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# 5.最长回文子串

[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/)

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：
* 输入：s = "babad"
* 输出："bab"
* 解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：
* 输入：s = "cbbd"
* 输出："bb"

示例 3：
* 输入：s = "a"
* 输出："a"

示例 4：
* 输入：s = "ac"
* 输出："a"


# 思路

本题和[647.回文子串](https://programmercarl.com/0647.回文子串.html) 差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串

## 暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。

时间复杂度：$O(n^3)$

## 动态规划

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。


2. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

* 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
* 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
* 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

```CPP
if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}
```

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：

```CPP
if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
    maxlenth = j - i + 1;
    left = i;
    right = j;
}
```

3. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

4. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

![647.回文子串](https://img-blog.csdnimg.cn/20210121171032473.jpg)

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

**所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的**。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

```CPP
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                dp[i][j] = true;
            }
        }
        if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
            maxlenth = j - i + 1;
            left = i;
            right = j;
        }
    }

}
```

5. 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

![647.回文子串1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210121171059951.jpg)

**注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分**。

以上分析完毕，C++代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int maxlenth = 0;
        int left = 0;
        int right = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                    maxlenth = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }

        }
        return s.substr(left, right - left + 1);
    }
};
```
以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：

```CPP
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int maxlenth = 0;
        int left = 0;
        int right = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    dp[i][j] = true;
                }
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                    maxlenth = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }
        }
        return s.substr(left, maxlenth);
    }
};

```

* 时间复杂度：$O(n^2)$
* 空间复杂度：$O(n^2)$

## 双指针

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。

**在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况**。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有的同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

**这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算**，代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    int left = 0;
    int right = 0;
    int maxLength = 0;
    string longestPalindrome(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return s.substr(left, maxLength);
    }
    void extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            if (j - i + 1 > maxLength) {
                left = i;
                right = j;
                maxLength = j - i + 1;
            }
            i--;
            j++;
        }
    }
};

```

* 时间复杂度：$O(n^2)$
* 空间复杂度：$O(1)$



# 其他语言版本

## Java

```java
// 双指针 中心扩散法
class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        String s1 = "";
        String s2 = "";
        String res = "";
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            // 分两种情况：即一个元素作为中心点，两个元素作为中心点
            s1 = extend(s, i, i);  // 情况1
            res = s1.length() > res.length() ? s1 : res;
            s2 = extend(s, i, i + 1);  // 情况2
            res = s2.length() > res.length() ? s2 : res;
        }
        return res;  // 返回最长的
    }
    public String extend(String s, int start, int end){
        String tmp = "";
        while (start >= 0 && end < s.length() && s.charAt(start) == s.charAt(end)){
            tmp = s.substring(start, end + 1);  // Java中substring是左闭右开的，所以要+1
            // 向两边扩散
            start--;
            end++;
        }
        return tmp;
    }
}
```

## Python

```python
class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
        maxlenth = 0
        left = 0
        right = 0
        for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
            for j in range(i, len(s)):
                if s[j] == s[i]:
                    if j - i <= 1 or dp[i + 1][j - 1]:
                        dp[i][j] = True
                if dp[i][j] and j - i + 1 > maxlenth:
                    maxlenth = j - i + 1
                    left = i
                    right = j
        return s[left:right + 1]

```
> 双指针法：
```python
class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:

        def find_point(i, j, s):
            while i >= 0 and j < len(s) and s[i] == s[j]:
                i -= 1
                j += 1
            return i + 1, j

        def compare(start, end, left, right):
            if right - left > end - start:
                return left, right
            else:
                return start, end

        start = 0
        end = 0
        for i in range(len(s)):
            left, right = find_point(i, i, s)
            start, end = compare(start, end, left, right)

            left, right = find_point(i, i + 1, s)
            start, end = compare(start, end, left, right)
        return s[start:end]

