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# 动态规划：Carl称它为排列总和！

## 377. 组合总和 Ⅳ

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iv/

难度：中等

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

nums = [1, 2, 3]
target = 4

所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

## 思路

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，**其实就是求排列！**

弄清什么是组合，什么是排列很重要。

组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

大家在公众号里学习回溯算法专题的时候，一定做过这两道题目[回溯算法：39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)和[回溯算法：40.组合总和II](https://mp.weixin.qq.com/s/_1zPYk70NvHsdY8UWVGXmQ)会感觉这两题和本题很像！

但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

**如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜**。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

**dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]**

2. 确定递推公式

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

在[动态规划：494.目标和](https://mp.weixin.qq.com/s/2pWmaohX75gwxvBENS-NCw) 和 [动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

3. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢？

其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？

初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。


4. 确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。


本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

在[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ) 中就已经讲过了。

**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。

**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：**target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历**。

5. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

![377.组合总和Ⅳ](https://img-blog.csdnimg.cn/20210131174250148.jpg)

如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕，C++代码如下：

```C++
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

```

C++测试用例有超过两个树相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

但java就不用考虑这个限制，java里的int也是四个字节吧，也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。

## 总结

**求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！**

本题与[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。

如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。

此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。




## 其他语言版本


Java：

```Java
class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}
```

Python：

```python
class Solution:
    def combinationSum4(self, nums, target):
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1

        for i in range(1, target+1):
            for j in nums:
                if i >= j:
                    dp[i] += dp[i - j]

        return dp[-1]
```


Go：
```go
func combinationSum4(nums []int, target int) int {
	//定义dp数组
	dp := make([]int, target+1)
	// 初始化
	dp[0] = 1
	// 遍历顺序, 先遍历背包,再循环遍历物品
	for j:=0;j<=target;j++ {
		for i:=0 ;i < len(nums);i++ {
			if j >= nums[i] {
				dp[j] += dp[j-nums[i]]
			}
		}
	}
	return dp[target]
}
```



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