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# 103. 水流问题
[卡码网题目链接（ACM模式）](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1175)
题目描述：
现有一个 N × M 的矩阵，每个单元格包含一个数值，这个数值代表该位置的相对高度。矩阵的左边界和上边界被认为是第一组边界，而矩阵的右边界和下边界被视为第二组边界。
矩阵模拟了一个地形，当雨水落在上面时，水会根据地形的倾斜向低处流动，但只能从较高或等高的地点流向较低或等高并且相邻（上下左右方向）的地点。我们的目标是确定那些单元格，从这些单元格出发的水可以达到第一组边界和第二组边界。
输入描述：
第一行包含两个整数 N 和 M，分别表示矩阵的行数和列数。
后续 N 行，每行包含 M 个整数，表示矩阵中的每个单元格的高度。
输出描述：
输出共有多行，每行输出两个整数，用一个空格隔开，表示可达第一组边界和第二组边界的单元格的坐标，输出顺序任意。
输入示例：
```
5 5
1 3 1 2 4
1 2 1 3 2
2 4 7 2 1
4 5 6 1 1
1 4 1 2 1
```
输出示例：
```
0 4
1 3
2 2
3 0
3 1
3 2
4 0
4 1
```
提示信息：
图中的蓝色方块上的雨水既能流向第一组边界，也能流向第二组边界。所以最终答案为所有蓝色方块的坐标。
数据范围：
1 <= M, N <= 50
## 思路
一个比较直白的想法，其实就是 遍历每个点，然后看这个点 能不能同时到达第一组边界和第二组边界。
至于遍历方式，可以用dfs，也可以用bfs，以下用dfs来举例。
那么这种思路的实现代码如下：
```CPP
#include
#include
using namespace std;
int n, m;
int dir[4][2] = {-1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 1};
// 从 x，y 出发 把可以走的地方都标记上
void dfs(vector>& grid, vector>& visited, int x, int y) {
if (visited[x][y]) return;
visited[x][y] = true;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nextx = x + dir[i][0];
int nexty = y + dir[i][1];
if (nextx < 0 || nextx >= n || nexty < 0 || nexty >= m) continue;
if (grid[x][y] < grid[nextx][nexty]) continue; // 高度不合适
dfs (grid, visited, nextx, nexty);
}
return;
}
bool isResult(vector>& grid, int x, int y) {
vector> visited(n, vector(m, false));
// 深搜，将x,y出发 能到的节点都标记上。
dfs(grid, visited, x, y);
bool isFirst = false;
bool isSecond = false;
// 以下就是判断x，y出发，是否到达第一组边界和第二组边界
// 第一边界的上边
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (visited[0][j]) {
isFirst = true;
break;
}
}
// 第一边界的左边
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (visited[i][0]) {
isFirst = true;
break;
}
}
// 第二边界右边
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (visited[n - 1][j]) {
isSecond = true;
break;
}
}
// 第二边界下边
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (visited[i][m - 1]) {
isSecond = true;
break;
}
}
if (isFirst && isSecond) return true;
return false;
}
int main() {
cin >> n >> m;
vector> grid(n, vector(m, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
cin >> grid[i][j];
}
}
// 遍历每一个点，看是否能同时到达第一组边界和第二组边界
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (isResult(grid, i, j)) {
cout << i << " " << j << endl;
}
}
}
}
```
这种思路很直白，但很明显，以上代码超时了。 来看看时间复杂度。
遍历每一个节点，是 m * n，遍历每一个节点的时候，都要做深搜，深搜的时间复杂度是： m * n
那么整体时间复杂度 就是 O(m^2 * n^2) ，这是一个四次方的时间复杂度。
## 优化
那么我们可以 反过来想，从第一组边界上的节点 逆流而上，将遍历过的节点都标记上。
同样从第二组边界的边上节点 逆流而上，将遍历过的节点也标记上。
然后**两方都标记过的节点就是既可以流太平洋也可以流大西洋的节点**。
从第一组边界边上节点出发，如图：
从第二组边界上节点出发，如图：
按照这样的逻辑，就可以写出如下遍历代码：（详细注释）
```CPP
#include
#include
using namespace std;
int n, m;
int dir[4][2] = {-1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 1};
void dfs(vector>& grid, vector>& visited, int x, int y) {
