本周的主题就是股票系列，来一起回顾一下吧 ## 周一 [动态规划：买卖股票的最佳时机II](https://programmercarl.com/0122.买卖股票的最佳时机II（动态规划）.html)中股票可以买卖多次了！ 这也是和[121. 买卖股票的最佳时机](https://programmercarl.com/0121.买卖股票的最佳时机.html)的唯一区别（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票） 重点在于递推公式的不同。 在回顾一下dp数组的含义： * dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。 * dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金 递推公式： ``` dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]); ``` 大家可以发现本题和[121. 买卖股票的最佳时机](https://programmercarl.com/0121.买卖股票的最佳时机.html)的代码几乎一样，唯一的区别在： ``` dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); ``` **这正是因为本题的股票可以买卖多次！** 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。 ## 周二 [动态规划：买卖股票的最佳时机III](https://programmercarl.com/0123.买卖股票的最佳时机III.html)中最多只能完成两笔交易。 **这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖**。 1. 确定dp数组以及下标的含义 一天一共就有五个状态， 0. 没有操作 1. 第一次买入 2. 第一次卖出 3. 第二次买入 4. 第二次卖出 **dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金**。 2. 确定递推公式 需要注意：dp[i][1]，**表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区**。 ``` dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]); dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]); dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]); dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]); ``` 3. dp数组如何初始化 dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0; 4. 确定遍历顺序 从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。 5. 举例推导dp数组 以输入[1,2,3,4,5]为例 ![123.买卖股票的最佳时机III](https://img-blog.csdnimg.cn/20201228181724295.png) 可以看到红色框为最后两次卖出的状态。 现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。 所以最终最大利润是dp[4][4] ## 周三 [动态规划：买卖股票的最佳时机IV](https://programmercarl.com/0188.买卖股票的最佳时机IV.html)最多可以完成 k 笔交易。 相对于上一道[动态规划：123.买卖股票的最佳时机III](https://programmercarl.com/0123.买卖股票的最佳时机III.html)，本题需要通过前两次的交易，来类比前k次的交易 1. 确定dp数组以及下标的含义 使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j] j的状态表示为： * 0 表示不操作 * 1 第一次买入 * 2 第一次卖出 * 3 第二次买入 * 4 第二次卖出 * ..... **除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入**。 2. 确定递推公式 还要强调一下：dp[i][1]，**表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区**。 ```CPP for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) { dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]); dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]); } ``` **本题和[动态规划：123.买卖股票的最佳时机III](https://programmercarl.com/0123.买卖股票的最佳时机III.html)最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态**。 3. dp数组如何初始化 **dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]** 代码如下： ```CPP for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) { dp[0][j] = -prices[0]; } ``` **在初始化的地方同样要类比j为奇数是买、偶数是卖的状态**。 4. 确定遍历顺序 从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。 5. 举例推导dp数组 以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。 ![188.买卖股票的最佳时机IV](https://img-blog.csdnimg.cn/20201229100358221.png) 最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。 ## 周四 [动态规划：最佳买卖股票时机含冷冻期](https://programmercarl.com/0309.最佳买卖股票时机含冷冻期.html)尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票），但有冷冻期，冷冻期为1天 相对于[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II](https://programmercarl.com/0122.买卖股票的最佳时机II（动态规划）.html)，本题加上了一个冷冻期 **本题则需要第三个状态：不持有股票（冷冻期）的最多现金**。 动规五部曲，分析如下： 1. 确定dp数组以及下标的含义 **dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]**。 j的状态为： * 0：持有股票后的最多现金 * 1：不持有股票（能购买）的最多现金 * 2：不持有股票（冷冻期）的最多现金 2. 确定递推公式 ``` dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]); dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; ``` 3. dp数组如何初始化 可以统一都初始为0了。 代码如下： ```CPP vector> dp(n, vector(3, 0)); ``` **初始化其实很有讲究，很多同学可能是稀里糊涂的全都初始化0，反正就可以通过，但没有想清楚，为什么都初始化为0**。 4. 确定遍历顺序 从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。 5. 举例推导dp数组 以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下： ![309.最佳买卖股票时机含冷冻期](https://img-blog.csdnimg.cn/20201229163725348.png) 最后两个状态 不持有股票（能购买） 和 不持有股票（冷冻期）都有可能最后结果，取最大的。 ## 总结 下周还会有一篇股票系列的文章，**股票系列后面我也会单独写一篇总结，来高度概括一下，这样大家会对股票问题就有一个整体性的理解了**。