u8868\u8f93\u5165\u952e key \uff0c\u5f97\u5230\u503c value\nlet name = map[15937]!\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\n// \u5728\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u952e\u503c\u5bf9 (key, value)\nmap.removeValue(forKey: 10583)\n\n\u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868\u6709\u4e09\u79cd\u65b9\u5f0f\uff0c\u5373 \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9\u3001\u904d\u5386\u952e\u3001\u904d\u5386\u503c\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig hash_map.java/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 key->value\nfor (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {\nSystem.out.println(kv.getKey() + \" -> \" + kv.getValue());\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nfor (int key: map.keySet()) {\nSystem.out.println(key);\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nfor (String val: map.values()) {\nSystem.out.println(val);\n}\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 key->value\nfor (auto kv: map) {\ncout << kv.first << \" -> \" << kv.second << endl;\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nfor (auto key: map) {\ncout << key.first << endl;\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nfor (auto val: map) {\ncout << val.second << endl;\n}\n\"\"\" \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 \"\"\"\n# \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 key->value\nfor key, value in mapp.items():\nprint(key, \"->\", value)\n# \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nfor key in mapp.keys():\nprint(key)\n# \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nfor value in mapp.values():\nprint(value)\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 key->value\nfor key, value := range mapp {\nfmt.Println(key, \"->\", value)\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nfor key := range mapp {\nfmt.Println(key)\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nfor _, value := range mapp {\nfmt.Println(value)\n}\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 key->value\nfor (const entry of map.entries()) {\nif (!entry) continue;\nconsole.info(entry.key + ' -> ' + entry.val);\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nfor (const key of map.keys()) {\nconsole.info(key);\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nfor (const val of map.values()) {\nconsole.info(val);\n}\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\nconsole.info('\\n\u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 Key->Value');\nfor (const [k, v] of map.entries()) {\nconsole.info(k + ' -> ' + v);\n}\nconsole.info('\\n\u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e Key');\nfor (const k of map.keys()) {\nconsole.info(k);\n}\nconsole.info('\\n\u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c Value');\nfor (const v of map.values()) {\nconsole.info(v);\n}\n\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 Key->Value\nforeach (var kv in map) {\nConsole.WriteLine(kv.Key + \" -> \" + kv.Value);\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e key\nforeach (int key in map.Keys) {\nConsole.WriteLine(key);\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c value\nforeach (String val in map.Values) {\nConsole.WriteLine(val);\n}\n/* \u904d\u5386\u54c8\u5e0c\u8868 */\n// \u904d\u5386\u952e\u503c\u5bf9 Key->Value\nfor (key, value) in map {\nprint(\"\\(key) -> \\(value)\")\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u952e Key\nfor key in map.keys {\nprint(key)\n}\n// \u5355\u72ec\u904d\u5386\u503c Value\nfor value in map.values {\nprint(value)\n}\n\n\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u5b58\u50a8\u5143\u7d20\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u6876 Bucket\u300d\uff0c\u5e95\u5c42\u5b9e\u73b0\u53ef\u80fd\u662f\u6570\u7ec4\u3001\u94fe\u8868\u3001\u4e8c\u53c9\u6811\uff08\u7ea2\u9ed1\u6811\uff09\uff0c\u6216\u662f\u5b83\u4eec\u7684\u7ec4\u5408\u3002
\u6700\u7b80\u5355\u5730\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u4ec5\u7528\u4e00\u4e2a\u300c\u6570\u7ec4\u300d\u6765\u5b9e\u73b0\u54c8\u5e0c\u8868\u3002\u9996\u5148\uff0c\u5c06\u6240\u6709 value \u653e\u5165\u6570\u7ec4\u4e2d\uff0c\u90a3\u4e48\u6bcf\u4e2a value \u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u90fd\u6709\u552f\u4e00\u7684\u300c\u7d22\u5f15\u300d\u3002\u663e\u7136\uff0c\u8bbf\u95ee value \u9700\u8981\u7ed9\u5b9a\u7d22\u5f15\uff0c\u800c\u4e3a\u4e86 \u5efa\u7acb key \u548c\u7d22\u5f15\u4e4b\u95f4\u7684\u6620\u5c04\u5173\u7cfb\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u4f7f\u7528\u300c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 Hash Function\u300d\u3002
\u8bbe\u6570\u7ec4\u4e3a bucket \uff0c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u4e3a f(x) \uff0c\u8f93\u5165\u952e\u4e3a key \u3002\u90a3\u4e48\u83b7\u53d6 value \u7684\u6b65\u9aa4\u4e3a\uff1a
index = f(key) \uff1bvalue = bucket[index] \uff1b\u4ee5\u4e0a\u8ff0\u5b66\u751f\u6570\u636e key \u5b66\u53f7 -> value \u59d3\u540d \u4e3a\u4f8b\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u300c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u300d\u8bbe\u8ba1\u4e3a
Fig. \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array_hash_map.java/* \u952e\u503c\u5bf9 int->String */\nclass Entry {\npublic int key; // \u952e\npublic String val; // \u503c\npublic Entry(int key, String val) {\nthis.key = key;\nthis.val = val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap {\nprivate List<Entry> bucket;\npublic ArrayHashMap() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nbucket = new ArrayList<>();\nfor (int i = 0; i < 100; i++) {\nbucket.add(null);\n}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nprivate int hashFunc(int key) {\nint index = key % 100;\nreturn index;\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\npublic String get(int key) {\nint index = hashFunc(key);\nEntry pair = bucket.get(index);\nif (pair == null) return null;\nreturn pair.val;\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\npublic void put(int key, String val) {\nEntry pair = new Entry(key, val);\nint index = hashFunc(key);\nbucket.set(index, pair);\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\npublic void remove(int key) {\nint index = hashFunc(key);\n// \u7f6e\u4e3a null\uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nbucket.set(index, null);\n}\n}\n/* \u952e\u503c\u5bf9 int->String */\nstruct Entry {\npublic:\nint key;\nstring val;\nEntry(int key, string val) {\nthis->key = key;\nthis->val = val;\n}\n};\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap {\nprivate:\nvector<Entry*> bucket;\npublic:\nArrayHashMap() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nbucket= vector<Entry*>(100);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nint hashFunc(int key) {\nint index = key % 100;\nreturn index;\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\nstring get(int key) {\nint index = hashFunc(key);\nEntry* pair = bucket[index];\nreturn pair->val;\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\nvoid put(int key, string val) {\nEntry* pair = new Entry(key, val);\nint index = hashFunc(key);\nbucket[index] = pair;\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\nvoid remove(int key) {\nint index = hashFunc(key);\n// \u7f6e\u4e3a nullptr \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nbucket[index] = nullptr;\n}\n};\n\"\"\" \u952e\u503c\u5bf9 int->String \"\"\"\nclass Entry:\ndef __init__(self, key, val):\nself.key = key\nself.val = val\n\"\"\" \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 \"\"\"\nclass ArrayHashMap:\ndef __init__(self):\n# \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nself.bucket = [None] * 100\n\"\"\" \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 \"\"\"\ndef hash_func(self, key):\nindex = key % 100\nreturn index\n\"\"\" \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c \"\"\"\ndef get(self, key):\nindex = self.hash_func(key)\npair = self.bucket[index]\nif pair is None:\nreturn None\nreturn pair.val\n\"\"\" \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c \"\"\"\ndef put(self, key, val):\npair = Entry(key, val)\nindex = self.hash_func(key)\nself.bucket[index] = pair\n\"\"\" \u5220\u9664\u64cd\u4f5c \"\"\"\ndef remove(self, key):\nindex = self.hash_func(key)\n# \u7f6e\u4e3a None \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nself.bucket[index] = None\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6240\u6709\u952e\u503c\u5bf9 \"\"\"\ndef entry_set(self):\nresult = []\nfor pair in self.bucket:\nif pair is not None:\nresult.append(pair)\nreturn result\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6240\u6709\u952e \"\"\"\ndef key_set(self):\nresult = []\nfor pair in self.bucket:\nif pair is not None:\nresult.append(pair.key)\nreturn result\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6240\u6709\u503c \"\"\"\ndef value_set(self):\nresult = []\nfor pair in self.bucket:\nif pair is not None:\nresult.append(pair.val)\nreturn result\n\"\"\" \u6253\u5370\u54c8\u5e0c\u8868 \"\"\"\ndef print(self):\nfor pair in self.bucket:\nif pair is not None:\nprint(pair.key, \"->\", pair.val)\n/* \u952e\u503c\u5bf9 int->String */\ntype entry struct {\nkey int\nval string\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\ntype arrayHashMap struct {\nbucket []*entry\n}\nfunc newArrayHashMap() *arrayHashMap {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nbucket := make([]*entry, 100)\nreturn &arrayHashMap{bucket: bucket}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nfunc (a *arrayHashMap) hashFunc(key int) int {\nindex := key % 100\nreturn index\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\nfunc (a *arrayHashMap) get(key int) string {\nindex := a.hashFunc(key)\npair := a.bucket[index]\nif pair == nil {\nreturn \"Not Found\"\n}\nreturn pair.val\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\nfunc (a *arrayHashMap) put(key int, val string) {\npair := &entry{key: key, val: val}\nindex := a.hashFunc(key)\na.bucket[index] = pair\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\nfunc (a *arrayHashMap) remove(key int) {\nindex := a.hashFunc(key)\n// \u7f6e\u4e3a nil \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\na.bucket[index] = nil\n}\n/* \u952e\u503c\u5bf9 Number -> String */\nclass Entry {\nconstructor(key, val) {\nthis.key = key;\nthis.val = val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap {\n#bucket;\nconstructor() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nthis.#bucket = new Array(100).fill(null);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\n#hashFunc(key) {\nreturn key % 100;\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\nget(key) {\nlet index = this.#hashFunc(key);\nlet entry = this.#bucket[index];\nif (entry === null) return null;\nreturn entry.val;\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\nset(key, val) {\nlet index = this.#hashFunc(key);\nthis.#bucket[index] = new Entry(key, val);\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\ndelete(key) {\nlet index = this.#hashFunc(key);\n// \u7f6e\u4e3a null \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nthis.#bucket[index] = null;\n}\n}\n/* \u952e\u503c\u5bf9 Number -> String */\nclass Entry {\npublic key: number;\npublic val: string;\nconstructor(key: number, val: string) {\nthis.key = key;\nthis.val = val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap {\nprivate readonly bucket: (Entry | null)[];\nconstructor() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nthis.bucket = (new Array(100)).fill(null);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nprivate hashFunc(key: number): number {\nreturn key % 100;\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\npublic get(key: number): string | null {\nlet index = this.hashFunc(key);\nlet entry = this.bucket[index];\nif (entry === null) return null;\nreturn entry.val;\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\npublic set(key: number, val: string) {\nlet index = this.hashFunc(key);\nthis.bucket[index] = new Entry(key, val);\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\npublic delete(key: number) {\nlet index = this.hashFunc(key);\n// \u7f6e\u4e3a null \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nthis.bucket[index] = null;\n}\n}\n\n/* \u952e\u503c\u5bf9 int->String */\nclass Entry\n{\npublic int key;\npublic String val;\npublic Entry(int key, String val)\n{\nthis.key = key;\nthis.val = val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap\n{\nprivate List<Entry?> bucket;\npublic ArrayHashMap()\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nbucket = new ();\nfor (int i = 0; i < 100; i++)\n{\nbucket.Add(null);\n}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nprivate int hashFunc(int key)\n{\nint index = key % 100;\nreturn index;\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\npublic String? get(int key)\n{\nint index = hashFunc(key);\nEntry? pair = bucket[index];\nif (pair == null) return null;\nreturn pair.val;\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\npublic void put(int key, String val)\n{\nEntry pair = new Entry(key, val);\nint index = hashFunc(key);\nbucket[index]=pair;\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\npublic void remove(int key)\n{\nint index = hashFunc(key);\n// \u7f6e\u4e3a null \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nbucket[index]=null;\n}\n}\n/* \u952e\u503c\u5bf9 int->String */\nclass Entry {\nvar key: Int\nvar val: String\ninit(key: Int, val: String) {\nself.key = key\nself.val = val\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u7b80\u6613\u5b9e\u73b0\u7684\u54c8\u5e0c\u8868 */\nclass ArrayHashMap {\nprivate var bucket: [Entry?] = []\ninit() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u4e3a 100 \u7684\u6876\uff08\u6570\u7ec4\uff09\nfor _ in 0 ..< 100 {\nbucket.append(nil)\n}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 */\nprivate func hashFunc(key: Int) -> Int {\nlet index = key % 100\nreturn index\n}\n/* \u67e5\u8be2\u64cd\u4f5c */\nfunc get(key: Int) -> String? {\nlet index = hashFunc(key: key)\nlet pair = bucket[index]\nreturn pair?.val\n}\n/* \u6dfb\u52a0\u64cd\u4f5c */\nfunc put(key: Int, val: String) {\nlet pair = Entry(key: key, val: val)\nlet index = hashFunc(key: key)\nbucket[index] = pair\n}\n/* \u5220\u9664\u64cd\u4f5c */\nfunc remove(key: Int) {\nlet index = hashFunc(key: key)\n// \u7f6e\u4e3a nil \uff0c\u4ee3\u8868\u5220\u9664\nbucket[index] = nil\n}\n}\n\n\u7ec6\u5fc3\u7684\u540c\u5b66\u53ef\u80fd\u4f1a\u53d1\u73b0\uff0c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570 \\(f(x) = x \\% 100\\) \u4f1a\u5728\u67d0\u4e9b\u60c5\u51b5\u4e0b\u5931\u6548\u3002\u5177\u4f53\u5730\uff0c\u5f53\u8f93\u5165\u7684 key \u540e\u4e24\u4f4d\u76f8\u540c\u65f6\uff0c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u7684\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u4e5f\u76f8\u540c\uff0c\u6307\u5411\u540c\u4e00\u4e2a value \u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5206\u522b\u67e5\u8be2\u4e24\u4e2a\u5b66\u53f7 \\(12836\\) \u548c \\(20336\\) \uff0c\u5219\u6709
\\[ f(12836) = f(20336) = 36 \\]\u4e24\u4e2a\u5b66\u53f7\u6307\u5411\u4e86\u540c\u4e00\u4e2a\u59d3\u540d\uff0c\u8fd9\u660e\u663e\u662f\u4e0d\u5bf9\u7684\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u8fd9\u79cd\u73b0\u8c61\u79f0\u4e3a\u300c\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81 Hash Collision\u300d\u3002\u5982\u4f55\u907f\u514d\u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81\u7684\u95ee\u9898\u5c06\u88ab\u7559\u5728\u4e0b\u7ae0\u8ba8\u8bba\u3002
Fig. \u54c8\u5e0c\u51b2\u7a81
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0\uff0c\u4e00\u4e2a\u4f18\u79c0\u7684\u300c\u54c8\u5e0c\u51fd\u6570\u300d\u5e94\u8be5\u5177\u5907\u4ee5\u4e0b\u7279\u6027\uff1a
\u300c\u5806 Heap\u300d\u662f\u4e00\u68f5\u9650\u5b9a\u6761\u4ef6\u4e0b\u7684\u300c\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u3002\u6839\u636e\u6210\u7acb\u6761\u4ef6\uff0c\u5806\u4e3b\u8981\u5206\u4e3a\u4e24\u79cd\u7c7b\u578b\uff1a
\u503c\u5f97\u8bf4\u660e\u7684\u662f\uff0c\u591a\u6570\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u63d0\u4f9b\u7684\u662f\u300c\u4f18\u5148\u961f\u5217 Priority Queue\u300d\uff0c\u5176\u662f\u4e00\u79cd\u62bd\u8c61\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u5b9a\u4e49\u4e3a\u5177\u6709\u51fa\u961f\u4f18\u5148\u7ea7\u7684\u961f\u5217\u3002
\u800c\u6070\u597d\uff0c\u5806\u7684\u5b9a\u4e49\u4e0e\u4f18\u5148\u961f\u5217\u7684\u64cd\u4f5c\u903b\u8f91\u5b8c\u5168\u543b\u5408\uff0c\u5927\u9876\u5806\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u4ece\u5927\u5230\u5c0f\u51fa\u961f\u7684\u4f18\u5148\u961f\u5217\u3002\u4ece\u4f7f\u7528\u89d2\u5ea6\u770b\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u300c\u4f18\u5148\u961f\u5217\u300d\u548c\u300c\u5806\u300d\u7406\u89e3\u4e3a\u7b49\u4ef7\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u672c\u6587\u4e0e\u4ee3\u7801\u5bf9\u4e24\u8005\u4e0d\u505a\u7279\u522b\u533a\u5206\uff0c\u7edf\u4e00\u4f7f\u7528\u300c\u5806\u300d\u6765\u547d\u540d\u3002
\u5806\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c\u89c1\u4e0b\u8868\uff08\u65b9\u6cd5\u547d\u540d\u4ee5 Java \u4e3a\u4f8b\uff09\u3002
Table. \u5806\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c
\u65b9\u6cd5 \u63cf\u8ff0 \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 add() \u5143\u7d20\u5165\u5806 \\(O(\\log n)\\) poll() \u5806\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u5806 \\(O(\\log n)\\) peek() \u8bbf\u95ee\u5806\u9876\u5143\u7d20\uff08\u5927 / \u5c0f\u9876\u5806\u5206\u522b\u4e3a\u6700\u5927 / \u5c0f\u503c\uff09 \\(O(1)\\) size() \u83b7\u53d6\u5806\u7684\u5143\u7d20\u6570\u91cf \\(O(1)\\) isEmpty() \u5224\u65ad\u5806\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \\(O(1)\\)\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u4f7f\u7528\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u63d0\u4f9b\u7684\u5806\u7c7b\uff08\u6216\u4f18\u5148\u961f\u5217\u7c7b\uff09\u3002
Tip
\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u6392\u5e8f\u4e2d\u201c\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u6392\u5217\u201d\u548c\u201c\u4ece\u5927\u5230\u5c0f\u6392\u5217\u201d\uff0c\u201c\u5927\u9876\u5806\u201d\u548c\u201c\u5c0f\u9876\u5806\u201d\u53ef\u4ec5\u901a\u8fc7\u4fee\u6539 Comparator \u6765\u4e92\u76f8\u8f6c\u6362\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig heap.java/* \u521d\u59cb\u5316\u5806 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5c0f\u9876\u5806\nQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();\n// \u521d\u59cb\u5316\u5927\u9876\u5806\uff08\u4f7f\u7528 lambda \u8868\u8fbe\u5f0f\u4fee\u6539 Comparator \u5373\u53ef\uff09\nQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nmaxHeap.add(1);\nmaxHeap.add(3);\nmaxHeap.add(2);\nmaxHeap.add(5);\nmaxHeap.add(4);\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\nint peek = maxHeap.peek(); // 5\n/* \u5806\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\n// \u51fa\u5806\u5143\u7d20\u4f1a\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u4ece\u5927\u5230\u5c0f\u7684\u5e8f\u5217\npeek = heap.poll(); // 5\npeek = heap.poll(); // 4\npeek = heap.poll(); // 3\npeek = heap.poll(); // 2\npeek = heap.poll(); // 1\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u5927\u5c0f */\nint size = maxHeap.size();\n/* \u5224\u65ad\u5806\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nboolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();\n/* \u8f93\u5165\u5217\u8868\u5e76\u5efa\u5806 */\nminHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5806 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5c0f\u9876\u5806\npriority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;\n// \u521d\u59cb\u5316\u5927\u9876\u5806\npriority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nmaxHeap.push(1);\nmaxHeap.push(3);\nmaxHeap.push(2);\nmaxHeap.push(5);\nmaxHeap.push(4);\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\nint peek = maxHeap.top(); // 5\n/* \u5806\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\n// \u51fa\u5806\u5143\u7d20\u4f1a\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u4ece\u5927\u5230\u5c0f\u7684\u5e8f\u5217\nmaxHeap.pop(); // 5\nmaxHeap.pop(); // 4\nmaxHeap.pop(); // 3\nmaxHeap.pop(); // 2\nmaxHeap.pop(); // 1\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u5927\u5c0f */\nint size = maxHeap.size();\n/* \u5224\u65ad\u5806\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool isEmpty = maxHeap.empty();\n/* \u8f93\u5165\u5217\u8868\u5e76\u5efa\u5806 */\nvector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};\npriority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());\n\n// Go \u8bed\u8a00\u4e2d\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5b9e\u73b0 heap.Interface \u6765\u6784\u5efa\u6574\u6570\u5927\u9876\u5806\n// \u5b9e\u73b0 heap.Interface \u9700\u8981\u540c\u65f6\u5b9e\u73b0 sort.Interface\ntype intHeap []any\n// Push heap.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b9e\u73b0\u63a8\u5165\u5143\u7d20\u5230\u5806\nfunc (h *intHeap) Push(x any) {\n// Push \u548c Pop \u4f7f\u7528 pointer receiver \u4f5c\u4e3a\u53c2\u6570\n// \u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u4e0d\u4ec5\u4f1a\u5bf9\u5207\u7247\u7684\u5185\u5bb9\u8fdb\u884c\u8c03\u6574\uff0c\u8fd8\u4f1a\u4fee\u6539\u5207\u7247\u7684\u957f\u5ea6\u3002\n*h = append(*h, x.(int))\n}\n// Pop heap.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b9e\u73b0\u5f39\u51fa\u5806\u9876\u5143\u7d20\nfunc (h *intHeap) Pop() any {\n// \u5f85\u51fa\u5806\u5143\u7d20\u5b58\u653e\u5728\u6700\u540e\nlast := (*h)[len(*h)-1]\n*h = (*h)[:len(*h)-1]\nreturn last\n}\n// Len sort.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\nfunc (h *intHeap) Len() int {\nreturn len(*h)\n}\n// Less sort.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\nfunc (h *intHeap) Less(i, j int) bool {\n// \u5982\u679c\u5b9e\u73b0\u5c0f\u9876\u5806\uff0c\u5219\u9700\u8981\u8c03\u6574\u4e3a\u5c0f\u4e8e\u53f7\nreturn (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)\n}\n// Swap sort.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\nfunc (h *intHeap) Swap(i, j int) {\n(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]\n}\n// Top \u83b7\u53d6\u5806\u9876\u5143\u7d20\nfunc (h *intHeap) Top() any {\nreturn (*h)[0]\n}\n/* Driver Code */\nfunc TestHeap(t *testing.T) {\n/* \u521d\u59cb\u5316\u5806 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u5927\u9876\u5806\nmaxHeap := &intHeap{}\nheap.Init(maxHeap)\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\n// \u8c03\u7528 heap.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u6765\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\nheap.Push(maxHeap, 1)\nheap.Push(maxHeap, 3)\nheap.Push(maxHeap, 2)\nheap.Push(maxHeap, 4)\nheap.Push(maxHeap, 5)\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\ntop := maxHeap.Top()\nfmt.Printf(\"\u5806\u9876\u5143\u7d20\u4e3a %d\\n\", top)\n/* \u5806\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\n// \u8c03\u7528 heap.Interface \u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u6765\u79fb\u9664\u5143\u7d20\nheap.Pop(maxHeap)\nheap.Pop(maxHeap)\nheap.Pop(maxHeap)\nheap.Pop(maxHeap)\nheap.Pop(maxHeap)\n/* \u83b7\u53d6\u5806\u5927\u5c0f */\nsize := len(*maxHeap)\nfmt.Printf(\"\u5806\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a %d\\n\", size)\n/* \u5224\u65ad\u5806\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty := len(*maxHeap) == 0\nfmt.Printf(\"\u5806\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a %t\\n\", isEmpty)\n}\n\n\n\n\n// Swift \u672a\u63d0\u4f9b\u5185\u7f6e heap \u7c7b\n\n\u4e0b\u6587\u5b9e\u73b0\u7684\u662f\u300c\u5927\u9876\u5806\u300d\uff0c\u82e5\u60f3\u8f6c\u6362\u4e3a\u300c\u5c0f\u9876\u5806\u300d\uff0c\u5c06\u6240\u6709\u5927\u5c0f\u903b\u8f91\u5224\u65ad\u53d6\u9006\uff08\u4f8b\u5982\u5c06 \\(\\geq\\) \u66ff\u6362\u4e3a \\(\\leq\\) \uff09\u5373\u53ef\uff0c\u6709\u5174\u8da3\u7684\u540c\u5b66\u53ef\u81ea\u884c\u5b9e\u73b0\u3002
"},{"location":"chapter_heap/heap/#_1","title":"\u5806\u7684\u5b58\u50a8\u4e0e\u8868\u793a","text":"\u5728\u4e8c\u53c9\u6811\u7ae0\u8282\u6211\u4eec\u5b66\u8fc7\uff0c\u300c\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u975e\u5e38\u9002\u5408\u4f7f\u7528\u300c\u6570\u7ec4\u300d\u6765\u8868\u793a\uff0c\u800c\u5806\u6070\u597d\u662f\u4e00\u68f5\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\uff0c\u56e0\u800c\u6211\u4eec\u91c7\u7528\u300c\u6570\u7ec4\u300d\u6765\u5b58\u50a8\u300c\u5806\u300d\u3002
\u4e8c\u53c9\u6811\u6307\u9488\u3002\u4f7f\u7528\u6570\u7ec4\u8868\u793a\u4e8c\u53c9\u6811\u65f6\uff0c\u5143\u7d20\u4ee3\u8868\u7ed3\u70b9\u503c\uff0c\u7d22\u5f15\u4ee3\u8868\u7ed3\u70b9\u5728\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u7684\u4f4d\u7f6e\uff0c\u800c\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\u901a\u8fc7\u7d22\u5f15\u6620\u5c04\u516c\u5f0f\u6765\u5b9e\u73b0\u3002
\u5177\u4f53\u5730\uff0c\u7ed9\u5b9a\u7d22\u5f15 \\(i\\) \uff0c\u90a3\u4e48\u5176\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15\u4e3a \\(2i + 1\\) \u3001\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15\u4e3a \\(2i + 2\\) \u3001\u7236\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15\u4e3a \\((i - 1) / 2\\) \uff08\u5411\u4e0b\u6574\u9664\uff09\u3002\u5f53\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u65f6\uff0c\u4ee3\u8868\u7a7a\u7ed3\u70b9\u6216\u7ed3\u70b9\u4e0d\u5b58\u5728\u3002
\u6211\u4eec\u5c06\u7d22\u5f15\u6620\u5c04\u516c\u5f0f\u5c01\u88c5\u6210\u51fd\u6570\uff0c\u4ee5\u4fbf\u540e\u7eed\u4f7f\u7528\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_heap.java// \u4f7f\u7528\u5217\u8868\u800c\u975e\u6570\u7ec4\uff0c\u8fd9\u6837\u65e0\u9700\u8003\u8651\u6269\u5bb9\u95ee\u9898\nList<Integer> maxHeap;\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u5efa\u7acb\u7a7a\u5806 */\npublic MaxHeap() {\nmaxHeap = new ArrayList<>();\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint left(int i) {\nreturn 2 * i + 1;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint right(int i) {\nreturn 2 * i + 2;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7236\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint parent(int i) {\nreturn (i - 1) / 2; // \u5411\u4e0b\u6574\u9664\n}\n// \u4f7f\u7528\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff0c\u8fd9\u6837\u65e0\u9700\u8003\u8651\u6269\u5bb9\u95ee\u9898\nvector<int> maxHeap;\n/* \u83b7\u53d6\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint left(int i) {\nreturn 2 * i + 1;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint right(int i) {\nreturn 2 * i + 2;\n} /* \u83b7\u53d6\u7236\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nint parent(int i) {\nreturn (i - 1) / 2; // \u5411\u4e0b\u53d6\u6574\n}\n\ntype maxHeap struct {\n// \u4f7f\u7528\u5207\u7247\u800c\u975e\u6570\u7ec4\uff0c\u8fd9\u6837\u65e0\u9700\u8003\u8651\u6269\u5bb9\u95ee\u9898\ndata []any\n}\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u5efa\u7acb\u7a7a\u5806 */\nfunc newHeap() *maxHeap {\nreturn &maxHeap{\ndata: make([]any, 0),\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc (h *maxHeap) left(i int) int {\nreturn 2*i + 1\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc (h *maxHeap) right(i int) int {\nreturn 2*i + 2\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7236\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc (h *maxHeap) parent(i int) int {\n// \u5411\u4e0b\u6574\u9664\nreturn (i - 1) / 2\n}\n\n\n\n\nvar maxHeap: [Int]\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u5efa\u7acb\u7a7a\u5806 */\ninit() {\nmaxHeap = []\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc left(i: Int) -> Int {\n2 * i + 1\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc right(i: Int) -> Int {\n2 * i + 2\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7236\u7ed3\u70b9\u7d22\u5f15 */\nfunc parent(i: Int) -> Int {\n(i - 1) / 2 // \u5411\u4e0b\u6574\u9664\n}\n\n\u5806\u9876\u5143\u7d20\u662f\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6839\u7ed3\u70b9\uff0c\u5373\u5217\u8868\u9996\u5143\u7d20\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_heap.java/* \u8bbf\u95ee\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\npublic int peek() {\nreturn maxHeap.get(0);\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\nint peek() {\nreturn maxHeap[0];\n}\n\n/* \u8bbf\u95ee\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\nfunc (h *maxHeap) peek() any {\nreturn h.data[0]\n}\n\n\n\n\n/* \u8bbf\u95ee\u5806\u9876\u5143\u7d20 */\nfunc peek() -> Int {\nmaxHeap[0]\n}\n\n\u7ed9\u5b9a\u5143\u7d20 val \uff0c\u6211\u4eec\u5148\u5c06\u5176\u6dfb\u52a0\u5230\u5806\u5e95\u3002\u6dfb\u52a0\u540e\uff0c\u7531\u4e8e val \u53ef\u80fd\u5927\u4e8e\u5806\u4e2d\u5176\u5b83\u5143\u7d20\uff0c\u6b64\u65f6\u5806\u7684\u6210\u7acb\u6761\u4ef6\u53ef\u80fd\u5df2\u7ecf\u88ab\u7834\u574f\uff0c\u56e0\u6b64\u9700\u8981\u4fee\u590d\u4ece\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u5230\u6839\u7ed3\u70b9\u8fd9\u6761\u8def\u5f84\u4e0a\u7684\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff0c\u8be5\u64cd\u4f5c\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u5806\u5316 Heapify\u300d\u3002
