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# 474.一和零
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/)
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
* 输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
* 输出：4
* 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：
* 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
* 输出：2
* 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
提示：
* 1 <= strs.length <= 600
* 1 <= strs[i].length <= 100
* strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
* 1 <= m, n <= 100
## 算法公开课
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满这个背包最多用多少个物品？| LeetCode：474.一和零](https://www.bilibili.com/video/BV1rW4y1x7ZQ/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
## 思路
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。
来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。
其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系
多重背包是每个物品，数量不同的情况。
**本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！**
**而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包**。
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
但本题其实是01背包问题！
只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
开始动规五部曲：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
**dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。
2. 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。
3. dp数组如何初始化
在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
4. 确定遍历顺序
在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
代码如下：
```CPP
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
```
有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？
没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！
5. 举例推导dp数组
以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) {
vector> dp(m + 1, vector (n + 1, 0)); // 默认初始化0
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
```
* 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
* 空间复杂度: O(mn)
C++:
使用三维数组的版本
```CPP
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) {
int num_of_str = strs.size();
vector>> dp(num_of_str, vector>(m + 1,vector(n + 1, 0)));
/* dp[i][j][k] represents, if choosing items among strs[0] to strs[i] to form a subset,
what is the maximum size of this subset such that there are no more than m 0's and n 1's in this subset.
Each entry of dp[i][j][k] is initialized with 0
transition formula:
using x[i] to indicates the number of 0's in strs[i]
using y[i] to indicates the number of 1's in strs[i]
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - x[i]][k - y[i]] + 1)
*/
// num_of_zeros records the number of 0's for each str
// num_of_ones records the number of 1's for each str
// find the number of 0's and the number of 1's for each str in strs
vector num_of_zeros;
vector num_of_ones;
for (auto& str : strs){
int count_of_zero = 0;
int count_of_one = 0;
for (char &c : str){
if(c == '0') count_of_zero ++;
else count_of_one ++;
}
num_of_zeros.push_back(count_of_zero);
num_of_ones.push_back(count_of_one);
}
// num_of_zeros[0] indicates the number of 0's for str[0]
// num_of_ones[0] indiates the number of 1's for str[1]
// initialize the 1st plane of dp[i][j][k], i.e., dp[0][j][k]
// if num_of_zeros[0] > m or num_of_ones[0] > n, no need to further initialize dp[0][j][k],
// because they have been intialized to 0 previously
if(num_of_zeros[0] <= m && num_of_ones[0] <= n){
// for j < num_of_zeros[0] or k < num_of_ones[0], dp[0][j][k] = 0
for(int j = num_of_zeros[0]; j <= m; j++){
for(int k = num_of_ones[0]; k <= n; k++){
dp[0][j][k] = 1;
}
}
}
/* if j - num_of_zeros[i] >= 0 and k - num_of_ones[i] >= 0:
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - num_of_zeros[i]][k - num_of_ones[i]] + 1)
else:
dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
*/
for (int i = 1; i < num_of_str; i++){
int count_of_zeros = num_of_zeros[i];
int count_of_ones = num_of_ones[i];
for (int j = 0; j <= m; j++){
for (int k = 0; k <= n; k++){
if( j < count_of_zeros || k < count_of_ones){
dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
}else{
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - count_of_zeros][k - count_of_ones] + 1);
}
}
}
}
return dp[num_of_str-1][m][n];
}
};
```
## 总结
不少同学刷过这道题，可能没有总结这究竟是什么背包。
此时我们讲解了0-1背包的多种应用，
* [纯 0 - 1 背包](https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html) 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
* [416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
* [1049. 最后一块石头的重量 II](https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
* [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html) 是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
* 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。
所以在代码随想录中所列举的题目，都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！
## 其他语言版本
### Java
```Java
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
```
### Python
DP（版本一）
```python
class Solution:
def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 创建二维动态规划数组，初始化为0
for s in strs: # 遍历物品
zeroNum = s.count('0') # 统计0的个数
oneNum = len(s) - zeroNum # 统计1的个数
for i in range(m, zeroNum - 1, -1): # 遍历背包容量且从后向前遍历
for j in range(n, oneNum - 1, -1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1) # 状态转移方程
return dp[m][n]
```
DP（版本二）
```python
class Solution:
def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 创建二维动态规划数组，初始化为0
# 遍历物品
for s in strs:
ones = s.count('1') # 统计字符串中1的个数
zeros = s.count('0') # 统计字符串中0的个数
# 遍历背包容量且从后向前遍历
for i in range(m, zeros - 1, -1):
for j in range(n, ones - 1, -1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1) # 状态转移方程
return dp[m][n]
```
### Go
```go
func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
// 定义数组
dp := make([][]int, m+1)
for i,_ := range dp {
dp[i] = make([]int, n+1 )
}
// 遍历
for i:=0;i= zeroNum;j-- {
for k:=n ; k >= oneNum;k-- {
