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# 62.不同路径
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/unique-paths/)
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
* 输入：m = 3, n = 7
* 输出：28
示例 2：
* 输入：m = 2, n = 3
* 输出：3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：
* 输入：m = 7, n = 3
* 输出：28
示例 4：
* 输入：m = 3, n = 3
* 输出：6
提示：
* 1 <= m, n <= 100
* 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
## 算法公开课
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[动态规划中如何初始化很重要！| LeetCode：62.不同路径](https://www.bilibili.com/video/BV1ve4y1x7Eu/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
## 思路
### 深搜
这道题目，刚一看最直观的想法就是用图论里的深搜，来枚举出来有多少种路径。
注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步，那么其实**机器人走过的路径可以抽象为一棵二叉树，而叶子节点就是终点！**
如图举例：
此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数，代码如下：
```CPP
class Solution {
private:
int dfs(int i, int j, int m, int n) {
if (i > m || j > n) return 0; // 越界了
if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法，相当于找到了叶子节点
return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
}
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
return dfs(1, 1, m, n);
}
};
```
**大家如果提交了代码就会发现超时了！**
来分析一下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个二叉树。
这棵树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。
那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树（其实没有遍历整个满二叉树，只是近似而已）
所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1)，可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是非常大的。
### 动态规划
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。
按照动规五部曲来分析：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
2. 确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
3. dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
所以初始化代码为：
```
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
```
4. 确定遍历顺序
这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
5. 举例推导dp数组
如图所示：
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector> dp(m, vector(n, 0));
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
```
* 时间复杂度：O(m × n)
* 空间复杂度：O(m × n)
其实用一个一维数组（也可以理解是滚动数组）就可以了，但是不利于理解，可以优化点空间，建议先理解了二维，在理解一维，C++代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector dp(n);
for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
for (int j = 1; j < m; j++) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] += dp[i - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
};
```
* 时间复杂度：O(m × n)
* 空间复杂度：O(n)
### 数论方法
在这个图中，可以看出一共m，n的话，无论怎么走，走到终点都需要 m + n - 2 步。
在这m + n - 2 步中，一定有 m - 1 步是要向下走的，不用管什么时候向下走。
那么有几种走法呢？ 可以转化为，给你m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法。
那么这就是一个组合问题了。
那么答案，如图所示：
**求组合的时候，要防止两个int相乘溢出！** 所以不能把算式的分子都算出来，分母都算出来再做除法。
例如如下代码是不行的。
```CPP
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
int numerator = 1, denominator = 1;
int count = m - 1;
int t = m + n - 2;
while (count--) numerator *= (t--); // 计算分子，此时分子就会溢出
for (int i = 1; i <= m - 1; i++) denominator *= i; // 计算分母
return numerator / denominator;
}
};
```
需要在计算分子的时候，不断除以分母，代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
long long numerator = 1; // 分子
int denominator = m - 1; // 分母
int count = m - 1;
int t = m + n - 2;
while (count--) {
numerator *= (t--);
while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
numerator /= denominator;
denominator--;
}
}
return numerator;
}
};
```
* 时间复杂度：O(m)
* 空间复杂度：O(1)
**计算组合问题的代码还是有难度的，特别是处理溢出的情况！**
## 总结
本文分别给出了深搜，动规，数论三种方法。
深搜当然是超时了，顺便分析了一下使用深搜的时间复杂度，就可以看出为什么超时了。
然后在给出动规的方法，依然是使用动规五部曲，这次我们就要考虑如何正确的初始化了，初始化和遍历顺序其实也很重要！
## 其他语言版本
### Java
```java
/**
* 1. 确定dp数组下标含义 dp[i][j] 到每一个坐标可能的路径种类
* 2. 递推公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] dp[i][j-1]
* 3. 初始化 dp[i][0]=1 dp[0][i]=1 初始化横竖就可
* 4. 遍历顺序 一行一行遍历
* 5. 推导结果 。。。。。。。。
*
* @param m
* @param n
* @return
*/
public static int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
//初始化
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
```
状态压缩
```java
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
// 在二维dp数组中，当前值的计算只依赖正上方和正左方，因此可以压缩成一维数组。
int[] dp = new int[n];
// 初始化，第一行只能从正左方跳过来，所以只有一条路径。
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 1; i < m; i ++) {
// 第一列也只有一条路，不用迭代，所以从第二列开始
for (int j = 1; j < n; j ++) {
dp[j] += dp[j - 1]; // dp[j] = dp[j] (正上方)+ dp[j - 1] (正左方)
}
}
return dp[n - 1];
}
}
```
### Python
递归
```python