\u8003\u8651\u4ece\u5165\u5806\u7ed3\u70b9\u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u6267\u884c\u5806\u5316\u3002\u5177\u4f53\u5730\uff0c\u6bd4\u8f83\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u4e0e\u5176\u7236\u7ed3\u70b9\u7684\u503c\uff0c\u82e5\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u66f4\u5927\u5219\u5c06\u5b83\u4eec\u4ea4\u6362\uff1b\u5e76\u5faa\u73af\u4ee5\u4e0a\u64cd\u4f5c\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5730\u4fee\u590d\u5806\u4e2d\u7684\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff1b\u76f4\u81f3\u8d8a\u8fc7\u6839\u7ed3\u70b9\u65f6\u7ed3\u675f\uff0c\u6216\u5f53\u9047\u5230\u65e0\u9700\u4ea4\u6362\u7684\u7ed3\u70b9\u65f6\u63d0\u524d\u7ed3\u675f\u3002
Step 1Step 2Step 3Step 4Step 5Step 6\u8bbe\u7ed3\u70b9\u603b\u6570\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u5219\u6811\u7684\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \uff0c\u6613\u5f97\u5806\u5316\u64cd\u4f5c\u7684\u5faa\u73af\u8f6e\u6570\u6700\u591a\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \uff0c\u56e0\u800c\u5143\u7d20\u5165\u5806\u64cd\u4f5c\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_heap.java/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nvoid push(int val) {\n// \u6dfb\u52a0\u7ed3\u70b9\nmaxHeap.add(val);\n// \u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316\nsiftUp(size() - 1);\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316 */\nvoid siftUp(int i) {\nwhile (true) {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 i \u7684\u7236\u7ed3\u70b9\nint p = parent(i);\n// \u82e5\u201c\u8d8a\u8fc7\u6839\u7ed3\u70b9\u201d\u6216\u201c\u7ed3\u70b9\u65e0\u9700\u4fee\u590d\u201d\uff0c\u5219\u7ed3\u675f\u5806\u5316\nif (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))\nbreak;\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nswap(i, p);\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0a\u5806\u5316\ni = p;\n}\n}\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nvoid push(int val) {\n// \u6dfb\u52a0\u7ed3\u70b9\nmaxHeap.push_back(val);\n// \u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316\nshifUp(size() - 1);\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316 */\nvoid shifUp(int i) {\nwhile (true) {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 i \u7684\u7236\u7ed3\u70b9\nint p = parent(i);\n// \u5f53\u201c\u8d8a\u8fc7\u6839\u7ed3\u70b9\u201d\u6216\u201c\u7ed3\u70b9\u65e0\u9700\u4fee\u590d\u201d\u65f6\uff0c\u7ed3\u675f\u5806\u5316\nif (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])\nbreak;\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nswap(maxHeap[i], maxHeap[p]);\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0a\u5806\u5316\ni = p;\n}\n}\n\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nfunc (h *maxHeap) push(val any) {\n// \u6dfb\u52a0\u7ed3\u70b9\nh.data = append(h.data, val)\n// \u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316\nh.siftUp(len(h.data) - 1)\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316 */\nfunc (h *maxHeap) siftUp(i int) {\nfor true {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 i \u7684\u7236\u7ed3\u70b9\np := h.parent(i)\n// \u5f53\u201c\u8d8a\u8fc7\u6839\u7ed3\u70b9\u201d\u6216\u201c\u7ed3\u70b9\u65e0\u9700\u4fee\u590d\u201d\u65f6\uff0c\u7ed3\u675f\u5806\u5316\nif p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {\nbreak\n}\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nh.swap(i, p)\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0a\u5806\u5316\ni = p\n}\n}\n\n\n\n\n/* \u5143\u7d20\u5165\u5806 */\nfunc push(val: Int) {\n// \u6dfb\u52a0\u7ed3\u70b9\nmaxHeap.append(val)\n// \u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316\nsiftUp(i: size() - 1)\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316 */\nfunc siftUp(i: Int) {\nvar i = i\nwhile true {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 i \u7684\u7236\u7ed3\u70b9\nlet p = parent(i: i)\n// \u5f53\u201c\u8d8a\u8fc7\u6839\u7ed3\u70b9\u201d\u6216\u201c\u7ed3\u70b9\u65e0\u9700\u4fee\u590d\u201d\u65f6\uff0c\u7ed3\u675f\u5806\u5316\nif p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {\nbreak\n}\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nswap(i: i, j: p)\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0a\u5806\u5316\ni = p\n}\n}\n\n\u5806\u9876\u5143\u7d20\u662f\u4e8c\u53c9\u6811\u6839\u7ed3\u70b9\uff0c\u5373\u5217\u8868\u9996\u5143\u7d20\uff0c\u5982\u679c\u6211\u4eec\u76f4\u63a5\u5c06\u9996\u5143\u7d20\u4ece\u5217\u8868\u4e2d\u5220\u9664\uff0c\u5219\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\u90fd\u4f1a\u968f\u4e4b\u53d1\u751f\u79fb\u4f4d\uff08\u7d22\u5f15\u53d1\u751f\u53d8\u5316\uff09\uff0c\u8fd9\u6837\u540e\u7eed\u4f7f\u7528\u5806\u5316\u4fee\u590d\u5c31\u5f88\u9ebb\u70e6\u4e86\u3002\u4e3a\u4e86\u5c3d\u91cf\u51cf\u5c11\u5143\u7d20\u7d22\u5f15\u53d8\u52a8\uff0c\u91c7\u53d6\u4ee5\u4e0b\u64cd\u4f5c\u6b65\u9aa4\uff1a
\u987e\u540d\u601d\u4e49\uff0c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\u7684\u64cd\u4f5c\u65b9\u5411\u4e0e\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5806\u5316\u76f8\u53cd\uff0c\u6211\u4eec\u6bd4\u8f83\u6839\u7ed3\u70b9\u7684\u503c\u4e0e\u5176\u4e24\u4e2a\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u503c\uff0c\u5c06\u6700\u5927\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\u4e0e\u6839\u7ed3\u70b9\u6267\u884c\u4ea4\u6362\uff0c\u5e76\u5faa\u73af\u4ee5\u4e0a\u64cd\u4f5c\uff0c\u76f4\u5230\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u7ed3\u675f\uff0c\u6216\u5f53\u9047\u5230\u65e0\u9700\u4ea4\u6362\u7684\u7ed3\u70b9\u65f6\u63d0\u524d\u7ed3\u675f\u3002
Step 1Step 2Step 3Step 4Step 5Step 6Step 7Step 8Step 9Step 10\u4e0e\u5143\u7d20\u5165\u5806\u64cd\u4f5c\u7c7b\u4f3c\uff0c\u5806\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u5806\u64cd\u4f5c\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(\\log n)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_heap.java/* \u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\nint poll() {\n// \u5224\u7a7a\u5904\u7406\nif (isEmpty())\nthrow new EmptyStackException();\n// \u4ea4\u6362\u6839\u7ed3\u70b9\u4e0e\u6700\u53f3\u53f6\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u4ea4\u6362\u9996\u5143\u7d20\u4e0e\u5c3e\u5143\u7d20\uff09\nswap(0, size() - 1);\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9\nint val = maxHeap.remove(size() - 1);\n// \u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\nsiftDown(0);\n// \u8fd4\u56de\u5806\u9876\u5143\u7d20\nreturn val;\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316 */\nvoid siftDown(int i) {\nwhile (true) {\n// \u5224\u65ad\u7ed3\u70b9 i, l, r \u4e2d\u503c\u6700\u5927\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8bb0\u4e3a ma\nint l = left(i), r = right(i), ma = i;\nif (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))\nma = l;\nif (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))\nma = r;\n// \u82e5\u201c\u7ed3\u70b9 i \u6700\u5927\u201d\u6216\u201c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u201d\uff0c\u5219\u7ed3\u675f\u5806\u5316\nif (ma == i) break;\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nswap(i, ma);\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0b\u5806\u5316\ni = ma;\n}\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316 */\nvoid shifDown(int i) {\nwhile (true) {\n// \u5224\u65ad\u7ed3\u70b9 i, l, r \u4e2d\u503c\u6700\u5927\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8bb0\u4e3a ma\nint l = left(i), r = right(i), ma = i;\n// \u82e5\u7ed3\u70b9 i \u6700\u5927\u6216\u7d22\u5f15 l, r \u8d8a\u754c\uff0c\u5219\u65e0\u9700\u7ee7\u7eed\u5806\u5316\uff0c\u8df3\u51fa\nif (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l;\nif (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r;\n// \u82e5\u7ed3\u70b9 i \u6700\u5927\u6216\u7d22\u5f15 l, r \u8d8a\u754c\uff0c\u5219\u65e0\u9700\u7ee7\u7eed\u5806\u5316\uff0c\u8df3\u51fa\nif (ma == i) break;\nswap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0b\u5806\u5316\ni = ma;\n}\n}\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\nvoid poll() {\n// \u5224\u7a7a\u5904\u7406\nif (empty()) {\ncout << \"Error:\u5806\u4e3a\u7a7a\" << endl;\nreturn;\n}\n// \u4ea4\u6362\u6839\u7ed3\u70b9\u4e0e\u6700\u53f3\u53f6\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u4ea4\u6362\u9996\u5143\u7d20\u4e0e\u5c3e\u5143\u7d20\uff09\nswap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9\nmaxHeap.pop_back();\n// \u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\nshifDown(0);\n}\n\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\nfunc (h *maxHeap) poll() any {\n// \u5224\u7a7a\u5904\u7406\nif h.isEmpty() {\nfmt.Println(\"error\")\nreturn nil\n}\n// \u4ea4\u6362\u6839\u7ed3\u70b9\u4e0e\u6700\u53f3\u53f6\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u4ea4\u6362\u9996\u5143\u7d20\u4e0e\u5c3e\u5143\u7d20\uff09\nh.swap(0, h.size()-1)\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9\nval := h.data[len(h.data)-1]\nh.data = h.data[:len(h.data)-1]\n// \u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\nh.siftDown(0)\n// \u8fd4\u56de\u5806\u9876\u5143\u7d20\nreturn val\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316 */\nfunc (h *maxHeap) siftDown(i int) {\nfor true {\n// \u5224\u65ad\u7ed3\u70b9 i, l, r \u4e2d\u503c\u6700\u5927\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8bb0\u4e3a max\nl, r, max := h.left(i), h.right(i), i\nif l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {\nmax = l\n}\nif r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {\nmax = r\n}\n// \u82e5\u7ed3\u70b9 i \u6700\u5927\u6216\u7d22\u5f15 l, r \u8d8a\u754c\uff0c\u5219\u65e0\u9700\u7ee7\u7eed\u5806\u5316\uff0c\u8df3\u51fa\nif max == i {\nbreak\n}\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nh.swap(i, max)\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0b\u5806\u5316\ni = max\n}\n}\n\n\n\n\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u5806 */\nfunc poll() -> Int {\n// \u5224\u7a7a\u5904\u7406\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u5806\u4e3a\u7a7a\")\n}\n// \u4ea4\u6362\u6839\u7ed3\u70b9\u4e0e\u6700\u53f3\u53f6\u7ed3\u70b9\uff08\u5373\u4ea4\u6362\u9996\u5143\u7d20\u4e0e\u5c3e\u5143\u7d20\uff09\nswap(i: 0, j: size() - 1)\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9\nlet val = maxHeap.remove(at: size() - 1)\n// \u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\nsiftDown(i: 0)\n// \u8fd4\u56de\u5806\u9876\u5143\u7d20\nreturn val\n}\n/* \u4ece\u7ed3\u70b9 i \u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316 */\nfunc siftDown(i: Int) {\nvar i = i\nwhile true {\n// \u5224\u65ad\u7ed3\u70b9 i, l, r \u4e2d\u503c\u6700\u5927\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8bb0\u4e3a ma\nlet l = left(i: i)\nlet r = right(i: i)\nvar ma = i\nif l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {\nma = l\n}\nif r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {\nma = r\n}\n// \u82e5\u7ed3\u70b9 i \u6700\u5927\u6216\u7d22\u5f15 l, r \u8d8a\u754c\uff0c\u5219\u65e0\u9700\u7ee7\u7eed\u5806\u5316\uff0c\u8df3\u51fa\nif ma == i {\nbreak\n}\n// \u4ea4\u6362\u4e24\u7ed3\u70b9\nswap(i: i, j: ma)\n// \u5faa\u73af\u5411\u4e0b\u5806\u5316\ni = ma\n}\n}\n\n\u5982\u679c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u76f4\u63a5\u8f93\u5165\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\u5e76\u5c06\u5176\u5efa\u5806\uff0c\u90a3\u4e48\u8be5\u600e\u4e48\u505a\u5462\uff1f\u6700\u76f4\u63a5\u5730\uff0c\u8003\u8651\u4f7f\u7528\u300c\u5143\u7d20\u5165\u5806\u300d\u65b9\u6cd5\uff0c\u5c06\u5217\u8868\u5143\u7d20\u4f9d\u6b21\u5165\u5806\u3002\u5143\u7d20\u5165\u5806\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u800c\u5e73\u5747\u957f\u5ea6\u4e3a \\(\\frac{n}{2}\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u8be5\u65b9\u6cd5\u7684\u603b\u4f53\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n \\log n)\\) \u3002
\u7136\u800c\uff0c\u5b58\u5728\u4e00\u79cd\u66f4\u52a0\u4f18\u96c5\u7684\u5efa\u5806\u65b9\u6cd5\u3002\u8bbe\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u6211\u4eec\u5148\u5c06\u5217\u8868\u6240\u6709\u5143\u7d20\u539f\u5c01\u4e0d\u52a8\u6dfb\u52a0\u8fdb\u5806\uff0c\u7136\u540e\u8fed\u4ee3\u5730\u5bf9\u5404\u4e2a\u7ed3\u70b9\u6267\u884c\u300c\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u5806\u5316\u300d\u3002\u5f53\u7136\uff0c\u65e0\u9700\u5bf9\u53f6\u7ed3\u70b9\u6267\u884c\u5806\u5316\uff0c\u56e0\u4e3a\u5176\u6ca1\u6709\u5b50\u7ed3\u70b9\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig my_heap.java/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u6839\u636e\u8f93\u5165\u5217\u8868\u5efa\u5806 */\npublic MaxHeap(List<Integer> nums) {\n// \u5c06\u5217\u8868\u5143\u7d20\u539f\u5c01\u4e0d\u52a8\u6dfb\u52a0\u8fdb\u5806\nmaxHeap = new ArrayList<>(nums);\n// \u5806\u5316\u9664\u53f6\u7ed3\u70b9\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\nfor (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {\nsiftDown(i);\n}\n}\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u6839\u636e\u8f93\u5165\u5217\u8868\u5efa\u5806 */\nMaxHeap(vector<int> nums) {\n// \u5c06\u5217\u8868\u5143\u7d20\u539f\u5c01\u4e0d\u52a8\u6dfb\u52a0\u8fdb\u5806\nmaxHeap = nums;\n// \u5806\u5316\u9664\u53f6\u7ed3\u70b9\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\nfor (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {\nshifDown(i);\n}\n}\n\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u6839\u636e\u5207\u7247\u5efa\u5806 */\nfunc newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {\n// \u5c06\u5217\u8868\u5143\u7d20\u539f\u5c01\u4e0d\u52a8\u6dfb\u52a0\u8fdb\u5806\nh := &maxHeap{data: nums}\n// \u5806\u5316\u9664\u53f6\u7ed3\u70b9\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\nfor i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {\nh.siftDown(i)\n}\nreturn h\n}\n\n\n\n\n/* \u6784\u9020\u51fd\u6570\uff0c\u6839\u636e\u8f93\u5165\u5217\u8868\u5efa\u5806 */\ninit(nums: [Int]) {\n// \u5c06\u5217\u8868\u5143\u7d20\u539f\u5c01\u4e0d\u52a8\u6dfb\u52a0\u8fdb\u5806\nmaxHeap = nums\n// \u5806\u5316\u9664\u53f6\u7ed3\u70b9\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\nfor i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {\nsiftDown(i: i)\n}\n}\n\n\u90a3\u4e48\uff0c\u7b2c\u4e8c\u79cd\u5efa\u5806\u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u65f6\u591a\u5c11\u5462\uff1f\u6211\u4eec\u6765\u505a\u4e00\u4e0b\u7b80\u5355\u63a8\u7b97\u3002
\u5c06\u4e0a\u8ff0\u4e24\u8005\u76f8\u4e58\uff0c\u53ef\u5f97\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n \\log n)\\) \u3002\u7136\u800c\uff0c\u8be5\u4f30\u7b97\u7ed3\u679c\u4ecd\u4e0d\u591f\u51c6\u786e\uff0c\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u6ca1\u6709\u8003\u8651\u5230 \u4e8c\u53c9\u6811\u5e95\u5c42\u7ed3\u70b9\u8fdc\u591a\u4e8e\u9876\u5c42\u7ed3\u70b9 \u7684\u6027\u8d28\u3002
\u4e0b\u9762\u6211\u4eec\u6765\u5c1d\u8bd5\u5c55\u5f00\u8ba1\u7b97\u3002\u4e3a\u4e86\u51cf\u5c0f\u8ba1\u7b97\u96be\u5ea6\uff0c\u6211\u4eec\u5047\u8bbe\u6811\u662f\u4e00\u4e2a\u300c\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\uff0c\u8be5\u5047\u8bbe\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u7684\u6b63\u786e\u6027\u3002\u8bbe\u4e8c\u53c9\u6811\uff08\u5373\u5806\uff09\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u6811\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(h\\) \u3002\u4e0a\u6587\u63d0\u5230\uff0c\u7ed3\u70b9\u5806\u5316\u6700\u5927\u8fed\u4ee3\u6b21\u6570\u7b49\u4e8e\u8be5\u7ed3\u70b9\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u800c\u8fd9\u6b63\u662f\u201c\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u201d\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u5404\u5c42\u7684\u201c\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf \\(\\times\\) \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u201d\u6c42\u548c\uff0c\u5373\u53ef\u5f97\u5230\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\u7684\u5806\u5316\u7684\u8fed\u4ee3\u6b21\u6570\u603b\u548c\u3002
\\[ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \\cdots + 2^{(h-1)}\\times1 \\]\u5316\u7b80\u4e0a\u5f0f\u9700\u8981\u501f\u52a9\u4e2d\u5b66\u7684\u6570\u5217\u77e5\u8bc6\uff0c\u5148\u5bf9 \\(T(h)\\) \u4e58\u4ee5 \\(2\\) \uff0c\u6613\u5f97
\\[ \\begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \\cdots + 2^{h-1}\\times1 \\newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \\cdots + 2^{h}\\times1 \\newline \\end{aligned} \\]\u4f7f\u7528\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5\uff0c\u4ee4\u4e0b\u5f0f \\(2 T(h)\\) \u51cf\u53bb\u4e0a\u5f0f \\(T(h)\\) \uff0c\u53ef\u5f97
\\[ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \\cdots + 2^{h-1} + 2^h \\]\u89c2\u5bdf\u4e0a\u5f0f\uff0c\\(T(h)\\) \u662f\u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u53ef\u76f4\u63a5\u4f7f\u7528\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff0c\u5f97\u5230\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a
\\[ \\begin{aligned} T(h) & = 2 \\frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \\newline & = 2^{h+1} - h \\newline & = O(2^h) \\end{aligned} \\]\u8fdb\u4e00\u6b65\u5730\uff0c\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(h\\) \u7684\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf\u4e3a \\(n = 2^{h+1} - 1\\) \uff0c\u6613\u5f97\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(2^h) = O(n)\\)\u3002\u4ee5\u4e0a\u63a8\u7b97\u8868\u660e\uff0c\u8f93\u5165\u5217\u8868\u5e76\u5efa\u5806\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u975e\u5e38\u9ad8\u6548\u3002
"},{"location":"chapter_heap/heap/#814","title":"8.1.4. \u5806\u5e38\u89c1\u5e94\u7528","text":"\u542c\u5230\u201c\u7b97\u6cd5\u201d\u8fd9\u4e2a\u8bcd\uff0c\u6211\u4eec\u4e00\u822c\u4f1a\u8054\u60f3\u5230\u6570\u5b66\u3002\u4f46\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5927\u591a\u6570\u7b97\u6cd5\u5e76\u4e0d\u5305\u542b\u590d\u6742\u7684\u6570\u5b66\uff0c\u800c\u66f4\u50cf\u662f\u5728\u8003\u5bdf\u57fa\u672c\u903b\u8f91\uff0c\u800c\u8fd9\u4e9b\u903b\u8f91\u5728\u6211\u4eec\u65e5\u5e38\u751f\u6d3b\u4e2d\u5904\u5904\u53ef\u89c1\u3002
\u5728\u6b63\u5f0f\u4ecb\u7ecd\u7b97\u6cd5\u4e4b\u524d\uff0c\u6211\u60f3\u544a\u8bc9\u4f60\u4e00\u4ef6\u6709\u8da3\u7684\u4e8b\uff1a\u5176\u5b9e\uff0c\u4f60\u5728\u8fc7\u53bb\u5df2\u7ecf\u5b66\u4f1a\u4e86\u5f88\u591a\u7b97\u6cd5\uff0c\u5e76\u4e14\u5df2\u7ecf\u4e60\u60ef\u5c06\u5b83\u4eec\u5e94\u7528\u5230\u65e5\u5e38\u751f\u6d3b\u4e2d\u3002\u63a5\u4e0b\u6765\uff0c\u6211\u5c06\u4ecb\u7ecd\u4e24\u4e2a\u5177\u4f53\u4f8b\u5b50\u6765\u4f50\u8bc1\u3002
\u4f8b\u4e00\uff1a\u62fc\u79ef\u6728\u3002\u4e00\u5957\u79ef\u6728\uff0c\u9664\u4e86\u6709\u8bb8\u591a\u90e8\u4ef6\u4e4b\u5916\uff0c\u8fd8\u4f1a\u9644\u9001\u8be6\u7ec6\u7684\u62fc\u88c5\u8bf4\u660e\u4e66\u3002\u6211\u4eec\u6309\u7167\u8bf4\u660e\u4e66\u4e0a\u4e00\u6b65\u6b65\u64cd\u4f5c\uff0c\u5373\u53ef\u62fc\u51fa\u590d\u6742\u7684\u79ef\u6728\u6a21\u578b\u3002
\u5982\u679c\u4ece\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u7684\u89d2\u5ea6\u770b\uff0c\u5927\u5927\u5c0f\u5c0f\u7684\u300c\u79ef\u6728\u300d\u5c31\u662f\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u800c\u300c\u62fc\u88c5\u8bf4\u660e\u4e66\u300d\u4e0a\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u6b65\u9aa4\u5c31\u662f\u7b97\u6cd5\u3002
\u4f8b\u4e8c\uff1a\u67e5\u5b57\u5178\u3002\u5728\u5b57\u5178\u4e2d\uff0c\u6bcf\u4e2a\u6c49\u5b57\u90fd\u6709\u4e00\u4e2a\u5bf9\u5e94\u7684\u62fc\u97f3\uff0c\u800c\u5b57\u5178\u662f\u6309\u7167\u62fc\u97f3\u7684\u82f1\u6587\u5b57\u6bcd\u8868\u987a\u5e8f\u6392\u5217\u7684\u3002\u5047\u8bbe\u9700\u8981\u5728\u5b57\u5178\u4e2d\u67e5\u8be2\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a\u62fc\u97f3\u9996\u5b57\u6bcd\u4e3a \\(r\\) \u7684\u5b57\uff0c\u4e00\u822c\u6211\u4eec\u4f1a\u8fd9\u6837\u505a\uff1a
\u67e5\u5b57\u5178\u8fd9\u4e2a\u5c0f\u5b66\u751f\u7684\u6807\u914d\u6280\u80fd\uff0c\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u5927\u540d\u9f0e\u9f0e\u7684\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u3002\u4ece\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u89d2\u5ea6\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u5b57\u5178\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u4e2a\u5df2\u6392\u5e8f\u7684\u300c\u6570\u7ec4\u300d\uff1b\u800c\u4ece\u7b97\u6cd5\u89d2\u5ea6\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u5c06\u4e0a\u8ff0\u67e5\u5b57\u5178\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u6307\u4ee4\u770b\u4f5c\u662f\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u7b97\u6cd5\u3002
\u5c0f\u5230\u70f9\u996a\u4e00\u9053\u83dc\u3001\u5927\u5230\u661f\u9645\u822a\u884c\uff0c\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u95ee\u9898\u7684\u89e3\u51b3\u90fd\u79bb\u4e0d\u5f00\u7b97\u6cd5\u3002\u8ba1\u7b97\u673a\u7684\u51fa\u73b0\uff0c\u4f7f\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7f16\u7a0b\u5c06\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u5b58\u50a8\u5728\u5185\u5b58\u4e2d\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7f16\u5199\u4ee3\u7801\u6765\u8c03\u7528 CPU, GPU \u6267\u884c\u7b97\u6cd5\uff0c\u4ece\u800c\u5c06\u751f\u6d3b\u4e2d\u7684\u95ee\u9898\u642c\u8fd0\u5230\u8ba1\u7b97\u673a\u4e2d\uff0c\u66f4\u52a0\u9ad8\u6548\u5730\u89e3\u51b3\u5404\u5f0f\u5404\u6837\u7684\u590d\u6742\u95ee\u9898\u3002
Tip
\u8bfb\u5230\u8fd9\u91cc\uff0c\u5982\u679c\u4f60\u611f\u5230\u5bf9\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3001\u7b97\u6cd5\u3001\u6570\u7ec4\u3001\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u7b49\u6b64\u7c7b\u6982\u5ff5\u4e00\u77e5\u534a\u89e3\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u592a\u597d\u4e86\uff01\u56e0\u4e3a\u8fd9\u6b63\u662f\u672c\u4e66\u5b58\u5728\u7684\u4ef7\u503c\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\uff0c\u672c\u4e66\u5c06\u4f1a\u4e00\u6b65\u6b65\u5730\u5f15\u5bfc\u4f60\u8fdb\u5165\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u7684\u77e5\u8bc6\u6bbf\u5802\u3002
"},{"location":"chapter_introduction/what_is_dsa/","title":"1.2. \u7b97\u6cd5\u662f\u4ec0\u4e48","text":""},{"location":"chapter_introduction/what_is_dsa/#121","title":"1.2.1. \u7b97\u6cd5\u5b9a\u4e49","text":"\u300c\u7b97\u6cd5 Algorithm\u300d\u662f\u5728\u6709\u9650\u65f6\u95f4\u5185\u89e3\u51b3\u7279\u5b9a\u95ee\u9898\u7684\u4e00\u7ec4\u6307\u4ee4\u6216\u64cd\u4f5c\u6b65\u9aa4\u3002\u7b97\u6cd5\u5177\u6709\u4ee5\u4e0b\u7279\u6027\uff1a
\u300c\u6570\u636e\u7ed3\u6784 Data Structure\u300d\u662f\u5728\u8ba1\u7b97\u673a\u4e2d\u7ec4\u7ec7\u4e0e\u5b58\u50a8\u6570\u636e\u7684\u65b9\u5f0f\u3002\u4e3a\u4e86\u63d0\u9ad8\u6570\u636e\u5b58\u50a8\u548c\u64cd\u4f5c\u6027\u80fd\uff0c\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u8bbe\u8ba1\u539f\u5219\u6709\uff1a
\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u8bbe\u8ba1\u662f\u4e00\u4e2a\u5145\u6ee1\u6743\u8861\u7684\u8fc7\u7a0b\uff0c\u8fd9\u610f\u5473\u7740\u5982\u679c\u83b7\u5f97\u67d0\u65b9\u9762\u7684\u4f18\u52bf\uff0c\u5219\u5f80\u5f80\u9700\u8981\u5728\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u505a\u51fa\u59a5\u534f\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u94fe\u8868\u76f8\u5bf9\u4e8e\u6570\u7ec4\uff0c\u6570\u636e\u6dfb\u52a0\u5220\u9664\u64cd\u4f5c\u66f4\u52a0\u65b9\u4fbf\uff0c\u4f46\u727a\u7272\u4e86\u6570\u636e\u7684\u8bbf\u95ee\u901f\u5ea6\uff1b\u56fe\u76f8\u5bf9\u4e8e\u94fe\u8868\uff0c\u63d0\u4f9b\u4e86\u66f4\u591a\u7684\u903b\u8f91\u4fe1\u606f\uff0c\u4f46\u9700\u8981\u5360\u7528\u66f4\u591a\u7684\u5185\u5b58\u7a7a\u95f4\u3002
"},{"location":"chapter_introduction/what_is_dsa/#123","title":"1.2.3. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u7684\u5173\u7cfb","text":"\u300c\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u300d\u4e0e\u300c\u7b97\u6cd5\u300d\u662f\u9ad8\u5ea6\u76f8\u5173\u3001\u7d27\u5bc6\u5d4c\u5408\u7684\uff0c\u4f53\u73b0\u5728\uff1a
Fig. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u7684\u5173\u7cfb
\u5982\u679c\u5c06\u300cLEGO \u4e50\u9ad8\u300d\u7c7b\u6bd4\u5230\u300c\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u300d\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u4e0b\u8868\u6240\u793a\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\u3002
\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5 LEGO \u4e50\u9ad8 \u8f93\u5165\u6570\u636e \u672a\u62fc\u88c5\u7684\u79ef\u6728 \u6570\u636e\u7ed3\u6784 \u79ef\u6728\u7ec4\u7ec7\u5f62\u5f0f\uff0c\u5305\u62ec\u5f62\u72b6\u3001\u5927\u5c0f\u3001\u8fde\u63a5\u65b9\u5f0f\u7b49 \u7b97\u6cd5 \u628a\u79ef\u6728\u62fc\u6210\u76ee\u6807\u5f62\u6001\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u64cd\u4f5c\u6b65\u9aa4 \u8f93\u51fa\u6570\u636e \u79ef\u6728\u6a21\u578b\u7ea6\u5b9a\u4fd7\u6210\u7684\u7b80\u79f0
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"},{"location":"chapter_preface/suggestions/#024","title":"0.2.4. \u7b97\u6cd5\u5b66\u4e60\u201c\u4e09\u6b65\u8d70\u201d","text":"\u7b2c\u4e00\u9636\u6bb5\uff0c\u7b97\u6cd5\u5165\u95e8\uff0c\u4e5f\u6b63\u662f\u672c\u4e66\u7684\u5b9a\u4f4d\u3002\u719f\u6089\u5404\u79cd\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u7279\u70b9\u3001\u7528\u6cd5\uff0c\u5b66\u4e60\u5404\u79cd\u7b97\u6cd5\u7684\u5de5\u4f5c\u539f\u7406\u3001\u7528\u9014\u3001\u6548\u7387\u7b49\u3002
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"},{"location":"chapter_reference/","title":"\u53c2\u8003\u6587\u732e","text":"[1] Thomas H. Cormen, et al. Introduction to Algorithms (3rd Edition).
[2] Aditya Bhargava. Grokking Algorithms: An Illustrated Guide for Programmers and Other Curious People (1st Edition).
[3] \u7a0b\u6770. \u5927\u8bdd\u6570\u636e\u7ed3\u6784.
[4] \u738b\u4e89. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u4e4b\u7f8e.
[5] \u4e25\u851a\u654f. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff08 C \u8bed\u8a00\u7248\uff09.
[6] \u9093\u4fca\u8f89. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff08 C++ \u8bed\u8a00\u7248\uff0c\u7b2c\u4e09\u7248\uff09.
[7] \u9a6c\u514b\u00b7\u827e\u4f26\u00b7\u7ef4\u65af\u8457\uff0c\u9648\u8d8a\u8bd1. \u6570\u636e\u7ed3\u6784\u4e0e\u7b97\u6cd5\u5206\u6790\uff1aJava\u8bed\u8a00\u63cf\u8ff0\uff08\u7b2c\u4e09\u7248\uff09.
[8] Gayle Laakmann McDowell. Cracking the Coding Interview: 189 Programming Questions and Solutions (6th Edition).