if (visited[x][y]) return;
visited[x][y] = true;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nextx = x + dir[i][0];
int nexty = y + dir[i][1];
if (nextx < 0 || nextx >= n || nexty < 0 || nexty >= m) continue;
if (grid[x][y] > grid[nextx][nexty]) continue; // 注意：这里是从低向高遍历
dfs (grid, visited, nextx, nexty);
}
return;
}
int main() {
cin >> n >> m;
vector> grid(n, vector(m, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
cin >> grid[i][j];
}
}
// 标记从第一组边界上的节点出发，可以遍历的节点
vector> firstBorder(n, vector(m, false));
// 标记从第一组边界上的节点出发，可以遍历的节点
vector> secondBorder(n, vector(m, false));
// 从最上和最下行的节点出发，向高处遍历
for (int i = 0; i < n; i++) {
dfs (grid, firstBorder, i, 0); // 遍历最左列，接触第一组边界
dfs (grid, secondBorder, i, m - 1); // 遍历最右列，接触第二组边界
}
// 从最左和最右列的节点出发，向高处遍历
for (int j = 0; j < m; j++) {
dfs (grid, firstBorder, 0, j); // 遍历最上行，接触第一组边界
dfs (grid, secondBorder, n - 1, j); // 遍历最下行，接触第二组边界
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
// 如果这个节点，从第一组边界和第二组边界出发都遍历过，就是结果
if (firstBorder[i][j] && secondBorder[i][j]) cout << i << " " << j << endl;;
}
}
}
```
时间复杂度分析， 关于dfs函数搜索的过程 时间复杂度是 O(n * m)，这个大家比较容易想。
关键看主函数，那么每次dfs的时候，上面还是有for循环的。
第一个for循环，时间复杂度是：n * (n * m) 。
第二个for循环，时间复杂度是：m * (n * m)。
所以本题看起来 时间复杂度好像是 ： n * (n * m) + m * (n * m) = (m * n) * (m + n) 。
其实这是一个误区，大家再自己看 dfs函数的实现，其实 有visited函数记录 走过的节点，而走过的节点是不会再走第二次的。
所以 调用dfs函数，**只要参数传入的是 数组 firstBorder，那么地图中 每一个节点其实就遍历一次，无论你调用多少次**。
同理，调用dfs函数，只要 参数传入的是 数组 secondBorder，地图中每个节点也只会遍历一次。
所以，以下这段代码的时间复杂度是 2 * n * m。 地图用每个节点就遍历了两次，参数传入 firstBorder 的时候遍历一次，参数传入 secondBorder 的时候遍历一次。
```CPP
// 从最上和最下行的节点出发，向高处遍历
for (int i = 0; i < n; i++) {
dfs (grid, firstBorder, i, 0); // 遍历最左列，接触第一组边界
dfs (grid, secondBorder, i, m - 1); // 遍历最右列，接触第二组边界
}
// 从最左和最右列的节点出发，向高处遍历
for (int j = 0; j < m; j++) {
dfs (grid, firstBorder, 0, j); // 遍历最上行，接触第一组边界
dfs (grid, secondBorder, n - 1, j); // 遍历最下行，接触第二组边界
}
```
那么本题整体的时间复杂度其实是： 2 * n * m + n * m ，所以最终时间复杂度为 O(n * m) 。
空间复杂度为：O(n * m) 这个就不难理解了。开了几个 n * m 的数组。
## 其他语言版本
### Java
```Java
public class Main {
// 采用 DFS 进行搜索
public static void dfs(int[][] heights, int x, int y, boolean[][] visited, int preH) {
// 遇到边界或者访问过的点，直接返回
if (x < 0 || x >= heights.length || y < 0 || y >= heights[0].length || visited[x][y]) return;
// 不满足水流入条件的直接返回
if (heights[x][y] < preH) return;
// 满足条件，设置为true，表示可以从边界到达此位置
visited[x][y] = true;
// 向下一层继续搜索
dfs(heights, x + 1, y, visited, heights[x][y]);
dfs(heights, x - 1, y, visited, heights[x][y]);
dfs(heights, x, y + 1, visited, heights[x][y]);
dfs(heights, x, y - 1, visited, heights[x][y]);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
int[][] heights = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
heights[i][j] = sc.nextInt();
}
}
// 初始化两个二位boolean数组，代表两个边界
boolean[][] pacific = new boolean[m][n];
boolean[][] atlantic = new boolean[m][n];
