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## 300.最长递增子序列
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/)
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
* 1 <= nums.length <= 2500
* -10^4 <= nums[i] <= 104
## 思路
最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波：
1. dp[i]的定义
**dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾最长上升子序列的长度**
2. 状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
**注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值**。
3. dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是1.
4. 确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是0到i-1，遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
```CPP
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
```
5. 举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
以上五部分析完毕，C++代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
return result;
}
};
```
## 总结
本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
## 其他语言版本
Java：
```Java
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
}
```
Python：
```python
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) <= 1:
return len(nums)
dp = [1] * len(nums)
result = 0
for i in range(1, len(nums)):
for j in range(0, i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
return result
```
Go：
```go
func lengthOfLIS(nums []int ) int {
dp := []int{}
for _, num := range nums {
if len(dp) ==0 || dp[len(dp) - 1] < num {
dp = append(dp, num)
} else {
l, r := 0, len(dp) - 1
pos := r
for l <= r {
mid := (l + r) >> 1
if dp[mid] >= num {
pos = mid;
r = mid - 1
} else {
l = mid + 1
}
}
dp[pos] = num
}//二分查找
}
return len(dp)
}
```
```go
// 动态规划求解
func lengthOfLIS(nums []int) int {
// dp数组的定义 dp[i]表示取第i个元素的时候，表示子序列的长度，其中包括 nums[i] 这个元素
dp := make([]int, len(nums))
// 初始化，所有的元素都应该初始化为1
for i := range dp {
dp[i] = 1
}
ans := dp[0]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[i] > nums[j] {
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
}
}
if dp[i] > ans {
ans = dp[i]
}
}
return ans
}
func max(x, y int) int {
if x > y {
return x
}
return y
}
```
Rust:
```rust
pub fn length_of_lis(nums: Vec) -> i32 {
let mut dp = vec![1; nums.len() + 1];
let mut result = 1;
for i in 1..nums.len() {
for j in 0..i {
if nums[j] < nums[i] {
dp[i] = dp[i].max(dp[j] + 1);
}
result = result.max(dp[i]);
}
}
result
}
```
Javascript
```javascript
const lengthOfLIS = (nums) => {
let dp = Array(nums.length).fill(1);
let result = 1;
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
for(let j = 0; j < i; j++) {
if(nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
result = Math.max(result, dp[i]);
}
return result;
};
```
TypeScript
```typescript
function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
/**
dp[i]: 前i个元素中，以nums[i]结尾，最长子序列的长度
*/
const dp: number[] = new Array(nums.length).fill(1);
let resMax: number = 0;
for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
}
return resMax;
};
```
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