"},{"location":"chapter_searching/binary_search/","title":"10.2. \u4e8c\u5206\u67e5\u627e","text":"\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e Binary Search\u300d\u5229\u7528\u6570\u636e\u7684\u6709\u5e8f\u6027\uff0c\u901a\u8fc7\u6bcf\u8f6e\u7f29\u5c0f\u4e00\u534a\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u6765\u67e5\u627e\u76ee\u6807\u5143\u7d20\u3002
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JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_search.java/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nint binarySearch(int[] nums, int target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nint i = 0, j = nums.length - 1;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i <= j) {\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nint binarySearch(vector<int>& nums, int target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nint i = 0, j = nums.size() - 1;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i <= j) {\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 \"\"\"\ndef binary_search(nums, target):\n# \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\ni, j = 0, len(nums) - 1\nwhile i <= j:\nm = (i + j) // 2 # \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target: # \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1\nelif nums[m] > target: # \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1\nelse:\nreturn m # \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn -1 # \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nfunc binarySearch(nums []int, target int) int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\ni, j := 0, len(nums)-1\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nfor i <= j {\nm := (i + j) / 2 // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1\n} else if nums[m] > target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nfunction binarySearch(nums, target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nlet i = 0, j = nums.length - 1;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i <= j) {\nlet m = parseInt((i + j) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m \uff0c\u5728 JS \u4e2d\u9700\u4f7f\u7528 parseInt \u51fd\u6570\u53d6\u6574\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1;\nelse\nreturn m; // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nconst binarySearch = function (nums: number[], target: number): number {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nlet i = 0, j = nums.length - 1;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i <= j) {\nconst m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1;\n} else if (nums[m] > target) { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1;\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n}\nreturn -1; // \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\n}\n\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nint binarySearch(int[] nums, int target)\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nint i = 0, j = nums.Length - 1;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i <= j)\n{\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u53cc\u95ed\u533a\u95f4\uff09 */\nfunc binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u95ed\u533a\u95f4 [0, n-1] \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20\nvar i = 0\nvar j = nums.count - 1\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i > j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile i <= j {\nlet m = (i + j) / 2 // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j] \u4e2d\ni = m + 1\n} else if nums[m] > target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m-1] \u4e2d\nj = m - 1\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n\n\u5f53\u7136\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u201c\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\u201d\u7684\u8868\u793a\u65b9\u6cd5\uff0c\u5199\u51fa\u76f8\u540c\u529f\u80fd\u7684\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_search.java/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nint binarySearch1(int[] nums, int target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nint i = 0, j = nums.length;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i < j) {\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nint binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nint i = 0, j = nums.size();\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i < j) {\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 \"\"\"\ndef binary_search1(nums, target):\n# \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\ni, j = 0, len(nums)\n# \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile i < j:\nm = (i + j) // 2 # \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target: # \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1\nelif nums[m] > target: # \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m\nelse: # \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m\nreturn -1 # \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nfunc binarySearch1(nums []int, target int) int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\ni, j := 0, len(nums)\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nfor i < j {\nm := (i + j) / 2 // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1\n} else if nums[m] > target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nfunction binarySearch1(nums, target) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nlet i = 0, j = nums.length;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i < j) {\nlet m = parseInt((i + j) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m \uff0c\u5728 JS \u4e2d\u9700\u4f7f\u7528 parseInt \u51fd\u6570\u53d6\u6574\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nconst binarySearch1 = function (nums: number[], target: number): number {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nlet i = 0, j = nums.length;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i < j) {\nconst m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1;\n} else if (nums[m] > target) { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m;\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n}\nreturn -1; // \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\n}\n\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nint binarySearch1(int[] nums, int target)\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nint i = 0, j = nums.Length;\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile (i < j)\n{\nint m = (i + j) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif (nums[m] < target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1;\nelse if (nums[m] > target) // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m;\nelse // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff08\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00\uff09 */\nfunc binarySearch1(nums: [Int], target: Int) -> Int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5de6\u95ed\u53f3\u5f00 [0, n) \uff0c\u5373 i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u6570\u7ec4\u9996\u5143\u7d20\u3001\u5c3e\u5143\u7d20+1\nvar i = 0\nvar j = nums.count\n// \u5faa\u73af\uff0c\u5f53\u641c\u7d22\u533a\u95f4\u4e3a\u7a7a\u65f6\u8df3\u51fa\uff08\u5f53 i = j \u65f6\u4e3a\u7a7a\uff09\nwhile i < j {\nlet m = (i + j) / 2 // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7d22\u5f15 m\nif nums[m] < target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [m+1, j) \u4e2d\ni = m + 1\n} else if nums[m] > target { // \u6b64\u60c5\u51b5\u8bf4\u660e target \u5728\u533a\u95f4 [i, m) \u4e2d\nj = m\n} else { // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn m\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n\n\u5bf9\u6bd4\u4e0b\u6765\uff0c\u4e24\u79cd\u8868\u793a\u7684\u4ee3\u7801\u5199\u6cd5\u6709\u4ee5\u4e0b\u4e0d\u540c\u70b9\uff1a
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"},{"location":"chapter_searching/binary_search/#_4","title":"\u5927\u6570\u8d8a\u754c\u5904\u7406","text":"\u5f53\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u52a0\u6cd5 \\(i + j\\) \u7684\u7ed3\u679c\u6709\u53ef\u80fd\u4f1a\u8d85\u51fa int \u7c7b\u578b\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u3002\u5728\u6b64\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u6362\u4e00\u79cd\u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\u7684\u5199\u6cd5\u3002
// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nint m = (i + j) / 2;\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nint m = i + (j - i) / 2;\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nint m = (i + j) / 2;\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nint m = i + (j - i) / 2;\n# Python \u4e2d\u7684\u6570\u5b57\u7406\u8bba\u4e0a\u53ef\u4ee5\u65e0\u9650\u5927\uff08\u53d6\u51b3\u4e8e\u5185\u5b58\u5927\u5c0f\uff09\n# \u56e0\u6b64\u65e0\u9700\u8003\u8651\u5927\u6570\u8d8a\u754c\u95ee\u9898\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nm := (i + j) / 2\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nm := i + (j - i) / 2\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nlet m = parseInt((i + j) / 2);\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nlet m = parseInt(i + (j - i) / 2);\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa Number \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nlet m = Math.floor((i + j) / 2);\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nlet m = Math.floor(i + (j - i) / 2);\n\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nint m = (i + j) / 2;\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nint m = i + (j - i) / 2;\n// (i + j) \u6709\u53ef\u80fd\u8d85\u51fa int \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\nlet m = (i + j) / 2\n// \u66f4\u6362\u4e3a\u6b64\u5199\u6cd5\u5219\u4e0d\u4f1a\u8d8a\u754c\nlet m = i + (j - 1) / 2\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(\\log n)\\) \uff1a\u5176\u4e2d \\(n\\) \u4e3a\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u957f\u5ea6\uff1b\u6bcf\u8f6e\u6392\u9664\u4e00\u534a\u7684\u533a\u95f4\uff0c\u56e0\u6b64\u5faa\u73af\u8f6e\u6570\u4e3a \\(\\log_2 n\\) \uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(\\log n)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff1a\u6307\u9488 i , j \u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u7a7a\u95f4\u3002
\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u6548\u7387\u5f88\u9ad8\uff0c\u4f53\u73b0\u5728\uff1a
\u4f46\u5e76\u4e0d\u610f\u5473\u7740\u6240\u6709\u60c5\u51b5\u4e0b\u90fd\u5e94\u4f7f\u7528\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\uff1a
Question
\u5728\u6570\u636e\u91cf\u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u300c\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u300d\u592a\u6162\uff1b\u800c\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u8981\u6c42\u6570\u636e\u5fc5\u987b\u662f\u6709\u5e8f\u7684\uff0c\u5e76\u4e14\u53ea\u80fd\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u5e94\u7528\u3002\u90a3\u4e48\u662f\u5426\u6709\u65b9\u6cd5\u53ef\u4ee5\u540c\u65f6\u907f\u514d\u4e0a\u8ff0\u7f3a\u70b9\u5462\uff1f\u7b54\u6848\u662f\u80af\u5b9a\u7684\uff0c\u6b64\u65b9\u6cd5\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\u300d\u3002
\u300c\u54c8\u5e0c\u67e5\u627e Hash Searching\u300d\u501f\u52a9\u4e00\u4e2a\u54c8\u5e0c\u8868\u6765\u5b58\u50a8\u9700\u8981\u7684\u300c\u952e\u503c\u5bf9 Key Value Pair\u300d\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5728 \\(O(1)\\) \u65f6\u95f4\u4e0b\u5b9e\u73b0\u201c\u952e \\(\\rightarrow\\) \u503c\u201d\u6620\u5c04\u67e5\u627e\uff0c\u4f53\u73b0\u7740\u201c\u4ee5\u7a7a\u95f4\u6362\u65f6\u95f4\u201d\u7684\u7b97\u6cd5\u601d\u60f3\u3002
"},{"location":"chapter_searching/hashing_search/#1031","title":"10.3.1. \u7b97\u6cd5\u5b9e\u73b0","text":"\u5982\u679c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u7ed9\u5b9a\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u4e00\u4e2a\u76ee\u6807\u5143\u7d20 target \uff0c\u83b7\u53d6\u8be5\u5143\u7d20\u7684\u7d22\u5f15\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u501f\u52a9\u4e00\u4e2a\u54c8\u5e0c\u8868\u5b9e\u73b0\u67e5\u627e\u3002
/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint hashingSearchArray(Map<Integer, Integer> map, int target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn map.getOrDefault(target, -1);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint hashingSearchArray(unordered_map<int, int> map, int target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nif (map.find(target) == map.end())\nreturn -1;\nreturn map[target];\n}\n\"\"\" \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 \"\"\"\ndef hashing_search_array(mapp, target):\n# \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n# \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn mapp.get(target, -1)\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc hashingSearchArray(m map[int]int, target int) int {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nif index, ok := m[target]; ok {\nreturn index\n} else {\nreturn -1\n}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunction hashingSearchArray(map, target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn map.has(target) ? map.get(target) : -1;\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunction hashingSearchArray(map: Map<number, number>, target: number): number {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn map.has(target) ? map.get(target) as number : -1;\n}\n\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint hashingSearchArray(Dictionary<int, int> map, int target)\n{\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn map.GetValueOrDefault(target, -1);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc hashingSearchArray(map: [Int: Int], target: Int) -> Int {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7d22\u5f15\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn map[target, default: -1]\n}\n\n\u518d\u6bd4\u5982\uff0c\u5982\u679c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u7ed9\u5b9a\u4e00\u4e2a\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c target \uff0c\u83b7\u53d6\u5bf9\u5e94\u7684\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\uff0c\u90a3\u4e48\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\u5b9e\u73b0\u3002
/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode hashingSearchLinkedList(Map<Integer, ListNode> map, int target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn map.getOrDefault(target, null);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode* hashingSearchLinkedList(unordered_map<int, ListNode*> map, int target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de nullptr\nif (map.find(target) == map.end())\nreturn nullptr;\nreturn map[target];\n}\n\"\"\" \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 \"\"\"\ndef hashing_search_linkedlist(mapp, target):\n# \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n# \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn mapp.get(target, -1)\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nfunc hashingSearchLinkedList(m map[int]*ListNode, target int) *ListNode {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de nil\nif node, ok := m[target]; ok {\nreturn node\n} else {\nreturn nil\n}\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nfunction hashingSearchLinkedList(map, target) {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn map.has(target) ? map.get(target) : null;\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nfunction hashingSearchLinkedList(map: Map<number, ListNode>, target: number): ListNode | null {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn map.has(target) ? map.get(target) as ListNode : null;\n}\n\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode? hashingSearchLinkedList(Dictionary<int, ListNode> map, int target)\n{\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn map.GetValueOrDefault(target);\n}\n/* \u54c8\u5e0c\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nfunc hashingSearchLinkedList(map: [Int: ListNode], target: Int) -> ListNode? {\n// \u54c8\u5e0c\u8868\u7684 key: \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c\uff0cvalue: \u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\n// \u82e5\u54c8\u5e0c\u8868\u4e2d\u65e0\u6b64 key \uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn map[target]\n}\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff1a\u54c8\u5e0c\u8868\u7684\u67e5\u627e\u64cd\u4f5c\u4f7f\u7528 \\(O(1)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \uff1a\u5176\u4e2d \\(n\\) \u4e3a\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u957f\u5ea6\u3002
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\u300c\u7ebf\u6027\u67e5\u627e Linear Search\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u6700\u57fa\u7840\u7684\u67e5\u627e\u65b9\u6cd5\uff0c\u5176\u4ece\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u4e00\u7aef\u5f00\u59cb\uff0c\u4f9d\u6b21\u8bbf\u95ee\u6bcf\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u5230\u53e6\u4e00\u7aef\u540e\u505c\u6b62\u3002
"},{"location":"chapter_searching/linear_search/#1011","title":"10.1.1. \u7b97\u6cd5\u5b9e\u73b0","text":"\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u5b9e\u8d28\u4e0a\u5c31\u662f\u904d\u5386\u6570\u636e\u7ed3\u6784 + \u5224\u65ad\u6761\u4ef6\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u5728\u6570\u7ec4 nums \u4e2d\u67e5\u627e\u76ee\u6807\u5143\u7d20 target \u7684\u5bf9\u5e94\u7d22\u5f15\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u8fdb\u884c\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u3002
/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint linearSearchArray(int[] nums, int target) {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint linearSearchArray(vector<int>& nums, int target) {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.size(); i++) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 \"\"\"\ndef linear_search_array(nums, target):\n# \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor i in range(len(nums)):\nif nums[i] == target: # \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nreturn i\nreturn -1 # \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc linearSearchArray(nums []int, target int) int {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor i := 0; i < len(nums); i++ {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif nums[i] == target {\nreturn i\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunction linearSearchArray(nums, target) {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif (nums[i] === target) {\nreturn i;\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1; }\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09*/\nfunction linearSearchArray(nums: number[], target: number): number {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (let i = 0; i < nums.length; i++) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif (nums[i] === target) {\nreturn i;\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nint linearSearchArray(int[] nums, int target)\n{\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor (int i = 0; i < nums.Length; i++)\n{\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif (nums[i] == target)\nreturn i;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u6570\u7ec4\uff09 */\nfunc linearSearchArray(nums: [Int], target: Int) -> Int {\n// \u904d\u5386\u6570\u7ec4\nfor i in nums.indices {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de\u5176\u7d22\u5f15\nif nums[i] == target {\nreturn i\n}\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de -1\nreturn -1\n}\n\n\u518d\u6bd4\u5982\uff0c\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u5728\u7ed9\u5b9a\u4e00\u4e2a\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c target \uff0c\u8fd4\u56de\u6b64\u7ed3\u70b9\u5bf9\u8c61\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5728\u94fe\u8868\u4e2d\u8fdb\u884c\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u3002
/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode linearSearchLinkedList(ListNode head, int target) {\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile (head != null) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif (head.val == target)\nreturn head;\nhead = head.next;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn null;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode* linearSearchLinkedList(ListNode* head, int target) {\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile (head != nullptr) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif (head->val == target)\nreturn head;\nhead = head->next;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de nullptr\nreturn nullptr;\n}\n\"\"\" \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 \"\"\"\ndef linear_search_linkedlist(head, target):\n# \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile head:\nif head.val == target: # \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nreturn head\nhead = head.next\nreturn None # \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de None\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09*/\nfunc linerSearchLinkedList(node *ListNode, target int) *ListNode {\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nfor node != nil {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif node.Val == target {\nreturn node\n}\nnode = node.Next\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u5143\u7d20\uff0c\u8fd4\u56de nil\nreturn nil\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09*/\nfunction linearSearchLinkedList(head, target) {\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile(head) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif(head.val === target) {\nreturn head;\n}\nhead = head.next;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn null;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09*/\nfunction linearSearchLinkedList(head: ListNode | null, target: number): ListNode | null {\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile (head) {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif (head.val === target) {\nreturn head;\n}\nhead = head.next;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn null;\n}\n\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nListNode? linearSearchLinkedList(ListNode head, int target)\n{\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile (head != null)\n{\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif (head.val == target)\nreturn head;\nhead = head.next;\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn null;\n}\n/* \u7ebf\u6027\u67e5\u627e\uff08\u94fe\u8868\uff09 */\nfunc linearSearchLinkedList(head: ListNode?, target: Int) -> ListNode? {\nvar head = head\n// \u904d\u5386\u94fe\u8868\nwhile head != nil {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de\u4e4b\nif head?.val == target {\nreturn head\n}\nhead = head?.next\n}\n// \u672a\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd4\u56de null\nreturn nil\n}\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \uff1a\u5176\u4e2d \\(n\\) \u4e3a\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u957f\u5ea6\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff1a\u65e0\u9700\u4f7f\u7528\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\u3002
"},{"location":"chapter_searching/linear_search/#1013","title":"10.1.3. \u4f18\u70b9\u4e0e\u7f3a\u70b9","text":"\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u7684\u901a\u7528\u6027\u6781\u4f73\u3002\u7531\u4e8e\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u662f\u4f9d\u6b21\u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\u7684\uff0c\u5373\u6ca1\u6709\u8df3\u8dc3\u8bbf\u95ee\u5143\u7d20\uff0c\u56e0\u6b64\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u7686\u9002\u7528\u3002
\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u592a\u9ad8\u3002\u5728\u6570\u636e\u91cf \\(n\\) \u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u67e5\u627e\u6548\u7387\u5f88\u4f4e\u3002
"},{"location":"chapter_searching/summary/","title":"10.4. \u5c0f\u7ed3","text":"Table. \u4e09\u79cd\u67e5\u627e\u65b9\u6cd5\u5bf9\u6bd4
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\u4e3a\u4ec0\u4e48\u53eb\u201c\u5192\u6ce1\u201d
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\u300c\u5192\u6ce1\u300d\u64cd\u4f5c\u5219\u662f\u5728\u6a21\u62df\u4e0a\u8ff0\u8fc7\u7a0b\uff0c\u5177\u4f53\u505a\u6cd5\u4e3a\uff1a\u4ece\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\u5f00\u59cb\u5411\u53f3\u904d\u5386\uff0c\u4f9d\u6b21\u5bf9\u6bd4\u76f8\u90bb\u5143\u7d20\u5927\u5c0f\uff0c\u82e5 \u5de6\u5143\u7d20 > \u53f3\u5143\u7d20 \u5219\u5c06\u5b83\u4fe9\u4ea4\u6362\uff0c\u6700\u7ec8\u53ef\u5c06\u6700\u5927\u5143\u7d20\u79fb\u52a8\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u53f3\u7aef\u3002
\u5b8c\u6210\u6b64\u6b21\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\u540e\uff0c\u6570\u7ec4\u6700\u5927\u5143\u7d20\u5df2\u5728\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u53ea\u9700\u6392\u5e8f\u5269\u4f59 \\(n - 1\\) \u4e2a\u5143\u7d20\u3002
Step 1Step 2Step 3Step 4Step 5Step 6Step 7Fig. \u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c
"},{"location":"chapter_sorting/bubble_sort/#1121","title":"11.2.1. \u7b97\u6cd5\u6d41\u7a0b","text":"Fig. \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\u6d41\u7a0b
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig bubble_sort.java/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nvoid bubbleSort(int[] nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nvoid bubbleSort(vector<int>& nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\n// \u8fd9\u91cc\u4f7f\u7528\u4e86 std::swap() \u51fd\u6570\nswap(nums[j], nums[j + 1]);\n}\n}\n}\n}\n\"\"\" \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f \"\"\"\ndef bubble_sort(nums):\nn = len(nums)\n# \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in range(n - 1, 0, -1):\n# \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j in range(i):\nif nums[j] > nums[j + 1]:\n# \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nnums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nfunc bubbleSort(nums []int) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j := 0; j < i; j++ {\nif nums[j] > nums[j+1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nnums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nfunction bubbleSort(nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nfunction bubbleSort(nums: number[]): void {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nvoid bubbleSort(int nums[], int size) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = 0; i < size - 1; i++)\n{\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < size - 1 - i; j++)\n{\nif (nums[j] > nums[j + 1])\n{\nint temp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = temp;\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nvoid bubbleSort(int[] nums)\n{\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)\n{\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++)\n{\nif (nums[j] > nums[j + 1])\n{\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\n}\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nfunc bubbleSort(nums: inout [Int]) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j in stride(from: 0, to: i, by: 1) {\nif nums[j] > nums[j + 1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j]\nnums[j] = nums[j + 1]\nnums[j + 1] = tmp\n}\n}\n}\n}\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n^2)\\) \uff1a\u5404\u8f6e\u300c\u5192\u6ce1\u300d\u904d\u5386\u7684\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a \\(n - 1\\) , \\(n - 2\\) , \\(\\cdots\\) , \\(2\\) , \\(1\\) \u6b21\uff0c\u6c42\u548c\u4e3a \\(\\frac{(n - 1) n}{2}\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u4f7f\u7528 \\(O(n^2)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff1a\u6307\u9488 \\(i\\) , \\(j\\) \u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u7684\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\u3002
\u539f\u5730\u6392\u5e8f\uff1a\u6307\u9488\u53d8\u91cf\u4ec5\u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\u3002
\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\uff1a\u4e0d\u4ea4\u6362\u76f8\u7b49\u5143\u7d20\u3002
\u81ea\u9002\u5e94\u6392\u5e8f\uff1a\u5f15\u5165 flag \u4f18\u5316\u540e\uff08\u89c1\u4e0b\u6587\uff09\uff0c\u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(N)\\) \u3002
\u6211\u4eec\u53d1\u73b0\uff0c\u82e5\u5728\u67d0\u8f6e\u300c\u5192\u6ce1\u300d\u4e2d\u672a\u6267\u884c\u4efb\u4f55\u4ea4\u6362\u64cd\u4f5c\uff0c\u5219\u8bf4\u660e\u6570\u7ec4\u5df2\u7ecf\u5b8c\u6210\u6392\u5e8f\uff0c\u53ef\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\u7ed3\u679c\u3002\u8003\u8651\u53ef\u4ee5\u589e\u52a0\u4e00\u4e2a\u6807\u5fd7\u4f4d flag \u6765\u76d1\u542c\u8be5\u60c5\u51b5\uff0c\u82e5\u51fa\u73b0\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\u3002
\u4f18\u5316\u540e\uff0c\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\u7684\u6700\u5dee\u548c\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4ecd\u4e3a \\(O(n^2)\\) \uff1b\u800c\u5728\u8f93\u5165\u6570\u7ec4 \u5df2\u6392\u5e8f \u65f6\uff0c\u8fbe\u5230 \u6700\u4f73\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig bubble_sort.java/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nvoid bubbleSortWithFlag(int[] nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\nboolean flag = false; // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\nflag = true; // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif (!flag) break; // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nvoid bubbleSortWithFlag(vector<int>& nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {\nbool flag = false; // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\n// \u8fd9\u91cc\u4f7f\u7528\u4e86 std::swap() \u51fd\u6570\nswap(nums[j], nums[j + 1]);\nflag = true; // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif (!flag) break; // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n}\n}\n\"\"\" \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09 \"\"\"\ndef bubble_sort_with_flag(nums):\nn = len(nums)\n# \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in range(n - 1, 0, -1):\nflag = False # \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n# \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j in range(i):\nif nums[j] > nums[j + 1]:\n# \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nnums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]\nflag = True # \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\nif not flag:\nbreak # \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nfunc bubbleSortWithFlag(nums []int) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {\nflag := false // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor j := 0; j < i; j++ {\nif nums[j] > nums[j+1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nnums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]\nflag = true // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif flag == false { // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\nbreak\n}\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nfunction bubbleSortWithFlag(nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\nlet flag = false; // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\nflag = true; // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif (!flag) break; // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nfunction bubbleSortWithFlag(nums: number[]): void {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {\nlet flag = false; // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (let j = 0; j < i; j++) {\nif (nums[j] > nums[j + 1]) {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\nflag = true; // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif (!flag) break; // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f */\nvoid bubbleSortWithFlag(int nums[], int size) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = 0; i < size - 1; i++)\n{\nbool flag = false;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < size - 1 - i; j++)\n{\nif (nums[j] > nums[j + 1])\n{\nint temp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = temp;\nflag = true;\n}\n}\nif(!flag) break;\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nvoid bubbleSortWithFlag(int[] nums)\n{\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)\n{\nbool flag = false; // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\nfor (int j = 0; j < i; j++)\n{\nif (nums[j] > nums[j + 1])\n{\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nint tmp = nums[j];\nnums[j] = nums[j + 1];\nnums[j + 1] = tmp;\nflag = true; // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif (!flag) break; // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\n}\n}\n/* \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\uff08\u6807\u5fd7\u4f18\u5316\uff09*/\nfunc bubbleSortWithFlag(nums: inout [Int]) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {\nvar flag = false // \u521d\u59cb\u5316\u6807\u5fd7\u4f4d\nfor j in stride(from: 0, to: i, by: 1) {\nif nums[j] > nums[j + 1] {\n// \u4ea4\u6362 nums[j] \u4e0e nums[j + 1]\nlet tmp = nums[j]\nnums[j] = nums[j + 1]\nnums[j + 1] = tmp\nflag = true // \u8bb0\u5f55\u4ea4\u6362\u5143\u7d20\n}\n}\nif !flag { // \u6b64\u8f6e\u5192\u6ce1\u672a\u4ea4\u6362\u4efb\u4f55\u5143\u7d20\uff0c\u76f4\u63a5\u8df3\u51fa\nbreak\n}\n}\n}\n\n\u300c\u63d2\u5165\u6392\u5e8f Insertion Sort\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u57fa\u4e8e \u6570\u7ec4\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c \u7684\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u3002
\u300c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u300d\u539f\u7406\uff1a\u9009\u5b9a\u67d0\u4e2a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570 base\uff0c\u5c06 base \u4e0e\u5176\u5de6\u4fa7\u5df2\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u5143\u7d20\u4f9d\u6b21\u5bf9\u6bd4\u5927\u5c0f\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\u3002
\u56de\u5fc6\u6570\u7ec4\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u5c06\u4ece\u76ee\u6807\u7d22\u5f15\u5230 base \u4e4b\u95f4\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u7136\u540e\u518d\u5c06 base \u8d4b\u503c\u7ed9\u76ee\u6807\u7d22\u5f15\u3002
Fig. \u63d2\u5165\u64cd\u4f5c
"},{"location":"chapter_sorting/insertion_sort/#1131","title":"11.3.1. \u7b97\u6cd5\u6d41\u7a0b","text":"base \uff0c\u6267\u884c\u300c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u300d\u540e\uff0c\u6570\u7ec4\u524d 2 \u4e2a\u5143\u7d20\u5df2\u5b8c\u6210\u6392\u5e8f\u3002base \uff0c\u6267\u884c\u300c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u300d\u540e\uff0c\u6570\u7ec4\u524d 3 \u4e2a\u5143\u7d20\u5df2\u5b8c\u6210\u6392\u5e8f\u3002base \uff0c\u6267\u884c\u300c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u300d\u540e\uff0c\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5df2\u5b8c\u6210\u6392\u5e8f\u3002Fig. \u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u6d41\u7a0b
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig insertion_sort.java/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nvoid insertionSort(int[] nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (int i = 1; i < nums.length; i++) {\nint base = nums[i], j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > base) {\nnums[j + 1] = nums[j]; // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--;\n}\nnums[j + 1] = base; // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nvoid insertionSort(vector<int>& nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (int i = 1; i < nums.size(); i++) {\nint base = nums[i], j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > base) {\nnums[j + 1] = nums[j]; // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--;\n}\nnums[j + 1] = base; // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n\"\"\" \u63d2\u5165\u6392\u5e8f \"\"\"\ndef insertion_sort(nums):\n# \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor i in range(1, len(nums)):\nbase = nums[i]\nj = i - 1\n# \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile j >= 0 and nums[j] > base:\nnums[j + 1] = nums[j] # 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj -= 1\nnums[j + 1] = base # 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nfunc insertionSort(nums []int) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1a\u5f85\u6392\u5e8f\u5143\u7d20\u6570\u91cf\u4e3a n-1, n-2, ..., 1\nfor i := 1; i < len(nums); i++ {\nbase := nums[i]\nj := i - 1\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nfor j >= 0 && nums[j] > base {\nnums[j+1] = nums[j] // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--\n}\nnums[j+1] = base // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nfunction insertionSort(nums) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (let i = 1; i < nums.length; i++) {\nlet base = nums[i], j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > base) {\nnums[j + 1] = nums[j]; // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--;\n}\nnums[j + 1] = base; // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nfunction insertionSort(nums: number[]): void {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (let i = 1; i < nums.length; i++) {\nconst base = nums[i];\nlet j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > base) {\nnums[j + 1] = nums[j]; // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--;\n}\nnums[j + 1] = base; // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nvoid insertionSort(int nums[], int size) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (int i = 1; i < size; i++)\n{\nint base = nums[i], j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > base)\n{\n// 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nnums[j + 1] = nums[j]; j--;\n}\n// 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nnums[j + 1] = base; }\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nvoid insertionSort(int[] nums)\n{\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor (int i = 1; i < nums.Length; i++)\n{\nint bas = nums[i], j = i - 1;\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile (j >= 0 && nums[j] > bas)\n{\nnums[j + 1] = nums[j]; // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj--;\n}\nnums[j + 1] = bas; // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n/* \u63d2\u5165\u6392\u5e8f */\nfunc insertionSort(nums: inout [Int]) {\n// \u5916\u5faa\u73af\uff1abase = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]\nfor i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {\nlet base = nums[i]\nvar j = i - 1\n// \u5185\u5faa\u73af\uff1a\u5c06 base \u63d2\u5165\u5230\u5de6\u8fb9\u7684\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\nwhile j >= 0, nums[j] > base {\nnums[j + 1] = nums[j] // 1. \u5c06 nums[j] \u5411\u53f3\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\nj -= 1\n}\nnums[j + 1] = base // 2. \u5c06 base \u8d4b\u503c\u5230\u6b63\u786e\u4f4d\u7f6e\n}\n}\n\n\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n^2)\\) \uff1a\u6700\u5dee\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u5404\u8f6e\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u5faa\u73af \\(n - 1\\) , \\(n-2\\) , \\(\\cdots\\) , \\(2\\) , \\(1\\) \u6b21\uff0c\u6c42\u548c\u4e3a \\(\\frac{(n - 1) n}{2}\\) \uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(n^2)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(1)\\) \uff1a\u6307\u9488 \\(i\\) , \\(j\\) \u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u7684\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\u3002
\u539f\u5730\u6392\u5e8f\uff1a\u6307\u9488\u53d8\u91cf\u4ec5\u4f7f\u7528\u5e38\u6570\u5927\u5c0f\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\u3002
\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\uff1a\u4e0d\u4ea4\u6362\u76f8\u7b49\u5143\u7d20\u3002
\u81ea\u9002\u5e94\u6392\u5e8f\uff1a\u6700\u4f73\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \u3002
"},{"location":"chapter_sorting/insertion_sort/#1133-vs","title":"11.3.3. \u63d2\u5165\u6392\u5e8f vs \u5192\u6ce1\u6392\u5e8f","text":"Question
\u867d\u7136\u300c\u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u300d\u548c\u300c\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\u300d\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u7686\u4e3a \\(O(n^2)\\) \uff0c\u4f46\u5b9e\u9645\u8fd0\u884c\u901f\u5ea6\u5374\u6709\u5f88\u5927\u5dee\u522b\uff0c\u8fd9\u662f\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5462\uff1f
\u56de\u987e\u590d\u6742\u5ea6\u5206\u6790\uff0c\u4e24\u4e2a\u65b9\u6cd5\u7684\u5faa\u73af\u6b21\u6570\u90fd\u662f \\(\\frac{(n - 1) n}{2}\\) \u3002\u4f46\u4e0d\u540c\u7684\u662f\uff0c\u300c\u5192\u6ce1\u64cd\u4f5c\u300d\u662f\u5728\u505a \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\uff0c\u9700\u8981\u501f\u52a9\u4e00\u4e2a\u4e34\u65f6\u53d8\u91cf\u5b9e\u73b0\uff0c\u5171 3 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\uff1b\u800c\u300c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u300d\u662f\u5728\u505a \u8d4b\u503c\uff0c\u53ea\u9700 1 \u4e2a\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\uff1b\u56e0\u6b64\uff0c\u53ef\u4ee5\u7c97\u7565\u4f30\u8ba1\u51fa\u5192\u6ce1\u6392\u5e8f\u7684\u8ba1\u7b97\u5f00\u9500\u7ea6\u4e3a\u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u7684 3 \u500d\u3002
\u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u8fd0\u884c\u901f\u5ea6\u5feb\uff0c\u5e76\u4e14\u5177\u6709\u539f\u5730\u3001\u7a33\u5b9a\u3001\u81ea\u9002\u5e94\u7684\u4f18\u70b9\uff0c\u56e0\u6b64\u5f88\u53d7\u6b22\u8fce\u3002\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5305\u62ec Java \u5728\u5185\u7684\u8bb8\u591a\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u7684\u6392\u5e8f\u5e93\u51fd\u6570\u7684\u5b9e\u73b0\u90fd\u7528\u5230\u4e86\u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u3002\u5e93\u51fd\u6570\u7684\u5927\u81f4\u601d\u8def\uff1a
\u5728\u6570\u7ec4\u8f83\u77ed\u65f6\uff0c\u590d\u6742\u5ea6\u4e2d\u7684\u5e38\u6570\u9879\uff08\u5373\u6bcf\u8f6e\u4e2d\u7684\u5355\u5143\u64cd\u4f5c\u6570\u91cf\uff09\u5360\u4e3b\u5bfc\u4f5c\u7528\uff0c\u6b64\u65f6\u63d2\u5165\u6392\u5e8f\u8fd0\u884c\u5730\u66f4\u5feb\u3002\u8fd9\u4e2a\u73b0\u8c61\u4e0e\u300c\u7ebf\u6027\u67e5\u627e\u300d\u548c\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u7684\u60c5\u51b5\u7c7b\u4f3c\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/","title":"11.1. \u6392\u5e8f\u7b80\u4ecb","text":"\u300c\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5 Sorting Algorithm\u300d\u4f7f\u5f97\u5217\u8868\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u6309\u7167\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u7684\u987a\u5e8f\u6392\u5217\u3002
Fig. \u6392\u5e8f\u4e2d\u7684\u4e0d\u540c\u5143\u7d20\u7c7b\u578b\u548c\u5224\u65ad\u89c4\u5219
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/#1111","title":"11.1.1. \u8bc4\u4ef7\u7ef4\u5ea6","text":"\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u4e3b\u8981\u53ef\u6839\u636e \u7a33\u5b9a\u6027 \u3001\u5c31\u5730\u6027 \u3001\u81ea\u9002\u5e94\u6027 \u3001\u6bd4\u8f83\u7c7b \u6765\u5206\u7c7b\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/#_1","title":"\u7a33\u5b9a\u6027","text":"\u5047\u8bbe\u6211\u4eec\u6709\u4e00\u4e2a\u5b58\u50a8\u5b66\u751f\u4fe1\u606f\u7684\u8868\u683c\uff0c\u7b2c 1, 2 \u5217\u5206\u522b\u662f\u59d3\u540d\u548c\u5e74\u9f84\u3002\u90a3\u4e48\u5728\u4ee5\u4e0b\u793a\u4f8b\u4e2d\uff0c\u300c\u975e\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\u300d\u4f1a\u5bfc\u81f4\u8f93\u5165\u6570\u636e\u7684\u6709\u5e8f\u6027\u4e22\u5931\u3002\u56e0\u6b64\u300c\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\u300d\u662f\u5f88\u597d\u7684\u7279\u6027\uff0c\u5728\u591a\u7ea7\u6392\u5e8f\u4e2d\u662f\u5fc5\u987b\u7684\u3002
