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# 77.组合优化
## 算法公开课
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[组合问题的剪枝操作](https://www.bilibili.com/video/BV1wi4y157er)，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。**
## 思路
在[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)中，我们通过回溯搜索法，解决了n个数中求k个数的组合问题。
文中的回溯法是可以剪枝优化的，本篇我们继续来看一下题目77. 组合。
链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/
**看本篇之前，需要先看[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)**。
大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码：
```CPP
class Solution {
private:
vector> result; // 存放符合条件结果的集合
vector path; // 用来存放符合条件结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
}
public:
vector> combine(int n, int k) {
result.clear(); // 可以不写
path.clear(); // 可以不写
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
```
## 剪枝优化
我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码：
```CPP
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i);
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back();
}
```
这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象，如图所示：
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。
**所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置**。
**如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了**。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
```CPP
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
```
接下来看一下优化过程如下：
1. 已经选择的元素个数：path.size();
2. 所需需要的元素个数为: k - path.size();
3. 列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）
4. 在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。
所以优化之后的for循环是：
```CPP
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
```
优化后整体代码如下：
```CPP
class Solution {
private:
vector> result;
vector path;
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
}
public:
vector> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
```
* 时间复杂度: O(n * 2^n)
* 空间复杂度: O(n)
## 总结
本篇我们针对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。
**就酱，学到了就帮Carl转发一下吧，让更多的同学知道这里！**
## 其他语言版本
### Java
```java
class Solution {
List> result = new ArrayList<>();
LinkedList path = new LinkedList<>();
public List> combine(int n, int k) {
combineHelper(n, k, 1);
return result;
}
/**
* 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
*/
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
//终止条件
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.add(i);
combineHelper(n, k, i + 1);
path.removeLast();
}
}
}
```
### Python
```python
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
result = [] # 存放结果集
self.backtracking(n, k, 1, [], result)
return result
def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2): # 优化的地方
path.append(i) # 处理节点
self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
path.pop() # 回溯，撤销处理的节点
```
### Go
```Go
var (
path []int
res [][]int
)
func combine(n int, k int) [][]int {
path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
dfs(n, k, 1)
return res
}
func dfs(n int, k int, start int) {
if len(path) == k {
tmp := make([]int, k)
copy(tmp, path)
res = append(res, tmp)
return
}
for i := start; i <= n - (k-len(path)) + 1; i++ {
path = append(path, i)
dfs(n, k, i+1)
path = path[:len(path)-1]
}
}
```
### JavaScript
```js
var combine = function(n, k) {
const res = [], path = [];
backtracking(n, k, 1);
return res;
function backtracking (n, k, i){
const len = path.length;
if(len === k) {
res.push(Array.from(path));
return;
}
for(let a = i; a <= n + len - k + 1; a++) {
path.push(a);
backtracking(n, k, a + 1);
path.pop();
}
}
};
```
### TypeScript
```typescript
function combine(n: number, k: number): number[][] {
let resArr: number[][] = [];
function backTracking(n: number, k: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
if (tempArr.length === k) {
resArr.push(tempArr.slice());
return;
}
for (let i = startIndex; i <= n - k + 1 + tempArr.length; i++) {
tempArr.push(i);
backTracking(n, k, i + 1, tempArr);
tempArr.pop();
}
}
backTracking(n, k, 1, []);
return resArr;
};
```
### Rust
```Rust
impl Solution {
fn backtracking(result: &mut Vec>, path: &mut Vec, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
let len= path.len() as i32;
if len == k{
result.push(path.to_vec());
return;
}
// 此处剪枝
for i in start_index..= n - (k - len) + 1 {
path.push(i);
Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
path.pop();
}
}
pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec> {
let mut result = vec![];
let mut path = vec![];
Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
result
}
}
```
### C
```c
int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
//当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
if(pathTop == k) {
//path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
//因此创建新的数组存储path中的值
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
int i;
for(i = 0; i < k; i++) {
temp[i] = path[i];
}
ans[ansTop++] = temp;
return ;
}
int j;
for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
//将当前结点放入path数组
path[pathTop++] = j;
//进行递归
backtracking(n, k, j + 1);
//进行回溯，将数组最上层结点弹出
pathTop--;
}
}
int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//path数组存储符合条件的结果
path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
//ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
pathTop = ansTop = 0;
//回溯算法
backtracking(n, k, 1);
//最后的返回大小为ans数组大小
*returnSize = ansTop;
//returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
int i;
for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = k;
}
//返回ans二维数组
return ans;
}
```
### Swift
```swift
func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
var path = [Int]()
var result = [[Int]]()
func backtracking(start: Int) {
// 结束条件，并收集结果
if path.count == k {
result.append(path)
return
}
// 单层逻辑
// let end = n
// 剪枝优化
let end = n - (k - path.count) + 1
guard start <= end else { return }
for i in start ... end {
path.append(i) // 处理结点
backtracking(start: i + 1) // 递归
path.removeLast() // 回溯
}
}
backtracking(start: 1)
return result
}
```
### Scala
```scala
object Solution {
import scala.collection.mutable // 导包
def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果
def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
if (path.size == k) {
// 如果path的size == k就达到题目要求，添加到结果集，并返回
result.append(path.toList)
return
}
// 剪枝优化
for (i <- startIndex to (n - (k - path.size) + 1)) {
path.append(i) // 先把数字添加进去
backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
}
}
backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
result.toList // 最终返回result的List形式，return关键字可以省略
}
}
```
