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<p align="center">
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<a href="https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 300.最长递增子序列
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/)
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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
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子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
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示例 1：
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* 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
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* 输出：4
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* 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
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示例 2：
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* 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
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* 输出：4
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示例 3：
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* 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
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* 输出：1
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提示：
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* 1 <= nums.length <= 2500
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* -10^4 <= nums[i] <= 104
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：：[动态规划之子序列问题，元素不连续！| LeetCode：300.最长递增子序列](https://www.bilibili.com/video/BV1ng411J7xP)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。
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本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。
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子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。
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接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：
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1. dp[i]的定义
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本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
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**dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度**
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为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
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2. 状态转移方程
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位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
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所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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**注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值**。
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3. dp[i]的初始化
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每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
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4. 确定遍历顺序
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dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
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j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
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遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
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如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
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以上五部分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
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if (nums.size() <= 1) return nums.size();
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vector<int> dp(nums.size(), 1);
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int result = 0;
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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return result;
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}
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};
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```
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* 时间复杂度: O(n^2)
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* 空间复杂度: O(n)
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## 总结
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本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
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## 其他语言版本
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### Java：
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```Java
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class Solution {
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public int lengthOfLIS(int[] nums) {
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if (nums.length <= 1) return nums.length;
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int[] dp = new int[nums.length];
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int res = 1;
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Arrays.fill(dp, 1);
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for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
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||
for (int j = 0; j < i; j++) {
|
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if (nums[i] > nums[j]) {
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dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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}
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res = Math.max(res, dp[i]);
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}
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return res;
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}
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}
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```
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### Python：
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DP
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```python
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class Solution:
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def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
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if len(nums) <= 1:
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return len(nums)
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dp = [1] * len(nums)
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result = 1
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for i in range(1, len(nums)):
|
||
for j in range(0, i):
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if nums[i] > nums[j]:
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||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
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return result
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||
```
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贪心
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||
```python
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class Solution:
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def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
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if len(nums) <= 1:
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return len(nums)
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tails = [nums[0]] # 存储递增子序列的尾部元素
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for num in nums[1:]:
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if num > tails[-1]:
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tails.append(num) # 如果当前元素大于递增子序列的最后一个元素，直接加入到子序列末尾
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else:
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# 使用二分查找找到当前元素在递增子序列中的位置，并替换对应位置的元素
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left, right = 0, len(tails) - 1
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while left < right:
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mid = (left + right) // 2
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if tails[mid] < num:
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left = mid + 1
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else:
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right = mid
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tails[left] = num
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return len(tails) # 返回递增子序列的长度
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```
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### Go：
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```go
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// 动态规划求解
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func lengthOfLIS(nums []int) int {
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// dp数组的定义 dp[i]表示取第i个元素的时候，表示子序列的长度，其中包括 nums[i] 这个元素
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dp := make([]int, len(nums))
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// 初始化，所有的元素都应该初始化为1
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for i := range dp {
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dp[i] = 1
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}
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ans := dp[0]
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for i := 1; i < len(nums); i++ {
|
||
for j := 0; j < i; j++ {
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if nums[i] > nums[j] {
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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}
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}
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if dp[i] > ans {
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ans = dp[i]
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}
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}
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return ans
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}
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func max(x, y int) int {
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if x > y {
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return x
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}
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return y
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}
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```
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贪心+二分 优化
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```go
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func lengthOfLIS(nums []int ) int {
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dp := []int{}
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for _, num := range nums {
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if len(dp) == 0 || dp[len(dp) - 1] < num {
|
||
dp = append(dp, num)
|
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} else {
|
||
l, r := 0, len(dp) - 1
|
||
pos := r
|
||
for l <= r {
|
||
mid := (l + r) >> 1
|
||
if dp[mid] >= num {
|
||
pos = mid;
|
||
r = mid - 1
|
||
} else {
|
||
l = mid + 1
|
||
}
|
||
}
|
||
dp[pos] = num
|
||
}//二分查找
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||
}
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||
return len(dp)
|
||
}
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||
```
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### Javascript:
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```javascript
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const lengthOfLIS = (nums) => {
|
||
let dp = Array(nums.length).fill(1);
|
||
let result = 1;
|
||
|
||
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for(let j = 0; j < i; j++) {
|
||
if(nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
|
||
}
|
||
}
|
||
result = Math.max(result, dp[i]);
|
||
}
|
||
|
||
return result;
|
||
};
|
||
```
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||
|
||
### TypeScript:
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||
|
||
```typescript
|
||
function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
|
||
/**
|
||
dp[i]: 前i个元素中，以nums[i]结尾，最长子序列的长度
|
||
*/
|
||
const dp: number[] = new Array(nums.length).fill(1);
|
||
let resMax: number = 0;
|
||
for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
|
||
for (let j = 0; j < i; j++) {
|
||
if (nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
|
||
}
|
||
return resMax;
|
||
};
|
||
```
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||
|
||
### C:
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||
```c
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#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
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int lengthOfLIS(int* nums, int numsSize) {
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||
if(numsSize <= 1){
|
||
return numsSize;
|
||
}
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||
int dp[numsSize];
|
||
for(int i = 0; i < numsSize; i++){
|
||
dp[i]=1;
|
||
}
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||
int result = 1;
|
||
for (int i = 1; i < numsSize; ++i) {
|
||
for (int j = 0; j < i; ++j) {
|
||
if(nums[i] > nums[j]){
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
if(dp[i] > result){
|
||
result = dp[i];
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return result;
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
|
||
|
||
### Rust:
|
||
|
||
```rust
|
||
pub fn length_of_lis(nums: Vec<i32>) -> i32 {
|
||
let mut dp = vec![1; nums.len()];
|
||
let mut result = 1;
|
||
for i in 1..nums.len() {
|
||
for j in 0..i {
|
||
if nums[j] < nums[i] {
|
||
dp[i] = dp[i].max(dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
result = result.max(dp[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
result
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|