# \u8f93\u5165\u6570\u636e\u662f\u6309\u7167\u59d3\u540d\u6392\u5e8f\u597d\u7684\n# (name, age)\n('A', 19)\n('B', 18)\n('C', 21)\n('D', 19)\n('E', 23)\n# \u5047\u8bbe\u4f7f\u7528\u975e\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u6309\u5e74\u9f84\u6392\u5e8f\u5217\u8868\uff0c\n# \u7ed3\u679c\u4e2d ('D', 19) \u548c ('A', 19) \u7684\u76f8\u5bf9\u4f4d\u7f6e\u6539\u53d8\uff0c\n# \u8f93\u5165\u6570\u636e\u6309\u59d3\u540d\u6392\u5e8f\u7684\u6027\u8d28\u4e22\u5931\n('B', 18)\n('D', 19)\n('A', 19) ('C', 21)\n('E', 23)\n\u300c\u539f\u5730\u6392\u5e8f\u300d\u4e0d\u4f7f\u7528\u989d\u5916\u7a7a\u95f4\uff0c\u53ef\u4ee5\u8282\u7ea6\u5185\u5b58\uff1b\u5e76\u4e14\u4e00\u822c\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u7531\u4e8e\u6570\u636e\u64cd\u4f5c\u51cf\u5c11\uff0c\u539f\u5730\u6392\u5e8f\u7684\u8fd0\u884c\u6548\u7387\u4e5f\u66f4\u9ad8\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/#_3","title":"\u81ea\u9002\u5e94\u6027","text":"\u6211\u4eec\u5e0c\u671b \u6700\u5dee = \u5e73\u5747\uff0c\u5373\u4e0d\u5e0c\u671b\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u7684\u8fd0\u884c\u6548\u7387\u5728\u67d0\u4e9b\u8f93\u5165\u6570\u636e\u4e0b\u53d1\u751f\u52a3\u5316\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/#_4","title":"\u6bd4\u8f83\u7c7b","text":"\u300c\u6bd4\u8f83\u7c7b\u6392\u5e8f\u300d\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u6700\u4f18\u4e3a \\(O(n \\log n)\\) \uff1b\u800c\u300c\u975e\u6bd4\u8f83\u7c7b\u6392\u5e8f\u300d\u53ef\u4ee5\u8fbe\u5230 \\(O(n)\\) \u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\uff0c\u4f46\u901a\u7528\u6027\u8f83\u5dee\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/intro_to_sort/#1112","title":"11.1.2. \u7406\u60f3\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5","text":"\u7136\u800c\uff0c\u6ca1\u6709\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u540c\u65f6\u5177\u5907\u4ee5\u4e0a\u6240\u6709\u7279\u6027\u3002\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\u7684\u9009\u578b\u4f7f\u7528\u53d6\u51b3\u4e8e\u5177\u4f53\u7684\u5217\u8868\u7c7b\u578b\u3001\u5217\u8868\u957f\u5ea6\u3001\u5143\u7d20\u5206\u5e03\u7b49\u56e0\u7d20\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/merge_sort/","title":"11.5. \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f","text":"\u300c\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f Merge Sort\u300d\u662f\u7b97\u6cd5\u4e2d\u201c\u5206\u6cbb\u601d\u60f3\u201d\u7684\u5178\u578b\u4f53\u73b0\uff0c\u5176\u6709\u300c\u5212\u5206\u300d\u548c\u300c\u5408\u5e76\u300d\u4e24\u4e2a\u9636\u6bb5\uff1a
Fig. \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u4e24\u9636\u6bb5\uff1a\u5212\u5206\u4e0e\u5408\u5e76
"},{"location":"chapter_sorting/merge_sort/#1151","title":"11.5.1. \u7b97\u6cd5\u6d41\u7a0b","text":"\u300c\u9012\u5f52\u5212\u5206\u300d \u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u9012\u5f52\u5730 \u5c06\u6570\u7ec4\u4ece\u4e2d\u70b9\u5207\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\uff0c\u76f4\u81f3\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \uff1b
mid \uff0c\u9012\u5f52\u5212\u5206\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\uff08\u533a\u95f4 [left, mid] \uff09\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\uff08\u533a\u95f4 [mid + 1, right] \uff09\uff1b1. \u6b65\u9aa4\uff0c\u76f4\u81f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\uff0c\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\u5212\u5206\uff1b\u300c\u56de\u6eaf\u5408\u5e76\u300d \u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5730\u5c06\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5408\u5e76\u4e3a\u4e00\u4e2a \u6709\u5e8f\u6570\u7ec4 \uff1b
\u9700\u8981\u6ce8\u610f\uff0c\u7531\u4e8e\u4ece\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u7684\u5b50\u6570\u7ec4\u5f00\u59cb\u5408\u5e76\uff0c\u6240\u4ee5 \u6bcf\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u662f\u6709\u5e8f\u7684\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5408\u5e76\u4efb\u52a1\u672c\u8d28\u662f\u8981 \u5c06\u4e24\u4e2a\u6709\u5e8f\u5b50\u6570\u7ec4\u5408\u5e76\u4e3a\u4e00\u4e2a\u6709\u5e8f\u6570\u7ec4\u3002
Step1Step2Step3Step4Step5Step6Step7Step8Step9Step10\u89c2\u5bdf\u53d1\u73b0\uff0c\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u7684\u9012\u5f52\u987a\u5e8f\u5c31\u662f\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u300c\u540e\u5e8f\u904d\u5386\u300d\u3002
/**\n * \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n * \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n * \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n */\nvoid merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nint[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nint i = leftStart, j = rightStart; // \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor (int k = left; k <= right; k++) {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif (i > leftEnd)\nnums[k] = tmp[j++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\nelse if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])\nnums[k] = tmp[i++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nelse\nnums[k] = tmp[j++];\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nvoid mergeSort(int[] nums, int left, int right) {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif (left >= right) return; // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n// \u9012\u5f52\u5212\u5206\nint mid = (left + right) / 2; // \u8ba1\u7b97\u6570\u7ec4\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums, left, mid); // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums, mid + 1, right); // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u56de\u6eaf\u5408\u5e76\nmerge(nums, left, mid, right);\n}\n/**\n * \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n * \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n * \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n */\nvoid merge(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nvector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1); // \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nint i = leftStart, j = rightStart; // \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor (int k = left; k <= right; k++) {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif (i > leftEnd)\nnums[k] = tmp[j++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\nelse if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])\nnums[k] = tmp[i++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nelse\nnums[k] = tmp[j++];\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nvoid mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif (left >= right) return; // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nint mid = (left + right) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums, left, mid); // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums, mid + 1, right); // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right);\n}\n\"\"\" \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4 \"\"\"\n# \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n# \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\ndef merge(nums, left, mid, right):\n# \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4 \u501f\u52a9 copy\u6a21\u5757\ntmp = nums[left:right + 1]\n# \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nleft_start, left_end = left - left, mid - left\n# \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nright_start, right_end = mid + 1 - left, right - left\n# i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\ni, j = left_start, right_start\n# \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor k in range(left, right + 1):\n# \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif i > left_end:\nnums[k] = tmp[j]\nj += 1\n# \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\nelif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:\nnums[k] = tmp[i]\ni += 1\n# \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nelse:\nnums[k] = tmp[j]\nj += 1\n\"\"\" \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f \"\"\"\ndef merge_sort(nums, left, right):\n# \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif left >= right:\nreturn # \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n# \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nmid = (left + right) // 2 # \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmerge_sort(nums, left, mid) # \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmerge_sort(nums, mid + 1, right) # \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n# \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right)\n/*\n \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n*/\nfunc merge(nums []int, left, mid, right int) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4 \u501f\u52a9 copy \u6a21\u5757\ntmp := make([]int, right-left+1)\nfor i := left; i <= right; i++ {\ntmp[i-left] = nums[i]\n}\n// \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nleftStart, leftEnd := left-left, mid-left\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nrightStart, rightEnd := mid+1-left, right-left\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\ni, j := leftStart, rightStart\n// \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor k := left; k <= right; k++ {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif i > leftEnd {\nnums[k] = tmp[j]\nj++\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\n} else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {\nnums[k] = tmp[i]\ni++\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\n} else {\nnums[k] = tmp[j]\nj++\n}\n}\n}\nfunc mergeSort(nums []int, left, right int) {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif left >= right {\nreturn\n}\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nmid := (left + right) / 2\nmergeSort(nums, left, mid)\nmergeSort(nums, mid+1, right)\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right)\n}\n/**\n * \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n * \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n * \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n */\nfunction merge(nums, left, mid, right) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nlet tmp = nums.slice(left, right + 1); // \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nlet leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nlet rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nlet i = leftStart, j = rightStart; // \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor (let k = left; k <= right; k++) {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif (i > leftEnd) {\nnums[k] = tmp[j++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\n} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {\nnums[k] = tmp[i++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\n} else {\nnums[k] = tmp[j++];\n}\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nfunction mergeSort(nums, left, right) {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif (left >= right) return; // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nlet mid = Math.floor((left + right) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums, left, mid); // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums, mid + 1, right); // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right);\n}\n/**\n * \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n * \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n * \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n */\nfunction merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nlet tmp = nums.slice(left, right + 1);\n// \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nlet leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nlet rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nlet i = leftStart, j = rightStart;\n// \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor (let k = left; k <= right; k++) {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif (i > leftEnd) {\nnums[k] = tmp[j++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\n} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {\nnums[k] = tmp[i++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\n} else {\nnums[k] = tmp[j++];\n}\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nfunction mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif (left >= right) return; // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nlet mid = Math.floor((left + right) / 2); // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums, left, mid); // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums, mid + 1, right); // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right);\n}\n\n/**\n * \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n * \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n * \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n */\nvoid merge(int[] nums, int left, int mid, int right)\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nint[] tmp = nums[left..(right + 1)];\n// \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15 \nint rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nint i = leftStart, j = rightStart;\n// \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor (int k = left; k <= right; k++)\n{\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif (i > leftEnd)\nnums[k] = tmp[j++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\nelse if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])\nnums[k] = tmp[i++];\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nelse\nnums[k] = tmp[j++];\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nvoid mergeSort(int[] nums, int left, int right)\n{\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif (left >= right) return; // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nint mid = (left + right) / 2; // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums, left, mid); // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums, mid + 1, right); // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums, left, mid, right);\n}\n/**\n* \u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n* \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [left, mid]\n* \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u533a\u95f4 [mid + 1, right]\n*/\nfunc merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u8f85\u52a9\u6570\u7ec4\nlet tmp = Array(nums[left ..< (right + 1)])\n// \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nlet leftStart = left - left\nlet leftEnd = mid - left\n// \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u8d77\u59cb\u7d22\u5f15\u548c\u7ed3\u675f\u7d22\u5f15\nlet rightStart = mid + 1 - left\nlet rightEnd = right - left\n// i, j \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\nvar i = leftStart\nvar j = rightStart\n// \u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u6765\u5408\u5e76\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u548c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nfor k in left ... right {\n// \u82e5\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nif i > leftEnd {\nnums[k] = tmp[j]\nj += 1\n}\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u6216\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 <= \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 i++\nelse if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {\nnums[k] = tmp[i]\ni += 1\n}\n// \u5426\u5219\uff0c\u82e5\u201c\u5de6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u672a\u5168\u90e8\u5408\u5e76\u5b8c\u201d\u4e14\u201c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20 > \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u201d\uff0c\u5219\u9009\u53d6\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4e14 j++\nelse {\nnums[k] = tmp[j]\nj += 1\n}\n}\n}\n/* \u5f52\u5e76\u6392\u5e8f */\nfunc mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {\n// \u7ec8\u6b62\u6761\u4ef6\nif left >= right { // \u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nreturn\n}\n// \u5212\u5206\u9636\u6bb5\nlet mid = (left + right) / 2 // \u8ba1\u7b97\u4e2d\u70b9\nmergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nmergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // \u9012\u5f52\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\n// \u5408\u5e76\u9636\u6bb5\nmerge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)\n}\n\n\u4e0b\u9762\u91cd\u70b9\u89e3\u91ca\u4e00\u4e0b\u5408\u5e76\u65b9\u6cd5 merge() \u7684\u6d41\u7a0b\uff1a
tmp \u6682\u5b58\u5f85\u5408\u5e76\u533a\u95f4 [left, right] \u5185\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u540e\u7eed\u901a\u8fc7\u8986\u76d6\u539f\u6570\u7ec4 nums \u7684\u5143\u7d20\u6765\u5b9e\u73b0\u5408\u5e76\uff1bi , j , k \u5206\u522b\u6307\u5411\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u539f\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u5143\u7d20\uff1btmp[i] \u548c tmp[j] \u7684\u5927\u5c0f\uff0c\u5c06\u8f83\u5c0f\u7684\u5148\u8986\u76d6\u81f3 nums[k] \uff0c\u6307\u9488 i , j \u6839\u636e\u5224\u65ad\u7ed3\u679c\u4ea4\u66ff\u524d\u8fdb\uff08\u6307\u9488 k \u4e5f\u524d\u8fdb\uff09\uff0c\u76f4\u81f3\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u90fd\u904d\u5386\u5b8c\uff0c\u5373\u53ef\u5b8c\u6210\u5408\u5e76\u3002\u5408\u5e76\u65b9\u6cd5 merge() \u4ee3\u7801\u4e2d\u7684\u4e3b\u8981\u96be\u70b9\uff1a
nums \u7684\u5f85\u5408\u5e76\u533a\u95f4\u4e3a [left, right] \uff0c\u800c\u56e0\u4e3a tmp \u53ea\u590d\u5236\u4e86 nums \u8be5\u533a\u95f4\u5143\u7d20\uff0c\u6240\u4ee5 tmp \u5bf9\u5e94\u533a\u95f4\u4e3a [0, right - left] \uff0c\u9700\u8981\u7279\u522b\u6ce8\u610f\u4ee3\u7801\u4e2d\u5404\u4e2a\u53d8\u91cf\u7684\u542b\u4e49\u3002tmp[i] \u548c tmp[j] \u7684\u5927\u5c0f\u7684\u64cd\u4f5c\u4e2d\uff0c\u8fd8 \u9700\u8003\u8651\u5f53\u5b50\u6570\u7ec4\u904d\u5386\u5b8c\u6210\u540e\u7684\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u95ee\u9898\uff0c\u5373 i > leftEnd \u548c j > rightEnd \u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u7d22\u5f15\u8d8a\u754c\u7684\u4f18\u5148\u7ea7\u662f\u6700\u9ad8\u7684\uff0c\u4f8b\u5982\u5982\u679c\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u5df2\u7ecf\u88ab\u5408\u5e76\u5b8c\u4e86\uff0c\u90a3\u4e48\u4e0d\u7528\u7ee7\u7eed\u5224\u65ad\uff0c\u76f4\u63a5\u5408\u5e76\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u5143\u7d20\u5373\u53ef\u3002\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u6709\u4e00\u4e2a\u5f88\u7279\u522b\u7684\u4f18\u52bf\uff0c\u7528\u4e8e\u6392\u5e8f\u94fe\u8868\u65f6\u6709\u5f88\u597d\u7684\u6027\u80fd\u8868\u73b0\uff0c\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u53ef\u88ab\u4f18\u5316\u81f3 \\(O(1)\\) \uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\uff1a
tmp \uff1b\u8be6\u60c5\u53c2\u8003\uff1a148. \u6392\u5e8f\u94fe\u8868
"},{"location":"chapter_sorting/quick_sort/","title":"11.4. \u5feb\u901f\u6392\u5e8f","text":"\u300c\u5feb\u901f\u6392\u5e8f Quick Sort\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u57fa\u4e8e\u201c\u5206\u6cbb\u601d\u60f3\u201d\u7684\u6392\u5e8f\u7b97\u6cd5\uff0c\u901f\u5ea6\u5f88\u5feb\u3001\u5e94\u7528\u5f88\u5e7f\u3002
\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u7684\u6838\u5fc3\u64cd\u4f5c\u4e3a\u300c\u54e8\u5175\u5212\u5206\u300d\uff0c\u5176\u76ee\u6807\u4e3a\uff1a\u9009\u53d6\u6570\u7ec4\u67d0\u4e2a\u5143\u7d20\u4e3a \u57fa\u51c6\u6570\uff0c\u5c06\u6240\u6709\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\u79fb\u52a8\u81f3\u5176\u5de6\u8fb9\uff0c\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\u79fb\u52a8\u81f3\u5176\u53f3\u8fb9\u3002\u300c\u54e8\u5175\u5212\u5206\u300d\u7684\u5b9e\u73b0\u6d41\u7a0b\u4e3a\uff1a
i , j \u6307\u5411\u6570\u7ec4\u4e24\u7aef\uff1bi / j \u5206\u522b\u5bfb\u627e\u9996\u4e2a\u6bd4\u57fa\u51c6\u6570\u5927 / \u5c0f\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u5e76\u4ea4\u6362\u6b64\u4e24\u5143\u7d20\uff1b2. \uff0c\u76f4\u81f3 i , j \u76f8\u9047\u65f6\u8df3\u51fa\uff0c\u6700\u7ec8\u628a\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\uff1b\u300c\u54e8\u5175\u5212\u5206\u300d\u6267\u884c\u5b8c\u6bd5\u540e\uff0c\u539f\u6570\u7ec4\u88ab\u5212\u5206\u6210\u4e24\u4e2a\u90e8\u5206\uff0c\u5373 \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4 \u548c \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3 \u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u4efb\u610f\u5143\u7d20 < \u57fa\u51c6\u6570 < \u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u4efb\u610f\u5143\u7d20\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u8981\u6392\u5e8f\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u5373\u53ef\u3002
Step 1Step 2Step 3Step 4Step 5Step 6Step 7Step 8Step 9Fig. \u54e8\u5175\u5212\u5206
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig quick_sort.java/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nvoid swap(int[] nums, int i, int j) {\nint tmp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = tmp;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nint partition(int[] nums, int left, int right) {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nint i = left, j = right;\nwhile (i < j) {\nwhile (i < j && nums[j] >= nums[left])\nj--; // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nwhile (i < j && nums[i] <= nums[left])\ni++; // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nswap(nums, i, j); // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums, i, left); // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i; // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nvoid swap(vector<int>& nums, int i, int j) {\nint tmp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = tmp;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nint partition(vector<int>& nums, int left, int right) {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nint i = left, j = right;\nwhile (i < j) {\nwhile (i < j && nums[j] >= nums[left])\nj--; // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nwhile (i < j && nums[i] <= nums[left])\ni++; // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nswap(nums, i, j); // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums, i, left); // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i; // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n\"\"\" \u54e8\u5175\u5212\u5206 \"\"\"\ndef partition(self, nums, left, right):\n# \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\ni, j = left, right\nwhile i < j:\nwhile i < j and nums[j] >= nums[left]:\nj -= 1 # \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nwhile i < j and nums[i] <= nums[left]:\ni += 1 # \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n# \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\nnums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]\n# \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nnums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]\nreturn i # \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nfunc partition(nums []int, left, right int) int {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\ni, j := left, right\nfor i < j {\nfor i < j && nums[j] >= nums[left] {\nj-- // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\nfor i < j && nums[i] <= nums[left] {\ni++ // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\n//\u5143\u7d20\u4ea4\u6362\nnums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]\n}\n// \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nnums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]\nreturn i // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nfunction swap(nums, i, j) {\nlet tmp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = tmp;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nfunction partition(nums, left, right) {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nlet i = left, j = right;\nwhile (i < j) {\nwhile (i < j && nums[j] >= nums[left]) {\nj -= 1; // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\nwhile (i < j && nums[i] <= nums[left]) {\ni += 1; // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\n// \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\nswap(nums, i, j); // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums, i, left); // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i; // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nfunction swap(nums: number[], i: number, j: number): void {\nlet tmp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = tmp;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nfunction partition(nums: number[], left: number, right: number): number {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nlet i = left, j = right;\nwhile (i < j) {\nwhile (i < j && nums[j] >= nums[left]) {\nj -= 1; // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\nwhile (i < j && nums[i] <= nums[left]) {\ni += 1; // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\n// \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\nswap(nums, i, j); // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums, i, left); // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i; // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n\n/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nvoid swap(int[] nums, int i, int j)\n{\nint tmp = nums[i];\nnums[i] = nums[j];\nnums[j] = tmp;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nint partition(int[] nums, int left, int right)\n{\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nint i = left, j = right;\nwhile (i < j)\n{\nwhile (i < j && nums[j] >= nums[left])\nj--; // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nwhile (i < j && nums[i] <= nums[left])\ni++; // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nswap(nums, i, j); // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums, i, left); // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i; // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n/* \u5143\u7d20\u4ea4\u6362 */\nfunc swap(nums: inout [Int], i: Int, j: Int) {\nlet tmp = nums[i]\nnums[i] = nums[j]\nnums[j] = tmp\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206 */\nfunc partition(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) -> Int {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nvar i = left\nvar j = right\nwhile i < j {\nwhile i < j, nums[j] >= nums[left] {\nj -= 1 // \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\nwhile i < j, nums[i] <= nums[left] {\ni += 1 // \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n}\nswap(nums: &nums, i: i, j: j) // \u4ea4\u6362\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\n}\nswap(nums: &nums, i: i, j: left) // \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nreturn i // \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n}\n\n\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u7684\u5206\u6cbb\u601d\u60f3
\u54e8\u5175\u5212\u5206\u7684\u5b9e\u8d28\u662f\u5c06 \u4e00\u4e2a\u957f\u6570\u7ec4\u7684\u6392\u5e8f\u95ee\u9898 \u7b80\u5316\u4e3a \u4e24\u4e2a\u77ed\u6570\u7ec4\u7684\u6392\u5e8f\u95ee\u9898\u3002
"},{"location":"chapter_sorting/quick_sort/#1141","title":"11.4.1. \u7b97\u6cd5\u6d41\u7a0b","text":"\u89c2\u5bdf\u53d1\u73b0\uff0c\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u548c\u300c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u300d\u7684\u539f\u7406\u7c7b\u4f3c\uff0c\u90fd\u662f\u4ee5\u5bf9\u6570\u9636\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u6765\u7f29\u5c0f\u5904\u7406\u533a\u95f4\u3002
Fig. \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u6d41\u7a0b
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig quick_sort.java/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nvoid quickSort(int[] nums, int left, int right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif (left >= right)\nreturn;\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot - 1);\nquickSort(nums, pivot + 1, right);\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nvoid quickSort(vector<int>& nums, int left, int right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif (left >= right)\nreturn;\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot - 1);\nquickSort(nums, pivot + 1, right);\n}\n\"\"\" \u5feb\u901f\u6392\u5e8f \"\"\"\ndef quick_sort(self, nums, left, right):\n# \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif left >= right:\nreturn\n# \u54e8\u5175\u5212\u5206\npivot = self.partition(nums, left, right)\n# \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nself.quick_sort(nums, left, pivot - 1)\nself.quick_sort(nums, pivot + 1, right)\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nfunc quickSort(nums []int, left, right int) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif left >= right {\nreturn\n}\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\npivot := partition(nums, left, right)\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot-1)\nquickSort(nums, pivot+1, right)\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nfunction quickSort(nums, left, right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif (left >= right) return;\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nconst pivot = partition(nums, left, right);\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot - 1);\nquickSort(nums, pivot + 1, right);\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nfunction quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif (left >= right) {\nreturn;\n}\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nconst pivot = partition(nums, left, right);\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot - 1);\nquickSort(nums, pivot + 1, right);\n}\n\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nvoid quickSort(int[] nums, int left, int right)\n{\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif (left >= right)\nreturn;\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums, left, pivot - 1);\nquickSort(nums, pivot + 1, right);\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f */\nfunc quickSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\u9012\u5f52\nif left >= right {\nreturn\n}\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\nlet pivot = partition(nums: &nums, left: left, right: right)\n// \u9012\u5f52\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\u3001\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nquickSort(nums: &nums, left: left, right: pivot - 1)\nquickSort(nums: &nums, left: pivot + 1, right: right)\n}\n\n\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n \\log n)\\) \uff1a\u5e73\u5747\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u54e8\u5175\u5212\u5206\u7684\u9012\u5f52\u5c42\u6570\u4e3a \\(\\log n\\) \uff0c\u6bcf\u5c42\u4e2d\u7684\u603b\u5faa\u73af\u6570\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u603b\u4f53\u4f7f\u7528 \\(O(n \\log n)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u6700\u5dee\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n^2)\\) \uff1a\u6700\u5dee\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\u5c06\u957f\u5ea6\u4e3a \\(n\\) \u7684\u6570\u7ec4\u5212\u5206\u4e3a\u957f\u5ea6\u4e3a \\(0\\) \u548c \\(n - 1\\) \u7684\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\uff0c\u6b64\u65f6\u9012\u5f52\u5c42\u6570\u8fbe\u5230 \\(n\\) \u5c42\uff0c\u6bcf\u5c42\u4e2d\u7684\u5faa\u73af\u6570\u4e3a \\(n\\) \uff0c\u603b\u4f53\u4f7f\u7528 \\(O(n^2)\\) \u65f6\u95f4\u3002
\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 \\(O(n)\\) \uff1a\u8f93\u5165\u6570\u7ec4\u5b8c\u5168\u5012\u5e8f\u4e0b\uff0c\u8fbe\u5230\u6700\u5dee\u9012\u5f52\u6df1\u5ea6 \\(n\\) \u3002
\u539f\u5730\u6392\u5e8f\uff1a\u53ea\u5728\u9012\u5f52\u4e2d\u4f7f\u7528 \\(O(\\log n)\\) \u5927\u5c0f\u7684\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u3002
\u975e\u7a33\u5b9a\u6392\u5e8f\uff1a\u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\u53ef\u80fd\u6539\u53d8\u76f8\u7b49\u5143\u7d20\u7684\u76f8\u5bf9\u4f4d\u7f6e\u3002
\u81ea\u9002\u5e94\u6392\u5e8f\uff1a\u6700\u5dee\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u52a3\u5316\u81f3 \\(O(n^2)\\) \u3002
"},{"location":"chapter_sorting/quick_sort/#1143","title":"11.4.3. \u5feb\u6392\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5feb\uff1f","text":"\u4ece\u547d\u540d\u80fd\u591f\u770b\u51fa\uff0c\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u5728\u6548\u7387\u65b9\u9762\u4e00\u5b9a\u201c\u6709\u4e24\u628a\u5237\u5b50\u201d\u3002\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u7684\u5e73\u5747\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u867d\u7136\u4e0e\u300c\u5f52\u5e76\u6392\u5e8f\u300d\u548c\u300c\u5806\u6392\u5e8f\u300d\u4e00\u81f4\uff0c\u4f46\u5b9e\u9645 \u6548\u7387\u66f4\u9ad8\uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\uff1a
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\u4e3a\u4e86\u5c3d\u91cf\u907f\u514d\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u53d1\u751f\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u4f18\u5316\u4e00\u4e0b\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u9009\u53d6\u7b56\u7565\u3002\u9996\u5148\uff0c\u5728\u54e8\u5175\u5212\u5206\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5 \u968f\u673a\u9009\u53d6\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\u3002\u4f46\u5982\u679c\u8fd0\u6c14\u5f88\u5dee\uff0c\u6bcf\u6b21\u90fd\u9009\u62e9\u5230\u6bd4\u8f83\u5dee\u7684\u57fa\u51c6\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u6548\u7387\u4f9d\u7136\u4e0d\u597d\u3002
\u8fdb\u4e00\u6b65\u5730\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u9009\u53d6 3 \u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\uff08\u4e00\u822c\u4e3a\u6570\u7ec4\u7684\u9996\u3001\u5c3e\u3001\u4e2d\u70b9\u5143\u7d20\uff09\uff0c\u5e76\u5c06\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\uff0c\u8fd9\u6837\u57fa\u51c6\u6570\u201c\u65e2\u4e0d\u5927\u4e5f\u4e0d\u5c0f\u201d\u7684\u6982\u7387\u5c31\u5927\u5927\u63d0\u5347\u4e86\u3002\u5f53\u7136\uff0c\u5982\u679c\u6570\u7ec4\u5f88\u957f\u7684\u8bdd\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u9009\u53d6\u66f4\u591a\u5019\u9009\u5143\u7d20\uff0c\u6765\u8fdb\u4e00\u6b65\u63d0\u5347\u7b97\u6cd5\u7684\u7a33\u5065\u6027\u3002\u91c7\u53d6\u8be5\u65b9\u6cd5\u540e\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u52a3\u5316\u81f3 \\(O(n^2)\\) \u7684\u6982\u7387\u6781\u4f4e\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig quick_sort.java/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nint medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {\n// \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n// \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))\nreturn left;\nelse if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))\nreturn mid;\nelse\nreturn right;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nint partition(int[] nums, int left, int right) {\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nint med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums, left, med);\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nint medianThree(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {\n// \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n// \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))\nreturn left;\nelse if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))\nreturn mid;\nelse\nreturn right;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nint partition(vector<int>& nums, int left, int right) {\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nint med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums, left, med);\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n\"\"\" \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 \"\"\"\ndef median_three(self, nums, left, mid, right):\n# \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n# \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif (nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]):\nreturn left\nelif (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] > nums[right]):\nreturn mid\nreturn right\n\"\"\" \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 \"\"\"\ndef partition(self, nums, left, right):\n# \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nmed = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)\n# \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nnums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]\n# \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\ni, j = left, right\nwhile i < j:\nwhile i < j and nums[j] >= nums[left]:\nj -= 1 # \u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u627e\u9996\u4e2a\u5c0f\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\nwhile i < j and nums[i] <= nums[left]:\ni += 1 # \u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u627e\u9996\u4e2a\u5927\u4e8e\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u5143\u7d20\n# \u5143\u7d20\u4ea4\u6362\nnums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]\n# \u5c06\u57fa\u51c6\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u4e24\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u5206\u754c\u7ebf\nnums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]\nreturn i # \u8fd4\u56de\u57fa\u51c6\u6570\u7684\u7d22\u5f15\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nfunc medianThree(nums []int, left, mid, right int) int {\nif (nums[left] < nums[mid]) != (nums[left] < nums[right]) {\nreturn left\n} else if (nums[mid] > nums[left]) != (nums[mid] > nums[right]) {\nreturn mid\n}\nreturn right\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09*/\nfunc partition(nums []int, left, right int) int {\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\nmed := medianThree(nums, left, (left+right)/2, right)\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nnums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nfunction medianThree(nums, left, mid, right) {\n// \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n// \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))\nreturn left;\nelse if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))\nreturn mid;\nelse\nreturn right;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nfunction partition(nums, left, right) {\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nlet med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums, left, med);\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nfunction medianThree(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): number {\n// \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n// \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif (Number(nums[left] < nums[mid]) ^ Number(nums[left] < nums[right])) {\nreturn left;\n} else if (Number(nums[mid] < nums[left]) ^ Number(nums[mid] < nums[right])) {\nreturn mid;\n} else {\nreturn right;\n}\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nfunction partition(nums: number[], left: number, right: number): number {\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nlet med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums, left, med);\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nint medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right)\n{\n// \u4f7f\u7528\u4e86\u5f02\u6216\u64cd\u4f5c\u6765\u7b80\u5316\u4ee3\u7801\n// \u5f02\u6216\u89c4\u5219\u4e3a 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1\nif ((nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]))\nreturn left;\nelse if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))\nreturn mid;\nelse\nreturn right;\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nint partition(int[] nums, int left, int right)\n{\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nint med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums, left, med);\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n/* \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570 */\nfunc medianThree(nums: [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) -> Int {\nif (nums[left] < nums[mid]) != (nums[left] < nums[right]) {\nreturn left\n} else if (nums[mid] < nums[left]) != (nums[mid] < nums[right]) {\nreturn mid\n} else {\nreturn right\n}\n}\n/* \u54e8\u5175\u5212\u5206\uff08\u4e09\u6570\u53d6\u4e2d\u503c\uff09 */\nfunc partition(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) -> Int {\n// \u9009\u53d6\u4e09\u4e2a\u5019\u9009\u5143\u7d20\u7684\u4e2d\u4f4d\u6570\nlet med = medianThree(nums: nums, left: left, mid: (left + right) / 2, right: right)\n// \u5c06\u4e2d\u4f4d\u6570\u4ea4\u6362\u81f3\u6570\u7ec4\u6700\u5de6\u7aef\nswap(nums: &nums, i: left, j: med)\n// \u4ee5 nums[left] \u4f5c\u4e3a\u57fa\u51c6\u6570\n// \u4e0b\u540c\u7701\u7565...\n}\n\n\u666e\u901a\u5feb\u901f\u6392\u5e8f\u5728\u67d0\u4e9b\u8f93\u5165\u4e0b\u7684\u7a7a\u95f4\u6548\u7387\u53d8\u5dee\u3002\u4ecd\u7136\u4ee5\u5b8c\u5168\u5012\u5e8f\u7684\u8f93\u5165\u6570\u7ec4\u4e3a\u4f8b\uff0c\u7531\u4e8e\u6bcf\u8f6e\u54e8\u5175\u5212\u5206\u540e\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 0 \uff0c\u90a3\u4e48\u5c06\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u9ad8\u5ea6\u4e3a \\(n - 1\\) \u7684\u9012\u5f52\u6811\uff0c\u6b64\u65f6\u4f7f\u7528\u7684\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u5927\u5c0f\u52a3\u5316\u81f3 \\(O(n)\\) \u3002
\u4e3a\u4e86\u907f\u514d\u6808\u5e27\u7a7a\u95f4\u7684\u7d2f\u79ef\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5728\u6bcf\u8f6e\u54e8\u5175\u6392\u5e8f\u5b8c\u6210\u540e\uff0c\u5224\u65ad\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u7684\u957f\u5ea6\u5927\u5c0f\uff0c\u4ec5\u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u8f83\u77ed\u7684\u5b50\u6570\u7ec4\u3002\u7531\u4e8e\u8f83\u77ed\u7684\u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e0d\u4f1a\u8d85\u8fc7 \\(\\frac{n}{2}\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u8fd9\u6837\u505a\u80fd\u4fdd\u8bc1\u9012\u5f52\u6df1\u5ea6\u4e0d\u8d85\u8fc7 \\(\\log n\\) \uff0c\u5373\u6700\u5dee\u7a7a\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u88ab\u4f18\u5316\u81f3 \\(O(\\log n)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig quick_sort.java/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nvoid quickSort(int[] nums, int left, int right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile (left < right) {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left < right - pivot) {\nquickSort(nums, left, pivot - 1); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums, pivot + 1, right); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nvoid quickSort(vector<int>& nums, int left, int right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile (left < right) {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left < right - pivot) {\nquickSort(nums, left, pivot - 1); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums, pivot + 1, right); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n\"\"\" \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 \"\"\"\ndef quick_sort(self, nums, left, right):\n# \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile left < right:\n# \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\npivot = self.partition(nums, left, right)\n# \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif pivot - left < right - pivot:\nself.quick_sort(nums, left, pivot - 1) # \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1 # \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\nelse:\nself.quick_sort(nums, pivot + 1, right) # \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1 # \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09*/\nfunc quickSort(nums []int, left, right int) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nfor left < right {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\npivot := partition(nums, left, right)\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif pivot-left < right-pivot {\nquickSort(nums, left, pivot-1) // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1 // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums, pivot+1, right) // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1 // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nfunction quickSort(nums, left, right) {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile (left < right) {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nlet pivot = partition(nums, left, right);\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left < right - pivot) {\nquickSort(nums, left, pivot - 1); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums, pivot + 1, right); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nfunction quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile (left < right) {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nlet pivot = partition(nums, left, right);\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left < right - pivot) {\nquickSort(nums, left, pivot - 1); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums, pivot + 1, right); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nvoid quickSort(int[] nums, int left, int right)\n{\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile (left < right)\n{\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nint pivot = partition(nums, left, right);\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left < right - pivot)\n{\nquickSort(nums, left, pivot - 1); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n}\nelse\n{\nquickSort(nums, pivot + 1, right); // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1; // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n/* \u5feb\u901f\u6392\u5e8f\uff08\u5c3e\u9012\u5f52\u4f18\u5316\uff09 */\nfunc quickSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {\nvar left = left\nvar right = right\n// \u5b50\u6570\u7ec4\u957f\u5ea6\u4e3a 1 \u65f6\u7ec8\u6b62\nwhile left < right {\n// \u54e8\u5175\u5212\u5206\u64cd\u4f5c\nlet pivot = partition(nums: &nums, left: left, right: right)\n// \u5bf9\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u7ec4\u4e2d\u8f83\u77ed\u7684\u90a3\u4e2a\u6267\u884c\u5feb\u6392\nif (pivot - left) < (right - pivot) {\nquickSort(nums: &nums, left: left, right: pivot - 1) // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u5de6\u5b50\u6570\u7ec4\nleft = pivot + 1 // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [pivot + 1, right]\n} else {\nquickSort(nums: &nums, left: pivot + 1, right: right) // \u9012\u5f52\u6392\u5e8f\u53f3\u5b50\u6570\u7ec4\nright = pivot - 1 // \u5269\u4f59\u5f85\u6392\u5e8f\u533a\u95f4\u4e3a [left, pivot - 1]\n}\n}\n}\n\n\u5bf9\u4e8e\u961f\u5217\uff0c\u6211\u4eec\u53ea\u80fd\u5728\u5934\u90e8\u5220\u9664\u6216\u5728\u5c3e\u90e8\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\uff0c\u800c\u300c\u53cc\u5411\u961f\u5217 Deque\u300d\u66f4\u52a0\u7075\u6d3b\uff0c\u5728\u5176\u5934\u90e8\u548c\u5c3e\u90e8\u90fd\u80fd\u6267\u884c\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u6216\u5220\u9664\u64cd\u4f5c\u3002
