272 lines
6.8 KiB
Markdown
272 lines
6.8 KiB
Markdown
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210924105952.png" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
|
||
|
||
# 300.最长递增子序列
|
||
|
||
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/)
|
||
|
||
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
|
||
|
||
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
|
||
|
||
|
||
示例 1：
|
||
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
|
||
输出：4
|
||
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
|
||
|
||
示例 2：
|
||
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
|
||
输出：4
|
||
|
||
示例 3：
|
||
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
|
||
输出：1
|
||
|
||
提示：
|
||
|
||
* 1 <= nums.length <= 2500
|
||
* -10^4 <= nums[i] <= 104
|
||
|
||
## 思路
|
||
|
||
最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波：
|
||
|
||
1. dp[i]的定义
|
||
|
||
**dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾最长上升子序列的长度**
|
||
|
||
2. 状态转移方程
|
||
|
||
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
|
||
|
||
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
|
||
**注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值**。
|
||
|
||
3. dp[i]的初始化
|
||
|
||
每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是1.
|
||
|
||
4. 确定遍历顺序
|
||
|
||
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
|
||
|
||
j其实就是0到i-1，遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
|
||
for (int j = 0; j < i; j++) {
|
||
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
5. 举例推导dp数组
|
||
|
||
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
|
||
|
||
以上五部分析完毕，C++代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
|
||
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
|
||
vector<int> dp(nums.size(), 1);
|
||
int result = 0;
|
||
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
|
||
for (int j = 0; j < i; j++) {
|
||
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
|
||
}
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
|
||
子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
|
||
|
||
## 其他语言版本
|
||
|
||
|
||
Java：
|
||
```Java
|
||
class Solution {
|
||
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
|
||
int[] dp = new int[nums.length];
|
||
Arrays.fill(dp, 1);
|
||
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
|
||
for (int j = 0; j < i; j++) {
|
||
if (nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
int res = 0;
|
||
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
|
||
res = Math.max(res, dp[i]);
|
||
}
|
||
return res;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
Python：
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
|
||
if len(nums) <= 1:
|
||
return len(nums)
|
||
dp = [1] * len(nums)
|
||
result = 0
|
||
for i in range(1, len(nums)):
|
||
for j in range(0, i):
|
||
if nums[i] > nums[j]:
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
|
||
result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
|
||
return result
|
||
```
|
||
|
||
Go：
|
||
```go
|
||
func lengthOfLIS(nums []int ) int {
|
||
dp := []int{}
|
||
for _, num := range nums {
|
||
if len(dp) ==0 || dp[len(dp) - 1] < num {
|
||
dp = append(dp, num)
|
||
} else {
|
||
l, r := 0, len(dp) - 1
|
||
pos := r
|
||
for l <= r {
|
||
mid := (l + r) >> 1
|
||
if dp[mid] >= num {
|
||
pos = mid;
|
||
r = mid - 1
|
||
} else {
|
||
l = mid + 1
|
||
}
|
||
}
|
||
dp[pos] = num
|
||
}//二分查找
|
||
}
|
||
return len(dp)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
```go
|
||
// 动态规划求解
|
||
func lengthOfLIS(nums []int) int {
|
||
// dp数组的定义 dp[i]表示取第i个元素的时候，表示子序列的长度，其中包括 nums[i] 这个元素
|
||
dp := make([]int, len(nums))
|
||
|
||
// 初始化，所有的元素都应该初始化为1
|
||
for i := range dp {
|
||
dp[i] = 1
|
||
}
|
||
|
||
ans := dp[0]
|
||
for i := 1; i < len(nums); i++ {
|
||
for j := 0; j < i; j++ {
|
||
if nums[i] > nums[j] {
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
if dp[i] > ans {
|
||
ans = dp[i]
|
||
}
|
||
}
|
||
return ans
|
||
}
|
||
|
||
func max(x, y int) int {
|
||
if x > y {
|
||
return x
|
||
}
|
||
return y
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
Rust:
|
||
```rust
|
||
pub fn length_of_lis(nums: Vec<i32>) -> i32 {
|
||
let mut dp = vec![1; nums.len() + 1];
|
||
let mut result = 1;
|
||
for i in 1..nums.len() {
|
||
for j in 0..i {
|
||
if nums[j] < nums[i] {
|
||
dp[i] = dp[i].max(dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
result = result.max(dp[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
result
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
Javascript
|
||
```javascript
|
||
const lengthOfLIS = (nums) => {
|
||
let dp = Array(nums.length).fill(1);
|
||
let result = 1;
|
||
|
||
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for(let j = 0; j < i; j++) {
|
||
if(nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
|
||
}
|
||
}
|
||
result = Math.max(result, dp[i]);
|
||
}
|
||
|
||
return result;
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
TypeScript
|
||
|
||
```typescript
|
||
function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
|
||
/**
|
||
dp[i]: 前i个元素中，以nums[i]结尾，最长子序列的长度
|
||
*/
|
||
const dp: number[] = new Array(nums.length).fill(1);
|
||
let resMax: number = 0;
|
||
for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
|
||
for (let j = 0; j < i; j++) {
|
||
if (nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
|
||
}
|
||
return resMax;
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
-----------------------
|
||
<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
|