# 本周小结！（动态规划系列三）

本周我们正式开始讲解背包问题，也是动规里非常重要的一类问题。

背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。

开始回顾一下本周的内容吧！

## 周一

[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)中，我们开始介绍了背包问题。

首先对于背包的所有问题中，01背包是最最基础的，其他背包也是在01背包的基础上稍作变化。

所以我才花费这么大精力去讲解01背包。

关于其他几种常用的背包，大家看这张图就了然于胸了：

![416.分割等和子集1](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210117171307407-20230310133624872.png)

本文用动规五部曲详细讲解了01背包的二维dp数组的实现方法，大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在确定初始化和遍历顺序上。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2. 确定递推公式

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

```CPP
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
```

4. 确定遍历顺序

**01背包二维dp数组在遍历顺序上，外层遍历物品 ，内层遍历背包容量 和 外层遍历背包容量 ，内层遍历物品 都是可以的！**

但是先遍历物品更好理解。代码如下：

```CPP
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
```

5. 举例推导dp数组

背包最大重量为4。

物品为：

|       | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

![动态规划-背包问题4](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210118163425129-20230310133630224.jpg)

最终结果就是dp[2][4]。


## 周二

[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中把01背包的一维dp数组（滚动数组）实现详细讲解了一遍。

分析一下和二维dp数组有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异？

最后总结了一道朴实无华的背包面试题。

要求候选人先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

这几个问题就可以考察出候选人的算法功底了。

01背包一维数组分析如下：

1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式

```
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
```

3. 一维dp数组如何初始化

如果物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

```CPP
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
```

5. 举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

![动态规划-背包问题9](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210110103614769-20230310133634873.png)


## 周三

[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)中我们开始用01背包来解决问题。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

* 背包的体积为sum / 2
* 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
* 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
* 背包中每一个元素是不可重复放入。

接下来就是一个完整的01背包问题，大家应该可以轻松做出了。

## 周四

[动态规划：1049. 最后一块石头的重量 II](https://programmercarl.com/1049.最后一块石头的重量II.html)这道题目其实和[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)是非常像的。

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。

这两道题目是对dp[target]的处理方式不同。这也考验的对dp[i]定义的理解。


## 总结

总体来说，本周信息量还是比较大的，特别对于对动态规划还不够了解的同学。

但如果坚持下来把，我在文章中列出的每一个问题，都仔细思考，消化为自己的知识，那么进步一定是飞速的。

有的同学可能看了看背包递推公式，上来就能撸它几道题目，然后背包问题就这么过去了，其实这样是很不牢固的。

就像是我们讲解01背包的时候，花了那么大力气才把每一个细节都讲清楚，这里其实是基础，后面的背包问题怎么变，基础比较牢固自然会有自己的一套思考过程。


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