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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 300.最长递增子序列
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/)
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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
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子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
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示例 1：
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* 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
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* 输出：4
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* 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
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示例 2：
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* 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
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* 输出：4
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示例 3：
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* 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
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* 输出：1
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提示：
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* 1 <= nums.length <= 2500
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* -10^4 <= nums[i] <= 104
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## 思路
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首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。
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本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。
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子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那那又是什么样的关系呢。
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接下来，我们依然用动规五部曲来分析详细一波：
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1. dp[i]的定义
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本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
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**dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度**
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为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如果算递增呢。
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2. 状态转移方程
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位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
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所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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**注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值**。
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3. dp[i]的初始化
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每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
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4. 确定遍历顺序
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dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
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j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
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遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
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如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
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以上五部分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
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if (nums.size() <= 1) return nums.size();
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vector<int> dp(nums.size(), 1);
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int result = 0;
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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return result;
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}
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};
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```
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## 总结
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本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int lengthOfLIS(int[] nums) {
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int[] dp = new int[nums.length];
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Arrays.fill(dp, 1);
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for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
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||
for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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}
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}
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int res = 0;
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for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
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res = Math.max(res, dp[i]);
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}
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return res;
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}
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}
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```
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Python：
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```python
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class Solution:
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def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
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if len(nums) <= 1:
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return len(nums)
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dp = [1] * len(nums)
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result = 0
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for i in range(1, len(nums)):
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for j in range(0, i):
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if nums[i] > nums[j]:
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
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return result
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```
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Go：
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```go
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func lengthOfLIS(nums []int ) int {
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dp := []int{}
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for _, num := range nums {
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if len(dp) ==0 || dp[len(dp) - 1] < num {
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dp = append(dp, num)
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} else {
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l, r := 0, len(dp) - 1
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pos := r
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for l <= r {
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mid := (l + r) >> 1
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||
if dp[mid] >= num {
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pos = mid;
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r = mid - 1
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} else {
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||
l = mid + 1
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}
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}
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||
dp[pos] = num
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}//二分查找
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}
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return len(dp)
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}
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```
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```go
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// 动态规划求解
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func lengthOfLIS(nums []int) int {
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// dp数组的定义 dp[i]表示取第i个元素的时候，表示子序列的长度，其中包括 nums[i] 这个元素
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dp := make([]int, len(nums))
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// 初始化，所有的元素都应该初始化为1
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for i := range dp {
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dp[i] = 1
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}
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ans := dp[0]
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for i := 1; i < len(nums); i++ {
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for j := 0; j < i; j++ {
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if nums[i] > nums[j] {
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||
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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}
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}
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if dp[i] > ans {
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ans = dp[i]
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}
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}
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return ans
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}
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func max(x, y int) int {
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if x > y {
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return x
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}
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return y
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}
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```
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Rust:
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```rust
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pub fn length_of_lis(nums: Vec<i32>) -> i32 {
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let mut dp = vec![1; nums.len() + 1];
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let mut result = 1;
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for i in 1..nums.len() {
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||
for j in 0..i {
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||
if nums[j] < nums[i] {
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||
dp[i] = dp[i].max(dp[j] + 1);
|
||
}
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||
result = result.max(dp[i]);
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}
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}
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result
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}
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```
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Javascript
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```javascript
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const lengthOfLIS = (nums) => {
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let dp = Array(nums.length).fill(1);
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let result = 1;
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||
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for(let j = 0; j < i; j++) {
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||
if(nums[i] > nums[j]) {
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||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
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||
}
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}
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||
result = Math.max(result, dp[i]);
|
||
}
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return result;
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};
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||
```
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||
TypeScript
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```typescript
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function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
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/**
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dp[i]: 前i个元素中，以nums[i]结尾，最长子序列的长度
|
||
*/
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||
const dp: number[] = new Array(nums.length).fill(1);
|
||
let resMax: number = 0;
|
||
for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
|
||
for (let j = 0; j < i; j++) {
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||
if (nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
|
||
}
|
||
return resMax;
|
||
};
|
||
```
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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