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# 听说背包问题很难？ 这篇总结篇来拯救你了

年前我们已经把背包问题都讲完了，那么现在我们要对背包问题进行总结一番。

背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。

关于这几种常见的背包，其关系如下：

![416.分割等和子集1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png)

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

**其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结**。

## 背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：
* [动态规划：416.分割等和子集](https://mp.weixin.qq.com/s/sYw3QtPPQ5HMZCJcT4EaLQ)
* [动态规划：1049.最后一块石头的重量 II](https://mp.weixin.qq.com/s/WbwAo3jaUaNJjvhHgq0BGg)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：
* [动态规划：494.目标和](https://mp.weixin.qq.com/s/2pWmaohX75gwxvBENS-NCw)
* [动态规划：518. 零钱兑换 II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)
* [动态规划：377.组合总和Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)
* [动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）](https://mp.weixin.qq.com/s/e_wacnELo-2PG76EjrUakA)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：
* [动态规划：474.一和零](https://mp.weixin.qq.com/s/x-u3Dsp76DlYqtCe0xEKJw)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] =  min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：
* [动态规划：322.零钱兑换](https://mp.weixin.qq.com/s/dyk-xNilHzNtVdPPLObSeQ)
* [动态规划：279.完全平方数](https://mp.weixin.qq.com/s/VfJT78p7UGpDZsapKF_QJQ)


## 遍历顺序

### 01背包

在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

**一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！**

### 完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/akwyxlJ4TLvKcw26KB9uJw)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。

**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。

相关题目如下：

* 求组合数：[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)
* 求排列数：[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)、[动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）](https://mp.weixin.qq.com/s/e_wacnELo-2PG76EjrUakA)

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

* 求最小数：[动态规划：322. 零钱兑换](https://mp.weixin.qq.com/s/dyk-xNilHzNtVdPPLObSeQ)、[动态规划：279.完全平方数](https://mp.weixin.qq.com/s/VfJT78p7UGpDZsapKF_QJQ)


**对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了**。


## 总结

**这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了**。

**而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目**。

最后如果你想了解多重背包，可以看这篇[动态规划：关于多重背包，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/b-UUUmbvG7URWyCjQkiuuQ)，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。

如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！




## 其他语言版本


Java：


Python：


Go：




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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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