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# 本周小结！（回溯算法系列三）
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## 周一
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在[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)中，开始针对子集问题进行去重。
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本题就是[回溯算法：求子集问题！](https://programmercarl.com/0078.子集.html)的基础上加上了去重，去重我们在[回溯算法：求组合总和（三）](https://programmercarl.com/0040.组合总和II.html)也讲过了。
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所以本题对大家应该并不难。
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树形结构如下：
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## 周二
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在[回溯算法：递增子序列](https://programmercarl.com/0491.递增子序列.html)中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！
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树形结构如下：
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[回溯算法：递增子序列](https://programmercarl.com/0491.递增子序列.html)留言区大家有很多疑问，主要还是和[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)混合在了一起。
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详细在[本周小结！（回溯算法系列三）续集](https://mp.weixin.qq.com/s/kSMGHc_YpsqL2j-jb_E_Ag)中给出了介绍！
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## 周三
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我们已经分析了组合问题，分割问题，子集问题，那么[回溯算法：排列问题！](https://programmercarl.com/0046.全排列.html) 又不一样了。
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排列是有序的，也就是说[1,2] 和[2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
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可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。
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如图：
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**大家此时可以感受出排列问题的不同：**
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* 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
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* 需要used数组记录path里都放了哪些元素了
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## 周四
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排列问题也要去重了，在[回溯算法：排列问题（二）](https://programmercarl.com/0047.全排列II.html)中又一次强调了“树层去重”和“树枝去重”。
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树形结构如下：
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**这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以，used[i - 1] == true也可以！**
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我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。
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树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：
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树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：
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**可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false)，即树层去重，效率更高！**
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## 性能分析
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之前并没有分析各个问题的时间复杂度和空间复杂度，这次来说一说。
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这块网上的资料鱼龙混杂，一些所谓的经典面试书籍根本不讲回溯算法，算法书籍对这块也避而不谈，感觉就像是算法里模糊的边界。
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**所以这块就说一说我个人理解，对内容持开放态度，集思广益，欢迎大家来讨论！**
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子集问题分析：
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* 时间复杂度：O(n * 2^n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)，构造每一组子集都需要填进数组，又有需要O(n)，最终时间复杂度：O(n * 2^n)
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* 空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)
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排列问题分析：
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* 时间复杂度：O(n!)，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
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* 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
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组合问题分析：
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* 时间复杂度：O(n * 2^n)，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
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* 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
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**一般说道回溯算法的复杂度，都说是指数级别的时间复杂度，这也算是一个概括吧！**
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## 总结
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本周我们对[子集问题进行了去重](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)，然后介绍了和子集问题非常像的[递增子序列](https://programmercarl.com/0491.递增子序列.html)，如果还保持惯性思维，这道题就可以掉坑里。
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接着介绍了[排列问题！](https://programmercarl.com/0046.全排列.html)，以及对[排列问题如何进行去重](https://programmercarl.com/0047.全排列II.html)。
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最后我补充了子集问题，排列问题和组合问题的性能分析，给大家提供了回溯算法复杂度的分析思路。
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