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# 673.最长递增子序列的个数
[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/)
给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。
示例 1:
* 输入: [1,3,5,4,7]
* 输出: 2
* 解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
示例 2:
* 输入: [2,2,2,2,2]
* 输出: 5
* 解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
# 思路
这道题可以说是 [300.最长上升子序列](https://programmercarl.com/0300.最长上升子序列.html) 的进阶版本
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
这道题目我们要一起维护两个数组。
dp[i]：i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
count[i]：以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
2. 确定递推公式
在300.最长上升子序列 中，我们给出的状态转移是：
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
即：位置i的最长递增子序列长度 等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1的最大值。
本题就没那么简单了，我们要考虑两个维度，一个是dp[i]的更新，一个是count[i]的更新。
那么如何更新count[i]呢？
以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]。
那么在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 > dp[i]，说明找到了一个更长的递增子序列。
那么以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，就是最新的以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] = count[j]。
在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 == dp[i]，说明找到了两个相同长度的递增子序列。
那么以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数 就应该加上以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] += count[j];
代码如下：
```CPP
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
```
当然也可以这么写：
```CPP
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1; // 更新dp[i]放在这里，就不用max了
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
}
```
这里count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
题目要求最长递增序列的长度的个数，我们应该把最长长度记录下来。
代码如下：
```CPP
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i]; // 记录最长长度
}
}
```
3. dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i]和count[i]的定义
count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。
那么最少也就是1个，所以count[i]初始为1。
dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
最小的长度也是1，所以dp[i]初始为1。
代码如下：
```
vector dp(nums.size(), 1);
vector count(nums.size(), 1);
```
**其实动规的题目中，初始化很有讲究，也很考察对dp数组定义的理解**。
4. 确定遍历顺序
dp[i] 是由0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：
```CPP
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
```
最后还有再遍历一遍dp[i]，把最长递增序列长度对应的count[i]累计下来就是结果了。
代码如下：
```CPP
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
int result = 0; // 统计结果
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}
```
统计结果，可能有的同学又有点看懵了，那么就再回顾一下dp[i]和count[i]的定义。
5. 举例推导dp数组
输入：[1,3,5,4,7]
**如果代码写出来了，怎么改都通过不了，那么把dp和count打印出来看看对不对！**
以上分析完毕，C++整体代码如下：
```CPP
class Solution {
public:
int findNumberOfLIS(vector& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector dp(nums.size(), 1);
vector count(nums.size(), 1);
int maxCount = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}
return result;
}
};
```
* 时间复杂度O(n^2)
* 空间复杂度O(n)
还有O(nlogn)的解法，使用树状数组，今天有点忙就先不写了，感兴趣的同学可以自行学习一下，这里有我之前写的树状数组系列博客：https://blog.csdn.net/youngyangyang04/category_871105.html （十年前的陈年老文了）
# 其他语言版本
## Java
```java
class Solution {
public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
if (nums.length <= 1) return nums.length;
int[] dp = new int[nums.length];
for(int i = 0; i < dp.length; i++) dp[i] = 1;
int[] count = new int[nums.length];
for(int i = 0; i < count.length; i++) count[i] = 1;
int maxCount = 0;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}
return result;
}
}
```
## Python
```python
class Solution:
def findNumberOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
if size<= 1: return size
dp = [1 for i in range(size)]
count = [1 for i in range(size)]
maxCount = 0
for i in range(1, size):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
if dp[j] + 1 > dp[i] :
dp[i] = dp[j] + 1
count[i] = count[j]
elif dp[j] + 1 == dp[i] :
count[i] += count[j]
if dp[i] > maxCount:
maxCount = dp[i];
result = 0
for i in range(size):
if maxCount == dp[i]:
result += count[i]
return result;
```
## Go
```go
func findNumberOfLIS(nums []int) int {
size := len(nums)
if size <= 1 {
return size
}
dp := make([]int, size);
for i, _ := range dp {
dp[i] = 1
}
count := make([]int, size);
for i, _ := range count {
count[i] = 1
}
maxCount := 0
for i := 1; i < size; i++ {
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[i] > nums[j] {
if dp[j] + 1 > dp[i] {
dp[i] = dp[j] + 1
count[i] = count[j]
} else if dp[j] + 1 == dp[i] {
count[i] += count[j]
}
}
if dp[i] > maxCount {
maxCount = dp[i]
}
}
}
result := 0
for i := 0; i < size; i++ {
if maxCount == dp[i] {
result += count[i]
}
}
return result
}
```
## JavaScript
```js
var findNumberOfLIS = function(nums) {
const len = nums.length;
if(len <= 1) return len;
let dp = new Array(len).fill(1); // i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
let count = new Array(len).fill(1); // 以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
let res = 0;
for(let i = 1; i < len; i++){
for(let j = 0; j < i; j++){
if(nums[i] > nums[j]){
if(dp[j] + 1 > dp[i]){ // 第 j 个数字为前一个数字的子序列是否更更长
dp[i] = dp[j] + 1; //更新 dp[i]
count[i] = count[j]; // 重置count[i]
} else if(dp[j] + 1 === dp[i]){ // 和原来一样长
count[i] += count[j]; //更新count[i]
}
}
}
}
let max = Math.max(...dp); //扩展运算符找到最大长度
for(let i = 0; i < len; i++) if(dp[i] === max) res += count[i]; // 累加
return res;
};
```
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