Fig. \u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u64cd\u4f5c
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/deque/#531","title":"5.3.1. \u53cc\u5411\u961f\u5217\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c","text":"\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c\u89c1\u4e0b\u8868\uff0c\u65b9\u6cd5\u540d\u9700\u6839\u636e\u7279\u5b9a\u8bed\u8a00\u6765\u786e\u5b9a\u3002
Table. \u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c
\u65b9\u6cd5\u540d \u63cf\u8ff0 \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 pushFirst() \u5c06\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996 \\(O(1)\\) pushLast() \u5c06\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e \\(O(1)\\) pollFirst() \u5220\u9664\u961f\u9996\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) pollLast() \u5220\u9664\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) peekFirst() \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) peekLast() \u8bbf\u95ee\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) size() \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \\(O(1)\\) isEmpty() \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \\(O(1)\\)\u76f8\u540c\u5730\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u4f7f\u7528\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u5b9e\u73b0\u597d\u7684\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7c7b\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig deque.java/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nDeque<Integer> deque = new LinkedList<>();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.offerLast(2); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\ndeque.offerLast(5);\ndeque.offerLast(4);\ndeque.offerFirst(3); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\ndeque.offerFirst(1);\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint peekFirst = deque.peekFirst(); // \u961f\u9996\u5143\u7d20\nint peekLast = deque.peekLast(); // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\nint pollFirst = deque.pollFirst(); // \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\nint pollLast = deque.pollLast(); // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = deque.size();\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nboolean isEmpty = deque.isEmpty();\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\ndeque<int> deque;\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.push_back(2); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\ndeque.push_back(5);\ndeque.push_back(4);\ndeque.push_front(3); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\ndeque.push_front(1);\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint front = deque.front(); // \u961f\u9996\u5143\u7d20\nint back = deque.back(); // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\ndeque.pop_front(); // \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\ndeque.pop_back(); // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = deque.size();\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty = deque.empty();\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 \"\"\"\nduque = deque()\n\"\"\" \u5143\u7d20\u5165\u961f \"\"\"\nduque.append(2) # \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\nduque.append(5)\nduque.append(4)\nduque.appendleft(3) # \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\nduque.appendleft(1)\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 \"\"\"\nfront = duque[0] # \u961f\u9996\u5143\u7d20\nrear = duque[-1] # \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n\"\"\" \u5143\u7d20\u51fa\u961f \"\"\"\npop_front = duque.popleft() # \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\npop_rear = duque.pop() # \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\nsize = len(duque)\n\"\"\" \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\nis_empty = len(duque) == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\n// \u5728 Go \u4e2d\uff0c\u5c06 list \u4f5c\u4e3a\u53cc\u5411\u961f\u5217\u4f7f\u7528\ndeque := list.New()\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.PushBack(2) // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\ndeque.PushBack(5)\ndeque.PushBack(4)\ndeque.PushFront(3) // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\ndeque.PushFront(1)\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nfront := deque.Front() // \u961f\u9996\u5143\u7d20\nrear := deque.Back() // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\ndeque.Remove(front) // \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\ndeque.Remove(rear) // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nsize := deque.Len()\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty := deque.Len() == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\n// JavaScript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u53cc\u7aef\u961f\u5217\uff0c\u53ea\u80fd\u628a Array \u5f53\u4f5c\u53cc\u7aef\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nconst deque = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.push(2);\ndeque.push(5);\ndeque.push(4);\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0c\u7531\u4e8e\u662f\u6570\u7ec4\uff0cunshift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\ndeque.unshift(3);\ndeque.unshift(1);\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217 deque = \", deque);\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nconst peekFirst = deque[0];\nconsole.log(\"\u961f\u9996\u5143\u7d20 peekFirst = \" + peekFirst);\nconst peekLast = deque[deque.length - 1];\nconsole.log(\"\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 peekLast = \" + peekLast);\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0c\u7531\u4e8e\u662f\u6570\u7ec4\uff0cshift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nconst popFront = deque.shift();\nconsole.log(\"\u961f\u9996\u51fa\u961f\u5143\u7d20 popFront = \" + popFront + \"\uff0c\u961f\u9996\u51fa\u961f\u540e deque = \" + deque);\nconst popBack = deque.pop();\nconsole.log(\"\u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u5143\u7d20 popBack = \" + popBack + \"\uff0c\u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u540e deque = \" + deque);\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size = deque.length;\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217\u957f\u5ea6 size = \" + size);\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst isEmpty = size === 0;\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a = \" + isEmpty);\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\n// TypeScript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u53cc\u7aef\u961f\u5217\uff0c\u53ea\u80fd\u628a Array \u5f53\u4f5c\u53cc\u7aef\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nconst deque: number[] = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.push(2);\ndeque.push(5);\ndeque.push(4);\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0c\u7531\u4e8e\u662f\u6570\u7ec4\uff0cunshift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\ndeque.unshift(3);\ndeque.unshift(1);\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217 deque = \", deque);\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nconst peekFirst: number = deque[0];\nconsole.log(\"\u961f\u9996\u5143\u7d20 peekFirst = \" + peekFirst);\nconst peekLast: number = deque[deque.length - 1];\nconsole.log(\"\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 peekLast = \" + peekLast);\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u8bf7\u6ce8\u610f\uff0c\u7531\u4e8e\u662f\u6570\u7ec4\uff0cshift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nconst popFront: number = deque.shift() as number;\nconsole.log(\"\u961f\u9996\u51fa\u961f\u5143\u7d20 popFront = \" + popFront + \"\uff0c\u961f\u9996\u51fa\u961f\u540e deque = \" + deque);\nconst popBack: number = deque.pop() as number;\nconsole.log(\"\u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u5143\u7d20 popBack = \" + popBack + \"\uff0c\u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u540e deque = \" + deque);\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size: number = deque.length;\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217\u957f\u5ea6 size = \" + size);\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst isEmpty: boolean = size === 0;\nconsole.log(\"\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a = \" + isEmpty);\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\n// \u5728 C# \u4e2d\uff0c\u5c06\u94fe\u8868 LinkedList \u770b\u4f5c\u53cc\u5411\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nLinkedList<int> deque = new LinkedList<int>();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.AddLast(2); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\ndeque.AddLast(5);\ndeque.AddLast(4);\ndeque.AddFirst(3); // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\ndeque.AddFirst(1);\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nint peekFirst = deque.First.Value; // \u961f\u9996\u5143\u7d20\nint peekLast = deque.Last.Value; // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\ndeque.RemoveFirst(); // \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\ndeque.RemoveLast(); // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = deque.Count;\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool isEmpty = deque.Count == 0;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\n// Swift \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u53cc\u5411\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nvar deque: [Int] = []\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\ndeque.append(2) // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e\ndeque.append(5)\ndeque.append(4)\ndeque.insert(3, at: 0) // \u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u9996\ndeque.insert(1, at: 0)\n/* \u8bbf\u95ee\u5143\u7d20 */\nlet peekFirst = deque.first! // \u961f\u9996\u5143\u7d20\nlet peekLast = deque.last! // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u4f7f\u7528 Array \u6a21\u62df\u65f6 pollFirst \u7684\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nlet pollFirst = deque.removeFirst() // \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f\nlet pollLast = deque.removeLast() // \u961f\u5c3e\u5143\u7d20\u51fa\u961f\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nlet size = deque.count\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nlet isEmpty = deque.isEmpty\n\n\u53cc\u5411\u961f\u5217\u9700\u8981\u4e00\u79cd\u53ef\u4ee5\u5728\u4e24\u7aef\u6dfb\u52a0\u3001\u4e24\u7aef\u5220\u9664\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u4e0e\u961f\u5217\u7684\u5b9e\u73b0\u65b9\u6cd5\u7c7b\u4f3c\uff0c\u53cc\u5411\u961f\u5217\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u548c\u5faa\u73af\u6570\u7ec4\u6765\u5b9e\u73b0\u3002
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/deque/#_1","title":"\u57fa\u4e8e\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7684\u5b9e\u73b0","text":"\u6211\u4eec\u5c06\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7684\u5934\u7ed3\u70b9\u548c\u5c3e\u7ed3\u70b9\u5206\u522b\u770b\u4f5c\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u961f\u9996\u548c\u961f\u5c3e\uff0c\u5e76\u4e14\u5b9e\u73b0\u5728\u4e24\u7aef\u90fd\u80fd\u6dfb\u52a0\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u3002
LinkedListDequepushLast()pushFirst()pollLast()pollFirst()\u4ee5\u4e0b\u662f\u4f7f\u7528\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig linkedlist_deque.java/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9 */\nclass ListNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nListNode next; // \u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\uff08\u6307\u9488\uff09\nListNode prev; // \u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\uff08\u6307\u9488\uff09\nListNode(int val) {\nthis.val = val;\nprev = next = null;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nclass LinkedListDeque {\nprivate ListNode front, rear; // \u5934\u7ed3\u70b9 front \uff0c\u5c3e\u7ed3\u70b9 rear\nprivate int size = 0; // \u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6\npublic LinkedListDeque() {\nfront = rear = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size() {\nreturn size;\n}\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic boolean isEmpty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u961f\u64cd\u4f5c */\nprivate void push(int num, boolean isFront) {\nListNode node = new ListNode(num);\n// \u82e5\u94fe\u8868\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4 front, rear \u90fd\u6307\u5411 node\nif (isEmpty())\nfront = rear = node;\n// \u961f\u9996\u5165\u961f\u64cd\u4f5c\nelse if (isFront) {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5934\u90e8\nfront.prev = node;\nnode.next = front;\nfront = node; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\n// \u961f\u5c3e\u5165\u961f\u64cd\u4f5c\n} else {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5c3e\u90e8\nrear.next = node;\nnode.prev = rear;\nrear = node; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\n}\nsize++; // \u66f4\u65b0\u961f\u5217\u957f\u5ea6\n}\n/* \u961f\u9996\u5165\u961f */\npublic void pushFirst(int num) {\npush(num, true);\n}\n/* \u961f\u5c3e\u5165\u961f */\npublic void pushLast(int num) {\npush(num, false);\n}\n/* \u51fa\u961f\u64cd\u4f5c */\nprivate Integer poll(boolean isFront) {\n// \u82e5\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de null\nif (isEmpty())\nreturn null;\nint val;\n// \u961f\u9996\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c\nif (isFront) {\nval = front.val; // \u6682\u5b58\u5934\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nListNode fNext = front.next;\nif (fNext != null) {\nfNext.prev = null;\nfront.next = null;\n}\nfront = fNext; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\n// \u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c\n} else {\nval = rear.val; // \u6682\u5b58\u5c3e\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5c3e\u7ed3\u70b9\nListNode rPrev = rear.prev;\nif (rPrev != null) {\nrPrev.next = null;\nrear.prev = null;\n}\nrear = rPrev; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\n}\nsize--; // \u66f4\u65b0\u961f\u5217\u957f\u5ea6\nreturn val;\n}\n/* \u961f\u9996\u51fa\u961f */\npublic Integer pollFirst() {\nreturn poll(true);\n}\n/* \u961f\u5c3e\u51fa\u961f */\npublic Integer pollLast() {\nreturn poll(false);\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npublic Integer peekFirst() {\nreturn isEmpty() ? null : front.val;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 */\npublic Integer peekLast() {\nreturn isEmpty() ? null : rear.val;\n}\n}\n\n\n\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9 */\nclass ListNode {\nprev; // \u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528 (\u6307\u9488)\nnext; // \u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528 (\u6307\u9488)\nval; // \u7ed3\u70b9\u503c\nconstructor(val) {\nthis.val = val;\nthis.next = null;\nthis.prev = null;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nclass LinkedListDeque {\nfront; // \u5934\u7ed3\u70b9 front\nrear; // \u5c3e\u7ed3\u70b9 rear\nlen; // \u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6\nconstructor() {\nthis.front = null;\nthis.rear = null;\nthis.len = 0;\n}\n/* \u961f\u5c3e\u5165\u961f\u64cd\u4f5c */\npushLast(val) {\nconst node = new ListNode(val);\n// \u82e5\u94fe\u8868\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4 front, rear \u90fd\u6307\u5411 node\nif (this.len === 0) {\nthis.front = node;\nthis.rear = node;\n} else {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5c3e\u90e8\nthis.rear.next = node;\nnode.prev = this.rear;\nthis.rear = node; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\n}\nthis.len++;\n}\n/* \u961f\u9996\u5165\u961f\u64cd\u4f5c */\npushFirst(val) {\nconst node = new ListNode(val);\n// \u82e5\u94fe\u8868\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4 front, rear \u90fd\u6307\u5411 node\nif (this.len === 0) {\nthis.front = node;\nthis.rear = node;\n} else {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5934\u90e8\nthis.front.prev = node;\nnode.next = this.front;\nthis.front = node; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\n}\nthis.len++;\n}\n/* \u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c */\npollLast() {\nif (this.len === 0) {\nreturn null;\n}\nconst value = this.rear.val; // \u5b58\u50a8\u5c3e\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5c3e\u7ed3\u70b9\nlet temp = this.rear.prev;\nif (temp !== null) {\ntemp.next = null;\nthis.rear.prev = null;\n}\nthis.rear = temp; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\nthis.len--;\nreturn value;\n}\n/* \u961f\u9996\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c */\npollFirst() {\nif (this.len === 0) {\nreturn null;\n}\nconst value = this.front.val; // \u5b58\u50a8\u5c3e\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nlet temp = this.front.next;\nif (temp !== null) {\ntemp.prev = null;\nthis.front.next = null;\n}\nthis.front = temp; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\nthis.len--;\nreturn value;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 */\npeekLast() {\nreturn this.len === 0 ? null : this.rear.val;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeekFirst() {\nreturn this.len === 0 ? null : this.front.val;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nsize() {\nreturn this.len;\n}\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty() {\nreturn this.len === 0;\n}\n/* \u6253\u5370\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nprint() {\nconst arr = [];\nlet temp = this.front;\nwhile (temp !== null) {\narr.push(temp.val);\ntemp = temp.next;\n}\nconsole.log(\"[\" + arr.join(\", \") + \"]\");\n}\n}\n/* \u53cc\u5411\u94fe\u8868\u7ed3\u70b9 */\nclass ListNode {\nprev: ListNode; // \u524d\u9a71\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528 (\u6307\u9488)\nnext: ListNode; // \u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528 (\u6307\u9488)\nval: number; // \u7ed3\u70b9\u503c\nconstructor(val: number) {\nthis.val = val;\nthis.next = null;\nthis.prev = null;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u53cc\u5411\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nclass LinkedListDeque {\nfront: ListNode; // \u5934\u7ed3\u70b9 front\nrear: ListNode; // \u5c3e\u7ed3\u70b9 rear\nlen: number; // \u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6\nconstructor() {\nthis.front = null;\nthis.rear = null;\nthis.len = 0;\n}\n/* \u961f\u5c3e\u5165\u961f\u64cd\u4f5c */\npushLast(val: number): void {\nconst node: ListNode = new ListNode(val);\n// \u82e5\u94fe\u8868\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4 front, rear \u90fd\u6307\u5411 node\nif (this.len === 0) {\nthis.front = node;\nthis.rear = node;\n} else {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5c3e\u90e8\nthis.rear.next = node;\nnode.prev = this.rear;\nthis.rear = node; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\n}\nthis.len++;\n}\n/* \u961f\u9996\u5165\u961f\u64cd\u4f5c */\npushFirst(val: number): void {\nconst node: ListNode = new ListNode(val);\n// \u82e5\u94fe\u8868\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4 front, rear \u90fd\u6307\u5411 node\nif (this.len === 0) {\nthis.front = node;\nthis.rear = node;\n} else {\n// \u5c06 node \u6dfb\u52a0\u81f3\u94fe\u8868\u5934\u90e8\nthis.front.prev = node;\nnode.next = this.front;\nthis.front = node; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\n}\nthis.len++;\n}\n/* \u961f\u5c3e\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c */\npollLast(): number {\nif (this.len === 0) {\nreturn null;\n}\nconst value: number = this.rear.val; // \u5b58\u50a8\u5c3e\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5c3e\u7ed3\u70b9\nlet temp: ListNode = this.rear.prev;\nif (temp !== null) {\ntemp.next = null;\nthis.rear.prev = null;\n}\nthis.rear = temp; // \u66f4\u65b0\u5c3e\u7ed3\u70b9\nthis.len--;\nreturn value;\n}\n/* \u961f\u9996\u51fa\u961f\u64cd\u4f5c */\npollFirst(): number {\nif (this.len === 0) {\nreturn null;\n}\nconst value: number = this.front.val; // \u5b58\u50a8\u5c3e\u7ed3\u70b9\u503c\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nlet temp: ListNode = this.front.next;\nif (temp !== null) {\ntemp.prev = null;\nthis.front.next = null;\n}\nthis.front = temp; // \u66f4\u65b0\u5934\u7ed3\u70b9\nthis.len--;\nreturn value;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u5c3e\u5143\u7d20 */\npeekLast(): number {\nreturn this.len === 0 ? null : this.rear.val;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeekFirst(): number {\nreturn this.len === 0 ? null : this.front.val;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nsize(): number {\nreturn this.len;\n}\n/* \u5224\u65ad\u53cc\u5411\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty(): boolean {\nreturn this.len === 0;\n}\n/* \u6253\u5370\u53cc\u5411\u961f\u5217 */\nprint(): void {\nconst arr: number[] = [];\nlet temp: ListNode = this.front;\nwhile (temp !== null) {\narr.push(temp.val);\ntemp = temp.next;\n}\nconsole.log(\"[\" + arr.join(\", \") + \"]\");\n}\n}\n\n\n\n\n\u300c\u961f\u5217 Queue\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u9075\u5faa\u300c\u5148\u5165\u5148\u51fa first in, first out\u300d\u6570\u636e\u64cd\u4f5c\u89c4\u5219\u7684\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u987e\u540d\u601d\u4e49\uff0c\u961f\u5217\u6a21\u62df\u7684\u662f\u6392\u961f\u73b0\u8c61\uff0c\u5373\u5916\u9762\u7684\u4eba\u4e0d\u65ad\u52a0\u5165\u961f\u5217\u5c3e\u90e8\uff0c\u800c\u5904\u4e8e\u961f\u5217\u5934\u90e8\u7684\u4eba\u4e0d\u65ad\u5730\u79bb\u5f00\u3002
\u6211\u4eec\u5c06\u961f\u5217\u5934\u90e8\u79f0\u4e3a\u300c\u961f\u9996\u300d\uff0c\u961f\u5217\u5c3e\u90e8\u79f0\u4e3a\u300c\u961f\u5c3e\u300d\uff0c\u5c06\u628a\u5143\u7d20\u52a0\u5165\u961f\u5c3e\u7684\u64cd\u4f5c\u79f0\u4e3a\u300c\u5165\u961f\u300d\uff0c\u5220\u9664\u961f\u9996\u5143\u7d20\u7684\u64cd\u4f5c\u79f0\u4e3a\u300c\u51fa\u961f\u300d\u3002
Fig. \u961f\u5217\u7684\u5148\u5165\u5148\u51fa\u7279\u6027
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/queue/#521","title":"5.2.1. \u961f\u5217\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c","text":"\u961f\u5217\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c\u89c1\u4e0b\u8868\uff0c\u65b9\u6cd5\u540d\u9700\u6839\u636e\u7279\u5b9a\u8bed\u8a00\u6765\u786e\u5b9a\u3002
Table. \u961f\u5217\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c
\u65b9\u6cd5\u540d \u63cf\u8ff0 \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 push() \u5143\u7d20\u5165\u961f\uff0c\u5373\u5c06\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u81f3\u961f\u5c3e \\(O(1)\\) poll() \u961f\u9996\u5143\u7d20\u51fa\u961f \\(O(1)\\) front() \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) size() \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \\(O(1)\\) isEmpty() \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \\(O(1)\\)\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u4f7f\u7528\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u5b9e\u73b0\u597d\u7684\u961f\u5217\u7c7b\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig queue.java/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\nQueue<Integer> queue = new LinkedList<>();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.offer(1);\nqueue.offer(3);\nqueue.offer(2);\nqueue.offer(5);\nqueue.offer(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nint peek = queue.peek();\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\nint poll = queue.poll();\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = queue.size();\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nboolean isEmpty = queue.isEmpty();\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\nqueue<int> queue;\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.push(1);\nqueue.push(3);\nqueue.push(2);\nqueue.push(5);\nqueue.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nint front = queue.front();\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\nqueue.pop();\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = queue.size();\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty = queue.empty();\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 \"\"\"\n# \u5728 Python \u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u4e00\u822c\u5c06\u53cc\u5411\u961f\u5217\u7c7b deque \u770b\u4f5c\u961f\u5217\u4f7f\u7528\n# \u867d\u7136 queue.Queue() \u662f\u7eaf\u6b63\u7684\u961f\u5217\u7c7b\uff0c\u4f46\u4e0d\u592a\u597d\u7528\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u5efa\u8bae\nque = collections.deque()\n\"\"\" \u5143\u7d20\u5165\u961f \"\"\"\nque.append(1)\nque.append(3)\nque.append(2)\nque.append(5)\nque.append(4)\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 \"\"\"\nfront = que[0];\n\"\"\" \u5143\u7d20\u51fa\u961f \"\"\"\npop = que.popleft()\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\nsize = len(que)\n\"\"\" \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\nis_empty = len(que) == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\n// \u5728 Go \u4e2d\uff0c\u5c06 list \u4f5c\u4e3a\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nqueue := list.New()\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.PushBack(1)\nqueue.PushBack(3)\nqueue.PushBack(2)\nqueue.PushBack(5)\nqueue.PushBack(4)\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeek := queue.Front()\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\npoll := queue.Front()\nqueue.Remove(poll)\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nsize := queue.Len()\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty := queue.Len() == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\n// JavaScript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u961f\u5217\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nconst queue = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.push(1);\nqueue.push(3);\nqueue.push(2);\nqueue.push(5);\nqueue.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nconst peek = queue[0];\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u5e95\u5c42\u662f\u6570\u7ec4\uff0c\u56e0\u6b64 shift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nconst poll = queue.shift();\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size = queue.length;\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst empty = queue.length === 0;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\n// TypeScript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u961f\u5217\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528 \nconst queue: number[] = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.push(1);\nqueue.push(3);\nqueue.push(2);\nqueue.push(5);\nqueue.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nconst peek = queue[0];\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u5e95\u5c42\u662f\u6570\u7ec4\uff0c\u56e0\u6b64 shift() \u65b9\u6cd5\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nconst poll = queue.shift();\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size = queue.length;\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst empty = queue.length === 0;\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\nQueue<int> queue = new();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.Enqueue(1);\nqueue.Enqueue(3);\nqueue.Enqueue(2);\nqueue.Enqueue(5);\nqueue.Enqueue(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nint peek = queue.Peek();\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\nint poll = queue.Dequeue();\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = queue.Count();\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool isEmpty = queue.Count() == 0;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217 */\n// Swift \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u961f\u5217\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u961f\u5217\u6765\u4f7f\u7528\nvar queue: [Int] = []\n/* \u5143\u7d20\u5165\u961f */\nqueue.append(1)\nqueue.append(3)\nqueue.append(2)\nqueue.append(5)\nqueue.append(4)\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nlet peek = queue.first!\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u961f */\n// \u4f7f\u7528 Array \u6a21\u62df\u65f6 poll \u7684\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a O(n)\nlet pool = queue.removeFirst()\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nlet size = queue.count\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nlet isEmpty = queue.isEmpty\n\n\u961f\u5217\u9700\u8981\u4e00\u79cd\u53ef\u4ee5\u5728\u4e00\u7aef\u6dfb\u52a0\uff0c\u5e76\u5728\u53e6\u4e00\u7aef\u5220\u9664\u7684\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u94fe\u8868\u6216\u6570\u7ec4\u6765\u5b9e\u73b0\u3002
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/queue/#_1","title":"\u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u7684\u5b9e\u73b0","text":"\u6211\u4eec\u5c06\u94fe\u8868\u7684\u300c\u5934\u7ed3\u70b9\u300d\u548c\u300c\u5c3e\u7ed3\u70b9\u300d\u5206\u522b\u770b\u4f5c\u662f\u961f\u9996\u548c\u961f\u5c3e\uff0c\u5e76\u89c4\u5b9a\u961f\u5c3e\u53ea\u53ef\u6dfb\u52a0\u7ed3\u70b9\uff0c\u961f\u9996\u53ea\u53ef\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u3002
LinkedListQueuepush()poll()\u4ee5\u4e0b\u662f\u4f7f\u7528\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u961f\u5217\u7684\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig linkedlist_queue.java/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue {\nprivate ListNode front, rear; // \u5934\u7ed3\u70b9 front \uff0c\u5c3e\u7ed3\u70b9 rear \nprivate int queSize = 0;\npublic LinkedListQueue() {\nfront = null;\nrear = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size() {\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic boolean isEmpty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npublic void push(int num) {\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nListNode node = new ListNode(num);\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif (front == null) {\nfront = node;\nrear = node;\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\n} else {\nrear.next = node;\nrear = node;\n}\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npublic int poll() {\nint num = peek();\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nfront = front.next;\nqueSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npublic int peek() {\nif (size() == 0)\nthrow new EmptyStackException();\nreturn front.val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue {\nprivate:\nListNode *front, *rear; // \u5934\u7ed3\u70b9 front \uff0c\u5c3e\u7ed3\u70b9 rear \nint queSize;\npublic:\nLinkedListQueue() {\nfront = nullptr;\nrear = nullptr;\nqueSize = 0;\n}\n~LinkedListQueue() {\ndelete front;\ndelete rear;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size() {\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty() {\nreturn queSize == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\nvoid push(int num) {\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nListNode* node = new ListNode(num);\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif (front == nullptr) {\nfront = node;\nrear = node;\n}\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\nelse {\nrear->next = node;\nrear = node;\n}\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\nvoid poll() {\nint num = peek();\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nListNode *tmp = front;\nfront = front->next;\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete tmp; queSize--;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nint peek() {\nif (size() == 0)\nthrow out_of_range(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn front->val;\n}\n};\n\"\"\" \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 \"\"\"\nclass LinkedListQueue:\ndef __init__(self):\nself.__front = None # \u5934\u7ed3\u70b9 front\nself.__rear = None # \u5c3e\u7ed3\u70b9 rear\nself.__size = 0\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\ndef size(self):\nreturn self.__size\n\"\"\" \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\ndef is_empty(self):\nreturn not self.__front\n\"\"\" \u5165\u961f \"\"\"\ndef push(self, num):\n# \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nnode = ListNode(num)\n# \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif self.__front is None:\nself.__front = node\nself.__rear = node\n# \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\nelse:\nself.__rear.next = node\nself.__rear = node\nself.__size += 1\n\"\"\" \u51fa\u961f \"\"\"\ndef poll(self):\nnum = self.peek()\n# \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nself.__front = self.__front.next\nself.__size -= 1\nreturn num\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef peek(self):\nif self.size() == 0:\nprint(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\")\nreturn False\nreturn self.__front.val\n\"\"\" \u8f6c\u5316\u4e3a\u5217\u8868\u7528\u4e8e\u6253\u5370 \"\"\"\ndef to_list(self):\nqueue = []\ntemp = self.__front\nwhile temp:\nqueue.append(temp.val)\ntemp = temp.next\nreturn queue\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\ntype linkedListQueue struct {\n// \u4f7f\u7528\u5185\u7f6e\u5305 list \u6765\u5b9e\u73b0\u961f\u5217\ndata *list.List\n}\n// newLinkedListQueue \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868\nfunc newLinkedListQueue() *linkedListQueue {\nreturn &linkedListQueue{\ndata: list.New(),\n}\n}\n// push \u5165\u961f\nfunc (s *linkedListQueue) push(value any) {\ns.data.PushBack(value)\n}\n// poll \u51fa\u961f\nfunc (s *linkedListQueue) poll() any {\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\ne := s.data.Front()\ns.data.Remove(e)\nreturn e.Value\n}\n// peek \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20\nfunc (s *linkedListQueue) peek() any {\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\ne := s.data.Front()\nreturn e.Value\n}\n// size \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6\nfunc (s *linkedListQueue) size() int {\nreturn s.data.Len()\n}\n// isEmpty \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a\nfunc (s *linkedListQueue) isEmpty() bool {\nreturn s.data.Len() == 0\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue {\n#front; // \u5934\u7ed3\u70b9 #front\n#rear; // \u5c3e\u7ed3\u70b9 #rear\n#queSize = 0;\nconstructor() {\nthis.#front = null;\nthis.#rear = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size() {\nreturn this.#queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty() {\nreturn this.size === 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npush(num) {\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nconst node = new ListNode(num);\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif (!this.#front) {\nthis.#front = node;\nthis.#rear = node;\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\n} else {\nthis.#rear.next = node;\nthis.#rear = node;\n}\nthis.#queSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npoll() {\nconst num = this.peek();\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nthis.#front = this.#front.next;\nthis.#queSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeek() {\nif (this.size === 0)\nthrow new Error(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.#front.val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue {\nprivate front: ListNode | null; // \u5934\u7ed3\u70b9 front\nprivate rear: ListNode | null; // \u5c3e\u7ed3\u70b9 rear\nprivate queSize: number = 0;\nconstructor() {\nthis.front = null;\nthis.rear = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size(): number {\nreturn this.queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty(): boolean {\nreturn this.size === 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npush(num: number): void {\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nconst node = new ListNode(num);\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif (!this.front) {\nthis.front = node;\nthis.rear = node;\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\n} else {\nthis.rear!.next = node;\nthis.rear = node;\n}\nthis.queSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npoll(): number {\nconst num = this.peek();\nif (!this.front)\nthrow new Error(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\")\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nthis.front = this.front.next;\nthis.queSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeek(): number {\nif (this.size === 0)\nthrow new Error(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.front!.val;\n}\n}\n\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue\n{\nprivate ListNode? front, rear; // \u5934\u7ed3\u70b9 front \uff0c\u5c3e\u7ed3\u70b9 rear \nprivate int queSize = 0;\npublic LinkedListQueue()\n{\nfront = null;\nrear = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size()\n{\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic bool isEmpty()\n{\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npublic void push(int num)\n{\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nListNode node = new ListNode(num);\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif (front == null)\n{\nfront = node;\nrear = node;\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\n}\nelse if (rear != null)\n{\nrear.next = node;\nrear = node;\n}\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npublic int poll()\n{\nint num = peek();\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nfront = front?.next;\nqueSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npublic int peek()\n{\nif (size() == 0 || front == null)\nthrow new Exception();\nreturn front.val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass LinkedListQueue {\nprivate var front: ListNode? // \u5934\u7ed3\u70b9\nprivate var rear: ListNode? // \u5c3e\u7ed3\u70b9\nprivate var _size = 0\ninit() {}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nfunc size() -> Int {\n_size\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nfunc isEmpty() -> Bool {\nsize() == 0\n}\n/* \u5165\u961f */\nfunc push(num: Int) {\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nlet node = ListNode(x: num)\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u4ee4\u5934\u3001\u5c3e\u7ed3\u70b9\u90fd\u6307\u5411\u8be5\u7ed3\u70b9\nif front == nil {\nfront = node\nrear = node\n}\n// \u5982\u679c\u961f\u5217\u4e0d\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5219\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u5230\u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\nelse {\nrear?.next = node\nrear = node\n}\n_size += 1\n}\n/* \u51fa\u961f */\n@discardableResult\nfunc poll() -> Int {\nlet num = peek()\n// \u5220\u9664\u5934\u7ed3\u70b9\nfront = front?.next\n_size -= 1\nreturn num\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nfunc peek() -> Int {\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\")\n}\nreturn front!.val\n}\n}\n\n\u6570\u7ec4\u7684\u5220\u9664\u9996\u5143\u7d20\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u9002\u5408\u76f4\u63a5\u7528\u6765\u5b9e\u73b0\u961f\u5217\u3002\u7136\u800c\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u501f\u52a9\u4e24\u4e2a\u6307\u9488 front , rear \u6765\u5206\u522b\u8bb0\u5f55\u961f\u9996\u548c\u961f\u5c3e\u7684\u7d22\u5f15\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5728\u5165\u961f / \u51fa\u961f\u65f6\u5206\u522b\u5c06 front / rear \u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\u5373\u53ef\uff0c\u8fd9\u6837\u6bcf\u6b21\u4ec5\u9700\u64cd\u4f5c\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u964d\u81f3 \\(O(1)\\) \u3002
\u7ec6\u5fc3\u7684\u540c\u5b66\u53ef\u80fd\u4f1a\u53d1\u73b0\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\uff0c\u5373\u5728\u5165\u961f\u4e0e\u51fa\u961f\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u4e24\u4e2a\u6307\u9488\u90fd\u5728\u5411\u540e\u79fb\u52a8\uff0c\u5728\u5230\u8fbe\u5c3e\u90e8\u540e\u5219\u65e0\u6cd5\u7ee7\u7eed\u79fb\u52a8\u4e86\u3002
\u4e3a\u4e86\u89e3\u51b3\u6b64\u95ee\u9898\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u91c7\u53d6\u4e00\u4e2a\u53d6\u5de7\u65b9\u6848\uff0c\u5373\u5c06\u6570\u7ec4\u770b\u4f5c\u662f\u201c\u73af\u5f62\u201d\u7684\u3002\u5177\u4f53\u505a\u6cd5\u662f\u89c4\u5b9a\u6307\u9488\u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\uff0c\u518d\u6b21\u56de\u5230\u5934\u90e8\u63a5\u7eed\u904d\u5386\uff0c\u8fd9\u6837\u76f8\u5f53\u4e8e\u4f7f\u6570\u7ec4\u201c\u9996\u5c3e\u76f8\u8fde\u201d\u4e86\u3002\u5728\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u7684\u8bbe\u5b9a\u4e0b\uff0c\u83b7\u53d6\u957f\u5ea6 size() \u3001\u5165\u961f push() \u3001\u51fa\u961f poll() \u65b9\u6cd5\u90fd\u9700\u8981\u505a\u76f8\u5e94\u7684\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\u5904\u7406\uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53\u5c3e\u6307\u9488\u7ed5\u56de\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\u65f6\uff0c\u4ecd\u7136\u53ef\u4ee5\u6b63\u786e\u5904\u7406\u64cd\u4f5c\u3002
