* [做项目（多个C++、Java、Go、测开、前端项目）](https://www.programmercarl.com/other/kstar.html)
* [刷算法（两个月高强度学算法）](https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html)
* [背八股（40天挑战高频面试题）](https://www.programmercarl.com/xunlian/bagu.html)




# 494.目标和

[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/target-sum/)

难度：中等

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

* 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3     
* 输出：5       

解释：     
* -1+1+1+1+1 = 3      
* +1-1+1+1+1 = 3     
* +1+1-1+1+1 = 3    
* +1+1+1-1+1 = 3    
* +1+1+1+1-1 = 3     

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

* 数组非空，且长度不会超过 20 。
* 初始的数组的和不会超过 1000 。
* 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

## 算法公开课

**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？| LeetCode：494.目标和](https://www.bilibili.com/video/BV1o8411j73x/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。


## 思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)

如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://programmercarl.com/回溯总结.html)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。

事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left  

left - (sum - left) = target 推导出  left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

### 回溯算法

在回溯算法系列中，一起学过这道题目[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？

此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。

当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：

```CPP
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};
```

当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧

### 动态规划 （二维dp数组）

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

**此时问题就转化为，用nums装满容量为x的背包，有几种方法**。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到`(target + sum) / 2` 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以：

```CPP 
（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
```

同时如果target 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

```CPP
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
```

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

#### 1. 确定dp数组以及下标的含义

先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。

01背包为什么这么定义dp数组，我在[0-1背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中 确定dp数组的含义里讲解过。 

#### 2. 确定递推公式

我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。 

------------ 

先只考虑物品0，如图：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240808161747.png)

（这里的所有物品，都是题目中的数字1）。

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。  

装满背包容量为1 的方法个数是1，即 放物品0。 

装满背包容量为2 的方法个数是0，目前没有办法能装满容量为2的背包。

--------------

接下来 考虑 物品0 和 物品1，如图：  

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240808162052.png) 

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。  

装满背包容量为1 的方法个数是2，即 放物品0 或者 放物品1。  

装满背包容量为2 的方法个数是1，即 放物品0 和 放物品1。  

其他容量都不能装满，所以方法是0。 

-----------------

接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ，如图：  

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240808162533.png)

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。  

装满背包容量为1 的方法个数是3，即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。  

装满背包容量为2 的方法个数是3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品2、放物品1 和 物品2。 

装满背包容量为3的方法个数是1，即 放物品0 和 物品1 和 物品2。  

---------------

通过以上举例，我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。  

如图红色部分： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240808163312.png)

dp[2][2] = 3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2， 如图所示，三种方法： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240826111946.png)

**容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢**？ 

有 dp[1][2]  种方法，即 背包容量为2，只考虑物品0 和 物品1 ，有  dp[1][2]  种方法，如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240826112805.png)

**容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢**？ 

首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来， 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢？  

刨除物品2容量后的背包容量为 1。

此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法，即： 不放物品2，背包容量为1，只考虑物品 0  和 物品 1，有 dp[1][1] 种方法。 

如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240826113043.png) 

有录友可能疑惑，这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法，那物品2去哪了？  

在上面图中，你把物品2补上就好，同样是两种方法。

dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包放物品2有几种方法 

所以 dp[2][2] = dp[1][2]  + dp[1][1] ，如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240826113258.png)

以上过程，抽象化如下：

* **不放物品i**：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。

* **放物品i**： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。 

本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。

递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]; 

考到这个递推公式，我们应该注意到，`j - nums[i]` 作为数组下标，如果 `j - nums[i]` 小于零呢？ 

说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

所以递推公式： 

```CPP 
if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
```

#### 3. dp数组如何初始化

先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240826115800.png)

那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827103507.png)  

关于dp[0][0]的值，在上面的递推公式讲解中已经讲过，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。  

那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？ 

dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。 

只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。

其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。

所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。 

表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。 

都是有一种方法，就是放0件物品。 

即 dp[i][0] = 1 

但这里有例外，就是如果 物品数值就是0呢？ 

如果有两个物品，物品0为0， 物品1为0，装满背包容量为0的方法有几种。 

* 放0件物品 
* 放物品0  
* 放物品1 
* 放物品0 和 物品1 

此时是有4种方法。  

其实就是算数组里有t个0，然后按照组合数量求，即 2^t 。 

初始化如下： 

```CPP
int numZero = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (nums[i] == 0) numZero++;
    dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
}
```

