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> 别看本篇选的是组合总和III，而不是组合总和，本题和上一篇[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)相比难度刚刚好！

# 216.组合总和III

[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iii/)

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：
* 所有数字都是正整数。
* 解集不能包含重复的组合。 

示例 1:
输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:
输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]


# 思路

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于[77. 组合](https://programmercarl.com/0077.组合.html)，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。

想到这一点了，做过[77. 组合](https://programmercarl.com/0077.组合.html)之后，本题是简单一些了。

本题k相当于了树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。

选取过程如图：

![216.组合总和III](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195717975.png)

图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。


## 回溯三部曲

* **确定递归函数参数**

和[77. 组合](https://programmercarl.com/0077.组合.html)一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。

这里我依然定义path 和 result为全局变量。

至于为什么取名为path？从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。

```cpp
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
```

接下来还需要如下参数：

* targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
* k（int）就是题目中要求k个数的集合。
* sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
* startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。

所以代码如下：

```cpp
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)
```
其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。

还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。

* 确定终止条件

什么时候终止呢？

在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。

所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。

如果此时path里收集到的元素和（sum） 和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。

所以 终止代码如下：

```CPP
if (path.size() == k) {
    if (sum == targetSum) result.push_back(path);
    return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
```

* **单层搜索过程**

本题和[77. 组合](https://programmercarl.com/0077.组合.html)区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9]，所以for循环固定i<=9

如图：
![216.组合总和III](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195717975.png)

处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。

代码如下：

```CPP
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
    sum += i;
    path.push_back(i);
    backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
    sum -= i; // 回溯
    path.pop_back(); // 回溯
}
```

**别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！**

参照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://programmercarl.com/回溯算法理论基础.html)中的模板，不难写出如下C++代码：

```CPP
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放结果集
    vector<int> path; // 符合条件的结果
    // targetSum：目标和，也就是题目中的n。
    // k：题目中要求k个数的集合。
    // sum：已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
    // startIndex：下一层for循环搜索的起始位置。
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            if (sum == targetSum) result.push_back(path);
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        }
        for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
            sum += i; // 处理
            path.push_back(i); // 处理
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
            sum -= i; // 回溯
            path.pop_back(); // 回溯
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        result.clear(); // 可以不加
        path.clear();   // 可以不加
        backtracking(n, k, 0, 1);
        return result;
    }
};
```

## 剪枝

这道题目，剪枝操作其实是很容易想到了，想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。

如图：
![216.组合总和III1](https://img-blog.csdnimg.cn/2020112319580476.png)

已选元素总和如果已经大于n（图中数值为4）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。

那么剪枝的地方一定是在递归终止的地方剪，剪枝代码如下：

```cpp
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
    return;
}
```

和[回溯算法：组合问题再剪剪枝](https://programmercarl.com/0077.组合优化.html) 一样，for循环的范围也可以剪枝，i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。

最后C++代码如下：

```CPP
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放结果集
    vector<int> path; // 符合条件的结果
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
        if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        }
        if (path.size() == k) {
            if (sum == targetSum) result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
            sum += i; // 处理
            path.push_back(i); // 处理
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
            sum -= i; // 回溯
            path.pop_back(); // 回溯
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        result.clear(); // 可以不加
        path.clear();   // 可以不加
        backtracking(n, k, 0, 1);
        return result;
    }
};
```

# 总结

开篇就介绍了本题与[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)的区别，相对来说加了元素总和的限制，如果做完[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)再做本题在合适不过。

分析完区别，依然把问题抽象为树形结构，按照回溯三部曲进行讲解，最后给出剪枝的优化。

相信做完本题，大家对组合问题应该有初步了解了。




# 其他语言版本


## Java 

模板方法
```java
class Solution {
	List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
	LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

	public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
		backTracking(n, k, 1, 0);
		return result;
	}

	private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {
		// 减枝
		if (sum > targetSum) {
			return;
		}

		if (path.size() == k) {
			if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));
			return;
		}
		
		// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1
		for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {
			path.add(i);
			sum += i;
			backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);
			//回溯
			path.removeLast();
			//回溯
			sum -= i;
		}
	}
}
```

其他方法
```java
class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    List<Integer> list = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        res.clear();
        list.clear();
        backtracking(k, n, 9);
        return res;
    }

    private void backtracking(int k, int n, int maxNum) {
        if (k == 0 && n == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(list));
            return;
        }

        // 因为不能重复，并且单个数字最大值是maxNum，所以sum最大值为
        // （maxNum + (maxNum - 1) + ... + (maxNum - k + 1)） == k * maxNum - k*(k - 1) / 2
        if (maxNum == 0
                || n > k * maxNum - k * (k - 1) / 2
                || n < (1 + k) * k / 2) {
            return;
        }
        list.add(maxNum);
        backtracking(k - 1, n - maxNum, maxNum - 1);
        list.remove(list.size() - 1);
        backtracking(k, n, maxNum - 1);
    }

}
```