// 推导公式
dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-zeroNum][k-oneNum]+1)
}
}
//fmt.Println(dp)
}
return dp[m][n]
}
func max(a,b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
```
### JavaScript
```javascript
const findMaxForm = (strs, m, n) => {
const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0));
let numOfZeros, numOfOnes;
for(let str of strs) {
numOfZeros = 0;
numOfOnes = 0;
for(let c of str) {
if (c === '0') {
numOfZeros++;
} else {
numOfOnes++;
}
}
for(let i = m; i >= numOfZeros; i--) {
for(let j = n; j >= numOfOnes; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - numOfZeros][j - numOfOnes] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
};
```
### TypeScript
> 滚动数组，二维数组法
```typescript
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
const goodsNum: number = strs.length;
const dp: number[][] = new Array(m + 1).fill(0)
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
for (let j = m; j >= numOfZero; j--) {
for (let k = n; k >= numOfOne; k--) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
let numOfZero: number = 0,
numOfOne: number = 0;
for (let s of str) {
if (s === '0') {
numOfZero++;
} else {
numOfOne++;
}
}
return { numOfZero, numOfOne };
}
```
> 传统背包，三维数组法
```typescript
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
/**
dp[i][j][k]: 前i个物品中, 背包的0容量为j, 1容量为k, 最多能放的物品数量
*/
const goodsNum: number = strs.length;
const dp: number[][][] = new Array(goodsNum).fill(0)
.map(_ => new Array(m + 1)
.fill(0)
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0))
);
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[0]);
for (let i = numOfZero; i <= m; i++) {
for (let j = numOfOne; j <= n; j++) {
dp[0][i][j] = 1;
}
}
for (let i = 1; i < goodsNum; i++) {
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
for (let j = 0; j <= m; j++) {
for (let k = 0; k <= n; k++) {
if (j < numOfZero || k < numOfOne) {
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
} else {
dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
}
}
}
}
return dp[dp.length - 1][m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
let numOfZero: number = 0,
numOfOne: number = 0;
for (let s of str) {
if (s === '0') {
numOfZero++;
} else {
numOfOne++;
}
}
return { numOfZero, numOfOne };
}
```
> 回溯法（会超时）
```typescript
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
/**
思路：暴力枚举strs的所有子集，记录符合条件子集的最大长度
*/
let resMax: number = 0;
backTrack(strs, m, n, 0, []);
return resMax;
function backTrack(
strs: string[], m: number, n: number,
startIndex: number, route: string[]
): void {
if (startIndex === strs.length) return;
for (let i = startIndex, length = strs.length; i < length; i++) {
route.push(strs[i]);
if (isValidSubSet(route, m, n)) {
resMax = Math.max(resMax, route.length);
backTrack(strs, m, n, i + 1, route);
}
route.pop();
}
}
};
function isValidSubSet(strs: string[], m: number, n: number): boolean {
let zeroNum: number = 0,
oneNum: number = 0;
strs.forEach(str => {
for (let s of str) {
if (s === '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
});
return zeroNum <= m && oneNum <= n;
}
```
### Scala
背包：
```scala
object Solution {
def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
var dp = Array.ofDim[Int](m + 1, n + 1)
var (oneNum, zeroNum) = (0, 0)
for (str <- strs) {
oneNum = 0
zeroNum = 0
for (i <- str.indices) {
if (str(i) == '0') zeroNum += 1
else oneNum += 1
}
for (i <- m to zeroNum by -1) {
for (j <- n to oneNum by -1) {
dp(i)(j) = math.max(dp(i)(j), dp(i - zeroNum)(j - oneNum) + 1)
}
}
}
dp(m)(n)
}
}
```
回溯法(超时)：
```scala
object Solution {
import scala.collection.mutable
var res = Int.MinValue
def test(str: String): (Int, Int) = {
var (zero, one) = (0, 0)
for (i <- str.indices) {
if (str(i) == '1') one += 1
else zero += 1
}
(zero, one)
}
def travsel(strs: Array[String], path: mutable.ArrayBuffer[String], m: Int, n: Int, startIndex: Int): Unit = {
if (startIndex > strs.length) {
return
}
res = math.max(res, path.length)
for (i <- startIndex until strs.length) {
var (zero, one) = test(strs(i))
// 如果0的个数小于m，1的个数小于n，则可以回溯
if (zero <= m && one <= n) {
path.append(strs(i))
travsel(strs, path, m - zero, n - one, i + 1)
path.remove(path.length - 1)
}
}
}
def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
res = Int.MinValue
var path = mutable.ArrayBuffer[String]()
travsel(strs, path, m, n, 0)
res
}
}
```
### Rust
```rust
impl Solution {
pub fn find_max_form(strs: Vec, m: i32, n: i32) -> i32 {
let (m, n) = (m as usize, n as usize);
let mut dp = vec![vec![0; n + 1]; m + 1];
for s in strs {
let (mut one_num, mut zero_num) = (0, 0);
for c in s.chars() {
match c {
'0' => zero_num += 1,
'1' => one_num += 1,
_ => (),
}
}
for i in (zero_num..=m).rev() {
for j in (one_num..=n).rev() {
dp[i][j] = dp[i][j].max(dp[i - zero_num][j - one_num] + 1);
}
}
}
dp[m][n]
}
}
```
### C
```c
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
int findMaxForm(char** strs, int strsSize, int m, int n) {
int dp[m + 1][n + 1];
memset(dp, 0, sizeof (int ) * (m + 1) * (n + 1));
for(int i = 0; i < strsSize; i++){
// 统计0和1的数量
int count0 = 0;
int count1 = 0;
char *str = strs[i];
while (*str != '\0'){
if(*str == '0'){
count0++;
} else{
count1++;
}
str++;
}
for(int j = m; j >= count0; j--){
for(int k = n; k >= count1; k--){
dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - count0][k - count1] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
```
### C#
```csharp
public class Solution
{
public int FindMaxForm(string[] strs, int m, int n)
{
int[,] dp = new int[m + 1, n + 1];
foreach (string str in strs)
{
int zero = 0, one = 0;
foreach (char c in str)
{
if (c == '0') zero++;
else one++;
}
for (int i = m; i >= zero; i--)
{
for (int j = n; j >= one; j--)
{
dp[i, j] = Math.Max(dp[i, j], dp[i - zero, j - one] + 1);
}
}
}
return dp[m, n];
}
}
```