/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue {\nprivate int[] nums; // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nprivate int front; // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nprivate int queSize; // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\npublic ArrayQueue(int capacity) {\nnums = new int[capacity];\nfront = queSize = 0;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\npublic int capacity() {\nreturn nums.length;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size() {\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic boolean isEmpty() {\nreturn queSize == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npublic void push(int num) {\nif (queSize == capacity()) {\nSystem.out.println(\"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\");\nreturn;\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nint rear = (front + queSize) % capacity();\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nnums[rear] = num;\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npublic int poll() {\nint num = peek();\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nfront = (front + 1) % capacity();\nqueSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npublic int peek() {\nif (isEmpty())\nthrow new EmptyStackException();\nreturn nums[front];\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue {\nprivate:\nint *nums; // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nint front; // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nint queSize; // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\nint queCapacity; // \u961f\u5217\u5bb9\u91cf\npublic:\nArrayQueue(int capacity) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4\nnums = new int[capacity];\nqueCapacity = capacity;\nfront = queSize = 0;\n}\n~ArrayQueue() {\ndelete[] nums;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\nint capacity() {\nreturn queCapacity;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size() {\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\nvoid push(int num) {\nif (queSize == queCapacity) {\ncout << \"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\" << endl;\nreturn;\n}\n// \u8ba1\u7b97\u961f\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nint rear = (front + queSize) % queCapacity;\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nnums[rear] = num;\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\nvoid poll() {\nint num = peek();\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nfront = (front + 1) % queCapacity;\nqueSize--;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nint peek() {\nif (empty())\nthrow out_of_range(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn nums[front];\n}\n};\n\"\"\" \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 \"\"\"\nclass ArrayQueue:\ndef __init__(self, size):\nself.__nums = [0] * size # \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nself.__front = 0 # \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nself.__size = 0 # \u961f\u5217\u957f\u5ea6\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf \"\"\"\ndef capacity(self):\nreturn len(self.__nums)\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\ndef size(self):\nreturn self.__size\n\"\"\" \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\ndef is_empty(self):\nreturn self.__size == 0\n\"\"\" \u5165\u961f \"\"\"\ndef push(self, num):\nassert self.__size < self.capacity(), \"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\"\n# \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n# \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nrear = (self.__front + self.__size) % self.capacity()\n# \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nself.__nums[rear] = num\nself.__size += 1\n\"\"\" \u51fa\u961f \"\"\"\ndef poll(self):\nnum = self.peek()\n# \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nself.__front = (self.__front + 1) % self.capacity()\nself.__size -= 1\nreturn num\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef peek(self):\nassert not self.is_empty(), \"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\"\nreturn self.__nums[self.__front]\n\"\"\" \u8fd4\u56de\u5217\u8868\u7528\u4e8e\u6253\u5370 \"\"\"\ndef to_list(self):\nres = [0] * self.size()\nj = self.__front\nfor i in range(self.size()):\nres[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]\nj += 1\nreturn res\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\ntype arrayQueue struct {\nnums []int // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nfront int // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nqueSize int // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\nqueCapacity int // \u961f\u5217\u5bb9\u91cf\uff08\u5373\u6700\u5927\u5bb9\u7eb3\u5143\u7d20\u6570\u91cf\uff09\n}\n// newArrayQueue \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217\nfunc newArrayQueue(queCapacity int) *arrayQueue {\nreturn &arrayQueue{\nnums: make([]int, queCapacity),\nqueCapacity: queCapacity,\nfront: 0,\nqueSize: 0,\n}\n}\n// size \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6\nfunc (q *arrayQueue) size() int {\nreturn q.queSize\n}\n// isEmpty \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a\nfunc (q *arrayQueue) isEmpty() bool {\nreturn q.queSize == 0\n}\n// push \u5165\u961f\nfunc (q *arrayQueue) push(num int) {\n// \u5f53 rear == queCapacity \u8868\u793a\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\nif q.queSize == q.queCapacity {\nreturn\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nrear := (q.front + q.queSize) % q.queCapacity\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nq.nums[rear] = num\nq.queSize++\n}\n// poll \u51fa\u961f\nfunc (q *arrayQueue) poll() any {\nnum := q.peek()\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nq.front = (q.front + 1) % q.queCapacity\nq.queSize--\nreturn num\n}\n// peek \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20\nfunc (q *arrayQueue) peek() any {\nif q.isEmpty() {\nreturn nil\n}\nreturn q.nums[q.front]\n}\n// \u83b7\u53d6 Slice \u7528\u4e8e\u6253\u5370\nfunc (q *arrayQueue) toSlice() []int {\nrear := (q.front + q.queSize)\nif rear >= q.queCapacity {\nrear %= q.queCapacity\nreturn append(q.nums[q.front:], q.nums[:rear]...)\n}\nreturn q.nums[q.front:rear]\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue {\n#nums; // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\n#front = 0; // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\n#queSize = 0; // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\nconstructor(capacity) {\nthis.#nums = new Array(capacity);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\nget capacity() {\nreturn this.#nums.length;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size() {\nreturn this.#queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nempty() {\nreturn this.#queSize == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npush(num) {\nif (this.size == this.capacity) {\nconsole.log(\"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\");\nreturn;\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nconst rear = (this.#front + this.size) % this.capacity;\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nthis.#nums[rear] = num;\nthis.#queSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npoll() {\nconst num = this.peek();\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nthis.#front = (this.#front + 1) % this.capacity;\nthis.#queSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeek() {\nif (this.empty())\nthrow new Error(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.#nums[this.#front];\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue {\nprivate nums: number[]; // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nprivate front: number; // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nprivate queSize: number; // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\nconstructor(capacity: number) {\nthis.nums = new Array(capacity);\nthis.front = this.queSize = 0;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\nget capacity(): number {\nreturn this.nums.length;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size(): number {\nreturn this.queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nempty(): boolean {\nreturn this.queSize == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npush(num: number): void {\nif (this.size == this.capacity) {\nconsole.log(\"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\");\nreturn;\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nconst rear = (this.front + this.queSize) % this.capacity;\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nthis.nums[rear] = num;\nthis.queSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npoll(): number {\nconst num = this.peek();\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nthis.front = (this.front + 1) % this.capacity;\nthis.queSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npeek(): number {\nif (this.empty())\nthrow new Error(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.nums[this.front];\n}\n}\n\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue\n{\nprivate int[] nums; // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nprivate int front; // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nprivate int queSize; // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\npublic ArrayQueue(int capacity)\n{\nnums = new int[capacity];\nfront = queSize = 0;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\npublic int capacity()\n{\nreturn nums.Length;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size()\n{\nreturn queSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic bool isEmpty()\n{\nreturn queSize == 0;\n}\n/* \u5165\u961f */\npublic void push(int num)\n{\nif (queSize == capacity())\n{\nConsole.WriteLine(\"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\");\nreturn;\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nint rear = (front + queSize) % capacity();\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nnums[rear] = num;\nqueSize++;\n}\n/* \u51fa\u961f */\npublic int poll()\n{\nint num = peek();\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nfront = (front + 1) % capacity();\nqueSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\npublic int peek()\n{\nif (isEmpty())\nthrow new Exception();\nreturn nums[front];\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u73af\u5f62\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u961f\u5217 */\nclass ArrayQueue {\nprivate var nums: [Int] // \u7528\u4e8e\u5b58\u50a8\u961f\u5217\u5143\u7d20\u7684\u6570\u7ec4\nprivate var front = 0 // \u961f\u9996\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u9996\u5143\u7d20\nprivate var queSize = 0 // \u961f\u5217\u957f\u5ea6\ninit(capacity: Int) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u6570\u7ec4\nnums = Array(repeating: 0, count: capacity)\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u5bb9\u91cf */\nfunc capacity() -> Int {\nnums.count\n}\n/* \u83b7\u53d6\u961f\u5217\u7684\u957f\u5ea6 */\nfunc size() -> Int {\nqueSize\n}\n/* \u5224\u65ad\u961f\u5217\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nfunc isEmpty() -> Bool {\nqueSize == 0\n}\n/* \u5165\u961f */\nfunc push(num: Int) {\nif size() == capacity() {\nprint(\"\u961f\u5217\u5df2\u6ee1\")\nreturn\n}\n// \u8ba1\u7b97\u5c3e\u6307\u9488\uff0c\u6307\u5411\u961f\u5c3e\u7d22\u5f15 + 1\n// \u901a\u8fc7\u53d6\u4f59\u64cd\u4f5c\uff0c\u5b9e\u73b0 rear \u8d8a\u8fc7\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u540e\u56de\u5230\u5934\u90e8\nlet rear = (front + queSize) % capacity()\n// \u5c3e\u7ed3\u70b9\u540e\u6dfb\u52a0 num\nnums[rear] = num\nqueSize += 1\n}\n/* \u51fa\u961f */\n@discardableResult\nfunc poll() -> Int {\nlet num = peek()\n// \u961f\u9996\u6307\u9488\u5411\u540e\u79fb\u52a8\u4e00\u4f4d\uff0c\u82e5\u8d8a\u8fc7\u5c3e\u90e8\u5219\u8fd4\u56de\u5230\u6570\u7ec4\u5934\u90e8\nfront = (front + 1) % capacity()\nqueSize -= 1\nreturn num\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u961f\u9996\u5143\u7d20 */\nfunc peek() -> Int {\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u961f\u5217\u4e3a\u7a7a\")\n}\nreturn nums[front]\n}\n}\n\n\u4ee5\u4e0a\u4ee3\u7801\u4ecd\u5b58\u5728\u5c40\u9650\u6027\uff0c\u5373\u957f\u5ea6\u4e0d\u53ef\u53d8\u3002\u7136\u800c\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5c06\u6570\u7ec4\u66ff\u6362\u4e3a\u5217\u8868\uff08\u5373\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff09\u6765\u5f15\u5165\u6269\u5bb9\u673a\u5236\uff0c\u6709\u5174\u8da3\u7684\u540c\u5b66\u53ef\u4ee5\u5c1d\u8bd5\u5b9e\u73b0\u3002
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/queue/#523","title":"5.2.3. \u4e24\u79cd\u5b9e\u73b0\u5bf9\u6bd4","text":"\u4e0e\u6808\u7684\u7ed3\u8bba\u4e00\u81f4\uff0c\u5728\u6b64\u4e0d\u518d\u8d58\u8ff0\u3002
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/queue/#524","title":"5.2.4. \u961f\u5217\u5178\u578b\u5e94\u7528","text":"\u300c\u6808 Stack\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u9075\u5faa\u300c\u5148\u5165\u540e\u51fa first in, last out\u300d\u6570\u636e\u64cd\u4f5c\u89c4\u5219\u7684\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5c06\u6808\u7c7b\u6bd4\u4e3a\u653e\u5728\u684c\u9762\u4e0a\u7684\u4e00\u645e\u76d8\u5b50\uff0c\u5982\u679c\u9700\u8981\u62ff\u51fa\u5e95\u90e8\u7684\u76d8\u5b50\uff0c\u5219\u9700\u8981\u5148\u5c06\u4e0a\u9762\u7684\u76d8\u5b50\u4f9d\u6b21\u53d6\u51fa\u3002
\u201c\u76d8\u5b50\u201d\u662f\u4e00\u79cd\u5f62\u8c61\u6bd4\u55bb\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u76d8\u5b50\u66ff\u6362\u4e3a\u4efb\u610f\u4e00\u79cd\u5143\u7d20\uff08\u4f8b\u5982\u6574\u6570\u3001\u5b57\u7b26\u3001\u5bf9\u8c61\u7b49\uff09\uff0c\u5c31\u5f97\u5230\u4e86\u6808\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u3002
\u6211\u4eec\u5c06\u8fd9\u4e00\u645e\u5143\u7d20\u7684\u9876\u90e8\u79f0\u4e3a\u300c\u6808\u9876\u300d\uff0c\u5c06\u5e95\u90e8\u79f0\u4e3a\u300c\u6808\u5e95\u300d\uff0c\u5c06\u628a\u5143\u7d20\u6dfb\u52a0\u5230\u6808\u9876\u7684\u64cd\u4f5c\u79f0\u4e3a\u300c\u5165\u6808\u300d\uff0c\u5c06\u5220\u9664\u6808\u9876\u5143\u7d20\u7684\u64cd\u4f5c\u79f0\u4e3a\u300c\u51fa\u6808\u300d\u3002
Fig. \u6808\u7684\u5148\u5165\u540e\u51fa\u7279\u6027
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/stack/#511","title":"5.1.1. \u6808\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c","text":"\u6808\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c\u89c1\u4e0b\u8868\uff08\u65b9\u6cd5\u547d\u540d\u4ee5 Java \u4e3a\u4f8b\uff09\u3002
Table. \u6808\u7684\u5e38\u7528\u64cd\u4f5c
\u65b9\u6cd5 \u63cf\u8ff0 \u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6 push() \u5143\u7d20\u5165\u6808\uff08\u6dfb\u52a0\u81f3\u6808\u9876\uff09 \\(O(1)\\) pop() \u6808\u9876\u5143\u7d20\u51fa\u6808 \\(O(1)\\) peek() \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) size() \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 \\(O(1)\\) isEmpty() \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \\(O(1)\\)\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u4f7f\u7528\u7f16\u7a0b\u8bed\u8a00\u5b9e\u73b0\u597d\u7684\u6808\u7c7b\u3002 \u67d0\u4e9b\u8bed\u8a00\u5e76\u672a\u4e13\u95e8\u63d0\u4f9b\u6808\u7c7b\uff0c\u4f46\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u628a\u8be5\u8bed\u8a00\u7684\u300c\u6570\u7ec4\u300d\u6216\u300c\u94fe\u8868\u300d\u770b\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528\uff0c\u5e76\u901a\u8fc7\u201c\u8111\u8865\u201d\u6765\u5c4f\u853d\u65e0\u5173\u64cd\u4f5c\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig stack.java/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\n// \u5728 Java \u4e2d\uff0c\u63a8\u8350\u5c06 ArrayList \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528\nList<Integer> stack = new ArrayList<>();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.add(1);\nstack.add(3);\nstack.add(2);\nstack.add(5);\nstack.add(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nint peek = stack.get(stack.size() - 1);\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nint pop = stack.remove(stack.size() - 1);\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = stack.size();\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nboolean isEmpty = stack.isEmpty();\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\nstack<int> stack;\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.push(1);\nstack.push(3);\nstack.push(2);\nstack.push(5);\nstack.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nint top = stack.top();\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nstack.pop();\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = stack.size();\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty = stack.empty();\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u6808 \"\"\"\n# Python \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u6808\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a List \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528 \nstack = []\n\"\"\" \u5143\u7d20\u5165\u6808 \"\"\"\nstack.append(1)\nstack.append(3)\nstack.append(2)\nstack.append(5)\nstack.append(4)\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 \"\"\"\npeek = stack[-1]\n\"\"\" \u5143\u7d20\u51fa\u6808 \"\"\"\npop = stack.pop()\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\nsize = len(stack)\n\"\"\" \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\nis_empty = len(stack) == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\n// \u5728 Go \u4e2d\uff0c\u63a8\u8350\u5c06 Slice \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528\nvar stack []int\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack = append(stack, 1)\nstack = append(stack, 3)\nstack = append(stack, 2)\nstack = append(stack, 5)\nstack = append(stack, 4)\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npeek := stack[len(stack)-1]\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\npop := stack[len(stack)-1]\nstack = stack[:len(stack)-1]\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nsize := len(stack)\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty := len(stack) == 0\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\n// Javascript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u6808\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528 \nconst stack = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.push(1);\nstack.push(3);\nstack.push(2);\nstack.push(5);\nstack.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nconst peek = stack[stack.length-1];\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nconst pop = stack.pop();\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size = stack.length;\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst is_empty = stack.length === 0;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\n// Typescript \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u6808\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528 \nconst stack: number[] = [];\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.push(1);\nstack.push(3);\nstack.push(2);\nstack.push(5);\nstack.push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nconst peek = stack[stack.length - 1];\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nconst pop = stack.pop();\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nconst size = stack.length;\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nconst is_empty = stack.length === 0;\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\nStack<int> stack = new ();\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.Push(1);\nstack.Push(3);\nstack.Push(2);\nstack.Push(5);\nstack.Push(4);\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nint peek = stack.Peek();\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nint pop = stack.Pop();\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size = stack.Count();\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool isEmpty = stack.Count()==0;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u6808 */\n// Swift \u6ca1\u6709\u5185\u7f6e\u7684\u6808\u7c7b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a Array \u5f53\u4f5c\u6808\u6765\u4f7f\u7528\nvar stack: [Int] = []\n/* \u5143\u7d20\u5165\u6808 */\nstack.append(1)\nstack.append(3)\nstack.append(2)\nstack.append(5)\nstack.append(4)\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nlet peek = stack.last!\n/* \u5143\u7d20\u51fa\u6808 */\nlet pop = stack.removeLast()\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nlet size = stack.count\n/* \u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nlet isEmpty = stack.isEmpty\n\n\u4e3a\u4e86\u66f4\u52a0\u6e05\u6670\u5730\u4e86\u89e3\u6808\u7684\u8fd0\u884c\u673a\u5236\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u6211\u4eec\u6765\u81ea\u5df1\u52a8\u624b\u5b9e\u73b0\u4e00\u4e2a\u6808\u7c7b\u3002
\u6808\u89c4\u5b9a\u5143\u7d20\u662f\u5148\u5165\u540e\u51fa\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u6211\u4eec\u53ea\u80fd\u5728\u6808\u9876\u6dfb\u52a0\u6216\u5220\u9664\u5143\u7d20\u3002\u7136\u800c\uff0c\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u90fd\u53ef\u4ee5\u5728\u4efb\u610f\u4f4d\u7f6e\u6dfb\u52a0\u5220\u9664\u5143\u7d20\uff0c\u56e0\u6b64 \u6808\u53ef\u88ab\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u79cd\u53d7\u7ea6\u675f\u7684\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u3002\u6362\u8a00\u4e4b\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u201c\u5c4f\u853d\u201d\u6570\u7ec4\u6216\u94fe\u8868\u7684\u90e8\u5206\u65e0\u5173\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u4e4b\u5bf9\u5916\u7684\u8868\u73b0\u903b\u8f91\u7b26\u5408\u6808\u7684\u89c4\u5b9a\u5373\u53ef\u3002
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\u5bf9\u4e8e\u5165\u6808\u64cd\u4f5c\uff0c\u5c06\u5143\u7d20\u63d2\u5165\u5230\u94fe\u8868\u5934\u90e8\u5373\u53ef\uff0c\u8fd9\u79cd\u7ed3\u70b9\u6dfb\u52a0\u65b9\u5f0f\u88ab\u79f0\u4e3a\u201c\u5934\u63d2\u6cd5\u201d\u3002\u800c\u5bf9\u4e8e\u51fa\u6808\u64cd\u4f5c\uff0c\u5219\u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4ece\u94fe\u8868\u4e2d\u5220\u9664\u5373\u53ef\u3002
LinkedListStackpush()pop()\u4ee5\u4e0b\u662f\u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u6808\u7684\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig linkedlist_stack.java/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack {\nprivate ListNode stackPeek; // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\nprivate int stkSize = 0; // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\npublic LinkedListStack() {\nstackPeek = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size() {\nreturn stkSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic boolean isEmpty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npublic void push(int num) {\nListNode node = new ListNode(num);\nnode.next = stackPeek;\nstackPeek = node;\nstkSize++;\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npublic int pop() {\nint num = peek();\nstackPeek = stackPeek.next;\nstkSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npublic int peek() {\nif (size() == 0)\nthrow new EmptyStackException();\nreturn stackPeek.val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack {\nprivate:\nListNode* stackTop; // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\nint stkSize; // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\npublic:\nLinkedListStack() {\nstackTop = nullptr;\nstkSize = 0;\n}\n~LinkedListStack() {\nfreeMemoryLinkedList(stackTop);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size() {\nreturn stkSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\nvoid push(int num) {\nListNode* node = new ListNode(num);\nnode->next = stackTop;\nstackTop = node;\nstkSize++;\n}\n/* \u51fa\u6808 */\nvoid pop() {\nint num = top();\nListNode *tmp = stackTop;\nstackTop = stackTop->next;\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete tmp;\nstkSize--;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nint top() {\nif (size() == 0)\nthrow out_of_range(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\");\nreturn stackTop->val;\n}\n};\n\"\"\" \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 \"\"\"\nclass LinkedListStack:\ndef __init__(self):\nself.__peek = None\nself.__size = 0\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\ndef size(self):\nreturn self.__size\n\"\"\" \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\ndef is_empty(self):\nreturn not self.__peek\n\"\"\" \u5165\u6808 \"\"\"\ndef push(self, val):\nnode = ListNode(val)\nnode.next = self.__peek\nself.__peek = node\nself.__size += 1\n\"\"\" \u51fa\u6808 \"\"\"\ndef pop(self):\nnum = self.peek()\nself.__peek = self.__peek.next\nself.__size -= 1\nreturn num\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef peek(self):\n# \u5224\u7a7a\u5904\u7406\nif not self.__peek: return None\nreturn self.__peek.val\n\"\"\" \u8f6c\u5316\u4e3a\u5217\u8868\u7528\u4e8e\u6253\u5370 \"\"\"\ndef to_list(self):\narr = []\nnode = self.__peek\nwhile node:\narr.append(node.val)\nnode = node.next\narr.reverse()\nreturn arr\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\ntype linkedListStack struct {\n// \u4f7f\u7528\u5185\u7f6e\u5305 list \u6765\u5b9e\u73b0\u6808\ndata *list.List\n}\n// newLinkedListStack \u521d\u59cb\u5316\u94fe\u8868\nfunc newLinkedListStack() *linkedListStack {\nreturn &linkedListStack{\ndata: list.New(),\n}\n}\n// push \u5165\u6808\nfunc (s *linkedListStack) push(value int) {\ns.data.PushBack(value)\n}\n// pop \u51fa\u6808\nfunc (s *linkedListStack) pop() any {\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\ne := s.data.Back()\ns.data.Remove(e)\nreturn e.Value\n}\n// peek \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20\nfunc (s *linkedListStack) peek() any {\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\ne := s.data.Back()\nreturn e.Value\n}\n// size \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6\nfunc (s *linkedListStack) size() int {\nreturn s.data.Len()\n}\n// isEmpty \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a\nfunc (s *linkedListStack) isEmpty() bool {\nreturn s.data.Len() == 0\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack {\n#stackPeek; // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\n#stkSize = 0; // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\nconstructor() {\nthis.#stackPeek = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size() {\nreturn this.#stkSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty() {\nreturn this.size == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npush(num) {\nconst node = new ListNode(num);\nnode.next = this.#stackPeek;\nthis.#stackPeek = node;\nthis.#stkSize++;\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npop() {\nconst num = this.peek();\nif (!this.#stackPeek) {\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\uff01\");\n}\nthis.#stackPeek = this.#stackPeek.next;\nthis.#stkSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npeek() {\nif (!this.#stackPeek) {\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\uff01\");\n}\nreturn this.#stackPeek.val;\n}\n/* \u5c06\u94fe\u8868\u8f6c\u5316\u4e3a Array \u5e76\u8fd4\u56de */\ntoArray() {\nlet node = this.#stackPeek;\nconst res = new Array(this.size);\nfor (let i = res.length - 1; i >= 0; i--) {\nres[i] = node.val;\nnode = node.next;\n}\nreturn res;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack {\nprivate stackPeek: ListNode | null; // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\nprivate stkSize: number = 0; // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\nconstructor() {\nthis.stackPeek = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size(): number {\nreturn this.stkSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nisEmpty(): boolean {\nreturn this.size == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npush(num: number): void {\nconst node = new ListNode(num);\nnode.next = this.stackPeek;\nthis.stackPeek = node;\nthis.stkSize++;\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npop(): number {\nconst num = this.peek();\nif (!this.stackPeek) {\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\uff01\");\n}\nthis.stackPeek = this.stackPeek.next;\nthis.stkSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npeek(): number {\nif (!this.stackPeek) {\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\uff01\");\n}\nreturn this.stackPeek.val;\n}\n/* \u5c06\u94fe\u8868\u8f6c\u5316\u4e3a Array \u5e76\u8fd4\u56de */\ntoArray(): number[] {\nlet node = this.stackPeek;\nconst res = new Array<number>(this.size);\nfor (let i = res.length - 1; i >= 0; i--) {\nres[i] = node!.val;\nnode = node!.next;\n}\nreturn res;\n}\n}\n\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack\n{\nprivate ListNode stackPeek; // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\nprivate int stkSize = 0; // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\npublic LinkedListStack()\n{\nstackPeek = null;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size()\n{\nreturn stkSize;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic bool isEmpty()\n{\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npublic void push(int num)\n{\nListNode node = new ListNode(num);\nnode.next = stackPeek;\nstackPeek = node;\nstkSize++;\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npublic int pop()\n{\nint num = peek();\nstackPeek = stackPeek?.next;\nstkSize--;\nreturn num;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npublic int peek()\n{\nif (size() == 0)\nthrow new Exception();\nreturn stackPeek.val;\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u94fe\u8868\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass LinkedListStack {\nprivate var _peek: ListNode? // \u5c06\u5934\u7ed3\u70b9\u4f5c\u4e3a\u6808\u9876\nprivate var _size = 0 // \u6808\u7684\u957f\u5ea6\ninit() {}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nfunc size() -> Int {\n_size\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nfunc isEmpty() -> Bool {\nsize() == 0\n}\n/* \u5165\u6808 */\nfunc push(num: Int) {\nlet node = ListNode(x: num)\nnode.next = _peek\n_peek = node\n_size += 1\n}\n/* \u51fa\u6808 */\n@discardableResult\nfunc pop() -> Int {\nlet num = peek()\n_peek = _peek?.next\n_size -= 1\nreturn num\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nfunc peek() -> Int {\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\")\n}\nreturn _peek!.val\n}\n}\n\n\u4f7f\u7528\u300c\u6570\u7ec4\u300d\u5b9e\u73b0\u6808\u65f6\uff0c\u8003\u8651\u5c06\u6570\u7ec4\u7684\u5c3e\u90e8\u5f53\u4f5c\u6808\u9876\u3002\u8fd9\u6837\u8bbe\u8ba1\u4e0b\uff0c\u300c\u5165\u6808\u300d\u4e0e\u300c\u51fa\u6808\u300d\u64cd\u4f5c\u5c31\u5bf9\u5e94\u5728\u6570\u7ec4\u5c3e\u90e8\u300c\u6dfb\u52a0\u5143\u7d20\u300d\u4e0e\u300c\u5220\u9664\u5143\u7d20\u300d\uff0c\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u90fd\u4e3a \\(O(1)\\) \u3002
ArrayStackpush()pop()\u7531\u4e8e\u5165\u6808\u7684\u5143\u7d20\u53ef\u80fd\u662f\u6e90\u6e90\u4e0d\u65ad\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u652f\u6301\u52a8\u6001\u6269\u5bb9\u7684\u300c\u5217\u8868\u300d\uff0c\u8fd9\u6837\u5c31\u65e0\u9700\u81ea\u884c\u5b9e\u73b0\u6570\u7ec4\u6269\u5bb9\u4e86\u3002\u4ee5\u4e0b\u662f\u793a\u4f8b\u4ee3\u7801\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig array_stack.java/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack {\nprivate ArrayList<Integer> stack;\npublic ArrayStack() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\uff08\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff09\nstack = new ArrayList<>();\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size() {\nreturn stack.size();\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic boolean isEmpty() {\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npublic void push(int num) {\nstack.add(num);\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npublic int pop() {\nif (isEmpty())\nthrow new EmptyStackException();\nreturn stack.remove(size() - 1);\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npublic int peek() {\nif (isEmpty())\nthrow new EmptyStackException();\nreturn stack.get(size() - 1);\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack {\nprivate:\nvector<int> stack;\npublic:\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nint size() {\nreturn stack.size();\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nbool empty() {\nreturn stack.empty();\n}\n/* \u5165\u6808 */\nvoid push(int num) {\nstack.push_back(num);\n}\n/* \u51fa\u6808 */\nvoid pop() {\nint oldTop = top();\nstack.pop_back();\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nint top() {\nif(empty())\nthrow out_of_range(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\");\nreturn stack.back();\n}\n};\n\"\"\" \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 \"\"\"\nclass ArrayStack:\ndef __init__(self):\nself.__stack = []\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 \"\"\"\ndef size(self):\nreturn len(self.__stack)\n\"\"\" \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a \"\"\"\ndef is_empty(self):\nreturn self.__stack == []\n\"\"\" \u5165\u6808 \"\"\"\ndef push(self, item):\nself.__stack.append(item)\n\"\"\" \u51fa\u6808 \"\"\"\ndef pop(self):\nassert not self.is_empty(), \"\u6808\u4e3a\u7a7a\"\nreturn self.__stack.pop()\n\"\"\" \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 \"\"\"\ndef peek(self):\nassert not self.is_empty(), \"\u6808\u4e3a\u7a7a\"\nreturn self.__stack[-1]\n\"\"\" \u8fd4\u56de\u5217\u8868\u7528\u4e8e\u6253\u5370 \"\"\"\ndef to_list(self):\nreturn self.__stack\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\ntype arrayStack struct {\ndata []int // \u6570\u636e\n}\nfunc newArrayStack() *arrayStack {\nreturn &arrayStack{\n// \u8bbe\u7f6e\u6808\u7684\u957f\u5ea6\u4e3a 0\uff0c\u5bb9\u91cf\u4e3a 16\ndata: make([]int, 0, 16),\n}\n}\n// size \u6808\u7684\u957f\u5ea6\nfunc (s *arrayStack) size() int {\nreturn len(s.data)\n}\n// isEmpty \u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a\nfunc (s *arrayStack) isEmpty() bool {\nreturn s.size() == 0\n}\n// push \u5165\u6808\nfunc (s *arrayStack) push(v int) {\n// \u5207\u7247\u4f1a\u81ea\u52a8\u6269\u5bb9\ns.data = append(s.data, v)\n}\n// pop \u51fa\u6808\nfunc (s *arrayStack) pop() any {\n// \u5f39\u51fa\u6808\u524d\uff0c\u5148\u5224\u65ad\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\nval := s.peek()\ns.data = s.data[:len(s.data)-1]\nreturn val\n}\n// peek \u83b7\u53d6\u6808\u9876\u5143\u7d20\nfunc (s *arrayStack) peek() any {\nif s.isEmpty() {\nreturn nil\n}\nval := s.data[len(s.data)-1]\nreturn val\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack {\nstack;\nconstructor() {\nthis.stack = [];\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size() {\nreturn this.stack.length;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nempty() {\nreturn this.stack.length === 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npush(num) {\nthis.stack.push(num);\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npop() {\nif (this.empty())\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.stack.pop();\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\ntop() {\nif (this.empty())\nthrow new Error(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\");\nreturn this.stack[this.stack.length - 1];\n}\n};\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack {\nprivate stack: number[];\nconstructor() {\nthis.stack = [];\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nget size(): number {\nreturn this.stack.length;\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nempty(): boolean {\nreturn this.stack.length === 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npush(num: number): void {\nthis.stack.push(num);\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npop(): number | undefined {\nif (this.empty())\nthrow new Error('\u6808\u4e3a\u7a7a');\nreturn this.stack.pop();\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\ntop(): number | undefined {\nif (this.empty())\nthrow new Error('\u6808\u4e3a\u7a7a');\nreturn this.stack[this.stack.length - 1];\n}\n};\n\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack\n{\nprivate List<int> stack;\npublic ArrayStack()\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\uff08\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff09\nstack = new();\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\npublic int size()\n{\nreturn stack.Count();\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\npublic bool isEmpty()\n{\nreturn size() == 0;\n}\n/* \u5165\u6808 */\npublic void push(int num)\n{\nstack.Add(num);\n}\n/* \u51fa\u6808 */\npublic int pop()\n{\nif (isEmpty())\nthrow new Exception();\nvar val = peek();\nstack.RemoveAt(size() - 1);\nreturn val;\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\npublic int peek()\n{\nif (isEmpty())\nthrow new Exception();\nreturn stack[size() - 1];\n}\n}\n/* \u57fa\u4e8e\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u7684\u6808 */\nclass ArrayStack {\nprivate var stack: [Int]\ninit() {\n// \u521d\u59cb\u5316\u5217\u8868\uff08\u52a8\u6001\u6570\u7ec4\uff09\nstack = []\n}\n/* \u83b7\u53d6\u6808\u7684\u957f\u5ea6 */\nfunc size() -> Int {\nstack.count\n}\n/* \u5224\u65ad\u6808\u662f\u5426\u4e3a\u7a7a */\nfunc isEmpty() -> Bool {\nstack.isEmpty\n}\n/* \u5165\u6808 */\nfunc push(num: Int) {\nstack.append(num)\n}\n/* \u51fa\u6808 */\n@discardableResult\nfunc pop() -> Int {\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\")\n}\nreturn stack.removeLast()\n}\n/* \u8bbf\u95ee\u6808\u9876\u5143\u7d20 */\nfunc peek() -> Int {\nif isEmpty() {\nfatalError(\"\u6808\u4e3a\u7a7a\")\n}\nreturn stack.last!\n}\n}\n\n\u4e24\u79cd\u5b9e\u73b0\u90fd\u652f\u6301\u6808\u5b9a\u4e49\u4e2d\u7684\u5404\u9879\u64cd\u4f5c\uff0c\u6570\u7ec4\u5b9e\u73b0\u989d\u5916\u652f\u6301\u968f\u673a\u8bbf\u95ee\uff0c\u4f46\u8fd9\u5df2\u7ecf\u8d85\u51fa\u6808\u7684\u5b9a\u4e49\u8303\u7574\uff0c\u4e00\u822c\u4e0d\u4f1a\u7528\u5230\u3002
"},{"location":"chapter_stack_and_queue/stack/#_4","title":"\u65f6\u95f4\u6548\u7387","text":"\u5728\u6570\u7ec4\uff08\u5217\u8868\uff09\u5b9e\u73b0\u4e2d\uff0c\u5165\u6808\u4e0e\u51fa\u6808\u64cd\u4f5c\u90fd\u662f\u5728\u9884\u5148\u5206\u914d\u597d\u7684\u8fde\u7eed\u5185\u5b58\u4e2d\u64cd\u4f5c\uff0c\u5177\u6709\u5f88\u597d\u7684\u7f13\u5b58\u672c\u5730\u6027\uff0c\u6548\u7387\u5f88\u597d\u3002\u7136\u800c\uff0c\u5982\u679c\u5165\u6808\u65f6\u8d85\u51fa\u6570\u7ec4\u5bb9\u91cf\uff0c\u5219\u4f1a\u89e6\u53d1\u6269\u5bb9\u673a\u5236\uff0c\u90a3\u4e48\u8be5\u6b21\u5165\u6808\u64cd\u4f5c\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u4e3a \\(O(n)\\) \u3002
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G. M. Adelson-Velsky \u548c E. M. Landis \u5728\u5176 1962 \u5e74\u53d1\u8868\u7684\u8bba\u6587 \"An algorithm for the organization of information\" \u4e2d\u63d0\u51fa\u4e86\u300cAVL \u6811\u300d\u3002\u8bba\u6587\u4e2d\u63cf\u8ff0\u4e86\u4e00\u7cfb\u5217\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u5f97\u5728\u4e0d\u65ad\u6dfb\u52a0\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u540e\uff0cAVL \u6811\u4ecd\u7136\u4e0d\u4f1a\u53d1\u751f\u9000\u5316\uff0c\u8fdb\u800c\u4f7f\u5f97\u5404\u79cd\u64cd\u4f5c\u7684\u65f6\u95f4\u590d\u6742\u5ea6\u5747\u80fd\u4fdd\u6301\u5728 \\(O(\\log n)\\) \u7ea7\u522b\u3002
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"},{"location":"chapter_tree/avl_tree/#_1","title":"\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6","text":"\u5728 AVL \u6811\u7684\u64cd\u4f5c\u4e2d\uff0c\u9700\u8981\u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u300c\u9ad8\u5ea6 Height\u300d\uff0c\u6240\u4ee5\u7ed9 AVL \u6811\u7684\u7ed3\u70b9\u7c7b\u6dfb\u52a0 height \u53d8\u91cf\u3002
/* AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\npublic int val; // \u7ed3\u70b9\u503c\npublic int height; // \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\npublic TreeNode left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\npublic TreeNode right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\npublic TreeNode(int x) { val = x; }\n}\n/* AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nstruct TreeNode {\nint val{}; // \u7ed3\u70b9\u503c\nint height = 0; // \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nTreeNode *left{}; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\nTreeNode *right{}; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\nTreeNode() = default;\nexplicit TreeNode(int x) : val(x){}\n};\n\"\"\" AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b \"\"\"\nclass TreeNode:\ndef __init__(self, val=None, left=None, right=None):\nself.val = val # \u7ed3\u70b9\u503c\nself.height = 0 # \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nself.left = left # \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\nself.right = right # \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\n/* AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b */\ntype TreeNode struct {\nVal int // \u7ed3\u70b9\u503c\nHeight int // \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nLeft *TreeNode // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\nRight *TreeNode // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5f15\u7528\n}\nclass TreeNode {\nval; // \u7ed3\u70b9\u503c\nleft; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nright; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nheight; //\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nconstructor(val, left, right, height) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val;\nthis.left = left === undefined ? null : left;\nthis.right = right === undefined ? null : right;\nthis.height = height === undefined ? 0 : height;\n}\n}\n\n\n/* AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\npublic int val; // \u7ed3\u70b9\u503c\npublic int height; // \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\npublic TreeNode? left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\npublic TreeNode? right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\npublic TreeNode(int x) { val = x; }\n}\n/* AVL \u6811\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\nvar val: Int // \u7ed3\u70b9\u503c\nvar height: Int // \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nvar left: TreeNode? // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\nvar right: TreeNode? // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\ninit(x: Int) {\nval = x\nheight = 0\n}\n}\n\n\u300c\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u300d\u662f\u6700\u8fdc\u53f6\u7ed3\u70b9\u5230\u8be5\u7ed3\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u5373\u8d70\u8fc7\u7684\u300c\u8fb9\u300d\u7684\u6570\u91cf\u3002\u9700\u8981\u7279\u522b\u6ce8\u610f\uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u7684\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0 \uff0c\u7a7a\u7ed3\u70b9\u7684\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1\u3002\u6211\u4eec\u5c01\u88c5\u4e24\u4e2a\u5de5\u5177\u51fd\u6570\uff0c\u5206\u522b\u7528\u4e8e\u83b7\u53d6\u4e0e\u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u7684\u9ad8\u5ea6\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nint height(TreeNode node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nreturn node == null ? -1 : node.height;\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nvoid updateHeight(TreeNode node) {\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nint height(TreeNode* node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nreturn node == nullptr ? -1 : node->height;\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nvoid updateHeight(TreeNode* node) {\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;\n}\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 \"\"\"\ndef height(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:\n# \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nif node is not None:\nreturn node.height\nreturn -1\n\"\"\" \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 \"\"\"\ndef __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):\n# \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1\n/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nfunc height(node *TreeNode) int {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nif node != nil {\nreturn node.Height\n}\nreturn -1\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nfunc updateHeight(node *TreeNode) {\nlh := height(node.Left)\nrh := height(node.Right)\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nif lh > rh {\nnode.Height = lh + 1\n} else {\nnode.Height = rh + 1\n}\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nheight(node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nreturn node === null ? -1 : node.height;\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nupdateHeight(node) {\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode.height = Math.max(this.height(node.left), this.height(node.right)) + 1;\n}\n\n\n/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\npublic int height(TreeNode? node)\n{\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nreturn node == null ? -1 : node.height;\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nprivate void updateHeight(TreeNode node)\n{\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode.height = Math.Max(height(node.left), height(node.right)) + 1;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nfunc height(node: TreeNode?) -> Int {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a -1 \uff0c\u53f6\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u4e3a 0\nnode == nil ? -1 : node!.height\n}\n/* \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6 */\nfunc updateHeight(node: TreeNode?) {\n// \u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\u7b49\u4e8e\u6700\u9ad8\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 + 1\nnode?.height = max(height(node: node?.left), height(node: node?.right)) + 1\n}\n\n\u7ed3\u70b9\u7684\u300c\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 Balance Factor\u300d\u662f \u7ed3\u70b9\u7684\u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\u51cf\u53bb\u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\uff0c\u5e76\u5b9a\u4e49\u7a7a\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0 \u3002\u540c\u6837\u5730\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u5c01\u88c5\u6210\u51fd\u6570\uff0c\u4ee5\u4fbf\u540e\u7eed\u4f7f\u7528\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\npublic int balanceFactor(TreeNode node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif (node == null) return 0;\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn height(node.left) - height(node.right);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\nint balanceFactor(TreeNode* node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif (node == nullptr) return 0;\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn height(node->left) - height(node->right);\n}\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 \"\"\"\ndef balance_factor(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:\n# \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif node is None:\nreturn 0\n# \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn self.height(node.left) - self.height(node.right)\n/* \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\nfunc balanceFactor(node *TreeNode) int {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif node == nil {\nreturn 0\n}\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn height(node.Left) - height(node.Right)\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\nbalanceFactor(node) {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif (node === null) return 0;\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn this.height(node.left) - this.height(node.right);\n}\n\n\n/* \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\npublic int balanceFactor(TreeNode? node)\n{\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nif (node == null) return 0;\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn height(node.left) - height(node.right);\n}\n/* \u83b7\u53d6\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 */\nfunc balanceFactor(node: TreeNode?) -> Int {\n// \u7a7a\u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a 0\nguard let node = node else { return 0 }\n// \u7ed3\u70b9\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 = \u5de6\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6 - \u53f3\u5b50\u6811\u9ad8\u5ea6\nreturn height(node: node.left) - height(node: node.right)\n}\n\nNote