```
## Go

```go

```

## JavaScript

```js
//动态规划解法
var longestPalindrome = function(s) {
    const len = s.length;
    // 布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false
    let dp = new Array(len).fill(false).map(() => new Array(len).fill(false));
    // left起始位置  maxlenth回文串长度
    let left = 0, maxlenth = 0;
    for(let i = len - 1; i >= 0; i--){
        for(let j = i; j < len; j++){
            // 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串 j - i == 0
            // 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串 j - i == 1
            // 情况一和情况二 可以合并为 j - i <= 1
            // 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]===true
            if(s[i] === s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])){
                dp[i][j] = true;
            }
            // 只要 dp[i][j] == true 成立，就表示子串 s[i..j] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
            if(dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                maxlenth = j - i + 1; // 回文串长度
                left = i; // 起始位置
            }
        }
    }
    return s.substr(left, maxlenth); // 找到子串
};

//双指针
var longestPalindrome = function(s) {
    let left = 0, right = 0, maxLength = 0;
    const extend = (s, i, j, n) => {// s为字符串 i,j为双指针 n为字符串长度
        while(i >= 0 && j < n && s[i] === s[j]){
            if(j - i + 1 > maxLength){
                left = i; // 更新开始位置
                right = j; // 更新结尾位置
                maxLength = j - i + 1; // 更新子串最大长度
            }
            // 指针移动
            i--;
            j++;
        }
    }
    for(let i = 0; i < s.length; i++){
        extend(s, i, i, s.length); // 以i为中心
        extend(s, i, i + 1, s.length); // 以i和i+1为中心
    }
    return s.substr(left, maxLength);
};

//Manacher算法
var longestPalindrome = function(s) {
    const len = s.length;
    if(len < 2) return s;
    let maxLength = 1, index = 0;
    //Manacher算法,利用回文对称的性质，根据i在上一个回文中心的臂长里的位置去判断i的回文性
    //需要知道上一个回文中心，以及其臂长
    let center = 0;
    //注意这里使用了maxRight的而不是真实的臂长length,因为之后需要判断i在臂长的什么位置
    //如果这里臂长用了length,之后还要 计算i - center 去和 length比较，太繁琐
    let maxRight = 0;
    //考虑到回文串的长度是偶数的情况,所以这里预处理一下字符串,每个字符间插入特殊字符,把可能性都化为奇数
    //这个处理把回文串长度的可能性都化为了奇数
    //#c#b#b#a#
    //#c#b#a#b#d#
    let ss = "";
    for(let i = 0; i < s.length; i++){
        ss += "#"+s[i];
    }
    ss += "#";
    //需要维护一个每个位置臂长的信息数组positionLength
    const pl = new Array(ss.length).fill(0);
    //这里需要注意参考的是i关于center对称的点i'的回文性
    //i' = 2*center - i;
    //所以列下情况:
    //1.i>maxRight,找不到i',无法参考，自己算自己的
    //2.i<=maxRight:
    //2.1 i<maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长没有超过center的臂长,根据对称性,pl[i] = pl[i']
    //2.2 i=maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长刚好等于center的臂长,根据对称性,pl[i] >= pl[i‘],大多少需要尝试扩散
    //2.3 i>maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长超过了center的臂长,根据对称性,i中心扩散到MaxRight处,
    // s[2*i-maxRight] !== s[MaxRight]必不相等，所以pl[i] = maxRight-i;
    //总结就是pl[i] = Math.min(maxRight-i,pl[i']);提示i<maxRight-pl[i'] 也可写成 pl[i']<maxRight-i
    //0没有意义,从1开始计算
    for(let i = 1; i < ss.length; i++){
        if(i <= maxRight){//可以参考之前的
            pl[i] = Math.min(maxRight - i, pl[2 * center - i]);
            //尝试中心扩散
        }
        //注意到i<maxRight时都要尝试中心扩散,所以写else完全无意义,把中心扩散的代码写在下面
        // else{//i不在之前回文中心的臂长范围里,之前的信息就完全无法参考,只能从i中心扩散把，然后去维护maxRight和center的定义
        //尝试中心扩散
        //这里不要动center和maxRight
        // center = i;
        // maxRight = pl[i] + i + 1;
        let right = pl[i] + i + 1;
        let left = i - pl[i] - 1;
        while (left >= 0 && right<ss.length && ss[left] === ss[right]) {
            right++;
            left--;
            pl[i]++;
        }
        // }
        if(pl[i] + i > maxRight){
            center = i;
            maxRight = pl[i] + i;
        }
        if (pl[i] * 2 + 1 > maxLength){
            maxLength = pl[i]*2+1;
            index = i - pl[i];
        }
    }
    return ss.substr(index, maxLength).replace(/#/g,"");
};
```



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<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
