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# 动态规划：01背包理论基础


本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第46题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046)去练习，题意是一样的。

## 算法公开课

**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透0-1背包问题！](https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。

## 思路

正式开始讲解背包问题！

对于面试的话，其实掌握01背包和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

![416.分割等和子集1](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210117171307407.png)

除此以外其他类型的背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

**所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透**！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

**所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了**。

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

### 01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

![动态规划-背包问题](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210117175428387.jpg)

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

**所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！**

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

|       | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

（为了方便表述，下面描述 统一用 容量为XX的背包，放下容量（重量）为XX的物品，物品的价值是XX）

### 二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

我们需要使用二维数组，为什么呢？ 

因为有两个维度需要分别表示：物品 和 背包容量  

如图，二维数组为 dp[i][j]。 

![动态规划-背包问题1](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210110103003361.png)

那么这里 i 、j、dp[i][j] 分别表示什么呢？ 

i 来表示物品、j表示背包容量。 

（如果想用j 表示物品，j表示背包容量 行不行？ 都可以的，个人习惯而已） 

我们来尝试把上面的 二维表格填写一下。

动态规划的思路是根据子问题的求解推导出整体的最优解。 

我们先看把物品0 放入背包的情况： 

![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240730113455.png)

背包容量为0，放不下物品0，此时背包里的价值为0。 

背包容量为1，可以放下物品0，此时背包里的价值为15. 

背包容量为2，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。 

以此类推。 

再看把物品1 放入背包： 

![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240730114228.png)

背包容量为 0，放不下物品0 或者物品1，此时背包里的价值为0。 

背包容量为 1，只能放下物品0，背包里的价值为15。 

背包容量为 2，只能放下物品0，背包里的价值为15。 

背包容量为 3，上一行同一状态，背包只能放物品0，这次也可以选择物品1了，背包可以放物品1 或者 物品0，物品1价值更大，背包里的价值为20。 

背包容量为 4，上一行同一状态，背包只能放物品0，这次也可以选择物品1了，背包可以放下物品0 和 物品1，背包价值为35。 

以上举例，是比较容易看懂，我主要是通过这个例子，来帮助大家明确dp数组的含义。 

上图中，我们看 dp[1][4] 表示什么意思呢。 

任取 物品0，物品1 放进容量为4的背包里，最大价值是 dp[1][4]。

通过这个举例，我们来进一步明确dp数组的含义。 

即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

**要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的**，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

2. 确定递推公式

这里在把基本信息给出来：

|       | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。 

这里我们dp[1][4]的状态来举例： 

求取 dp[1][4] 有两种情况： 

1. 放物品1  
2. 还是不放物品1

如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。 

推导方向如图： 

![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240730174246.png)

如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。 

容量为1，只考虑放物品0 的最大价值是 dp[0][1]，这个值我们之前就计算过。 

所以 放物品1 的情况 = dp[0][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：  

![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240730174436.png) 

两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值） 

`dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[0][1] + 物品1 的价值) `

以上过程，抽象化如下：

* **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。

* **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);`

3. dp数组如何初始化

**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

![动态规划-背包问题2](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021011010304192.png)

在看其他情况。

状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当`j >= weight[0]`时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

```CPP
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
```


此时dp数组初始化情况如图所示：

![动态规划-背包问题7](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210110103109140.png)

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j]  是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

**初始-1，初始-2，初始100，都可以！**

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：

![动态规划-背包问题10](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92-%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%9810.jpg)

最后初始化代码如下：

```CPP
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

```

**费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的**。

4. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

![动态规划-背包问题3](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021011010314055.png)

那么问题来了，**先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？**

**其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解**。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

```CPP
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
```

**先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）**

例如这样：

```CPP
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
```

为什么也是可以的呢？

**要理解递归的本质和递推的方向**。

`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);` 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

![动态规划-背包问题5](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/202101101032124.png)

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

![动态规划-背包问题6](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210110103244701.png)

**大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！**

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

**其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了**。

5. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

![动态规划-背包问题4](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210118163425129.jpg)

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

**做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！**

很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第46题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046)去练习，题意是一样的，代码如下： 

```CPP 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间

    cin >> n >> bagweight;

    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值

    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[n - 1][bagweight] << endl;

    return 0;
}


```


## 总结

背包问题 是动态规划里的经典类型题目，大家要细细品味。

可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。

下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异。



## 其他语言版本

### Java

```Java
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int bagweight = scanner.nextInt();

        int[] weight = new int[n];
        int[] value = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            weight[i] = scanner.nextInt();
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            value[j] = scanner.nextInt();
        }

        int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];

        for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);
    }
}

```

### Python

```python
n, bagweight = map(int, input().split())

weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(n)]

for j in range(weight[0], bagweight + 1):
    dp[0][j] = value[0]

for i in range(1, n):
    for j in range(bagweight + 1):
        if j < weight[i]:
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

print(dp[n - 1][bagweight])

```

### Go

```go
package main

import (
    "fmt"
)

func main() {
    var n, bagweight int // bagweight代表行李箱空间
    fmt.Scan(&n, &bagweight)

    weight := make([]int, n) // 存储每件物品所占空间
    value := make([]int, n)  // 存储每件物品价值

    for i := 0; i < n; i++ {
        fmt.Scan(&weight[i])
    }
    for j := 0; j < n; j++ {
        fmt.Scan(&value[j])
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    dp := make([][]int, n)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, bagweight + 1)
    }

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for j := weight[0]; j <= bagweight; j++ {
        dp[0][j] = value[0]
    }

    for i := 1; i < n; i++ { // 遍历科研物品
        for j := 0; j <= bagweight; j++ { // 遍历行李箱容量
            if j < weight[i] {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
            }
        }
    }

    fmt.Println(dp[n-1][bagweight])
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

```

### Javascript

```js
const readline = require('readline').createInterface({
    input: process.stdin,
    output: process.stdout
});

let input = [];

readline.on('line', (line) => {
    input.push(line);
});

readline.on('close', () => {
    let [n, bagweight] = input[0].split(' ').map(Number);
    let weight = input[1].split(' ').map(Number);
    let value = input[2].split(' ').map(Number);

    let dp = Array.from({ length: n }, () => Array(bagweight + 1).fill(0));

    for (let j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j <= bagweight; j++) {
            if (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }

    console.log(dp[n - 1][bagweight]);
});

```


### C

```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int n, bagweight;
    scanf("%d %d", &n, &bagweight);

    int *weight = (int *)malloc(n * sizeof(int));
    int *value = (int *)malloc(n * sizeof(int));

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &weight[i]);
    }
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        scanf("%d", &value[j]);
    }

    int **dp = (int **)malloc(n * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i] = (int *)malloc((bagweight + 1) * sizeof(int));
        for (int j = 0; j <= bagweight; ++j) {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }

    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
            if (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }

    printf("%d\n", dp[n - 1][bagweight]);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);
    free(weight);
    free(value);

    return 0;
}

```



<p align="center">
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
  <img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
</a>