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
if m == 1 or n == 1:
return 1
return self.uniquePaths(m - 1, n) + self.uniquePaths(m, n - 1)
```
动态规划（版本一）
```python
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
# 创建一个二维列表用于存储唯一路径数
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
# 设置第一行和第一列的基本情况
for i in range(m):
dp[i][0] = 1
for j in range(n):
dp[0][j] = 1
# 计算每个单元格的唯一路径数
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
# 返回右下角单元格的唯一路径数
return dp[m - 1][n - 1]
```
动态规划（版本二）
```python
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
# 创建一个一维列表用于存储每列的唯一路径数
dp = [1] * n
# 计算每个单元格的唯一路径数
for j in range(1, m):
for i in range(1, n):
dp[i] += dp[i - 1]
# 返回右下角单元格的唯一路径数
return dp[n - 1]
```
数论
```python
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
numerator = 1 # 分子
denominator = m - 1 # 分母
count = m - 1 # 计数器，表示剩余需要计算的乘积项个数
t = m + n - 2 # 初始乘积项
while count > 0:
numerator *= t # 计算乘积项的分子部分
t -= 1 # 递减乘积项
while denominator != 0 and numerator % denominator == 0:
numerator //= denominator # 约简分子
denominator -= 1 # 递减分母
count -= 1 # 计数器减1，继续下一项的计算
return numerator # 返回最终的唯一路径数
```
### Go
```Go
func uniquePaths(m int, n int) int {
dp := make([][]int, m)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, n)
dp[i][0] = 1
}
for j := 0; j < n; j++ {
dp[0][j] = 1
}
for i := 1; i < m; i++ {
for j := 1; j < n; j++ {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
}
}
return dp[m-1][n-1]
}
```
### Javascript
```Javascript
var uniquePaths = function(m, n) {
const dp = Array(m).fill().map(item => Array(n))
for (let i = 0; i < m; ++i) {
dp[i][0] = 1
}
for (let i = 0; i < n; ++i) {
dp[0][i] = 1
}
for (let i = 1; i < m; ++i) {
for (let j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
}
}
return dp[m - 1][n - 1]
};
```
>版本二：直接将dp数值值初始化为1
```javascript
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function(m, n) {
let dp = new Array(m).fill(1).map(() => new Array(n).fill(1));
// dp[i][j] 表示到达（i，j） 点的路径数
for (let i=1; i []);
for (let i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (let i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
};
```
### Rust
```Rust
impl Solution {
pub fn unique_paths(m: i32, n: i32) -> i32 {
let (m, n) = (m as usize, n as usize);
let mut dp = vec![vec![1; n]; m];
for i in 1..m {
for j in 1..n {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
dp[m - 1][n - 1]
}
}
```
### C
```c
//初始化dp数组
int **initDP(int m, int n) {
//动态开辟dp数组
int **dp = (int**)malloc(sizeof(int *) * m);
int i, j;
for(i = 0; i < m; ++i) {
dp[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
}
//从0，0到i,0只有一种走法，所以dp[i][0]都是1，同理dp[0][j]也是1
for(i = 0; i < m; ++i)
dp[i][0] = 1;
for(j = 0; j < n; ++j)
dp[0][j] = 1;
return dp;
}
int uniquePaths(int m, int n){
//dp数组，dp[i][j]代表从dp[0][0]到dp[i][j]有几种走法
int **dp = initDP(m, n);
int i, j;
//到达dp[i][j]只能从dp[i-1][j]和dp[i][j-1]出发
//dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
for(i = 1; i < m; ++i) {
for(j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
int result = dp[m-1][n-1];
free(dp);
return result;
}
```
滚动数组解法:
```c
int uniquePaths(int m, int n){
int i, j;
// 初始化dp数组
int *dp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
for (i = 0; i < n; ++i)
dp[i] = 1;
for (j = 1; j < m; ++j) {
for (i = 1; i < n; ++i) {
// dp[i]为二维数组解法中dp[i-1][j]。dp[i-1]为二维数组解法中dp[i][j-1]
dp[i] += dp[i - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
```
### Scala
```scala
object Solution {
def uniquePaths(m: Int, n: Int): Int = {
var dp = Array.ofDim[Int](m, n)
for (i <- 0 until m) dp(i)(0) = 1
for (j <- 1 until n) dp(0)(j) = 1
for (i <- 1 until m; j <- 1 until n) {
dp(i)(j) = dp(i - 1)(j) + dp(i)(j - 1)
}
dp(m - 1)(n - 1)
}
}
```
### c#
```csharp
// 二维数组
public class Solution
{
public int UniquePaths(int m, int n)
{
int[,] dp = new int[m, n];
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i, 0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0, j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++)
{
for (int j = 1; j < n; j++)
{
dp[i, j] = dp[i - 1, j] + dp[i, j - 1];
}
}
return dp[m - 1, n - 1];
}
}
```
```csharp
// 一维数组
public class Solution
{
public int UniquePaths(int m, int n)
{
int[] dp = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
dp[i] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++)
for (int j = 1; j < n; j++)
dp[j] += dp[j - 1];
return dp[n - 1];
}
}
```
