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## 62.不同路径题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/ 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？示例 1： ![](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110174033215.png) 输入：m = 3, n = 7 输出：28 示例 2：输入：m = 2, n = 3 输出：3 解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右示例 3：输入：m = 7, n = 3 输出：28 示例 4：输入：m = 3, n = 3 输出：6 提示： * 1 <= m, n <= 100 * 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9 ## 思路 ### 深搜这道题目，刚一看最直观的想法就是用图论里的深搜，来枚举出来有多少种路径。注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步，那么其实**机器人走过的路径可以抽象为一颗二叉树，而叶子节点就是终点！** 如图举例： ![62.不同路径](https://img-blog.csdnimg.cn/20201209113602700.png) 此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数，代码如下： ```C++ class Solution { private: int dfs(int i, int j, int m, int n) { if (i > m || j > n) return 0; // 越界了 if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法，相当于找到了叶子节点 return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n); } public: int uniquePaths(int m, int n) { return dfs(1, 1, m, n); } }; ``` **大家如果提交了代码就会发现超时了！** 来分析一下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个二叉树。这颗树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树（其实没有遍历整个满二叉树，只是近似而已）所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1)，可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是非常大的。 ### 动态规划机器人从(0 , 0) 位置触发，到(m - 1, n - 1)终点。按照动规五部曲来分析： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。 2. 确定递推公式想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。 3. dp数组的初始化如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。所以初始化代码为： ``` for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1; for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1; ``` 4. 确定遍历顺序这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。 5. 举例推导dp数组如图所示： ![62.不同路径1](https://img-blog.csdnimg.cn/20201209113631392.png) 以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector> dp(m, vector(n, 0)); for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1; for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1; for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } return dp[m - 1][n - 1]; } }; ``` * 时间复杂度：O(m * n) * 空间复杂度：O(m * n) 其实用一个一维数组（也可以理解是滚动数组）就可以了，但是不利于理解，可以优化点空间，建议先理解了二维，在理解一维，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector dp(n); for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1; for (int j = 1; j < m; j++) { for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i] += dp[i - 1]; } } return dp[n - 1]; } }; ``` * 时间复杂度：O(m * n) * 空间复杂度：O(n) ### 数论方法在这个图中，可以看出一共m，n的话，无论怎么走，走到终点都需要 m + n - 2 步。 ![62.不同路径](https://img-blog.csdnimg.cn/20201209113602700.png) 在这m + n - 2 步中，一定有 m - 1 步是要向下走的，不用管什么时候向下走。那么有几种走法呢？可以转化为，给你m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法。那么这就是一个组合问题了。那么答案，如图所示： ![62.不同路径2](https://img-blog.csdnimg.cn/20201209113725324.png) **求组合的时候，要防止两个int相乘溢出！** 所以不能把算式的分子都算出来，分母都算出来再做除法。例如如下代码是不行的。 ```C++ class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { int numerator = 1, denominator = 1; int count = m - 1; int t = m + n - 2; while (count--) numerator *= (t--); // 计算分子，此时分子就会溢出 for (int i = 1; i <= m - 1; i++) denominator *= i; // 计算分母 return numerator / denominator; } }; ``` 需要在计算分子的时候，不断除以分母，代码如下： ```C++ class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { long long numerator = 1; // 分子 int denominator = m - 1; // 分母 int count = m - 1; int t = m + n - 2; while (count--) { numerator *= (t--); while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) { numerator /= denominator; denominator--; } } return numerator; } }; ``` 时间复杂度：O(m) 空间复杂度：O(1) **计算组合问题的代码还是有难度的，特别是处理溢出的情况！** ## 总结本文分别给出了深搜，动规，数论三种方法。深搜当然是超时了，顺便分析了一下使用深搜的时间复杂度，就可以看出为什么超时了。然后在给出动规的方法，依然是使用动规五部曲，这次我们就要考虑如何正确的初始化了，初始化和遍历顺序其实也很重要！就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！ ## 其他语言版本 Java： Python： Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)