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## 72. 编辑距离 https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/ 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。 你可以对一个单词进行如下三种操作： * 插入一个字符 * 删除一个字符 * 替换一个字符 示例 1： 输入：word1 = "horse", word2 = "ros" 输出：3 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e') 示例 2： 输入：word1 = "intention", word2 = "execution" 输出：5 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u') 提示： * 0 <= word1.length, word2.length <= 500 * word1 和 word2 由小写英文字母组成 ## 思路 编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。 编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。 接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。 这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？ 用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。 2. 确定递推公式 在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下： * if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) * 不操作 * if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) * 增 * 删 * 换 也就是如上四种情况。 if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; 此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？ 那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1] 就是 dp[i][j]了。 在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。 **在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！** if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？ 操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1 与 i-1为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。 即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1; 操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。 即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1; 这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了。 **word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素**，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word2添加一个元素d，也就是相当于word1删除一个元素d，操作数是一样！ 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。 即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 递归公式代码如下： ```C++ if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; } else { dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; } ``` 3. dp数组如何初始化 在回顾一下dp[i][j]的定义。 **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。 那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？ dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。 那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i; 同理dp[0][j] = j; 所以C++代码如下： ```C++ for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; ``` 4. 确定遍历顺序 从如下四个递推公式： * dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] * dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 * dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1 * dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1 可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：  所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。 代码如下： ```C++ for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) { if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; } else { dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; } } } ``` 5. 举例推导dp数组 以示例1，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：  以上动规五部分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int minDistance(string word1, string word2) { vector