419 lines
12 KiB
Markdown
419 lines
12 KiB
Markdown
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
|
||
|
||
|
||
|
||
# 77.组合优化
|
||
## 算法公开课
|
||
|
||
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[组合问题的剪枝操作](https://www.bilibili.com/video/BV1wi4y157er)，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。**
|
||
|
||
## 思路
|
||
|
||
在[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)中，我们通过回溯搜索法，解决了n个数中求k个数的组合问题。
|
||
|
||
文中的回溯法是可以剪枝优化的，本篇我们继续来看一下题目77. 组合。
|
||
|
||
链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/
|
||
|
||
**看本篇之前，需要先看[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)**。
|
||
|
||
大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
private:
|
||
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
|
||
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
|
||
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
|
||
if (path.size() == k) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
return;
|
||
}
|
||
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
|
||
path.push_back(i); // 处理节点
|
||
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
|
||
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
|
||
}
|
||
}
|
||
public:
|
||
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
|
||
result.clear(); // 可以不写
|
||
path.clear(); // 可以不写
|
||
backtracking(n, k, 1);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
## 剪枝优化
|
||
|
||
我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
|
||
|
||
在遍历的过程中有如下代码：
|
||
|
||
```CPP
|
||
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
|
||
path.push_back(i);
|
||
backtracking(n, k, i + 1);
|
||
path.pop_back();
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
|
||
|
||
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
|
||
|
||
这么说有点抽象，如图所示：
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。
|
||
|
||
**所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置**。
|
||
|
||
**如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了**。
|
||
|
||
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
|
||
```CPP
|
||
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
|
||
```
|
||
|
||
接下来看一下优化过程如下：
|
||
|
||
1. 已经选择的元素个数：path.size();
|
||
|
||
2. 所需需要的元素个数为: k - path.size();
|
||
|
||
3. 列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）
|
||
|
||
4. 在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
|
||
|
||
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
|
||
|
||
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
|
||
|
||
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
|
||
|
||
这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。
|
||
|
||
所以优化之后的for循环是：
|
||
|
||
```CPP
|
||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
|
||
```
|
||
|
||
优化后整体代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
private:
|
||
vector<vector<int>> result;
|
||
vector<int> path;
|
||
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
|
||
if (path.size() == k) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
return;
|
||
}
|
||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
|
||
path.push_back(i); // 处理节点
|
||
backtracking(n, k, i + 1);
|
||
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
|
||
}
|
||
}
|
||
public:
|
||
|
||
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
|
||
backtracking(n, k, 1);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
* 时间复杂度: O(n * 2^n)
|
||
* 空间复杂度: O(n)
|
||
|
||
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
本篇我们针对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。
|
||
|
||
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。
|
||
|
||
**就酱，学到了就帮Carl转发一下吧，让更多的同学知道这里！**
|
||
|
||
## 其他语言版本
|
||
|
||
### Java
|
||
|
||
```java
|
||
class Solution {
|
||
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
|
||
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
|
||
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
|
||
combineHelper(n, k, 1);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
|
||
/**
|
||
* 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
|
||
* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
|
||
*/
|
||
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
|
||
//终止条件
|
||
if (path.size() == k){
|
||
result.add(new ArrayList<>(path));
|
||
return;
|
||
}
|
||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
|
||
path.add(i);
|
||
combineHelper(n, k, i + 1);
|
||
path.removeLast();
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Python
|
||
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
|
||
result = [] # 存放结果集
|
||
self.backtracking(n, k, 1, [], result)
|
||
return result
|
||
def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
|
||
if len(path) == k:
|
||
result.append(path[:])
|
||
return
|
||
for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2): # 优化的地方
|
||
path.append(i) # 处理节点
|
||
self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
|
||
path.pop() # 回溯，撤销处理的节点
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
```
|
||
