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## 516.最长回文子序列
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-subsequence/

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1:
输入: "bbbab"
输出: 4
一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2:
输入:"cbbd"
输出: 2
一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

提示：

* 1 <= s.length <= 1000
* s 只包含小写英文字母


## 思路

我们刚刚做过了 [动态规划：回文子串](https://mp.weixin.qq.com/s/2WetyP6IYQ6VotegepVpEw)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

**回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！** 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

回文子串，可以做这两题：

* 647.回文子串
* 5.最长回文子串

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

**dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]**。

2. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：
![516.最长回文子序列](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151350563.jpg)

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

![516.最长回文子序列1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151420476.jpg)

代码如下：

```C++
if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
```

3. dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

```C++
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
```

4. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]，

也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j] 下一行的数据。 **所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的**。

递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 分别对应着下图中的红色箭头方向，如图：

![516.最长回文子序列2](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151452993.jpg)

代码如下：

```C++
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}
```

5. 举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

![516.最长回文子序列3](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151521432.jpg)

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

以上分析完毕，C++代码如下：

```C++
class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};
```

## 其他语言版本


Java：
```java
public class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
            dp[i][i] = 1; // 初始化
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
}
```


Python：
```python
class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
        for i in range(len(s)-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
        return dp[0][-1]
```

Go：
```Go
func longestPalindromeSubseq(s string) int {
	lenth:=len(s)
	dp:=make([][]int,lenth)
	for i:=0;i<lenth;i++{
		for j:=0;j<lenth;j++{
			if dp[i]==nil{
				dp[i]=make([]int,lenth)
			}
			if i==j{
				dp[i][j]=1
			}
		}
	}
	for i:=lenth-1;i>=0;i--{
		for j:=i+1;j<lenth;j++{
			if s[i]==s[j]{
				dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2
			}else {
				dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
			}
		}
	}

	return dp[0][lenth-1]
}
```




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