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@@ -48,31 +48,31 @@
 - 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量$\vec{a}$的1范数结果就是：29。
     
 $$
-\|\vec{x}\|_1=\sum_{i=1}^N|{x_i}|
+\lVert\vec{x}\rVert_1=\sum_{i=1}^N\lvert{x_i}\rvert
 $$  
 
 - 向量的2范数：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述$\vec{a}$的2范数结果就是：15。
     
 $$
-\|\vec{x}\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{|{x_i}|}^2}
+\lVert\vec{x}\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{\lvert{x_i}\rvert}^2}
 $$
 
 - 向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量$\vec{a}$的负无穷范数结果就是：5。  
     
 $$
-\|\vec{x}\|_{-\infty}=\min{|{x_i}|}
+\lVert\vec{x}\rVert_{-\infty}=\min{|{x_i}|}
 $$ 
 
 - 向量的正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量$\vec{a}$的负无穷范数结果就是：10。 
     
 $$
-\|\vec{x}\|_{+\infty}=\max{|{x_i}|}
+\lVert\vec{x}\lVert_{+\infty}=\max{|{x_i}|}
 $$
 
 - 向量的p范数：
     
 $$
-L_p=\|\vec{x}\|_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p}
+L_p=\lVert\vec{x}\lVert_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p}
 $$
 
 **矩阵的范数**  
@@ -82,7 +82,7 @@ $$
 矩阵的范数定义为
 
 $$
-\|A\|_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}
+\lVertA\lVert_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\lVertAx\lVert_p}{\lVertx\lVert_p}
 $$
 
 ​当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。
@@ -90,20 +90,20 @@ $$
 - **矩阵的1范数（列范数）**：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[5,8,9]$，再取最大的最终结果就是：9。
     
 $$
-\|A\|_1=\max_{1\le j\le}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}|
+\lVertA\lVert_1=\max_{1\le j\le}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}|
 $$
 
 - **矩阵的2范数**：矩阵$A^TA$的最大特征值开平方根，上述矩阵$A$的2范数得到的最终结果是：10.0623。 
     
 $$
-\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)}
+\lVertA\lVert_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)}
 $$ 
 
 其中， $\lambda_{max}(A^T A)$ 为 $A^T A$ 的特征值绝对值的最大值。
 - **矩阵的无穷范数（行范数）**：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵$A$的1范数先得到$[6；16]$，再取最大的最终结果就是：16。 
     
 $$
-\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}|
+\lVertA\lVert_{\infty}=\max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}|
 $$
 
 - **矩阵的核范数**：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。  
@@ -113,14 +113,14 @@ $$
 - **矩阵的F范数**：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的有点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995。  
     
 $$
-\|A\|_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)}
+\lVertA\lVert_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)}
 $$
 
 - **矩阵的L21范数**：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵$A$最终结果就是：17.1559。 
 - **矩阵的 p范数** 
     
 $$
-\|A\|_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)}
+\lVertA\lVert_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)}
 $$
 
 ## 1.5 如何判断一个矩阵为正定？