// 从左右边界出发进行DFS
for (int i = 0; i < m; i++) {
dfs(heights, i, 0, pacific, Integer.MIN_VALUE);
dfs(heights, i, n - 1, atlantic, Integer.MIN_VALUE);
}
// 从上下边界出发进行DFS
for (int j = 0; j < n; j++) {
dfs(heights, 0, j, pacific, Integer.MIN_VALUE);
dfs(heights, m - 1, j, atlantic, Integer.MIN_VALUE);
}
// 当两个边界二维数组在某个位置都为true时，符合题目要求
List> res = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (pacific[i][j] && atlantic[i][j]) {
res.add(Arrays.asList(i, j));
}
}
}
// 打印结果
for (List list : res) {
for (int k = 0; k < list.size(); k++) {
if (k == 0) {
System.out.print(list.get(k) + " ");
} else {
System.out.print(list.get(k));
}
}
System.out.println();
}
}
}
```
### Python
```Python
first = set()
second = set()
directions = [[-1, 0], [0, 1], [1, 0], [0, -1]]
def dfs(i, j, graph, visited, side):
if visited[i][j]:
return
visited[i][j] = True
side.add((i, j))
for x, y in directions:
new_x = i + x
new_y = j + y
if (
0 <= new_x < len(graph)
and 0 <= new_y < len(graph[0])
and int(graph[new_x][new_y]) >= int(graph[i][j])
):
dfs(new_x, new_y, graph, visited, side)
def main():
global first
global second
N, M = map(int, input().strip().split())
graph = []
for _ in range(N):
row = input().strip().split()
graph.append(row)
# 是否可到达第一边界
visited = [[False] * M for _ in range(N)]
for i in range(M):
dfs(0, i, graph, visited, first)
for i in range(N):
dfs(i, 0, graph, visited, first)
# 是否可到达第二边界
visited = [[False] * M for _ in range(N)]
for i in range(M):
dfs(N - 1, i, graph, visited, second)
for i in range(N):
dfs(i, M - 1, graph, visited, second)
# 可到达第一边界和第二边界
res = first & second
for x, y in res:
print(f"{x} {y}")
if __name__ == "__main__":
main()
```
### Go
### Rust
### Javascript
#### 深搜
```javascript
const r1 = require('readline').createInterface({ input: process.stdin });
// 创建readline接口
let iter = r1[Symbol.asyncIterator]();
// 创建异步迭代器
const readline = async () => (await iter.next()).value;
let graph // 地图
let N, M // 地图大小
const dir = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] //方向
// 读取输入，初始化地图
const initGraph = async () => {
let line = await readline();
[N, M] = line.split(' ').map(Number);
graph = new Array(N).fill(0).map(() => new Array(M).fill(0))
for (let i = 0; i < N; i++) {
line = await readline()
line = line.split(' ').map(Number)
for (let j = 0; j < M; j++) {
graph[i][j] = line[j]
}
}
}
/**
* @description: 从（x，y）开始深度优先遍历地图
* @param {*} graph 地图
* @param {*} visited 可访问节点
* @param {*} x 开始搜索节点的下标
* @param {*} y 开始搜索节点的下标
* @return {*}
*/
const dfs = (graph, visited, x, y) => {
if (visited[x][y]) return
visited[x][y] = true // 标记为可访问
for (let i = 0; i < 4; i++) {
let nextx = x + dir[i][0]
let nexty = y + dir[i][1]
if (nextx < 0 || nextx >= N || nexty < 0 || nexty >= M) continue //越界,跳过
if (graph[x][y] < graph[nextx][nexty]) continue //不能流过.跳过
