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# 动态规划：Carl称它为排列总和！ ## 377. 组合总和 Ⅳ 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iv/ 难度：中等给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。示例: nums = [1, 2, 3] target = 4 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。因此输出为 7。 ## 思路本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，**其实就是求排列！** 弄清什么是组合，什么是排列很重要。组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。大家在公众号里学习回溯算法专题的时候，一定做过这两道题目[回溯算法：39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)和[回溯算法：40.组合总和II](https://mp.weixin.qq.com/s/_1zPYk70NvHsdY8UWVGXmQ)会感觉这两题和本题很像！但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。 **如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜**。动规五部曲分析如下： 1. 确定dp数组以及下标的含义 **dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]** 2. 确定递推公式 dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]）推导出来。因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。在[动态规划：494.目标和](https://mp.weixin.qq.com/s/2pWmaohX75gwxvBENS-NCw) 和 [动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]]; 本题也一样。 3. dp数组如何初始化因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。至于dp[0] = 1 有没有意义呢？其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。 4. 确定遍历顺序个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。在[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ) 中就已经讲过了。 **如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。 **如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！所以本题遍历顺序最终遍历顺序：**target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历**。 5. 举例来推导dp数组我们再来用示例中的例子推导一下： ![377.组合总和Ⅳ](https://img-blog.csdnimg.cn/20210131174250148.jpg) 如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。以上分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int combinationSum4(vector& nums, int target) { vector dp(target + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包 for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品 if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) { dp[i] += dp[i - nums[j]]; } } } return dp[target]; } }; ``` C++测试用例有超过两个树相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。但java就不用考虑这个限制，java里的int也是四个字节吧，也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。 ## 总结 **求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！** 本题与[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。 ## 其他语言版本 Java： ```Java class Solution { public int combinationSum4(int[] nums, int target) { int[] dp = new int[target + 1]; dp[0] = 1; for (int i = 0; i <= target; i++) { for (int j = 0; j < nums.length; j++) { if (i >= nums[j]) { dp[i] += dp[i - nums[j]]; } } } return dp[target]; } } Python： ```python class Solution: def combinationSum4(self, nums, target): dp = [0] * (target + 1) dp[0] = 1 for i in range(1, target+1): for j in nums: if i >= j: dp[i] += dp[i - j] return dp[-1] ``` Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)