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# 5.最长回文子串 [力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/) 给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。示例 1： * 输入：s = "babad" * 输出："bab" * 解释："aba" 同样是符合题意的答案。示例 2： * 输入：s = "cbbd" * 输出："bb" 示例 3： * 输入：s = "a" * 输出："a" 示例 4： * 输入：s = "ac" * 输出："a" # 思路本题和[647.回文子串](https://programmercarl.com/0647.回文子串.html) 差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串 ## 暴力解法两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。时间复杂度：O(n^3) ## 动态规划动规五部曲： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 2. 确定递推公式在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况 * 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串 * 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串 * 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。以上三种情况分析完了，那么递归公式如下： ```CPP if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一和情况二 dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 dp[i][j] = true; } } ``` 注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下： ```CPP if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一和情况二 dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 dp[i][j] = true; } } if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) { maxlenth = j - i + 1; left = i; right = j; } ``` 3. dp数组如何初始化 dp[i][j]可以初始化为true么？当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。所以dp[i][j]初始化为false。 4. 确定遍历顺序遍历顺序可有有点讲究了。首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。 dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图： ![647.回文子串](https://img-blog.csdnimg.cn/20210121171032473.jpg) 如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。 **所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的**。有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。代码如下： ```CPP for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序 for (int j = i; j < s.size(); j++) { if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一和情况二 dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 dp[i][j] = true; } } if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) { maxlenth = j - i + 1; left = i; right = j; } } } ``` 5. 举例推导dp数组举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下： ![647.回文子串1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210121171059951.jpg) **注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分**。以上分析完毕，C++代码如下： ```CPP class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0)); int maxlenth = 0; int left = 0; int right = 0; for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < s.size(); j++) { if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一和情况二 dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 dp[i][j] = true; } } if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) { maxlenth = j - i + 1; left = i; right = j; } } } return s.substr(left, right - left + 1); } }; ``` 以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下： ```CPP class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0)); int maxlenth = 0; int left = 0; int right = 0; for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < s.size(); j++) { if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) { dp[i][j] = true; } if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) { maxlenth = j - i + 1; left = i; right = j; } } } return s.substr(left, maxlenth); } }; ``` * 时间复杂度：O(n^2) * 空间复杂度：O(n^2) ## 双指针动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。 **在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况**。一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。 **这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算**，代码如下： ```CPP class Solution { public: int left = 0; int right = 0; int maxLength = 0; string longestPalindrome(string s) { int result = 0; for (int i = 0; i < s.size(); i++) { extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心 extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心 } return s.substr(left, maxLength); } void extend(const string& s, int i, int j, int n) { while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) { if (j - i + 1 > maxLength) { left = i; right = j; maxLength = j - i + 1; } i--; j++; } } }; ``` * 时间复杂度：O(n^2) * 空间复杂度：O(1) # 其他语言版本 ## Java ```java ``` ## Python ```python class Solution: def longestPalindrome(self, s: str) -> str: dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))] maxlenth = 0 left = 0 right = 0 for i in range(len(s) - 1, -1, -1): for j in range(i, len(s)): if s[j] == s[i]: if j - i <= 1 or dp[i + 1][j - 1]: dp[i][j] = True if dp[i][j] and j - i + 1 > maxlenth: maxlenth = j - i + 1 left = i right = j return s[left:right + 1] ``` ## Go ```go ``` ## JavaScript ```js ``` ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)