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## 509. 斐波那契数题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/ 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。示例 1：输入：2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1 示例 2：输入：3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2 示例 3：输入：4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3 提示： * 0 <= n <= 30 ## 思路斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。 **但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的**。通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过[二叉树系列的递归三部曲](https://mp.weixin.qq.com/s/I6ZXFbw09NR31F5CJR_geQ)，[回溯法系列的回溯三部曲](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。 ### 动态规划动规五部曲：这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果 1. 确定dp数组以及下标的含义 dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i] 2. 确定递推公式为什么这是一道非常简单的入门题目呢？ **因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];** 3. dp数组如何初始化 **题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：** ``` dp[0] = 0; dp[1] = 1; ``` 4. 确定遍历顺序从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的 5. 举例推导dp数组按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列： 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int fib(int N) { if (N <= 1) return N; vector dp(N + 1); dp[0] = 0; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= N; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[N]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(n) 当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。代码如下： ```C++ class Solution { public: int fib(int N) { if (N <= 1) return N; int dp[2]; dp[0] = 0; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= N; i++) { int sum = dp[0] + dp[1]; dp[0] = dp[1]; dp[1] = sum; } return dp[1]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(1) ### 递归解法本题还可以使用递归解法来做代码如下： ```C++ class Solution { public: int fib(int N) { if (N < 2) return N; return fib(N - 1) + fib(N - 2); } }; ``` * 时间复杂度：O(2^n) * 空间复杂度：O(n) 算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了，如果不清晰的同学，可以看这篇：[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](https://mp.weixin.qq.com/s/I6ZXFbw09NR31F5CJR_geQ) # 总结斐波那契数列这道题目是非常基础的题目，我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列！这里我严格按照[关于动态规划，你该了解这些！](https://leetcode-cn.com/circle/article/tNuNnM/)中的动规五部曲来分析了这道题目，一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂，代码其实上来就可以撸出来。但我还是强调一下，简单题是用来掌握方法论的，动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用，敬请期待！就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！ ## 其他语言版本 Java： Python： Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)