#### 4. 确定遍历顺序

在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。 

那么我们的遍历顺序一定是 从上到下，从左到右。 

因为只有这样，我们才能基于之前的数值做推导。 

例如下图，如果上方没数值，左上方没数值，就无法推出 dp[2][2]。

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827105427.png)  

那么是先 从上到下 ，再从左到右遍历，例如这样： 

```CPP 
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
    for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
    }
}
``` 

还是先 从左到右，再从上到下呢，例如这样： 

```CPP 
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
    }
}
``` 

**其实以上两种遍历都可以**！ （但仅针对二维DP数组是这样的）

这一点我在 [01背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中的 遍历顺序部分讲过。 

这里我再画图讲一下，以求dp[2][2]为例，当先从上到下，再从左到右遍历，矩阵是这样： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827110933.png) 

当先从左到右，再从上到下遍历，矩阵是这样： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827111013.png) 

这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。 


#### 5. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 =   (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827111612.png)

这么大的矩阵，我们是可以自己手动模拟出来的。

在模拟的过程中，既可以帮我们寻找规律，也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。 


最后二维dp数组的C++代码如下：

```CPP 
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        
        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
        
        // 初始化最上行
        if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1; 

        // 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
        dp[0][0] = 1; 

        int numZero = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] == 0) numZero++;
            dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
        }

        // 以下遍历顺序行列可以颠倒
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
                if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[nums.size() - 1][bagSize];
    }
};
```

### 动态规划 （一维dp数组）

将二维dp数组压缩成一维dp数组，我们在 [01背包理论基础（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) 讲过滚动数组，原理是一样的，即重复利用每一行的数值。 

既然是重复利用每一行，就是将二维数组压缩成一行。 

dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。 

#### 2. 确定递推公式

二维DP数组递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];` 

去掉维度i 之后，递推公式：`dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]` ，即：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`  

**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**

#### 3. dp数组如何初始化

在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。 

#### 4. 确定遍历顺序

在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。

遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。

#### 5. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 =   (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20210125120743274.jpg)

大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。

一维DP的C++代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

```
* 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
* 空间复杂度：O(m)，m为背包容量



### 拓展

关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。 （**但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些**）

2. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5， 

* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

```
dp[j] += dp[j - nums[i]]
```


## 总结

此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)是不是应该也可以用dp来做啊？

是可以求的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法暴搜的。

本题还是有点难度，理解上从二维DP数组更容易理解，做题上直接用一维DP更简洁一些。 

大家可以选择哪种方式自己更容易理解。 

在后面得题目中，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

```CPP
dp[j] += dp[j - nums[i]];
```

我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！

## 其他语言版本

### Java
```java
class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];

        //如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的
        if (Math.abs(target) > sum) return 0;
        //如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;

        int bagSize = (target + sum) / 2;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }

        return dp[bagSize];
    }
}
```

易于理解的二维数组版本：
```java
class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {

        // 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
        // 易于理解的二维数组解法及详细注释

        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }

        // 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
        // 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right）
        if(sum < Math.abs(target)){
            return 0;
        }

        // 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析
        // 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
        if((sum + target) % 2 != 0) {
            return 0;
        }

        int left = (sum + target) / 2;
        
        // dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数
        int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];

        // 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1
        // 其他情况dp[0][j] = 0
        // java整数数组默认初始值为0
        if (nums[0] <= left) {
            dp[0][nums[0]] = 1;
        }

        // 初始化最左列（dp[i][0])
        // 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
        // n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）
        int numZeros = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                numZeros++;
            }
            dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);

        }

        // 递推公式分析：
        // 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数
        // nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
        // 由递推公式可知，先遍历i或j都可
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for(int j = 1; j <= left; j++) {
                if(nums[i] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
                }
            }
        }


        return dp[nums.length - 1][left];
        
    }
}
```

### Python
回溯版
```python
class Solution:


    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])  # 将当前路径的副本添加到结果中
        # 如果 sum + candidates[i] > target，则停止遍历
        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if total + candidates[i] > target:
                break
            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total = sum(nums)
        if target > total:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total) % 2 != 0:
            return 0  # 此时没有方案，两个整数相加时要注意数值溢出的问题
        bagSize = (target + total) // 2  # 转化为组合总和问题，bagSize就是目标和