## Python 

```py
class Solution:
    def __init__(self):
        self.res = []
        self.sum_now = 0
        self.path = []

    def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> [[int]]:
        self.backtracking(k, n, 1)
        return self.res

    def backtracking(self, k: int, n: int, start_num: int):
        if self.sum_now > n:  # 剪枝
            return
        if len(self.path) == k:  # len(path)==k时不管sum是否等于n都会返回
            if self.sum_now == n:
                self.res.append(self.path[:])
            return
        for i in range(start_num, 10 - (k - len(self.path)) + 1):
            self.path.append(i)
            self.sum_now += i
            self.backtracking(k, n, i + 1)
            self.path.pop()
            self.sum_now -= i
```

## Go

回溯+减枝

```go
func combinationSum3(k int, n int) [][]int {
    var track []int// 遍历路径
    var result [][]int// 存放结果集
    backTree(n,k,1,&track,&result)
    return result
}
func backTree(n,k,startIndex int,track *[]int,result *[][]int){
    if len(*track)==k{
        var sum int
        tmp:=make([]int,k)
        for k,v:=range *track{
            sum+=v
            tmp[k]=v
        }
        if sum==n{
            *result=append(*result,tmp)
        }
        return
    }
    for i:=startIndex;i<=9-(k-len(*track))+1;i++{//减枝（k-len(*track)表示还剩多少个可填充的元素）
        *track=append(*track,i)//记录路径
        backTree(n,k,i+1,track,result)//递归
        *track=(*track)[:len(*track)-1]//回溯
    }
}
```

## javaScript

```js
// 等差数列
var maxV = k => k * (9 + 10 - k) / 2;
var minV = k => k * (1 + k) / 2;
var combinationSum3 = function(k, n) {
    if (k > 9 || k < 1) return [];
    // if (n > maxV(k) || n < minV(k)) return [];
    // if (n === maxV(k)) return [Array.from({length: k}).map((v, i) => 9 - i)];
    // if (n === minV(k)) return [Array.from({length: k}).map((v, i) => i + 1)];

    const res = [], path = [];
    backtracking(k, n, 1, 0);
    return res;
    function backtracking(k, n, i, sum){
        const len = path.length;
        if (len > k || sum > n) return;
        if (maxV(k - len) < n - sum) return;
        if (minV(k - len) > n - sum) return; 

        if(len === k && sum == n) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }

        const min = Math.min(n - sum, 9 + len - k + 1);

        for(let a = i; a <= min; a++) {
            path.push(a);
            sum += a;
            backtracking(k, n, a + 1, sum);
            path.pop();
            sum -= a;
        }
    }
};
```

## TypeScript

```typescript
function combinationSum3(k: number, n: number): number[][] {
    const resArr: number[][] = [];
    function backTracking(k: number, n: number, sum: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
        if (sum > n) return;
        if (tempArr.length === k) {
            if (sum === n) {
                resArr.push(tempArr.slice());
            }
            return;
        }
        for (let i = startIndex; i <= 9 - (k - tempArr.length) + 1; i++) {
            tempArr.push(i);
            backTracking(k, n, sum + i, i + 1, tempArr);
            tempArr.pop();
        }
    }
    backTracking(k, n, 0, 1, []);
    return resArr;
};
```

## C

```c
int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
int getPathSum() {
    int i;
    int sum = 0;
    for(i = 0; i < pathTop; i++) {
        sum += path[i];
    }
    return sum;
}

void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
    if(pathTop == k) {
        if(sum == targetSum) {
            int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
            int j;
            for(j = 0; j < k; j++) 
                tempPath[j] = path[j];
            ans[ansTop++] = tempPath;
        }
        // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        return;
    }
    int i;
    //从startIndex开始遍历，一直遍历到9
    for (i = startIndex; i <= 9; i++) {
        sum += i; // 处理
        path[pathTop++] = i; // 处理
        backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
        sum -= i; // 回溯
        pathTop--;; // 回溯
    }
}

int** combinationSum3(int k, int n, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //初始化辅助变量
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 20);
    pathTop = ansTop = 0;

    backtracking(n, k, 0, 1);

    //设置返回的二维数组中元素个数为ansTop
    *returnSize = ansTop;
    //设置二维数组中每个元素个数的大小为k
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    return ans;
}
```

## Swift

```swift
func combinationSum3(_ count: Int, _ targetSum: Int) -> [[Int]] {
    var result = [[Int]]()
    var path = [Int]()
    func backtracking(sum: Int, start: Int) {
        // 剪枝
        if sum > targetSum { return }
        // 终止条件
        if path.count == count {
            if sum == targetSum {
                result.append(path)
            }
            return
        }

        // 单层逻辑
        let end = 9
        guard start <= end else { return }
        for i in start ... end {
            path.append(i) // 处理
            backtracking(sum: sum + i, start: i + 1)
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }

    backtracking(sum: 0, start: 1)
    return result
}
```

-----------------------
<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
