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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 647. 回文子串
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/
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给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
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具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
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示例 1：
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输入："abc"
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输出：3
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解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
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示例 2：
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输入："aaa"
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输出：6
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解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
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提示：
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输入的字符串长度不会超过 1000 。
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## 暴力解法
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两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。
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时间复杂度：O(n^3)
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## 动态规划
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动规五部曲：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
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2. 确定递推公式
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在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
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整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
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当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
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当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
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* 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
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* 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
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* 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
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以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
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```C++
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if (s[i] == s[j]) {
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if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
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result++;
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dp[i][j] = true;
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} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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result++;
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dp[i][j] = true;
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}
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}
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```
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result就是统计回文子串的数量。
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注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
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3. dp数组如何初始化
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dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
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所以dp[i][j]初始化为false。
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4. 确定遍历顺序
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遍历顺序可有有点讲究了。
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首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
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dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
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如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
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**所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的**。
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有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
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代码如下：
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```C++
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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
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for (int j = i; j < s.size(); j++) {
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if (s[i] == s[j]) {
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if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
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result++;
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dp[i][j] = true;
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} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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result++;
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||
dp[i][j] = true;
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}
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}
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
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图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
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**注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分**。
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以上分析完毕，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int countSubstrings(string s) {
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vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
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int result = 0;
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||
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
|
||
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
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||
if (s[i] == s[j]) {
|
||
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
|
||
result++;
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||
dp[i][j] = true;
|
||
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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||
result++;
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||
dp[i][j] = true;
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}
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||
}
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}
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}
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return result;
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}
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||
};
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```
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以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
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```C++
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class Solution {
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||
public:
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int countSubstrings(string s) {
|
||
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
|
||
int result = 0;
|
||
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
|
||
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
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||
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
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||
result++;
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||
dp[i][j] = true;
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||
}
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}
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||
}
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return result;
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}
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||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n^2)
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## 双指针法
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动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
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首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。
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**在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况**。
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一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
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那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
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所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
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**这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算**，代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int countSubstrings(string s) {
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int result = 0;
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for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
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result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
|
||
result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
|
||
}
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return result;
|
||
}
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int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
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int res = 0;
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while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
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i--;
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j++;
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res++;
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||
}
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return res;
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||
}
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||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(1)
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## 其他语言版本
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Java：
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动态规划：
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```java
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class Solution {
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public int countSubstrings(String s) {
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||
int len, ans = 0;
|
||
if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
|
||
//dp[i][j]：s字符串下标i到下标j的字串是否是一个回文串，即s[i, j]
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||
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
|
||
for (int j = 0; j < len; j++) {
|
||
for (int i = 0; i <= j; i++) {
|
||
//当两端字母一样时，才可以两端收缩进一步判断
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||
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
|
||
//i++，j--，即两端收缩之后i,j指针指向同一个字符或者i超过j了,必然是一个回文串
|
||
if (j - i < 3) {
|
||
dp[i][j] = true;
|
||
} else {
|
||
//否则通过收缩之后的字串判断
|
||
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
|
||
}
|
||
} else {//两端字符不一样，不是回文串
|
||
dp[i][j] = false;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
//遍历每一个字串，统计回文串个数
|
||
for (int i = 0; i < len; i++) {
|
||
for (int j = 0; j < len; j++) {
|
||
if (dp[i][j]) ans++;
|
||
}
|
||
}
|
||
return ans;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
中心扩散法：
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|
||
```java
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||
class Solution {
|
||
public int countSubstrings(String s) {
|
||
int len, ans = 0;
|
||
if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
|
||
//总共有2 * len - 1个中心点
|
||
for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {
|
||
//通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串
|
||
//有两种情况，left == right，right = left + 1，这两种回文中心是不一样的
|
||
int left = i / 2, right = left + i % 2;
|
||
while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
|
||
//如果当前是一个回文串，则记录数量
|
||
ans++;
|
||
left--;
|
||
right++;
|
||
}
|
||
}
|
||
return ans;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
Python：
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|
||
Go：
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```Go
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func countSubstrings(s string) int {
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res:=0
|
||
dp:=make([][]bool,len(s))
|
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for i:=0;i<len(s);i++{
|
||
dp[i]=make([]bool,len(s))
|
||
}
|
||
|
||
for i:=len(s)-1;i>=0;i--{
|
||
for j:=i;j<len(s);j++{
|
||
if s[i]==s[j]{
|
||
if j-i<=1{
|
||
res++
|
||
dp[i][j]=true
|
||
}else if dp[i+1][j-1]{
|
||
res++
|
||
dp[i][j]=true
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return res
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
|
||
|
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||
* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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