# 完全背包的排列问题模拟

#### Problem

1. 排列问题是完全背包中十分棘手的问题。
2. 其在迭代过程中需要先迭代背包容量，再迭代物品个数，使得其在代码理解上较难入手。

#### Contribution

本文档以力扣上[组合总和IV](https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/)为例，提供一个二维dp的代码例子，并提供模拟过程以便于理解

#### Code

```cpp
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
	// 定义背包容量为target，物品个数为nums.size()的dp数组	
	// dp[i][j]表示将第0-i个物品添加入排列中，和为j的排列方式
	vector<vector<int>> dp (nums.size(), vector(target+1,0));

	// 表示有0,1,...,n个物品可选择的情况下，和为0的选择方法为1：什么都不取
	for(int i = 0; i < nums.size(); i++) dp[i][0] = 1;

	// 必须按列遍历，因为右边数组需要知道左边数组最低部的信息（排列问题）
	// 后面的模拟可以更清楚的表现这么操作的原因
	for(int i = 1; i <= target; i++){
		for(int j = 0; j < nums.size(); j++){
			// 只有nums[j]可以取的情况
			if(j == 0){
				if(nums[j] > i) dp[j][i] = 0;
				// 如果背包容量放不下 那么此时没有排列方式
				else dp[j][i] = dp[nums.size()-1][i-nums[j]];
				// 如果背包容量放的下 全排列方式为dp[最底层][容量-该物品容量]排列方式后面放一个nums[j]
			}
			// 有多个nums数可以取
			else{
				// 如果背包容量放不下 那么沿用0-j-1个物品的排列方式
				if(nums[j] > i) dp[j][i] = dp[j-1][i];
				// 如果背包容量放得下 在dp[最底层][容量-该物品容量]排列方式后面放一个nums[j]后面放个nums[j]
				// INT_MAX避免溢出
				else if(i >= nums[j] && dp[j-1][i] < INT_MAX - dp[nums.size()-1][i-nums[j]]) 
					dp[j][i] = dp[j-1][i] + dp[nums.size()-1][i-nums[j]];
				}
			}
		}
	// 打印dp数组
	for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
		for(int j = 0; j <= target; j++){
			cout<<dp[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	return dp[nums.size()-1][target];
}
```

#### Simulation

##### 样例 nums = [2,3,4], target = 6

##### 1. 初始化一个3x7的dp数组

1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0

dp\[0-2\]\[0\] = 1，含义是有nums[0-2]物品时使得背包容量为0的取法为1，作用是在取到nums[i]物品使得背包容量为nums[i]时取法为1。

##### 2.迭代方式

必须列优先，因为右边的数组在迭代时需要最左下的数组最终结果。

##### 3. 模拟过程

i = 1, j = 0	dp\[0\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2}中无法组成和为1
i = 1, j = 1	dp\[1\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2,3}中无法组成和为1
i = 1, j = 2	dp\[2\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2,3,4}中无法组成和为1

1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 **0** 0 0 0 0 0

此时dp\[2\]\[1\]作为第1列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下组成和为1的排列方式为0

————————————————————————————

i = 2, j = 0	dp\[0\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为2的排列有{2}
i = 2, j = 1	dp\[1\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为2的排列有{2}
i = 2, j = 2	dp\[2\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为2的排列有{2}

1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 **1** 0 0 0 0

此时dp\[2\]\[2\]作为第2列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为2的排列方式有1个 （类比成一维dp即dp[2]=dp[0]）

————————————————————————————

i = 3, j = 0	dp\[0\]\[3\] = 0，表示在物品集合{2}中无法取出和为3
i = 3, j = 1	dp\[1\]\[3\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为3的排列有{3}
i = 3, j = 2	dp\[2\]\[3\] = 1，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为3的排列有{3}

1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 **1** 0 0 0

此时dp\[2\]\[3\]作为第3列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为3的排列方式有1个（类比成一维dp即dp[3]=dp[0]）

————————————————————————————

i = 4, j = 0	dp\[0\]\[4\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为4的排列有在原有的排列{2}后添加一个2成为{2,2}（从第2列底部信息继承获得）
i = 4, j = 1	dp\[1\]\[4\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为4的排列有{2,2}
i = 4, j = 2	dp\[2\]\[4\] = 2，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为4的排列有{{2,2},{4}}（{2,2}的信息从该列头上获得）

1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 0 1 1 **2** 0 0

此时dp\[2\]\[4\]作为第4列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为4的排列方式有2个

————————————————————————————

i = 5, j = 0	dp\[0\]\[5\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为5的排列有{3,2} **(3的信息由dp[2]\[3]获得，即将2放在3的右边)**
i = 5, j = 1	dp\[1\]\[5\] = 2，表示在物品集合{2,3}中取出和为5的排列有{{2,3},{3,2}} **({3,2}由上一行信息继承，{2,3}是从dp[2] [2]获得，将3放在2的右边)**
i = 5, j = 2	dp\[2\]\[5\] = 2，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为5的排列有{{2,3},{3,2}}

1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 1 1 2 0
1 0 1 1 2 **2** 0

此时dp\[2\]\[5\]作为第5列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为5的排列方式有2个

————————————————————————————

i = 6, j = 0	dp\[0\]\[6\] = 2，表示在物品集合{2}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2}} **(信息由dp[2]\[4]获得，即将2放在{2,2}和{4}的右边)**
i = 6, j = 1	dp\[1\]\[6\] = 3，表示在物品集合{2,3}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2},{3,3}} **({2,2,2},{4,2}由上一行信息继承，{3,3}是从dp[2] [3]获得，将3放在3的右边)**
i = 6, j = 2	dp\[2\]\[6\] = 4，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2},{3,3},{2,4}} **({2,2,2},{4,2},{3,3}由上一行继承，{2,4}从dp[2]获得，将4放在2的右边)**

1 0 1 0 1 1 2
1 0 1 1 1 2 3
1 0 1 1 2 2 **4**

此时dp\[2\]\[6\]作为第6列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为6的排列方式有4个，为{2,2,2}，{4,2}，{3,3}，{2,4}。