\u8bbe\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u4e3a \\(f\\) \uff0c\u5219\u4e00\u68f5 AVL \u6811\u7684\u4efb\u610f\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u7686\u6ee1\u8db3 \\(-1 \\le f \\le 1\\) \u3002
"},{"location":"chapter_tree/avl_tree/#742-avl","title":"7.4.2. AVL \u6811\u65cb\u8f6c","text":"AVL \u6811\u7684\u72ec\u7279\u4e4b\u5904\u5728\u4e8e\u300c\u65cb\u8f6c Rotation\u300d\u7684\u64cd\u4f5c\uff0c\u5176\u53ef \u5728\u4e0d\u5f71\u54cd\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u5e8f\u5217\u7684\u524d\u63d0\u4e0b\uff0c\u4f7f\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861\u3002\u6362\u8a00\u4e4b\uff0c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\u65e2\u53ef\u4ee5\u4f7f\u6811\u4fdd\u6301\u4e3a\u300c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u300d\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f7f\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u4e3a\u300c\u5e73\u8861\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u3002
\u6211\u4eec\u5c06\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u7684\u7edd\u5bf9\u503c \\(> 1\\) \u7684\u7ed3\u70b9\u79f0\u4e3a\u300c\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u300d\u3002\u6839\u636e\u7ed3\u70b9\u7684\u5931\u8861\u60c5\u51b5\uff0c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\u5206\u4e3a \u53f3\u65cb\u3001\u5de6\u65cb\u3001\u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\u3001\u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u6211\u4eec\u6765\u4e00\u8d77\u6765\u770b\u770b\u5b83\u4eec\u662f\u5982\u4f55\u64cd\u4f5c\u7684\u3002
"},{"location":"chapter_tree/avl_tree/#case-1-","title":"Case 1 - \u53f3\u65cb","text":"\u5982\u4e0b\u56fe\u6240\u793a\uff08\u7ed3\u70b9\u4e0b\u65b9\u4e3a\u300c\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u300d\uff09\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u770b\uff0c\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u9996\u4e2a\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u662f \u7ed3\u70b9 3\u3002\u6211\u4eec\u805a\u7126\u5728\u4ee5\u8be5\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u4e3a\u6839\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u6811\u4e0a\uff0c\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u8bb0\u4e3a node \uff0c\u5c06\u5176\u5de6\u5b50\u8282\u70b9\u8bb0\u4e3a child \uff0c\u6267\u884c\u300c\u53f3\u65cb\u300d\u64cd\u4f5c\u3002\u5b8c\u6210\u53f3\u65cb\u540e\uff0c\u8be5\u5b50\u6811\u5df2\u7ecf\u6062\u590d\u5e73\u8861\uff0c\u5e76\u4e14\u4ecd\u7136\u4e3a\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u3002
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JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nTreeNode rightRotate(TreeNode node) {\nTreeNode child = node.left;\nTreeNode grandChild = child.right;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild.right = node;\nnode.left = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nTreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {\nTreeNode* child = node->left;\nTreeNode* grandChild = child->right;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild->right = node;\nnode->left = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n\"\"\" \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c \"\"\"\ndef __right_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:\nchild = node.left\ngrand_child = child.right\n# \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild.right = node\nnode.left = grand_child\n# \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nself.__update_height(node)\nself.__update_height(child)\n# \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nfunc rightRotate(node *TreeNode) *TreeNode {\nchild := node.Left\ngrandChild := child.Right\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild.Right = node\nnode.Left = grandChild\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node)\nupdateHeight(child)\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n}\n/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nrightRotate(node) {\nlet child = node.left;\nlet grandChild = child.right;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild.right = node;\nnode.left = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nthis.updateHeight(node);\nthis.updateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n\n\n/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nTreeNode? rightRotate(TreeNode? node)\n{\nTreeNode? child = node.left;\nTreeNode? grandChild = child?.right;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild.right = node;\nnode.left = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n/* \u53f3\u65cb\u64cd\u4f5c */\nfunc rightRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {\nlet child = node?.left\nlet grandChild = child?.right\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u53f3\u65cb\u8f6c\nchild?.right = node\nnode?.left = grandChild\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node: node)\nupdateHeight(node: child)\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n}\n\n\u7c7b\u4f3c\u5730\uff0c\u5982\u679c\u5c06\u53d6\u4e0a\u8ff0\u5931\u8861\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u201c\u955c\u50cf\u201d\uff0c\u90a3\u4e48\u5219\u9700\u8981\u300c\u5de6\u65cb\u300d\u64cd\u4f5c\u3002
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/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nprivate TreeNode leftRotate(TreeNode node) {\nTreeNode child = node.right;\nTreeNode grandChild = child.left;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild.left = node;\nnode.right = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nTreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {\nTreeNode* child = node->right;\nTreeNode* grandChild = child->left;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild->left = node;\nnode->right = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n\"\"\" \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c \"\"\"\ndef __left_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:\nchild = node.right\ngrand_child = child.left\n# \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild.left = node\nnode.right = grand_child\n# \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nself.__update_height(node)\nself.__update_height(child)\n# \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nfunc leftRotate(node *TreeNode) *TreeNode {\nchild := node.Right\ngrandChild := child.Left\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild.Left = node\nnode.Right = grandChild\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node)\nupdateHeight(child)\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n}\n/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nleftRotate(node) {\nlet child = node.right;\nlet grandChild = child.left;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild.left = node;\nnode.right = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nthis.updateHeight(node);\nthis.updateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n\n\n/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nTreeNode? leftRotate(TreeNode? node)\n{\nTreeNode? child = node.right;\nTreeNode? grandChild = child?.left;\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild.left = node;\nnode.right = grandChild;\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node);\nupdateHeight(child);\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child;\n}\n/* \u5de6\u65cb\u64cd\u4f5c */\nfunc leftRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {\nlet child = node?.right\nlet grandChild = child?.left\n// \u4ee5 child \u4e3a\u539f\u70b9\uff0c\u5c06 node \u5411\u5de6\u65cb\u8f6c\nchild?.left = node\nnode?.right = grandChild\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node: node)\nupdateHeight(node: child)\n// \u8fd4\u56de\u65cb\u8f6c\u540e\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn child\n}\n\n\u5bf9\u4e8e\u4e0b\u56fe\u7684\u5931\u8861\u7ed3\u70b9 3 \uff0c\u5355\u4e00\u4f7f\u7528\u5de6\u65cb\u6216\u53f3\u65cb\u90fd\u65e0\u6cd5\u4f7f\u5b50\u6811\u6062\u590d\u5e73\u8861\uff0c\u6b64\u65f6\u9700\u8981\u300c\u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\u300d\uff0c\u5373\u5148\u5bf9 child \u6267\u884c\u300c\u5de6\u65cb\u300d\uff0c\u518d\u5bf9 node \u6267\u884c\u300c\u53f3\u65cb\u300d\u3002
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\u5177\u4f53\u5730\uff0c\u5728\u4ee3\u7801\u4e2d\u4f7f\u7528 \u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\u3001\u8f83\u9ad8\u4e00\u4fa7\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 \u6765\u786e\u5b9a\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u5c5e\u4e8e\u4e0a\u56fe\u4e2d\u7684\u54ea\u79cd\u60c5\u51b5\u3002
\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 \u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50 \u5e94\u91c7\u7528\u7684\u65cb\u8f6c\u65b9\u6cd5 \\(>0\\) \uff08\u5373\u5de6\u504f\u6811\uff09 \\(\\geq 0\\) \u53f3\u65cb \\(>0\\) \uff08\u5373\u5de6\u504f\u6811\uff09 \\(<0\\) \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb \\(<0\\) \uff08\u5373\u53f3\u504f\u6811\uff09 \\(\\leq 0\\) \u5de6\u65cb \\(<0\\) \uff08\u5373\u53f3\u504f\u6811\uff09 \\(>0\\) \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\u4e3a\u65b9\u4fbf\u4f7f\u7528\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\u5c01\u88c5\u6210\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u3002\u81f3\u6b64\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u6b64\u51fd\u6570\u6765\u65cb\u8f6c\u5404\u79cd\u5931\u8861\u60c5\u51b5\uff0c\u4f7f\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nTreeNode rotate(TreeNode node) {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nint balanceFactor = balanceFactor(node);\n// \u5de6\u504f\u6811\nif (balanceFactor > 1) {\nif (balanceFactor(node.left) >= 0) {\n// \u53f3\u65cb\nreturn rightRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode.left = leftRotate(node.left);\nreturn rightRotate(node);\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif (balanceFactor < -1) {\nif (balanceFactor(node.right) <= 0) {\n// \u5de6\u65cb\nreturn leftRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode.right = rightRotate(node.right);\nreturn leftRotate(node);\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node;\n}\n/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nTreeNode* rotate(TreeNode* node) {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nint _balanceFactor = balanceFactor(node);\n// \u5de6\u504f\u6811\nif (_balanceFactor > 1) {\nif (balanceFactor(node->left) >= 0) {\n// \u53f3\u65cb\nreturn rightRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode->left = leftRotate(node->left);\nreturn rightRotate(node);\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif (_balanceFactor < -1) {\nif (balanceFactor(node->right) <= 0) {\n// \u5de6\u65cb\nreturn leftRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode->right = rightRotate(node->right);\nreturn leftRotate(node);\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node;\n}\n\"\"\" \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 \"\"\"\ndef __rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> TreeNode:\n# \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nbalance_factor = self.balance_factor(node)\n# \u5de6\u504f\u6811\nif balance_factor > 1:\nif self.balance_factor(node.left) >= 0:\n# \u53f3\u65cb\nreturn self.__right_rotate(node)\nelse:\n# \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode.left = self.__left_rotate(node.left)\nreturn self.__right_rotate(node)\n# \u53f3\u504f\u6811\nelif balance_factor < -1:\nif self.balance_factor(node.right) <= 0:\n# \u5de6\u65cb\nreturn self.__left_rotate(node)\nelse:\n# \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode.right = self.__right_rotate(node.right)\nreturn self.__left_rotate(node)\n# \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node\n/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nfunc rotate(node *TreeNode) *TreeNode {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\n// Go \u63a8\u8350\u77ed\u53d8\u91cf\uff0c\u8fd9\u91cc bf \u6307\u4ee3 balanceFactor\nbf := balanceFactor(node)\n// \u5de6\u504f\u6811\nif bf > 1 {\nif balanceFactor(node.Left) >= 0 {\n// \u53f3\u65cb\nreturn rightRotate(node)\n} else {\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode.Left = leftRotate(node.Left)\nreturn rightRotate(node)\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif bf < -1 {\nif balanceFactor(node.Right) <= 0 {\n// \u5de6\u65cb\nreturn leftRotate(node)\n} else {\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode.Right = rightRotate(node.Right)\nreturn leftRotate(node)\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node\n}\n/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nrotate(node) {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nlet balanceFactor = this.balanceFactor(node);\n// \u5de6\u504f\u6811\nif (balanceFactor > 1) {\nif (this.balanceFactor(node.left) >= 0) {\n// \u53f3\u65cb\nreturn this.rightRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode.left = this.leftRotate(node.left);\nreturn this.rightRotate(node);\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif (balanceFactor < -1) {\nif (this.balanceFactor(node.right) <= 0) {\n// \u5de6\u65cb\nreturn this.leftRotate(node);\n} else {\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode.right = this.rightRotate(node.right);\nreturn this.leftRotate(node);\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node;\n}\n\n\n/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nTreeNode? rotate(TreeNode? node)\n{\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nint balanceFactorInt = balanceFactor(node);\n// \u5de6\u504f\u6811\nif (balanceFactorInt > 1)\n{\nif (balanceFactor(node.left) >= 0)\n{\n// \u53f3\u65cb\nreturn rightRotate(node);\n}\nelse\n{\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode.left = leftRotate(node?.left);\nreturn rightRotate(node);\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif (balanceFactorInt < -1)\n{\nif (balanceFactor(node.right) <= 0)\n{\n// \u5de6\u65cb\nreturn leftRotate(node);\n}\nelse\n{\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode.right = rightRotate(node?.right);\nreturn leftRotate(node);\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node;\n}\n/* \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nfunc rotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {\n// \u83b7\u53d6\u7ed3\u70b9 node \u7684\u5e73\u8861\u56e0\u5b50\nlet balanceFactor = balanceFactor(node: node)\n// \u5de6\u504f\u6811\nif balanceFactor > 1 {\nif self.balanceFactor(node: node?.left) >= 0 {\n// \u53f3\u65cb\nreturn rightRotate(node: node)\n} else {\n// \u5148\u5de6\u65cb\u540e\u53f3\u65cb\nnode?.left = leftRotate(node: node?.left)\nreturn rightRotate(node: node)\n}\n}\n// \u53f3\u504f\u6811\nif balanceFactor < -1 {\nif self.balanceFactor(node: node?.right) <= 0 {\n// \u5de6\u65cb\nreturn leftRotate(node: node)\n} else {\n// \u5148\u53f3\u65cb\u540e\u5de6\u65cb\nnode?.right = rightRotate(node: node?.right)\nreturn leftRotate(node: node)\n}\n}\n// \u5e73\u8861\u6811\uff0c\u65e0\u9700\u65cb\u8f6c\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node\n}\n\n\u300cAVL \u6811\u300d\u7684\u7ed3\u70b9\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u4e0e\u300c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u300d\u4e3b\u4f53\u7c7b\u4f3c\u3002\u4e0d\u540c\u7684\u662f\uff0c\u5728\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u540e\uff0c\u4ece\u8be5\u7ed3\u70b9\u5230\u6839\u7ed3\u70b9\u7684\u8def\u5f84\u4e0a\u4f1a\u51fa\u73b0\u4e00\u7cfb\u5217\u300c\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u300d\u3002\u6240\u4ee5\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u4ece\u8be5\u7ed3\u70b9\u5f00\u59cb\uff0c\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5730\u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u6240\u6709\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u6062\u590d\u5e73\u8861\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode insert(int val) {\nroot = insertHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nTreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {\nif (node == null) return new TreeNode(val);\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif (val < node.val)\nnode.left = insertHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val)\nnode.right = insertHelper(node.right, val);\nelse\nreturn node; // \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* insert(int val) {\nroot = insertHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nTreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {\nif (node == nullptr) return new TreeNode(val);\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif (val < node->val)\nnode->left = insertHelper(node->left, val);\nelse if (val > node->val)\nnode->right = insertHelper(node->right, val);\nelse\nreturn node; // \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n\"\"\" \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef insert(self, val) -> TreeNode:\nself.root = self.__insert_helper(self.root, val)\nreturn self.root\n\"\"\" \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09\"\"\"\ndef __insert_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:\nif node is None:\nreturn TreeNode(val)\n# 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\nif val < node.val:\nnode.left = self.__insert_helper(node.left, val)\nelif val > node.val:\nnode.right = self.__insert_helper(node.right, val)\nelse:\n# \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node\n# \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nself.__update_height(node)\n# 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861\nreturn self.__rotate(node)\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nfunc (t *avlTree) insert(val int) *TreeNode {\nt.root = insertHelper(t.root, val)\nreturn t.root\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nfunc insertHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {\nif node == nil {\nreturn NewTreeNode(val)\n}\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif val < node.Val {\nnode.Left = insertHelper(node.Left, val)\n} else if val > node.Val {\nnode.Right = insertHelper(node.Right, val)\n} else {\n// \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nreturn node\n}\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node)\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node)\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\ninsert(val) {\nthis.root = this.insertHelper(this.root, val);\nreturn this.root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\ninsertHelper(node, val) {\nif (node === null) return new TreeNode(val);\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif (val < node.val) node.left = this.insertHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val) node.right = this.insertHelper(node.right, val);\nelse return node; // \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nthis.updateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = this.rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n\n\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\npublic TreeNode? insert(int val)\n{\nroot = insertHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nprivate TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val)\n{\nif (node == null) return new TreeNode(val);\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif (val < node.val)\nnode.left = insertHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val)\nnode.right = insertHelper(node.right, val);\nelse\nreturn node; // \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\n@discardableResult\nfunc insert(val: Int) -> TreeNode? {\nroot = insertHelper(node: root, val: val)\nreturn root\n}\n/* \u9012\u5f52\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nfunc insertHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {\nvar node = node\nif node == nil {\nreturn TreeNode(x: val)\n}\n/* 1. \u67e5\u627e\u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5e76\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nif val < node!.val {\nnode?.left = insertHelper(node: node?.left, val: val)\n} else if val > node!.val {\nnode?.right = insertHelper(node: node?.right, val: val)\n} else {\nreturn node // \u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\u4e0d\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\n}\nupdateHeight(node: node) // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node: node)\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node\n}\n\n\u300cAVL \u6811\u300d\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u64cd\u4f5c\u4e0e\u300c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u300d\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u64cd\u4f5c\u603b\u4f53\u76f8\u540c\u3002\u7c7b\u4f3c\u5730\uff0c\u5728\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u540e\uff0c\u4e5f\u9700\u8981\u4ece\u5e95\u81f3\u9876\u5730\u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u6240\u6709\u5931\u8861\u7ed3\u70b9\u6062\u590d\u5e73\u8861\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig avl_tree.java/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode remove(int val) {\nroot = removeHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nTreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {\nif (node == null) return null;\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif (val < node.val)\nnode.left = removeHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val)\nnode.right = removeHelper(node.right, val);\nelse {\nif (node.left == null || node.right == null) {\nTreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif (child == null)\nreturn null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse\nnode = child;\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\nTreeNode temp = getInOrderNext(node.right);\nnode.right = removeHelper(node.right, temp.val);\nnode.val = temp.val;\n}\n}\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* remove(int val) {\nroot = removeHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nTreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {\nif (node == nullptr) return nullptr;\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif (val < node->val)\nnode->left = removeHelper(node->left, val);\nelse if (val > node->val)\nnode->right = removeHelper(node->right, val);\nelse {\nif (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {\nTreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif (child == nullptr) {\ndelete node;\nreturn nullptr;\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse {\ndelete node;\nnode = child;\n}\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\nTreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);\nnode->right = removeHelper(node->right, temp->val);\nnode->val = temp->val;\n}\n}\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n\"\"\" \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef remove(self, val: int):\nroot = self.__remove_helper(self.root, val)\nreturn root\n\"\"\" \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 \"\"\"\ndef __remove_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:\nif node is None:\nreturn None\n# 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b\nif val < node.val:\nnode.left = self.__remove_helper(node.left, val)\nelif val > node.val:\nnode.right = self.__remove_helper(node.right, val)\nelse:\nif node.left is None or node.right is None:\nchild = node.left or node.right\n# \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif child is None:\nreturn None\n# \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse:\nnode = child\nelse: # \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\ntemp = self.__get_inorder_next(node.right)\nnode.right = self.__remove_helper(node.right, temp.val)\nnode.val = temp.val\n# \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nself.__update_height(node)\n# 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861\nreturn self.__rotate(node)\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nfunc (t *avlTree) remove(val int) *TreeNode {\nroot := removeHelper(t.root, val)\nreturn root\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nfunc removeHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {\nif node == nil {\nreturn nil\n}\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif val < node.Val {\nnode.Left = removeHelper(node.Left, val)\n} else if val > node.Val {\nnode.Right = removeHelper(node.Right, val)\n} else {\nif node.Left == nil || node.Right == nil {\nchild := node.Left\nif node.Right != nil {\nchild = node.Right\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif child == nil {\nreturn nil\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nnode = child\n}\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\ntemp := getInOrderNext(node.Right)\nnode.Right = removeHelper(node.Right, temp.Val)\nnode.Val = temp.Val\n}\n}\n// \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\nupdateHeight(node)\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node)\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nremove(val) {\nthis.root = this.removeHelper(this.root, val);\nreturn this.root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nremoveHelper(node, val) {\nif (node === null) return null;\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif (val < node.val) node.left = this.removeHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val) node.right = this.removeHelper(node.right, val);\nelse {\nif (node.left === null || node.right === null) {\nlet child = node.left !== null ? node.left : node.right;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif (child === null) return null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse node = child;\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\nlet temp = this.getInOrderNext(node.right);\nnode.right = this.removeHelper(node.right, temp.val);\nnode.val = temp.val;\n}\n}\nthis.updateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = this.rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n\n\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\npublic TreeNode? remove(int val)\n{\nroot = removeHelper(root, val);\nreturn root;\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nprivate TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val)\n{\nif (node == null) return null;\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif (val < node.val)\nnode.left = removeHelper(node.left, val);\nelse if (val > node.val)\nnode.right = removeHelper(node.right, val);\nelse\n{\nif (node.left == null || node.right == null)\n{\nTreeNode? child = node.left != null ? node.left : node.right;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif (child == null)\nreturn null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse\nnode = child;\n}\nelse\n{\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\nTreeNode? temp = getInOrderNext(node.right);\nnode.right = removeHelper(node.right, temp.val);\nnode.val = temp.val;\n}\n}\nupdateHeight(node); // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node);\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node;\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\n@discardableResult\nfunc remove(val: Int) -> TreeNode? {\nroot = removeHelper(node: root, val: val)\nreturn root\n}\n/* \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff08\u8f85\u52a9\u51fd\u6570\uff09 */\nfunc removeHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {\nvar node = node\nif node == nil {\nreturn nil\n}\n/* 1. \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u5220\u9664\u4e4b */\nif val < node!.val {\nnode?.left = removeHelper(node: node?.left, val: val)\n} else if val > node!.val {\nnode?.right = removeHelper(node: node?.right, val: val)\n} else {\nif node?.left == nil || node?.right == nil {\nlet child = node?.left != nil ? node?.left : node?.right\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node \u5e76\u8fd4\u56de\nif child == nil {\nreturn nil\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 1 \uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664 node\nelse {\nnode = child\n}\n} else {\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2 \uff0c\u5219\u5c06\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e2a\u7ed3\u70b9\u5220\u9664\uff0c\u5e76\u7528\u8be5\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u5f53\u524d\u7ed3\u70b9\nlet temp = getInOrderNext(node: node?.right)\nnode?.right = removeHelper(node: node?.right, val: temp!.val)\nnode?.val = temp!.val\n}\n}\nupdateHeight(node: node) // \u66f4\u65b0\u7ed3\u70b9\u9ad8\u5ea6\n/* 2. \u6267\u884c\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\uff0c\u4f7f\u8be5\u5b50\u6811\u91cd\u65b0\u6062\u590d\u5e73\u8861 */\nnode = rotate(node: node)\n// \u8fd4\u56de\u5b50\u6811\u7684\u6839\u8282\u70b9\nreturn node\n}\n\n\u300cAVL \u6811\u300d\u7684\u7ed3\u70b9\u67e5\u627e\u64cd\u4f5c\u4e0e\u300c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u300d\u4e00\u81f4\uff0c\u5728\u6b64\u4e0d\u518d\u8d58\u8ff0\u3002
"},{"location":"chapter_tree/avl_tree/#744-avl","title":"7.4.4. AVL \u6811\u5178\u578b\u5e94\u7528","text":"\u4e3a\u4ec0\u4e48\u7ea2\u9ed1\u6811\u6bd4 AVL \u6811\u66f4\u53d7\u6b22\u8fce\uff1f
\u7ea2\u9ed1\u6811\u7684\u5e73\u8861\u6761\u4ef6\u76f8\u5bf9\u5bbd\u677e\uff0c\u56e0\u6b64\u5728\u7ea2\u9ed1\u6811\u4e2d\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u6240\u9700\u7684\u65cb\u8f6c\u64cd\u4f5c\u76f8\u5bf9\u66f4\u5c11\uff0c\u7ed3\u70b9\u589e\u5220\u64cd\u4f5c\u76f8\u6bd4 AVL \u6811\u7684\u6548\u7387\u66f4\u9ad8\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_search_tree/","title":"7.3. \u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811","text":"\u300c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811 Binary Search Tree\u300d\u6ee1\u8db3\u4ee5\u4e0b\u6761\u4ef6\uff1a
1. \uff1b\u7ed9\u5b9a\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u503c num \uff0c\u53ef\u4ee5\u6839\u636e\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u6027\u8d28\u6765\u67e5\u627e\u3002\u6211\u4eec\u58f0\u660e\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9 cur \uff0c\u4ece\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6839\u7ed3\u70b9 root \u51fa\u53d1\uff0c\u5faa\u73af\u6bd4\u8f83\u7ed3\u70b9\u503c cur.val \u548c num \u4e4b\u95f4\u7684\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb
cur.val < num \uff0c\u8bf4\u660e\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\uff0c\u56e0\u6b64\u6267\u884c cur = cur.right \uff1bcur.val > num \uff0c\u8bf4\u660e\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\uff0c\u56e0\u6b64\u6267\u884c cur = cur.left \uff1bcur.val = num \uff0c\u8bf4\u660e\u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\u5e76\u8fd4\u56de\u8be5\u7ed3\u70b9\u5373\u53ef\uff1b\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u67e5\u627e\u64cd\u4f5c\u548c\u4e8c\u5206\u67e5\u627e\u7b97\u6cd5\u5982\u51fa\u4e00\u8f99\uff0c\u4e5f\u662f\u5728\u6bcf\u8f6e\u6392\u9664\u4e00\u534a\u60c5\u51b5\u3002\u5faa\u73af\u6b21\u6570\u6700\u591a\u4e3a\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u9ad8\u5ea6\uff0c\u5f53\u4e8c\u53c9\u6811\u5e73\u8861\u65f6\uff0c\u4f7f\u7528 \\(O(\\log n)\\) \u65f6\u95f4\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_search_tree.java/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode search(int num) {\nTreeNode cur = root;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null) {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse if (cur.val > num) cur = cur.left;\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse break;\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur;\n}\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* search(int num) {\nTreeNode* cur = root;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != nullptr) {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur->val < num) cur = cur->right;\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse if (cur->val > num) cur = cur->left;\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse break;\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur;\n}\n\"\"\" \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef search(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:\ncur = self.root\n# \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile cur is not None:\n# \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif cur.val < num:\ncur = cur.right\n# \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelif cur.val > num:\ncur = cur.left\n# \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse:\nbreak\nreturn cur\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nfunc (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {\nnode := bst.root\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nfor node != nil {\nif node.Val < num {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nnode = node.Right\n} else if node.Val > num {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nnode = node.Left\n} else {\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nbreak\n}\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn node\n}\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nfunction search(num) {\nlet cur = root;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse if (cur.val > num) cur = cur.left;\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse break;\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur;\n}\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nfunction search(num: number): TreeNode | null {\nlet cur = root;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\nif (cur.val < num) {\ncur = cur.right; // \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\n} else if (cur.val > num) {\ncur = cur.left; // \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\n} else {\nbreak; // \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\n}\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur;\n}\n\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode? search(int num)\n{\nTreeNode? cur = root;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null)\n{\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse if (cur.val > num) cur = cur.left;\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse break;\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur;\n}\n/* \u67e5\u627e\u7ed3\u70b9 */\nfunc search(num: Int) -> TreeNode? {\nvar cur = root\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile cur != nil {\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif cur!.val < num {\ncur = cur?.right\n}\n// \u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse if cur!.val > num {\ncur = cur?.left\n}\n// \u627e\u5230\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nelse {\nbreak\n}\n}\n// \u8fd4\u56de\u76ee\u6807\u7ed3\u70b9\nreturn cur\n}\n\n\u7ed9\u5b9a\u4e00\u4e2a\u5f85\u63d2\u5165\u5143\u7d20 num \uff0c\u4e3a\u4e86\u4fdd\u6301\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u201c\u5de6\u5b50\u6811 < \u6839\u7ed3\u70b9 < \u53f3\u5b50\u6811\u201d\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u5206\u4e3a\u4e24\u6b65\uff1a
num \u7684\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb\u5faa\u73af\u5411\u4e0b\u641c\u7d22\uff0c\u76f4\u5230\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\uff08\u904d\u5386\u5230 \\(\\text{null}\\) \uff09\u65f6\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\uff1bnum \uff0c\u5c06\u8be5\u7ed3\u70b9\u653e\u5230 \\(\\text{null}\\) \u7684\u4f4d\u7f6e \uff1b\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u4e0d\u5141\u8bb8\u5b58\u5728\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u5426\u5219\u5c06\u4f1a\u8fdd\u80cc\u5176\u5b9a\u4e49\u3002\u56e0\u6b64\u82e5\u5f85\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u5728\u6811\u4e2d\u5df2\u7ecf\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u4e0d\u6267\u884c\u63d2\u5165\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\u5373\u53ef\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_search_tree.java/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode insert(int num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == null) return null;\nTreeNode cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null) {\n// \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur.val == num) return null;\npre = cur;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nTreeNode node = new TreeNode(num);\nif (pre.val < num) pre.right = node;\nelse pre.left = node;\nreturn node;\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* insert(int num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == nullptr) return nullptr;\nTreeNode *cur = root, *pre = nullptr;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != nullptr) {\n// \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur->val == num) return nullptr;\npre = cur;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur->val < num) cur = cur->right;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur->left;\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nTreeNode* node = new TreeNode(num);\nif (pre->val < num) pre->right = node;\nelse pre->left = node;\nreturn node;\n}\n\"\"\" \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef insert(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:\nroot = self.root\n# \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif root is None:\nreturn None\n# \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\ncur, pre = root, None\nwhile cur is not None:\n# \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif cur.val == num:\nreturn None\npre = cur\n# \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif cur.val < num:\ncur = cur.right\n# \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse:\ncur = cur.left\n# \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nnode = TreeNode(num)\nif pre.val < num:\npre.right = node\nelse:\npre.left = node\nreturn node\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nfunc (bst *binarySearchTree) insert(num int) *TreeNode {\ncur := bst.root\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif cur == nil {\nreturn nil\n}\n// \u5f85\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u4e4b\u524d\u7684\u7ed3\u70b9\u4f4d\u7f6e\nvar pre *TreeNode = nil\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nfor cur != nil {\nif cur.Val == num {\nreturn nil\n}\npre = cur\nif cur.Val < num {\ncur = cur.Right\n} else {\ncur = cur.Left\n}\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\nnode := NewTreeNode(num)\nif pre.Val < num {\npre.Right = node\n} else {\npre.Left = node\n}\nreturn cur\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nfunction insert(num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root === null) return null;\nlet cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\n// \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur.val === num) return null;\npre = cur;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nlet node = new Tree.TreeNode(num);\nif (pre.val < num) pre.right = node;\nelse pre.left = node;\nreturn node;\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nfunction insert(num: number): TreeNode | null {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root === null) {\nreturn null;\n}\nlet cur = root,\npre: TreeNode | null = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\nif (cur.val === num) {\nreturn null; // \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\n}\npre = cur;\nif (cur.val < num) {\ncur = cur.right as TreeNode; // \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\n} else {\ncur = cur.left as TreeNode; // \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\n}\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nlet node = new TreeNode(num);\nif (pre!.val < num) {\npre!.right = node;\n} else {\npre!.left = node;\n}\nreturn node;\n}\n\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode? insert(int num)\n{\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == null) return null;\nTreeNode? cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null)\n{\n// \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur.val == num) return null;\npre = cur;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nTreeNode node = new TreeNode(num);\nif (pre != null)\n{\nif (pre.val < num) pre.right = node;\nelse pre.left = node;\n}\nreturn node;\n}\n/* \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 */\nfunc insert(num: Int) -> TreeNode? {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif root == nil {\nreturn nil\n}\nvar cur = root\nvar pre: TreeNode?\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile cur != nil {\n// \u627e\u5230\u91cd\u590d\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif cur!.val == num {\nreturn nil\n}\npre = cur\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif cur!.val < num {\ncur = cur?.right\n}\n// \u63d2\u5165\u4f4d\u7f6e\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse {\ncur = cur?.left\n}\n}\n// \u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 val\nlet node = TreeNode(x: num)\nif pre!.val < num {\npre?.right = node\n} else {\npre?.left = node\n}\nreturn node\n}\n\n\u4e3a\u4e86\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\uff0c\u9700\u8981\u501f\u52a9 \u8f85\u52a9\u7ed3\u70b9 pre \u4fdd\u5b58\u4e0a\u4e00\u8f6e\u5faa\u73af\u7684\u7ed3\u70b9\uff0c\u8fd9\u6837\u5728\u904d\u5386\u5230 \\(\\text{null}\\) \u65f6\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u83b7\u53d6\u5230\u5176\u7236\u7ed3\u70b9\uff0c\u4ece\u800c\u5b8c\u6210\u7ed3\u70b9\u63d2\u5165\u64cd\u4f5c\u3002
\u4e0e\u67e5\u627e\u7ed3\u70b9\u76f8\u540c\uff0c\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u4f7f\u7528 \\(O(\\log n)\\) \u65f6\u95f4\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_search_tree/#_3","title":"\u5220\u9664\u7ed3\u70b9","text":"\u4e0e\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u4e00\u6837\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u5728\u5220\u9664\u64cd\u4f5c\u540e\u7ef4\u6301\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u201c\u5de6\u5b50\u6811 < \u6839\u7ed3\u70b9 < \u53f3\u5b50\u6811\u201d\u7684\u6027\u8d28\u3002\u9996\u5148\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u5728\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u6267\u884c\u67e5\u627e\u64cd\u4f5c\uff0c\u83b7\u53d6\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u3002\u63a5\u4e0b\u6765\uff0c\u6839\u636e\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf\uff0c\u5220\u9664\u64cd\u4f5c\u9700\u8981\u5206\u4e3a\u4e09\u79cd\u60c5\u51b5\uff1a
\u5f53\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf \\(= 0\\) \u65f6\uff0c\u8868\u660e\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u662f\u53f6\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u63a5\u5220\u9664\u5373\u53ef\u3002
\u5f53\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf \\(= 1\\) \u65f6\uff0c\u5c06\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u4e3a\u5176\u5b50\u7ed3\u70b9\u5373\u53ef\u3002
\u5f53\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf \\(= 2\\) \u65f6\uff0c\u5220\u9664\u64cd\u4f5c\u5206\u4e3a\u4e09\u6b65\uff1a
