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& prices) { int result = 0; for (int i = 0; i < prices.size(); i++) { for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){ result = max(result, prices[j] - prices[i]); } } return result; } }; ``` * 时间复杂度：$O(n^2)$ * 空间复杂度：$O(1)$ 当然该方法超时了。 ### 贪心 因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。 C++代码如下： ```CPP class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int low = INT_MAX; int result = 0; for (int i = 0; i < prices.size(); i++) { low = min(low, prices[i]); // 取最左最小价格 result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润 } return result; } }; ``` * 时间复杂度：$O(n)$ * 空间复杂度：$O(1)$ ### 动态规划 动规五部曲分析如下： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，**这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？** 其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金 **注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态** 很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。 在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。 2. 确定递推公式 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来 * 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0] * 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i] 那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来 * 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1] * 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0] 同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); 这样递归公式我们就分析完了 3. dp数组如何初始化 由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出 其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。 那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0; 4. 确定遍历顺序 从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。 5. 举例推导dp数组 以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：  dp[5][1]就是最终结果。 为什么不是dp[5][0]呢？ **因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！** 以上分析完毕，C++代码如下： ```CPP // 版本一 class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int len = prices.size(); if (len == 0) return 0; vector> dp(len, vector(2)); dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); } return dp[len - 1][1]; } }; ``` * 时间复杂度：$O(n)$ * 空间复杂度：$O(n)$ 从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。 ``` dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); ``` 那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下： ```CPP // 版本二 class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int len = prices.size(); vector> dp(2, vector(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组 dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]); dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]); } return dp[(len - 1) % 2][1]; } }; ``` * 时间复杂度：$O(n)$ * 空间复杂度：$O(1)$ 这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug。 所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二。 ## 其他语言版本 Java: > 贪心法： ```java class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { // 找到一个最小的购入点 int low = Integer.MAX_VALUE; // res不断更新，直到数组循环完毕 int res = 0; for(int i = 0; i < prices.length; i++){ low = Math.min(prices[i], low); res = Math.max(prices[i] - low, res); } return res; } } ``` > 动态规划：版本一 ```java // 解法1 class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length == 0) return 0; int length = prices.length; // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益 // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益 int[][] dp = new int[length][2]; int result = 0; dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < length; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]); } return dp[length - 1][1]; } } ``` > 动态规划：版本二 ``` java class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int[] dp = new int[2]; // 记录一次交易，一次交易有买入卖出两种状态 // 0代表持有，1代表卖出 dp[0] = -prices[0]; dp[1] = 0; // 可以参考斐波那契问题的优化方式 // 我们从 i=1 开始遍历数组，一共有 prices.length 天， // 所以是 i<=prices.length for (int i = 1; i <= prices.length; i++) { // 前一天持有；或当天买入 dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]); // 如果 dp[0] 被更新，那么 dp[1] 肯定会被更新为正数的 dp[1] // 而不是 dp[0]+prices[i-1]==0 的0， // 所以这里使用会改变的dp[0]也是可以的 // 当然 dp[1] 初始值为 0 ，被更新成 0 也没影响 // 前一天卖出；或当天卖出, 当天要卖出，得前一天持有才行 dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]); } return dp[1]; } } ``` Python: > 贪心法： ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: low = float("inf") result = 0 for i in range(len(prices)): low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格 result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润 return result ``` > 动态规划：版本一 ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: length = len(prices) if len == 0: return 0 dp = [[0] * 2 for _ in range(length)] dp[0][0] = -prices[0] dp[0][1] = 0 for i in range(1, length): dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]) dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0]) return dp[-1][1] ``` > 动态规划：版本二 ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: length = len(prices) dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组 dp[0][0] = -prices[0] dp[0][1] = 0 for i in range(1, length): dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i]) dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0]) return dp[(length-1) % 2][1] ``` Go: ```Go func maxProfit(prices []int) int { length:=len(prices) if length==0{return 0} dp:=make([][]int,length) for i:=0;ib{ return a } return b } ``` JavaScript: > 动态规划 ```javascript const maxProfit = prices => { const len = prices.length; // 创建dp数组 const dp = new Array(len).fill([0, 0]); // dp数组初始化 dp[0] = [-prices[0], 0]; for (let i = 1; i < len; i++) { // 更新dp[i] dp[i] = [ Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]), Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]), ]; } return dp[len - 1][1]; }; ``` > 贪心法 ```javascript var maxProfit = function(prices) { let lowerPrice = prices[0];// 重点是维护这个最小值（贪心的思想） let profit = 0; for(let i = 0; i < prices.length; i++){ lowerPrice = Math.min(lowerPrice, prices[i]);// 贪心地选择左面的最小价格 profit = Math.max(profit, prices[i] - lowerPrice);// 遍历一趟就可以获得最大利润 } return profit; }; ``` -----------------------