        # 以下是回溯法代码
        result = []
        nums.sort()  # 需要对nums进行排序
        self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)
        return len(result)

```
二维DP
```python
class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和
        if abs(target) > total_sum:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total_sum) % 2 == 1:
            return 0  # 此时没有方案
        target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和

        # 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和
        dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
        dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums))]

        # 初始化状态
        dp[0][0] = 1
        if nums[0] <= target_sum:
            dp[0][nums[0]] = 1
        numZero = 0
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] == 0:
                numZero += 1
            dp[i][0] = int(math.pow(2, numZero))

        # 动态规划过程
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(target_sum + 1):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]  # 不选取当前元素
                if j >= nums[i]: #只有j >= 本次遍历元素才可以选取当前元素
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i]]  # 选取当前元素

        return dp[len(nums)-1][target_sum]  # 返回达到目标和的方案数


```
一维DP
```python
class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和
        if abs(target) > total_sum:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total_sum) % 2 == 1:
            return 0  # 此时没有方案
        target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和
        dp = [0] * (target_sum + 1)  # 创建动态规划数组，初始化为0
        dp[0] = 1  # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选
        for num in nums:
            for j in range(target_sum, num - 1, -1):
                dp[j] += dp[j - num]  # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量
        return dp[target_sum]  # 返回达到目标和的方案数

```

### Go
回溯法思路
```go
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
    var result int
    var backtracking func(nums []int, target int, index int, currentSum int)

    backtracking = func(nums []int, target int, index int, currentSum int) {
        if index == len(nums) {
            if currentSum == target {
                result++
            }
            return
        }
        
        // 选择加上当前数字
        backtracking(nums, target, index+1, currentSum+nums[index])
        
        // 选择减去当前数字
        backtracking(nums, target, index+1, currentSum-nums[index])
    }

    backtracking(nums, target, 0, 0)
    return result
}
```
二维dp
```go
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
    sum := 0
    for _, v := range nums {
        sum += v
    }
    if math.Abs(float64(target)) > float64(sum) {
        return 0 // 此时没有方案
    }
    if (target + sum) % 2 == 1 {
        return 0 // 此时没有方案
    }
    bagSize := (target + sum) / 2
    
    dp := make([][]int, len(nums))
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, bagSize + 1)
    }
    
    // 初始化最上行
    if nums[0] <= bagSize {
        dp[0][nums[0]] = 1
    }
    
    // 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
    dp[0][0] = 1
    
    var numZero float64
    for i := range nums {
        if nums[i] == 0 {
            numZero++
        }
        dp[i][0] = int(math.Pow(2, numZero))
    }
    
    // 以下遍历顺序行列可以颠倒
    for i := 1; i < len(nums); i++ { // 行，遍历物品
        for j := 0; j <= bagSize; j++ { // 列，遍历背包
            if nums[i] > j {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
            }
        }
    }
    return dp[len(nums)-1][bagSize]
}
```

一维dp
```go
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
	sum := 0
	for _, v := range nums {
		sum += v
	}
	if abs(target) > sum {
		return 0
	}
	if (sum+target)%2 == 1 {
		return 0
	}
	// 计算背包大小
	bag := (sum + target) / 2
	// 定义dp数组
	dp := make([]int, bag+1)
	// 初始化
	dp[0] = 1
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		for j := bag; j >= nums[i]; j-- {
			//推导公式
			dp[j] += dp[j-nums[i]]
			//fmt.Println(dp)
		}
	}
	return dp[bag]
}

func abs(x int) int {
	return int(math.Abs(float64(x)))
}
```

### JavaScript
```javascript
/**
 * 题目来源: {@link https://leetcode.cn/problems/target-sum/}
 *
 * 题解来源: {@link https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE}
 *
 * 时间复杂度: O(n * C), C 为数组元素总和与目标值之和的一半
 *
 * 空间复杂度: O(C)
 *
 * @param { number[] } nums
 * @param { number } target
 * @return { number }
 */
const findTargetSumWays = (nums, target) => {
    // 原题目可转化为:
    //
    // 将所有元素划分为 2 个集合,
    // 一个集合中包含所有要添加 "+" 号的元素, 一个集合中包含所有要添加 "-" 号的元素
    //
    // 设两个集合的元素和分别为 positive 和 negative, 所有元素总和为 sum, 那么有如下等式:
    // positive + negative = sum (1)
    // positive - negative = target (2)
    // (1) 与 (2) 联立可得: positive = (sum + target) / 2,
    // 所以如果能从原数组中取出若干个元素形成 1 个元素总和为 (sum + target) / 2 的集合, 
    // 就算得到了 1 种满足题意的组合方法
    //
    // 因此, 所求变为: 有多少种取法, 可使得容量为 (sum + target) / 2 的背包被装满?

