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## 343. 整数拆分 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/ 给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。 ## 思路 看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个.... 我们来看一下如何使用动规来解决。 ### 动态规划 动规五部曲，分析如下： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。 dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！ 2. 确定递推公式 可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？ 其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]. 一个是j * (i - j) 直接相乘。 一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。 **那有同学问了，j怎么就不拆分呢？** j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。 **那有同学问了，j怎么就不拆分呢？** j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。 如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。 所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j}); 3. dp的初始化 不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？ 有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。 严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。 拆分0和拆分1的最大乘积是多少？ 这是无解的。 这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！ 4. 确定遍历顺序 确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。 枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。 所以遍历顺序为： ``` for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } } ``` 5. 举例推导dp数组 举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下： ![343.整数拆分](https://img-blog.csdnimg.cn/20210104173021581.png) 以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int integerBreak(int n) { vector dp(n + 1); dp[2] = 1; for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } } return dp[n]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n^2) * 空间复杂度：O(n) ### 贪心 本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，**但是这个结论需要数学证明其合理性！** 我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。 给出我的C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int integerBreak(int n) { if (n == 2) return 1; if (n == 3) return 2; if (n == 4) return 4; int result = 1; while (n > 4) { result *= 3; n -= 3; } result *= n; return result; } }; ``` * 时间复杂度O(n) * 空间复杂度O(1) ## 总结 本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。 其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的： ```C++ class Solution { public: int integerBreak(int n) { if (n <= 3) return 1 * (n - 1); vector dp(n + 1, 0); dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 3; for (int i = 4; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]); } } return dp[n]; } }; ``` **这个代码也是可以过的！** 在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！ 但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。 但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！ 虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，**这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！** 我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。 ## 其他语言版本 Java： Python： Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)