dfs(graph, visited, nextx, nexty)
}
}
/**
* @description: 判断地图上的(x, y)是否可以到达第一组边界和第二组边界
* @param {*} x 坐标
* @param {*} y 坐标
* @return {*} true可以到达，false不可以到达
*/
const isResult = (x, y) => {
let visited = new Array(N).fill(false).map(() => new Array(M).fill(false))
let isFirst = false //是否可到达第一边界
let isSecond = false //是否可到达第二边界
// 深搜，将(x, y)可到达的所有节点做标记
dfs(graph, visited, x, y)
// 判断能否到第一边界左边
for (let i = 0; i < N; i++) {
if (visited[i][0]) {
isFirst = true
break
}
}
// 判断能否到第一边界上边
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (visited[0][j]) {
isFirst = true
break
}
}
// 判断能否到第二边界右边
for (let i = 0; i < N; i++) {
if (visited[i][M - 1]) {
isSecond = true
break
}
}
// 判断能否到第二边界下边
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (visited[N - 1][j]) {
isSecond = true
break
}
}
return isFirst && isSecond
}
(async function () {
// 读取输入，初始化地图
await initGraph()
// 遍历地图，判断是否能到达第一组边界和第二组边界
for (let i = 0; i < N; i++) {
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (isResult(i, j)) console.log(i + ' ' + j);
}
}
})()
```
#### 广搜-解法一
```java
const r1 = require('readline').createInterface({ input: process.stdin });
// 创建readline接口
let iter = r1[Symbol.asyncIterator]();
// 创建异步迭代器
const readline = async () => (await iter.next()).value;
let graph // 地图
let N, M // 地图大小
const dir = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] //方向
// 读取输入，初始化地图
const initGraph = async () => {
let line = await readline();
[N, M] = line.split(' ').map(Number);
graph = new Array(N).fill(0).map(() => new Array(M).fill(0))
for (let i = 0; i < N; i++) {
line = await readline()
line = line.split(' ').map(Number)
for (let j = 0; j < M; j++) {
graph[i][j] = line[j]
}
}
}
/**
* @description: 从（x，y）开始广度优先遍历地图
* @param {*} graph 地图
* @param {*} visited 可访问节点
* @param {*} x 开始搜索节点的下标
* @param {*} y 开始搜索节点的下标
* @return {*}
*/
const bfs = (graph, visited, x, y) => {
let queue = []
queue.push([x, y])
visited[x][y] = true
while (queue.length) {
const [xx, yy] = queue.shift()
for (let i = 0; i < 4; i++) {
let nextx = xx + dir[i][0]
let nexty = yy + dir[i][1]
if (nextx < 0 || nextx >= N || nexty < 0 || nexty >= M) continue //越界, 跳过
// 可访问或者不能流过, 跳过 (注意这里是graph[xx][yy] < graph[nextx][nexty], 不是graph[x][y] < graph[nextx][nexty])
if (visited[nextx][nexty] || graph[xx][yy] < graph[nextx][nexty]) continue
queue.push([nextx, nexty])
visited[nextx][nexty] = true
}
}
}
/**
* @description: 判断地图上的(x, y)是否可以到达第一组边界和第二组边界
* @param {*} x 坐标
* @param {*} y 坐标
* @return {*} true可以到达，false不可以到达
*/
const isResult = (x, y) => {
let visited = new Array(N).fill(false).map(() => new Array(M).fill(false))
let isFirst = false //是否可到达第一边界
let isSecond = false //是否可到达第二边界
// 深搜，将(x, y)可到达的所有节点做标记
bfs(graph, visited, x, y)
// console.log(visited);
// 判断能否到第一边界左边