    const sum = nums.reduce((a, b) => a + b);
    
    if (Math.abs(target) > sum) {
        return 0;
    }

    if ((target + sum) % 2) {
        return 0;
    }

    const bagWeight = (target + sum) / 2;
    
    // 1. dp 数组的含义
    // dp[j]: 装满容量为 j 的背包, 有 dp[j] 种方法
    let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0);
    
    // 2. 递推公式
    // dp[j] = Σ(dp[j - nums[j]]), (j ∈ [0, j] 且 j >= nums[j])
    // 因为 dp[j - nums[j]] 表示: 装满容量为 j - nums[j] 背包有 dp[j - nums[j]] 种方法
    // 而容量为 j - nums[j] 的背包只需要再将 nums[j] 放入背包就能使得背包容量达到 j
    // 因此, 让背包容量达到 j 有 Σ(dp[j - nums[j]]) 种方法
    
    // 3. dp 数组如何初始化
    // dp[0] = 1, dp[1 ~ bagWeight] = 0
    dp[0] = 1;
    
    // 4. 遍历顺序
    // 先物品后背包, 物品从前往后遍历, 背包容量从后往前遍历
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (let j = bagWeight; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }

    return dp[bagWeight];
};
```


### TypeScript

```ts
function findTargetSumWays(nums: number[], target: number): number {
    // 把数组分成两个组合left, right.left + right = sum, left - right = target.
    const sum: number = nums.reduce((a: number, b: number): number => a + b);
    if ((sum + target) % 2 || Math.abs(target) > sum)  return 0;
    const left: number = (sum + target) / 2;
    
    // 将问题转化为装满容量为left的背包有多少种方法
    // dp[i]表示装满容量为i的背包有多少种方法
    const dp: number[] = new Array(left + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;  // 装满容量为0的背包有1种方法（什么也不装）
    for (let i: number = 0; i < nums.length; i++) {
        for (let j: number = left; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }
    return dp[left];
};
```

### Scala

```scala
object Solution {
  def findTargetSumWays(nums: Array[Int], target: Int): Int = {
    var sum = nums.sum
    if (math.abs(target) > sum) return 0 // 此时没有方案
    if ((sum + target) % 2 == 1) return 0 // 此时没有方案
    var bagSize = (sum + target) / 2
    var dp = new Array[Int](bagSize + 1)
    dp(0) = 1
    for (i <- 0 until nums.length; j <- bagSize to nums(i) by -1) {
      dp(j) += dp(j - nums(i))
    }

    dp(bagSize)
  }
}
```

### Rust

```rust
impl Solution {
    pub fn find_target_sum_ways(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
        let sum = nums.iter().sum::<i32>();
        if target.abs() > sum {
            return 0;
        }
        if (target + sum) % 2 == 1 {
            return 0;
        }
        let size = (sum + target) as usize / 2;
        let mut dp = vec![0; size + 1];
        dp[0] = 1;
        for n in nums {
            for s in (n as usize..=size).rev() {
                dp[s] += dp[s - n as usize];
            }
        }
        dp[size]
    }
}
```
### C

```c
int getSum(int * nums, int numsSize){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < numsSize; i++){
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

int findTargetSumWays(int* nums, int numsSize, int target) {
    int sum = getSum(nums, numsSize);
    int diff = sum - target;
    // 两种情况不满足
    if(diff < 0 || diff % 2 != 0){
        return 0;
    }
    int bagSize = diff / 2;
    int dp[numsSize + 1][bagSize + 1];
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= numsSize; i++){
        int num = nums[i - 1];
        for(int j = 0; j <= bagSize; j++){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= num){
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - num];
            }
        }
    }
    return dp[numsSize][bagSize];
}
```



### C#

```csharp
public class Solution
{
    public int FindTargetSumWays(int[] nums, int target)
    {
        int sum = 0;
        foreach (int num in nums)
        {
            sum += num;
        }
        if (Math.Abs(target) > sum) return 0;
        if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
        int bagSize = (sum + target) / 2;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
        {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--)
            {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
}
```