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umap; // 记录计算过的结果 int rob(TreeNode* root) { if (root == NULL) return 0; if (root->left == NULL && root->right == NULL) return root->val; if (umap[root]) return umap[root]; // 如果umap里已经有记录则直接返回 // 偷父节点 int val1 = root->val; if (root->left) val1 += rob(root->left->left) + rob(root->left->right); // 跳过root->left if (root->right) val1 += rob(root->right->left) + rob(root->right->right); // 跳过root->right // 不偷父节点 int val2 = rob(root->left) + rob(root->right); // 考虑root的左右孩子 umap[root] = max(val1, val2); // umap记录一下结果 return max(val1, val2); } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(logn) 算上递推系统栈的空间 ### 动态规划 在上面两种方法，其实对一个节点 投与不投得到的最大金钱都没有做记录，而是需要实时计算。 而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。 **这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解**。 1. 确定递归函数的参数和返回值 这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。 参数为当前节点，代码如下： ```C++ vector robTree(TreeNode* cur) { ``` 其实这里的返回数组就是dp数组。 所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。 **所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！** 那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？ **别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数**。 如果还不理解的话，就接着往下看，看到代码就理解了哈。 2. 确定终止条件 在遍历的过程中，如果遇到空间点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回 ``` if (cur == NULL) return vector{0, 0}; ``` 这也相当于dp数组的初始化 3. 确定遍历顺序 首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。 通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。 通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。 代码如下： ```C++ // 下标0：不偷，下标1：偷 vector left = robTree(cur->left); // 左 vector right = robTree(cur->right); // 右 // 中 ``` 4. 确定单层递归的逻辑 如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （**如果对下标含义不理解就在回顾一下dp数组的含义**） 如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); 最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱} 代码如下： ```C++ vector left = robTree(cur->left); // 左 vector right = robTree(cur->right); // 右 // 偷cur int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; // 不偷cur int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); return {val2, val1}; ``` 5. 举例推导dp数组 以示例1为例，dp数组状态如下：（**注意用后序遍历的方式推导**）  **最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱**。 递归三部曲与动规五部曲分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int rob(TreeNode* root) { vector result = robTree(root); return max(result[0], result[1]); } // 长度为2的数组，0：不偷，1：偷 vector robTree(TreeNode* cur) { if (cur == NULL) return vector{0, 0}; vector left = robTree(cur->left); vector right = robTree(cur->right); // 偷cur int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; // 不偷cur int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); return {val2, val1}; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) 每个节点只遍历了一次 * 空间复杂度：O(logn) 算上递推系统栈的空间 ## 总结 这道题是树形DP的入门题目，通过这道题目大家应该也了解了，所谓树形DP就是在树上进行递归公式的推导。 **所以树形DP也没有那么神秘！** 只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式，一下子换成了树，就需要对树的遍历方式足够了解！ 大家还记不记得我在讲解贪心专题的时候，讲到这道题目：[贪心算法：我要监控二叉树！](https://mp.weixin.qq.com/s/kCxlLLjWKaE6nifHC3UL2Q)，这也是贪心算法在树上的应用。**那我也可以把这个算法起一个名字，叫做树形贪心**，哈哈哈 “树形贪心”词汇从此诞生，来自「代码随想录」 ## 其他语言版本 Java： Python： Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)