for (let i = 0; i < N; i++) {
if (visited[i][0]) {
isFirst = true
break
}
}
// 判断能否到第一边界上边
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (visited[0][j]) {
isFirst = true
break
}
}
// 判断能否到第二边界右边
for (let i = 0; i < N; i++) {
if (visited[i][M - 1]) {
isSecond = true
break
}
}
// 判断能否到第二边界下边
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (visited[N - 1][j]) {
isSecond = true
break
}
}
return isFirst && isSecond
}
(async function () {
// 读取输入，初始化地图
await initGraph()
// 遍历地图，判断是否能到达第一组边界和第二组边界
for (let i = 0; i < N; i++) {
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (isResult(i, j)) console.log(i + ' ' + j);
}
}
})()
```
#### 广搜-解法二
从第一边界和第二边界开始向高处流, 标记可以流到的位置, 两个边界都能到达的位置就是所求结果
```javascript
const r1 = require('readline').createInterface({ input: process.stdin });
// 创建readline接口
let iter = r1[Symbol.asyncIterator]();
// 创建异步迭代器
const readline = async () => (await iter.next()).value;
let graph // 地图
let N, M // 地图大小
const dir = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] //方向
// 读取输入，初始化地图
const initGraph = async () => {
let line = await readline();
[N, M] = line.split(' ').map(Number);
graph = new Array(N).fill(0).map(() => new Array(M).fill(0))
for (let i = 0; i < N; i++) {
line = await readline()
line = line.split(' ').map(Number)
for (let j = 0; j < M; j++) {
graph[i][j] = line[j]
}
}
}
/**
* @description: 从（x，y）开始广度优先遍历地图
* @param {*} graph 地图
* @param {*} visited 可访问节点
* @param {*} x 开始搜索节点的下标
* @param {*} y 开始搜索节点的下标
* @return {*}
*/
const bfs = (graph, visited, x, y) => {
if(visited[x][y]) return
let queue = []
queue.push([x, y])
visited[x][y] = true
while (queue.length) {
const [xx, yy] = queue.shift()
for (let i = 0; i < 4; i++) {
let nextx = xx + dir[i][0]
let nexty = yy + dir[i][1]
if (nextx < 0 || nextx >= N || nexty < 0 || nexty >= M) continue //越界, 跳过
// 可访问或者不能流过, 跳过 (注意因为是从边界往高处流, 所以这里是graph[xx][yy] >= graph[nextx][nexty], 还要注意不是graph[xx][yy] >= graph[nextx][nexty])
if (visited[nextx][nexty] || graph[xx][yy] >= graph[nextx][nexty]) continue
queue.push([nextx, nexty])
visited[nextx][nexty] = true
}
}
}
(async function () {
// 读取输入，初始化地图
await initGraph()
// 记录第一边界可到达的节点
let firstBorder = new Array(N).fill(false).map(() => new Array(M).fill(false))
// 记录第二边界可到达的节点
let secondBorder = new Array(N).fill(false).map(() => new Array(M).fill(false))
// 第一边界左边和第二边界右边
for (let i = 0; i < N; i++) {
bfs(graph, firstBorder, i, 0)
bfs(graph, secondBorder, i, M - 1)
}
// 第一边界上边和第二边界下边
for (let j = 0; j < M; j++) {
bfs(graph, firstBorder, 0, j)
bfs(graph, secondBorder, N - 1, j)
}
// 遍历地图，判断是否能到达第一组边界和第二组边界
for (let i = 0; i < N; i++) {
for (let j = 0; j < M; j++) {
if (firstBorder[i][j] && secondBorder[i][j]) console.log(i + ' ' + j);
}
}
})()
```
### TypeScript
### PhP
### Swift
### Scala
### C#
### Dart
### C