nex \uff1bnex \uff1bnex \u66ff\u6362\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff1b\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u64cd\u4f5c\u4e5f\u4f7f\u7528 \\(O(\\log n)\\) \u65f6\u95f4\uff0c\u5176\u4e2d\u67e5\u627e\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 \\(O(\\log n)\\) \uff0c\u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u540e\u7ee7\u7ed3\u70b9 \\(O(\\log n)\\) \u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_search_tree.java/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode remove(int num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == null) return null;\nTreeNode cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null) {\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif (cur.val == num) break;\npre = cur;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur == null) return null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif (cur.left == null || cur.right == null) {\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nTreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif (pre.left == cur) pre.left = child;\nelse pre.right = child;\n// \u91ca\u653e\u5185\u5b58\ndelete cur;\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nTreeNode nex = getInOrderNext(cur.right);\nint tmp = nex.val;\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(nex.val);\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.val = tmp;\n}\nreturn cur;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\npublic TreeNode getInOrderNext(TreeNode root) {\nif (root == null) return root;\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile (root.left != null) {\nroot = root.left;\n}\nreturn root;\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* remove(int num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == nullptr) return nullptr;\nTreeNode *cur = root, *pre = nullptr;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != nullptr) {\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif (cur->val == num) break;\npre = cur;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur->val < num) cur = cur->right;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur->left;\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur == nullptr) return nullptr;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = nullptr / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nTreeNode* child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif (pre->left == cur) pre->left = child;\nelse pre->right = child;\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nTreeNode* nex = getInOrderNext(cur->right);\nint tmp = nex->val;\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(nex->val);\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur->val = tmp;\n}\nreturn cur;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nTreeNode* getInOrderNext(TreeNode* root) {\nif (root == nullptr) return root;\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile (root->left != nullptr) {\nroot = root->left;\n}\nreturn root;\n}\n\"\"\" \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 \"\"\"\ndef remove(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:\nroot = self.root\n# \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif root is None:\nreturn None\n# \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\ncur, pre = root, None\nwhile cur is not None:\n# \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif cur.val == num:\nbreak\npre = cur\nif cur.val < num: # \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\ncur = cur.right\nelse: # \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\ncur = cur.left\n# \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif cur is None:\nreturn None\n# \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif cur.left is None or cur.right is None:\n# \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nchild = cur.left or cur.right\n# \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif pre.left == cur:\npre.left = child\nelse:\npre.right = child\n# \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse:\n# \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nnex = self.get_inorder_next(cur.right)\ntmp = nex.val\n# \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nself.remove(nex.val)\n# \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.val = tmp\nreturn cur\n\"\"\" \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 \"\"\"\ndef get_inorder_next(self, root: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:\nif root is None:\nreturn root\n# \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile root.left is not None:\nroot = root.left\nreturn root\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nfunc (bst *binarySearchTree) remove(num int) *TreeNode {\ncur := bst.root\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif cur == nil {\nreturn nil\n}\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u4e4b\u524d\u7684\u7ed3\u70b9\u4f4d\u7f6e\nvar pre *TreeNode = nil\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nfor cur != nil {\nif cur.Val == num {\nbreak\n}\npre = cur\nif cur.Val < num {\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\ncur = cur.Right\n} else {\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\ncur = cur.Left\n}\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif cur == nil {\nreturn nil\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u4e3a 0 \u6216 1\nif cur.Left == nil || cur.Right == nil {\nvar child *TreeNode = nil\n// \u53d6\u51fa\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u7684\u5b50\u7ed3\u70b9\nif cur.Left != nil {\nchild = cur.Left\n} else {\nchild = cur.Right\n}\n// \u5c06\u5b50\u7ed3\u70b9\u66ff\u6362\u4e3a\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\nif pre.Left == cur {\npre.Left = child\n} else {\npre.Right = child\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u4e3a 2\n} else {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nnext := bst.getInOrderNext(cur)\ntemp := next.Val\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 next\nbst.remove(next.Val)\n// \u5c06 next \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.Val = temp\n}\nreturn cur\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nfunc (bst *binarySearchTree) getInOrderNext(node *TreeNode) *TreeNode {\nif node == nil {\nreturn node\n}\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nfor node.Left != nil {\nnode = node.Left\n}\nreturn node\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nfunction remove(num) {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root === null) return null;\nlet cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif (cur.val === num) break;\npre = cur;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur === null) return null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif (cur.left === null || cur.right === null) {\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nlet child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif (pre.left === cur) pre.left = child;\nelse pre.right = child;\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nlet nex = getInOrderNext(cur.right);\nlet tmp = nex.val;\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(nex.val);\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.val = tmp;\n}\nreturn cur;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nfunction getInOrderNext(root) {\nif (root === null) return root;\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile (root.left !== null) {\nroot = root.left;\n}\nreturn root;\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nfunction remove(num: number): TreeNode | null {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root === null) {\nreturn null;\n}\nlet cur = root,\npre: TreeNode | null = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur !== null) {\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif (cur.val === num) {\nbreak;\n}\npre = cur;\nif (cur.val < num) {\ncur = cur.right as TreeNode; // \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\n} else {\ncur = cur.left as TreeNode; // \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\n}\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur === null) {\nreturn null;\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif (cur.left === null || cur.right === null) {\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nlet child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif (pre!.left === cur) {\npre!.left = child;\n} else {\npre!.right = child;\n}\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nlet next = getInOrderNext(cur.right);\nlet tmp = next!.val;\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(next!.val);\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.val = tmp;\n}\nreturn cur;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nfunction getInOrderNext(root: TreeNode | null): TreeNode | null {\nif (root === null) {\nreturn null;\n}\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile (root.left !== null) {\nroot = root.left;\n}\nreturn root;\n}\n\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode? remove(int num)\n{\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif (root == null) return null;\nTreeNode? cur = root, pre = null;\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile (cur != null)\n{\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif (cur.val == num) break;\npre = cur;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif (cur.val < num) cur = cur.right;\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse cur = cur.left;\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif (cur == null || pre == null) return null;\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif (cur.left == null || cur.right == null)\n{\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nTreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif (pre.left == cur)\n{\npre.left = child;\n}\nelse\n{\npre.right = child;\n}\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse\n{\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nTreeNode? nex = getInOrderNext(cur.right);\nif (nex != null)\n{\nint tmp = nex.val;\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(nex.val);\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur.val = tmp;\n}\n}\nreturn cur;\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nprivate TreeNode? getInOrderNext(TreeNode? root)\n{\nif (root == null) return root;\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile (root.left != null)\n{\nroot = root.left;\n}\nreturn root;\n}\n/* \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\n@discardableResult\nfunc remove(num: Int) -> TreeNode? {\n// \u82e5\u6811\u4e3a\u7a7a\uff0c\u76f4\u63a5\u63d0\u524d\u8fd4\u56de\nif root == nil {\nreturn nil\n}\nvar cur = root\nvar pre: TreeNode?\n// \u5faa\u73af\u67e5\u627e\uff0c\u8d8a\u8fc7\u53f6\u7ed3\u70b9\u540e\u8df3\u51fa\nwhile cur != nil {\n// \u627e\u5230\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\u5faa\u73af\nif cur!.val == num {\nbreak\n}\npre = cur\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u53f3\u5b50\u6811\u4e2d\nif cur!.val < num {\ncur = cur?.right\n}\n// \u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5728 cur \u7684\u5de6\u5b50\u6811\u4e2d\nelse {\ncur = cur?.left\n}\n}\n// \u82e5\u65e0\u5f85\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u8fd4\u56de\nif cur == nil {\nreturn nil\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 or 1\nif cur?.left == nil || cur?.right == nil {\n// \u5f53\u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 0 / 1 \u65f6\uff0c child = null / \u8be5\u5b50\u7ed3\u70b9\nlet child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 cur\nif pre?.left === cur {\npre?.left = child\n} else {\npre?.right = child\n}\n}\n// \u5b50\u7ed3\u70b9\u6570\u91cf = 2\nelse {\n// \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d cur \u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\nlet nex = getInOrderNext(root: cur?.right)\nlet tmp = nex!.val\n// \u9012\u5f52\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 nex\nremove(num: nex!.val)\n// \u5c06 nex \u7684\u503c\u590d\u5236\u7ed9 cur\ncur?.val = tmp\n}\nreturn cur\n}\n/* \u83b7\u53d6\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u4e2d\u7684\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7ed3\u70b9\uff08\u4ec5\u9002\u7528\u4e8e root \u6709\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u60c5\u51b5\uff09 */\nfunc getInOrderNext(root: TreeNode?) -> TreeNode? {\nvar root = root\nif root == nil {\nreturn root\n}\n// \u5faa\u73af\u8bbf\u95ee\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\uff0c\u76f4\u5230\u53f6\u7ed3\u70b9\u65f6\u4e3a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u8df3\u51fa\nwhile root?.left != nil {\nroot = root?.left\n}\nreturn root\n}\n\n\u6211\u4eec\u77e5\u9053\uff0c\u300c\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u300d\u9075\u5faa\u201c\u5de6 \\(\\rightarrow\\) \u6839 \\(\\rightarrow\\) \u53f3\u201d\u7684\u904d\u5386\u4f18\u5148\u7ea7\uff0c\u800c\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u9075\u5faa\u201c\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9 \\(<\\) \u6839\u7ed3\u70b9 \\(<\\) \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u201d\u7684\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5728\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u4e2d\u8fdb\u884c\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u65f6\uff0c\u603b\u662f\u4f1a\u4f18\u5148\u904d\u5386\u4e0b\u4e00\u4e2a\u6700\u5c0f\u7ed3\u70b9\uff0c\u4ece\u800c\u5f97\u51fa\u4e00\u6761\u91cd\u8981\u6027\u8d28\uff1a\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u5e8f\u5217\u662f\u5347\u5e8f\u7684\u3002
\u501f\u52a9\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u5347\u5e8f\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u6211\u4eec\u5728\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u4e2d\u83b7\u53d6\u6709\u5e8f\u6570\u636e\u4ec5\u9700 \\(O(n)\\) \u65f6\u95f4\uff0c\u800c\u65e0\u9700\u989d\u5916\u6392\u5e8f\uff0c\u975e\u5e38\u9ad8\u6548\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_search_tree/#732","title":"7.3.2. \u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u6548\u7387","text":"\u5047\u8bbe\u7ed9\u5b9a \\(n\\) \u4e2a\u6570\u5b57\uff0c\u6700\u5e38\u7528\u7684\u5b58\u50a8\u65b9\u5f0f\u662f\u300c\u6570\u7ec4\u300d\uff0c\u90a3\u4e48\u5bf9\u4e8e\u8fd9\u4e32\u4e71\u5e8f\u7684\u6570\u5b57\uff0c\u5e38\u89c1\u64cd\u4f5c\u7684\u6548\u7387\u4e3a\uff1a
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\u65e0\u5e8f\u6570\u7ec4 \u6709\u5e8f\u6570\u7ec4 \u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811 \u67e5\u627e\u6307\u5b9a\u5143\u7d20 \\(O(n)\\) \\(O(\\log n)\\) \\(O(\\log n)\\) \u63d2\u5165\u5143\u7d20 \\(O(1)\\) \\(O(n)\\) \\(O(\\log n)\\) \u5220\u9664\u5143\u7d20 \\(O(n)\\) \\(O(n)\\) \\(O(\\log n)\\) \u83b7\u53d6\u6700\u5c0f / \u6700\u5927\u5143\u7d20 \\(O(n)\\) \\(O(1)\\) \\(O(\\log n)\\)"},{"location":"chapter_tree/binary_search_tree/#733","title":"7.3.3. \u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u9000\u5316","text":"\u7406\u60f3\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u6211\u4eec\u5e0c\u671b\u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u7684\u662f\u201c\u5de6\u53f3\u5e73\u8861\u201d\u7684\uff08\u8be6\u89c1\u300c\u5e73\u8861\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u7ae0\u8282\uff09\uff0c\u6b64\u65f6\u53ef\u4ee5\u5728 \\(\\log n\\) \u8f6e\u5faa\u73af\u5185\u67e5\u627e\u4efb\u610f\u7ed3\u70b9\u3002
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Note
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"},{"location":"chapter_tree/binary_search_tree/#734","title":"7.3.4. \u4e8c\u53c9\u641c\u7d22\u6811\u5e38\u89c1\u5e94\u7528","text":"\u300c\u4e8c\u53c9\u6811 Binary Tree\u300d\u662f\u4e00\u79cd\u975e\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\uff0c\u4ee3\u8868\u7740\u7956\u5148\u4e0e\u540e\u4ee3\u4e4b\u95f4\u7684\u6d3e\u751f\u5173\u7cfb\uff0c\u4f53\u73b0\u7740\u201c\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\u201d\u7684\u5206\u6cbb\u903b\u8f91\u3002\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u94fe\u8868\uff0c\u4e8c\u53c9\u6811\u4e5f\u662f\u4ee5\u7ed3\u70b9\u4e3a\u5355\u4f4d\u5b58\u50a8\u7684\uff0c\u7ed3\u70b9\u5305\u542b\u300c\u503c\u300d\u548c\u4e24\u4e2a\u300c\u6307\u9488\u300d\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nTreeNode left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode(int x) { val = x; }\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7ed3\u6784\u4f53 */\nstruct TreeNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nTreeNode *left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode *right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}\n};\n\"\"\" \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b \"\"\"\nclass TreeNode:\ndef __init__(self, val=None, left=None, right=None):\nself.val = val # \u7ed3\u70b9\u503c\nself.left = left # \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nself.right = right # \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\ntype TreeNode struct {\nVal int\nLeft *TreeNode\nRight *TreeNode\n}\n/* \u7ed3\u70b9\u521d\u59cb\u5316\u65b9\u6cd5 */\nfunc NewTreeNode(v int) *TreeNode {\nreturn &TreeNode{\nLeft: nil,\nRight: nil,\nVal: v,\n}\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nfunction TreeNode(val, left, right) {\nthis.val = (val === undefined ? 0 : val); // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.left = (left === undefined ? null : left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nthis.right = (right === undefined ? null : right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\nval: number;\nleft: TreeNode | null;\nright: TreeNode | null;\nconstructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {\nthis.val = val === undefined ? 0 : val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nthis.left = left === undefined ? null : left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nthis.right = right === undefined ? null : right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\n}\n}\n\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\nint val; // \u7ed3\u70b9\u503c\nTreeNode? left; // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode? right; // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nTreeNode(int x) { val = x; }\n}\n/* \u94fe\u8868\u7ed3\u70b9\u7c7b */\nclass TreeNode {\nvar val: Int // \u7ed3\u70b9\u503c\nvar left: TreeNode? // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\nvar right: TreeNode? // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u6307\u9488\ninit(x: Int) {\nval = x\n}\n}\n\n\u7ed3\u70b9\u7684\u4e24\u4e2a\u6307\u9488\u5206\u522b\u6307\u5411\u300c\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9 Left Child Node\u300d\u548c\u300c\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9 Right Child Node\u300d\uff0c\u5e76\u4e14\u79f0\u8be5\u7ed3\u70b9\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5b50\u7ed3\u70b9\u7684\u300c\u7236\u7ed3\u70b9 Parent Node\u300d\u3002\u7ed9\u5b9a\u4e8c\u53c9\u6811\u67d0\u7ed3\u70b9\uff0c\u5c06\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u4ee5\u4e0b\u7684\u6811\u79f0\u4e3a\u8be5\u7ed3\u70b9\u7684\u300c\u5de6\u5b50\u6811 Left Subtree\u300d\uff0c\u53f3\u5b50\u6811\u540c\u7406\u3002
\u9664\u4e86\u53f6\u7ed3\u70b9\u5916\uff0c\u6bcf\u4e2a\u7ed3\u70b9\u90fd\u6709\u5b50\u7ed3\u70b9\u548c\u5b50\u6811\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u82e5\u5c06\u4e0b\u56fe\u7684\u300c\u7ed3\u70b9 2\u300d\u770b\u4f5c\u7236\u7ed3\u70b9\uff0c\u90a3\u4e48\u5176\u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u548c\u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5206\u522b\u4e3a\u300c\u7ed3\u70b9 4\u300d\u548c\u300c\u7ed3\u70b9 5\u300d\uff0c\u5de6\u5b50\u6811\u548c\u53f3\u5b50\u6811\u5206\u522b\u4e3a\u300c\u7ed3\u70b9 4 \u53ca\u5176\u4ee5\u4e0b\u7ed3\u70b9\u5f62\u6210\u7684\u6811\u300d\u548c\u300c\u7ed3\u70b9 5 \u53ca\u5176\u4ee5\u4e0b\u7ed3\u70b9\u5f62\u6210\u7684\u6811\u300d\u3002
Fig. \u5b50\u7ed3\u70b9\u4e0e\u5b50\u6811
"},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#711","title":"7.1.1. \u4e8c\u53c9\u6811\u5e38\u89c1\u672f\u8bed","text":"\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u672f\u8bed\u8f83\u591a\uff0c\u5efa\u8bae\u5c3d\u91cf\u7406\u89e3\u5e76\u8bb0\u4f4f\u3002\u540e\u7eed\u53ef\u80fd\u9057\u5fd8\uff0c\u53ef\u4ee5\u5728\u9700\u8981\u4f7f\u7528\u65f6\u56de\u6765\u67e5\u770b\u786e\u8ba4\u3002
Fig. \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u5e38\u89c1\u672f\u8bed
\u9ad8\u5ea6\u4e0e\u6df1\u5ea6\u7684\u5b9a\u4e49
\u503c\u5f97\u6ce8\u610f\uff0c\u6211\u4eec\u901a\u5e38\u5c06\u300c\u9ad8\u5ea6\u300d\u548c\u300c\u6df1\u5ea6\u300d\u5b9a\u4e49\u4e3a\u201c\u8d70\u8fc7\u8fb9\u7684\u6570\u91cf\u201d\uff0c\u800c\u6709\u4e9b\u9898\u76ee\u6216\u6559\u6750\u4f1a\u5c06\u5176\u5b9a\u4e49\u4e3a\u201c\u8d70\u8fc7\u7ed3\u70b9\u7684\u6570\u91cf\u201d\uff0c\u6b64\u65f6\u9ad8\u5ea6\u6216\u6df1\u5ea6\u90fd\u9700\u8981 + 1 \u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#712","title":"7.1.2. \u4e8c\u53c9\u6811\u57fa\u672c\u64cd\u4f5c","text":"\u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811\u3002\u4e0e\u94fe\u8868\u7c7b\u4f3c\uff0c\u5148\u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\uff0c\u518d\u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_tree.java// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nTreeNode n1 = new TreeNode(1);\nTreeNode n2 = new TreeNode(2);\nTreeNode n3 = new TreeNode(3);\nTreeNode n4 = new TreeNode(4);\nTreeNode n5 = new TreeNode(5);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2;\nn1.right = n3;\nn2.left = n4;\nn2.right = n5;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nTreeNode* n1 = new TreeNode(1);\nTreeNode* n2 = new TreeNode(2);\nTreeNode* n3 = new TreeNode(3);\nTreeNode* n4 = new TreeNode(4);\nTreeNode* n5 = new TreeNode(5);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1->left = n2;\nn1->right = n3;\nn2->left = n4;\nn2->right = n5;\n\"\"\" \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 \"\"\"\n# \u521d\u59cb\u5316\u8282\u70b9\nn1 = TreeNode(val=1)\nn2 = TreeNode(val=2)\nn3 = TreeNode(val=3)\nn4 = TreeNode(val=4)\nn5 = TreeNode(val=5)\n# \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2\nn1.right = n3\nn2.left = n4\nn2.right = n5\n/* \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nn1 := NewTreeNode(1)\nn2 := NewTreeNode(2)\nn3 := NewTreeNode(3)\nn4 := NewTreeNode(4)\nn5 := NewTreeNode(5)\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.Left = n2\nn1.Right = n3\nn2.Left = n4\nn2.Right = n5\n/* \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nlet n1 = new TreeNode(1),\nn2 = new TreeNode(2),\nn3 = new TreeNode(3),\nn4 = new TreeNode(4),\nn5 = new TreeNode(5);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2;\nn1.right = n3;\nn2.left = n4;\nn2.right = n5;\n/* \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nlet n1 = new TreeNode(1),\nn2 = new TreeNode(2),\nn3 = new TreeNode(3),\nn4 = new TreeNode(4),\nn5 = new TreeNode(5);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2;\nn1.right = n3;\nn2.left = n4;\nn2.right = n5;\n\n/* \u521d\u59cb\u5316\u4e8c\u53c9\u6811 */\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nTreeNode n1 = new TreeNode(1);\nTreeNode n2 = new TreeNode(2);\nTreeNode n3 = new TreeNode(3);\nTreeNode n4 = new TreeNode(4);\nTreeNode n5 = new TreeNode(5);\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2;\nn1.right = n3;\nn2.left = n4;\nn2.right = n5;\n// \u521d\u59cb\u5316\u7ed3\u70b9\nlet n1 = TreeNode(x: 1)\nlet n2 = TreeNode(x: 2)\nlet n3 = TreeNode(x: 3)\nlet n4 = TreeNode(x: 4)\nlet n5 = TreeNode(x: 5)\n// \u6784\u5efa\u5f15\u7528\u6307\u5411\uff08\u5373\u6307\u9488\uff09\nn1.left = n2\nn1.right = n3\nn2.left = n4\nn2.right = n5\n\n\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u3002\u4e0e\u94fe\u8868\u7c7b\u4f3c\uff0c\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u90fd\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u4fee\u6539\u6307\u9488\u5b9e\u73b0\u3002
Fig. \u5728\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_tree.javaTreeNode P = new TreeNode(0);\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = P;\nP.left = n2;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = n2;\n/* \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode* P = new TreeNode(0);\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1->left = P;\nP->left = n2;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1->left = n2;\n\"\"\" \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 \"\"\"\np = TreeNode(0)\n# \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = p\np.left = n2\n# \u5220\u9664\u8282\u70b9 P\nn1.left = n2\n/* \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\np := NewTreeNode(0)\nn1.Left = p\np.Left = n2\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.Left = n2\n/* \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nlet P = new TreeNode(0);\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = P;\nP.left = n2;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = n2;\n/* \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nconst P = new TreeNode(0);\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = P;\nP.left = n2;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = n2;\n\n/* \u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u7ed3\u70b9 */\nTreeNode P = new TreeNode(0);\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = P;\nP.left = n2;\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = n2;\nlet P = TreeNode(x: 0)\n// \u5728 n1 -> n2 \u4e2d\u95f4\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = P\nP.left = n2\n// \u5220\u9664\u7ed3\u70b9 P\nn1.left = n2\n\nNote
\u63d2\u5165\u7ed3\u70b9\u4f1a\u6539\u53d8\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u539f\u6709\u903b\u8f91\u7ed3\u6784\uff0c\u5220\u9664\u7ed3\u70b9\u5f80\u5f80\u610f\u5473\u7740\u5220\u9664\u4e86\u8be5\u7ed3\u70b9\u7684\u6240\u6709\u5b50\u6811\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u7684\u63d2\u5165\u4e0e\u5220\u9664\u4e00\u822c\u90fd\u662f\u7531\u4e00\u5957\u64cd\u4f5c\u914d\u5408\u5b8c\u6210\u7684\uff0c\u8fd9\u6837\u624d\u80fd\u5b9e\u73b0\u6709\u610f\u4e49\u7684\u64cd\u4f5c\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#713","title":"7.1.3. \u5e38\u89c1\u4e8c\u53c9\u6811\u7c7b\u578b","text":""},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#_1","title":"\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811","text":"\u300c\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811 Perfect Binary Tree\u300d\u7684\u6240\u6709\u5c42\u7684\u7ed3\u70b9\u90fd\u88ab\u5b8c\u5168\u586b\u6ee1\u3002\u5728\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\uff0c\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\u7684\u5ea6 = 2 \uff1b\u82e5\u6811\u9ad8\u5ea6 \\(= h\\) \uff0c\u5219\u7ed3\u70b9\u603b\u6570 \\(= 2^{h+1} - 1\\) \uff0c\u5448\u6807\u51c6\u7684\u6307\u6570\u7ea7\u5173\u7cfb\uff0c\u53cd\u6620\u7740\u81ea\u7136\u754c\u4e2d\u5e38\u89c1\u7684\u7ec6\u80de\u5206\u88c2\u3002
Tip
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"},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#_2","title":"\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811","text":"\u300c\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811 Complete Binary Tree\u300d\u53ea\u6709\u6700\u5e95\u5c42\u7684\u7ed3\u70b9\u672a\u88ab\u586b\u6ee1\uff0c\u4e14\u6700\u5e95\u5c42\u7ed3\u70b9\u5c3d\u91cf\u9760\u5de6\u586b\u5145\u3002
\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u975e\u5e38\u9002\u5408\u7528\u6570\u7ec4\u6765\u8868\u793a\u3002\u5982\u679c\u6309\u7167\u5c42\u5e8f\u904d\u5386\u5e8f\u5217\u7684\u987a\u5e8f\u6765\u5b58\u50a8\uff0c\u90a3\u4e48\u7a7a\u7ed3\u70b9 null \u4e00\u5b9a\u5168\u90e8\u51fa\u73b0\u5728\u5e8f\u5217\u7684\u5c3e\u90e8\uff0c\u56e0\u6b64\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e0d\u7528\u5b58\u50a8\u8fd9\u4e9b null \u4e86\u3002
\u300c\u5b8c\u6ee1\u4e8c\u53c9\u6811 Full Binary Tree\u300d\u9664\u4e86\u53f6\u7ed3\u70b9\u4e4b\u5916\uff0c\u5176\u4f59\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\u90fd\u6709\u4e24\u4e2a\u5b50\u7ed3\u70b9\u3002
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"},{"location":"chapter_tree/binary_tree/#714","title":"7.1.4. \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u9000\u5316","text":"\u5f53\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6bcf\u5c42\u7684\u7ed3\u70b9\u90fd\u88ab\u586b\u6ee1\u65f6\uff0c\u8fbe\u5230\u300c\u5b8c\u7f8e\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\uff1b\u800c\u5f53\u6240\u6709\u7ed3\u70b9\u90fd\u504f\u5411\u4e00\u8fb9\u65f6\uff0c\u4e8c\u53c9\u6811\u9000\u5316\u4e3a\u300c\u94fe\u8868\u300d\u3002
Fig. \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6700\u4f73\u548c\u6700\u5dee\u7ed3\u6784
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JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u4f7f\u7528 int \u7684\u5305\u88c5\u7c7b Integer \uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528 null \u6765\u6807\u8bb0\u7a7a\u4f4d\nInteger[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };\n/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u4e3a\u4e86\u7b26\u5408\u6570\u636e\u7c7b\u578b\u4e3a int \uff0c\u4f7f\u7528 int \u6700\u5927\u503c\u6807\u8bb0\u7a7a\u4f4d\n// \u8be5\u65b9\u6cd5\u7684\u4f7f\u7528\u524d\u63d0\u662f\u6ca1\u6709\u7ed3\u70b9\u7684\u503c = INT_MAX\nvector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };\n\"\"\" \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a \"\"\"\n# \u76f4\u63a5\u4f7f\u7528 None \u6765\u8868\u793a\u7a7a\u4f4d\ntree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]\n\n/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u76f4\u63a5\u4f7f\u7528 null \u6765\u8868\u793a\u7a7a\u4f4d\nlet tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];\n/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u76f4\u63a5\u4f7f\u7528 null \u6765\u8868\u793a\u7a7a\u4f4d\nlet tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];\n\n/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u4f7f\u7528 int? \u53ef\u7a7a\u7c7b\u578b \uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528 null \u6765\u6807\u8bb0\u7a7a\u4f4d\nint?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };\n/* \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u6570\u7ec4\u8868\u793a */\n// \u4f7f\u7528 Int? \u53ef\u7a7a\u7c7b\u578b \uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528 nil \u6765\u6807\u8bb0\u7a7a\u4f4d\nlet tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]\n\n\u56de\u987e\u300c\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u300d\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u5176\u53ea\u6709\u6700\u5e95\u5c42\u6709\u7a7a\u7ed3\u70b9\uff0c\u5e76\u4e14\u6700\u5e95\u5c42\u7684\u7ed3\u70b9\u5c3d\u91cf\u9760\u5de6\uff0c\u56e0\u800c\u6240\u6709\u7a7a\u7ed3\u70b9\u90fd\u4e00\u5b9a\u51fa\u73b0\u5728\u5c42\u5e8f\u904d\u5386\u5e8f\u5217\u7684\u672b\u5c3e\u3002\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u5148\u9a8c\u5730\u786e\u5b9a\u4e86\u7a7a\u4f4d\u7684\u4f4d\u7f6e\uff0c\u6240\u4ee5\u5728\u4f7f\u7528\u6570\u7ec4\u8868\u793a\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\u7701\u7565\u5b58\u50a8\u201c\u7a7a\u4f4d\u201d\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5b8c\u5168\u4e8c\u53c9\u6811\u975e\u5e38\u9002\u5408\u4f7f\u7528\u6570\u7ec4\u6765\u8868\u793a\u3002
\u6570\u7ec4\u8868\u793a\u6709\u4e24\u4e2a\u4f18\u70b9\uff1a \u4e00\u662f\u4e0d\u9700\u8981\u5b58\u50a8\u6307\u9488\uff0c\u8282\u7701\u7a7a\u95f4\uff1b\u4e8c\u662f\u53ef\u4ee5\u968f\u673a\u8bbf\u95ee\u7ed3\u70b9\u3002\u7136\u800c\uff0c\u5f53\u4e8c\u53c9\u6811\u4e2d\u7684\u201c\u7a7a\u4f4d\u201d\u5f88\u591a\u65f6\uff0c\u6570\u7ec4\u4e2d\u53ea\u5305\u542b\u5f88\u5c11\u7ed3\u70b9\u7684\u6570\u636e\uff0c\u7a7a\u95f4\u5229\u7528\u7387\u5f88\u4f4e\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_tree_traversal/","title":"7.2. \u4e8c\u53c9\u6811\u904d\u5386","text":"\u975e\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u7684\u904d\u5386\u64cd\u4f5c\u6bd4\u7ebf\u6027\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u66f4\u52a0\u590d\u6742\uff0c\u5f80\u5f80\u9700\u8981\u4f7f\u7528\u641c\u7d22\u7b97\u6cd5\u6765\u5b9e\u73b0\u3002\u5e38\u89c1\u7684\u4e8c\u53c9\u6811\u904d\u5386\u65b9\u5f0f\u6709\u5c42\u5e8f\u904d\u5386\u3001\u524d\u5e8f\u904d\u5386\u3001\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u3001\u540e\u5e8f\u904d\u5386\u3002
"},{"location":"chapter_tree/binary_tree_traversal/#721","title":"7.2.1. \u5c42\u5e8f\u904d\u5386","text":"\u300c\u5c42\u5e8f\u904d\u5386 Hierarchical-Order Traversal\u300d\u4ece\u9876\u81f3\u5e95\u3001\u4e00\u5c42\u4e00\u5c42\u5730\u904d\u5386\u4e8c\u53c9\u6811\uff0c\u5e76\u5728\u6bcf\u5c42\u4e2d\u6309\u7167\u4ece\u5de6\u5230\u53f3\u7684\u987a\u5e8f\u8bbf\u95ee\u7ed3\u70b9\u3002
\u5c42\u5e8f\u904d\u5386\u672c\u8d28\u4e0a\u662f\u300c\u5e7f\u5ea6\u4f18\u5148\u641c\u7d22 Breadth-First Traversal\u300d\uff0c\u5176\u4f53\u73b0\u7740\u4e00\u79cd\u201c\u4e00\u5708\u4e00\u5708\u5411\u5916\u201d\u7684\u5c42\u8fdb\u904d\u5386\u65b9\u5f0f\u3002
Fig. \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u5c42\u5e8f\u904d\u5386
\u5e7f\u5ea6\u4f18\u5148\u904d\u5386\u4e00\u822c\u501f\u52a9\u300c\u961f\u5217\u300d\u6765\u5b9e\u73b0\u3002\u961f\u5217\u7684\u89c4\u5219\u662f\u201c\u5148\u8fdb\u5148\u51fa\u201d\uff0c\u5e7f\u5ea6\u4f18\u5148\u904d\u5386\u7684\u89c4\u5219\u662f \u201d\u4e00\u5c42\u5c42\u5e73\u63a8\u201c \uff0c\u4e24\u8005\u80cc\u540e\u7684\u601d\u60f3\u662f\u4e00\u81f4\u7684\u3002
JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_tree_bfs.java/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nList<Integer> hierOrder(TreeNode root) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nQueue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nList<Integer> list = new ArrayList<>();\nwhile (!queue.isEmpty()) {\nTreeNode node = queue.poll(); // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nlist.add(node.val); // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\u503c\nif (node.left != null)\nqueue.offer(node.left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nif (node.right != null)\nqueue.offer(node.right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nreturn list;\n}\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nvector<int> hierOrder(TreeNode* root) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nqueue<TreeNode*> queue;\nqueue.push(root);\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nvector<int> vec;\nwhile (!queue.empty()) {\nTreeNode* node = queue.front();\nqueue.pop(); // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nvec.push_back(node->val); // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\nif (node->left != nullptr)\nqueue.push(node->left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nif (node->right != nullptr)\nqueue.push(node->right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nreturn vec;\n}\n\"\"\" \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 \"\"\"\ndef hier_order(root: Optional[TreeNode]):\n# \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nqueue = collections.deque()\nqueue.append(root)\n# \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nres = []\nwhile queue:\nnode = queue.popleft() # \u961f\u5217\u51fa\u961f\nres.append(node.val) # \u4fdd\u5b58\u8282\u70b9\u503c\nif node.left is not None:\nqueue.append(node.left) # \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nif node.right is not None:\nqueue.append(node.right) # \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nreturn res\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc levelOrder(root *TreeNode) []int {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nqueue := list.New()\nqueue.PushBack(root)\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5207\u7247\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nnums := make([]int, 0)\nfor queue.Len() > 0 {\n// poll\nnode := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)\n// \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\nnums = append(nums, node.Val)\nif node.Left != nil {\n// \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nqueue.PushBack(node.Left)\n}\nif node.Right != nil {\n// \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nqueue.PushBack(node.Right)\n}\n}\nreturn nums\n}\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction hierOrder(root) {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nlet queue = [root];\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nlet list = [];\nwhile (queue.length) {\nlet node = queue.shift(); // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nlist.push(node.val); // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\nif (node.left)\nqueue.push(node.left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nif (node.right)\nqueue.push(node.right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nreturn list;\n}\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nconst queue = [root];\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nconst list: number[] = [];\nwhile (queue.length) {\nlet node = queue.shift() as TreeNode; // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nlist.push(node.val); // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\nif (node.left) {\nqueue.push(node.left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nif (node.right) {\nqueue.push(node.right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\n}\nreturn list;\n}\n\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\npublic List<int?> hierOrder(TreeNode root)\n{\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nQueue<TreeNode> queue = new();\nqueue.Enqueue(root);\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nList<int> list = new();\nwhile (queue.Count != 0)\n{\nTreeNode node = queue.Dequeue(); // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nlist.Add(node.val); // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\u503c\nif (node.left != null)\nqueue.Enqueue(node.left); // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\nif (node.right != null)\nqueue.Enqueue(node.right); // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nreturn list;\n}\n/* \u5c42\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc hierOrder(root: TreeNode) -> [Int] {\n// \u521d\u59cb\u5316\u961f\u5217\uff0c\u52a0\u5165\u6839\u7ed3\u70b9\nvar queue: [TreeNode] = [root]\n// \u521d\u59cb\u5316\u4e00\u4e2a\u5217\u8868\uff0c\u7528\u4e8e\u4fdd\u5b58\u904d\u5386\u5e8f\u5217\nvar list: [Int] = []\nwhile !queue.isEmpty {\nlet node = queue.removeFirst() // \u961f\u5217\u51fa\u961f\nlist.append(node.val) // \u4fdd\u5b58\u7ed3\u70b9\nif let left = node.left {\nqueue.append(left) // \u5de6\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\nif let right = node.right {\nqueue.append(right) // \u53f3\u5b50\u7ed3\u70b9\u5165\u961f\n}\n}\nreturn list\n}\n\n\u76f8\u5bf9\u5730\uff0c\u524d\u3001\u4e2d\u3001\u540e\u5e8f\u904d\u5386\u7686\u5c5e\u4e8e\u300c\u6df1\u5ea6\u4f18\u5148\u904d\u5386 Depth-First Traversal\u300d\uff0c\u5176\u4f53\u73b0\u7740\u4e00\u79cd\u201c\u5148\u8d70\u5230\u5c3d\u5934\uff0c\u518d\u56de\u5934\u7ee7\u7eed\u201d\u7684\u56de\u6eaf\u904d\u5386\u65b9\u5f0f\u3002
\u5982\u4e0b\u56fe\u6240\u793a\uff0c\u5de6\u4fa7\u662f\u6df1\u5ea6\u4f18\u5148\u904d\u5386\u7684\u7684\u793a\u610f\u56fe\uff0c\u53f3\u4e0a\u65b9\u662f\u5bf9\u5e94\u7684\u9012\u5f52\u5b9e\u73b0\u4ee3\u7801\u3002\u6df1\u5ea6\u4f18\u5148\u904d\u5386\u5c31\u50cf\u662f\u7ed5\u7740\u6574\u4e2a\u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u5916\u56f4\u201c\u8d70\u201d\u4e00\u5708\uff0c\u8d70\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u5728\u6bcf\u4e2a\u7ed3\u70b9\u90fd\u4f1a\u9047\u5230\u4e09\u4e2a\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5206\u522b\u5bf9\u5e94\u524d\u5e8f\u904d\u5386\u3001\u4e2d\u5e8f\u904d\u5386\u3001\u540e\u5e8f\u904d\u5386\u3002
Fig. \u4e8c\u53c9\u6811\u7684\u524d / \u4e2d / \u540e\u5e8f\u904d\u5386
\u4f4d\u7f6e \u542b\u4e49 \u6b64\u5904\u8bbf\u95ee\u7ed3\u70b9\u65f6\u5bf9\u5e94 \u6a59\u8272\u5706\u5708\u5904 \u521a\u8fdb\u5165\u6b64\u7ed3\u70b9\uff0c\u5373\u5c06\u8bbf\u95ee\u8be5\u7ed3\u70b9\u7684\u5de6\u5b50\u6811 \u524d\u5e8f\u904d\u5386 Pre-Order Traversal \u84dd\u8272\u5706\u5708\u5904 \u5df2\u8bbf\u95ee\u5b8c\u5de6\u5b50\u6811\uff0c\u5373\u5c06\u8bbf\u95ee\u53f3\u5b50\u6811 \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 In-Order Traversal \u7d2b\u8272\u5706\u5708\u5904 \u5df2\u8bbf\u95ee\u5b8c\u5de6\u5b50\u6811\u548c\u53f3\u5b50\u6811\uff0c\u5373\u5c06\u8fd4\u56de \u540e\u5e8f\u904d\u5386 Post-Order Traversal JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig binary_tree_dfs.java/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid preOrder(TreeNode root) {\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nlist.add(root.val);\npreOrder(root.left);\npreOrder(root.right);\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid inOrder(TreeNode root) {\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root.left);\nlist.add(root.val);\ninOrder(root.right);\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid postOrder(TreeNode root) {\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root.left);\npostOrder(root.right);\nlist.add(root.val);\n}\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid preOrder(TreeNode* root) {\nif (root == nullptr) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nvec.push_back(root->val);\npreOrder(root->left);\npreOrder(root->right);\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid inOrder(TreeNode* root) {\nif (root == nullptr) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root->left);\nvec.push_back(root->val);\ninOrder(root->right);\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid postOrder(TreeNode* root) {\nif (root == nullptr) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root->left);\npostOrder(root->right);\nvec.push_back(root->val);\n}\n\"\"\" \u524d\u5e8f\u904d\u5386 \"\"\"\ndef pre_order(root: Optional[TreeNode]):\nif root is None:\nreturn\n# \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nres.append(root.val)\npre_order(root=root.left)\npre_order(root=root.right)\n\"\"\" \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 \"\"\"\ndef in_order(root: Optional[TreeNode]):\nif root is None:\nreturn\n# \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\nin_order(root=root.left)\nres.append(root.val)\nin_order(root=root.right)\n\"\"\" \u540e\u5e8f\u904d\u5386 \"\"\"\ndef post_order(root: Optional[TreeNode]):\nif root is None:\nreturn\n# \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npost_order(root=root.left)\npost_order(root=root.right)\nres.append(root.val)\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc preOrder(node *TreeNode) {\nif node == nil {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nnums = append(nums, node.Val)\npreOrder(node.Left)\npreOrder(node.Right)\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc inOrder(node *TreeNode) {\nif node == nil {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(node.Left)\nnums = append(nums, node.Val)\ninOrder(node.Right)\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc postOrder(node *TreeNode) {\nif node == nil {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(node.Left)\npostOrder(node.Right)\nnums = append(nums, node.Val)\n}\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction preOrder(root){\nif (root === null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nlist.push(root.val);\npreOrder(root.left);\npreOrder(root.right);\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction inOrder(root) {\nif (root === null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root.left);\nlist.push(root.val);\ninOrder(root.right);\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction postOrder(root) {\nif (root === null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root.left);\npostOrder(root.right);\nlist.push(root.val);\n}\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction preOrder(root: TreeNode | null): void {\nif (root === null) {\nreturn;\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nlist.push(root.val);\npreOrder(root.left);\npreOrder(root.right);\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction inOrder(root: TreeNode | null): void {\nif (root === null) {\nreturn;\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root.left);\nlist.push(root.val);\ninOrder(root.right);\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunction postOrder(root: TreeNode | null): void {\nif (root === null) {\nreturn;\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root.left);\npostOrder(root.right);\nlist.push(root.val);\n}\n\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid preOrder(TreeNode? root)\n{\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nlist.Add(root.val);\npreOrder(root.left);\npreOrder(root.right);\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid inOrder(TreeNode? root)\n{\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root.left);\nlist.Add(root.val);\ninOrder(root.right);\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nvoid postOrder(TreeNode? root)\n{\nif (root == null) return;\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root.left);\npostOrder(root.right);\nlist.Add(root.val);\n}\n/* \u524d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc preOrder(root: TreeNode?) {\nguard let root = root else {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u6839\u7ed3\u70b9 -> \u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811\nlist.append(root.val)\npreOrder(root: root.left)\npreOrder(root: root.right)\n}\n/* \u4e2d\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc inOrder(root: TreeNode?) {\nguard let root = root else {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9 -> \u53f3\u5b50\u6811\ninOrder(root: root.left)\nlist.append(root.val)\ninOrder(root: root.right)\n}\n/* \u540e\u5e8f\u904d\u5386 */\nfunc postOrder(root: TreeNode?) {\nguard let root = root else {\nreturn\n}\n// \u8bbf\u95ee\u4f18\u5148\u7ea7\uff1a\u5de6\u5b50\u6811 -> \u53f3\u5b50\u6811 -> \u6839\u7ed3\u70b9\npostOrder(root: root.left)\npostOrder(root: root.right)\nlist.append(root.val)\n}\n\nNote
\u4f7f\u7528\u5faa\u73af\u4e00\u6837\u53ef\u4ee5\u5b9e\u73b0\u524d\u3001\u4e2d\u3001\u540e\u5e8f\u904d\u5386\uff0c\u4f46\u4ee3\u7801\u76f8\u5bf9\u7e41\u7410\uff0c\u6709\u5174\u8da3\u7684\u540c\u5b66\u53ef\u4ee5\u81ea\u884c\u5b9e\u73b0\u3002
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