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## 121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：   
输入：[7,1,5,3,6,4]   
输出：5    
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：   
输入：prices = [7,6,4,3,1]  
输出：0    
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。


## 思路

### 暴力

这道题目最直观的想法，就是暴力，找最优间距了。

```C++
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){
                result = max(result, prices[j] - prices[i]);
            }
        }
        return result;
    }
};
```

* 时间复杂度：O(n^2)
* 空间复杂度：O(1)

当然该方法超时了。

### 贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

C++代码如下：

```C++
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int low = INT_MAX;
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            low = min(low, prices[i]);  // 取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润
        }
        return result;
    }
};
```
* 时间复杂度：O(n)
* 空间复杂度：O(1)

### 动态规划

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，**这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？**

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

**注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态**

很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2. 确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
* 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
* 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
* 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
* 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递归公式我们就分析完了

3. dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4. 确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

![121.买卖股票的最佳时机](https://img-blog.csdnimg.cn/20210224225642465.png)


dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

**因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！**

以上分析完毕，C++代码如下：

```C++
// 版本一
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};
```
* 时间复杂度：O(n)
* 空间复杂度：O(n)

从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。

```
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
```

那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

```C++
// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};
```

* 时间复杂度：O(n)
* 空间复杂度：O(1)

这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug。

所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二。

## 其他语言版本

Java：
```java
// 贪心思路
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int minprice = Integer.MAX_VALUE;
        int maxprofit = 0;
        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            if (prices[i] < minprice) {
                minprice = prices[i];
            } else if (prices[i] - minprice > maxprofit) {
                maxprofit = prices[i] - minprice;
            }
        }
        return maxprofit;
    }
}
```

``` java
class Solution { // 动态规划解法
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 可交易次数
        int k = 1;
        // [天数][交易次数][是否持有股票]
        int[][][] dp = new int[prices.length][k + 1][2];

        // bad case
        dp[0][0][0] = 0;
        dp[0][0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        dp[0][1][0] = Integer.MIN_VALUE;
        dp[0][1][1] = -prices[0];

        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            for (int j = k; j >= 1; j--) {
                // dp公式
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }

        return dp[prices.length - 1][k][0] > 0 ? dp[prices.length - 1][k][0] : 0;
    }
}
```

Python：

> 贪心法：
```python
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        low = float("inf")
        result = 0
        for i in range(len(prices)):
            low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润
        return result
```

> 动态规划：版本一
```python
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if len == 0:
            return 0
        dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0])
        return dp[-1][1]
```

> 动态规划：版本二
```python
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i])
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0])
        return dp[(length-1) % 2][1]
```

Go：
```Go
func maxProfit(prices []int) int {
	length:=len(prices)
	if length==0{return 0}
	dp:=make([][]int,length)
	for i:=0;i<length;i++{
		dp[i]=make([]int,2)
	}
	
	dp[0][0]=-prices[0]
	dp[0][1]=0
	for i:=1;i<length;i++{
		dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i])
		dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i])
	}
	return dp[length-1][1]
}

func max(a,b int)int {
    if a>b{
        return a 
    }
    return b 
}
```




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