### Go
|
||
|
||
```Go
|
||
var (
|
||
path []int
|
||
res [][]int
|
||
)
|
||
|
||
func combine(n int, k int) [][]int {
|
||
path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
|
||
dfs(n, k, 1)
|
||
return res
|
||
}
|
||
|
||
func dfs(n int, k int, start int) {
|
||
if len(path) == k {
|
||
tmp := make([]int, k)
|
||
copy(tmp, path)
|
||
res = append(res, tmp)
|
||
return
|
||
}
|
||
for i := start; i <= n - (k-len(path)) + 1; i++ {
|
||
path = append(path, i)
|
||
dfs(n, k, i+1)
|
||
path = path[:len(path)-1]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### JavaScript
|
||
|
||
```js
|
||
var combine = function(n, k) {
|
||
const res = [], path = [];
|
||
backtracking(n, k, 1);
|
||
return res;
|
||
function backtracking (n, k, i){
|
||
const len = path.length;
|
||
if(len === k) {
|
||
res.push(Array.from(path));
|
||
return;
|
||
}
|
||
for(let a = i; a <= n + len - k + 1; a++) {
|
||
path.push(a);
|
||
backtracking(n, k, a + 1);
|
||
path.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript
|
||
|
||
```typescript
|
||
function combine(n: number, k: number): number[][] {
|
||
let resArr: number[][] = [];
|
||
function backTracking(n: number, k: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
|
||
if (tempArr.length === k) {
|
||
resArr.push(tempArr.slice());
|
||
return;
|
||
}
|
||
for (let i = startIndex; i <= n - k + 1 + tempArr.length; i++) {
|
||
tempArr.push(i);
|
||
backTracking(n, k, i + 1, tempArr);
|
||
tempArr.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
backTracking(n, k, 1, []);
|
||
return resArr;
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### Rust
|
||
|
||
```Rust
|
||
impl Solution {
|
||
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
|
||
let len= path.len() as i32;
|
||
if len == k{
|
||
result.push(path.to_vec());
|
||
return;
|
||
}
|
||
// 此处剪枝
|
||
for i in start_index..= n - (k - len) + 1 {
|
||
path.push(i);
|
||
Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
|
||
path.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
|
||
let mut result = vec![];
|
||
let mut path = vec![];
|
||
Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
|
||
result
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### C
|
||
|
||
```c
|
||
int* path;
|
||
int pathTop;
|
||
int** ans;
|
||
int ansTop;
|
||
|
||
void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
|
||
//当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
|
||
if(pathTop == k) {
|
||
//path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
|
||
//因此创建新的数组存储path中的值
|
||
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < k; i++) {
|
||
temp[i] = path[i];
|
||
}
|
||
ans[ansTop++] = temp;
|
||
return ;
|
||
}
|
||
|
||
int j;
|
||
for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
|
||
//将当前结点放入path数组
|
||
path[pathTop++] = j;
|
||
//进行递归
|
||
backtracking(n, k, j + 1);
|
||
//进行回溯，将数组最上层结点弹出
|
||
pathTop--;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
|
||
//path数组存储符合条件的结果
|
||
path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
|
||
//ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
|
||
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
|
||
pathTop = ansTop = 0;
|
||
|
||
//回溯算法
|
||
backtracking(n, k, 1);
|
||
//最后的返回大小为ans数组大小
|
||
*returnSize = ansTop;
|
||
//returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
|
||
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
|
||
(*returnColumnSizes)[i] = k;
|
||
}
|
||
//返回ans二维数组
|
||
return ans;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Swift
|
||
|
||
```swift
|
||
func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
|
||
var path = [Int]()
|
||
var result = [[Int]]()
|
||
func backtracking(start: Int) {
|
||
// 结束条件，并收集结果
|
||
if path.count == k {
|
||
result.append(path)
|
||
return
|
||
}
|
||
|
||
// 单层逻辑
|
||
// let end = n
|
||
// 剪枝优化
|
||
let end = n - (k - path.count) + 1
|
||
guard start <= end else { return }
|
||
for i in start ... end {
|
||
path.append(i) // 处理结点
|
||
backtracking(start: i + 1) // 递归
|
||
path.removeLast() // 回溯
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
backtracking(start: 1)
|
||
return result
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Scala
|
||
|
||
```scala
|
||
object Solution {
|
||
import scala.collection.mutable // 导包
|
||
def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
|
||
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
|
||
var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果
|
||
|
||
def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
|
||
if (path.size == k) {
|
||
// 如果path的size == k就达到题目要求，添加到结果集，并返回
|
||
result.append(path.toList)
|
||
return
|
||
}
|
||
// 剪枝优化
|
||
for (i <- startIndex to (n - (k - path.size) + 1)) {
|
||
path.append(i) // 先把数字添加进去
|
||
backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
|
||
path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
|
||
result.toList // 最终返回result的List形式，return关键字可以省略
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
|