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# 动态规划：给你一些零钱，你要怎么凑？ ## 518. 零钱兑换 II 链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/ 难度：中等 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。 示例 1: 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 示例 2: 输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。 示例 3: 输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1 注意，你可以假设： * 0 <= amount (总金额) <= 5000 * 1 <= coin (硬币面额) <= 5000 * 硬币种类不超过 500 种 * 结果符合 32 位符号整数 ## 思路 这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。 对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/akwyxlJ4TLvKcw26KB9uJw) 但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！** 注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？ 例如示例一： 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 2 这是一种组合，都是 2 2 1。 如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。 **组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。 那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关! 回归本题，动规五步曲来分析如下： 1. 确定dp数组以及下标的含义 dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] 2. 确定递推公式 dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。 所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; **这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[动态规划：目标和！](https://mp.weixin.qq.com/s/2pWmaohX75gwxvBENS-NCw)中就讲解了，求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];** 3. dp数组如何初始化 首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。 从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。 下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] 4. 确定遍历顺序 本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？ 我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/akwyxlJ4TLvKcw26KB9uJw)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。 **但本题就不行了！** 因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！ 而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。 所以纯完全背包是能凑成总结就行，不用管怎么凑的。 本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。 那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。 我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。 代码如下： ```C++ for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量 dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } ``` 假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。 那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。 **所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！** 如果把两个for交换顺序，代码如下： ``` for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } ``` 背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。 **此时dp[j]里算出来的就是排列数！** 可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）** 5. 举例推导dp数组 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：  最后红色框dp[amount]为最终结果。 以上分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int change(int amount, vector