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## 647. 回文子串 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/ 给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。 具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。 示例 1： 输入："abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c" 示例 2： 输入："aaa" 输出：6 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa" 提示： 输入的字符串长度不会超过 1000 。 ## 暴力解法 两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。 时间复杂度：O(n^3) ## 动态规划 动规五部曲： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 2. 确定递推公式 在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。 整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况 * 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串 * 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串 * 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。 以上三种情况分析完了，那么递归公式如下： ```C++ if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二 result++; dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 result++; dp[i][j] = true; } } ``` result就是统计回文子串的数量。 注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。 3. dp数组如何初始化 dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。 所以dp[i][j]初始化为false。 4. 确定遍历顺序 遍历顺序可有有点讲究了。 首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。 dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：  如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。 **所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的**。 有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。 代码如下： ```C++ for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序 for (int j = i; j < s.size(); j++) { if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二 result++; dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 result++; dp[i][j] = true; } } } } ``` 5. 举例推导dp数组 举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：  图中有6个true，所以就是有6个回文子串。 **注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分**。 以上分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int countSubstrings(string s) { vector