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<p align="center"><strong>欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 509. 斐波那契数
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题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/
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斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
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F(0) = 0，F(1) = 1
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F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
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给你n ，请计算 F(n) 。
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示例 1：
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输入：2
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输出：1
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解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
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示例 2：
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输入：3
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输出：2
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解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
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示例 3：
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输入：4
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输出：3
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解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
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提示：
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* 0 <= n <= 30
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## 思路
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斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。
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因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。
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**但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的**。
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通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。
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对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。
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所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过[二叉树系列的递归三部曲](https://mp.weixin.qq.com/s/I6ZXFbw09NR31F5CJR_geQ)，[回溯法系列的回溯三部曲](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。
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### 动态规划
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动规五部曲：
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这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
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2. 确定递推公式
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为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
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**因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];**
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3. dp数组如何初始化
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**题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：**
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```
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dp[0] = 0;
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dp[1] = 1;
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```
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4. 确定遍历顺序
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从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
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5. 举例推导dp数组
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按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
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0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
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如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
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以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int fib(int N) {
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if (N <= 1) return N;
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vector<int> dp(N + 1);
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dp[0] = 0;
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||
dp[1] = 1;
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||
for (int i = 2; i <= N; i++) {
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dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
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}
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return dp[N];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n)
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* 空间复杂度：O(n)
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当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
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代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int fib(int N) {
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if (N <= 1) return N;
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int dp[2];
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||
dp[0] = 0;
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||
dp[1] = 1;
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||
for (int i = 2; i <= N; i++) {
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||
int sum = dp[0] + dp[1];
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dp[0] = dp[1];
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||
dp[1] = sum;
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||
}
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||
return dp[1];
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||
}
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||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n)
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||
* 空间复杂度：O(1)
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### 递归解法
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本题还可以使用递归解法来做
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代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int fib(int N) {
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if (N < 2) return N;
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return fib(N - 1) + fib(N - 2);
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(2^n)
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* 空间复杂度：O(n) 算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
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这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了，如果不清晰的同学，可以看这篇：[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](https://mp.weixin.qq.com/s/I6ZXFbw09NR31F5CJR_geQ)
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# 总结
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斐波那契数列这道题目是非常基础的题目，我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列！
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这里我严格按照[关于动态规划，你该了解这些！](https://leetcode-cn.com/circle/article/tNuNnM/)中的动规五部曲来分析了这道题目，一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂，代码其实上来就可以撸出来。
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但我还是强调一下，简单题是用来掌握方法论的，动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用，敬请期待！
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就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int fib(int n) {
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if (n < 2) return n;
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int a = 0, b = 1, c = 0;
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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c = a + b;
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a = b;
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b = c;
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}
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return c;
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}
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||
}
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```
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Python：
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```python3
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class Solution:
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def fib(self, n: int) -> int:
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if n < 2:
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return n
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a, b, c = 0, 1, 0
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||
for i in range(1, n):
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c = a + b
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||
a, b = b, c
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||
return c
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# 递归实现
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class Solution:
|
||
def fib(self, n: int) -> int:
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||
if n < 2:
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return n
|
||
return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
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||
```
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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<div align="center"><img src=../pics/公众号.png width=450 alt=> </img></div>
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