478 lines
14 KiB
Markdown
478 lines
14 KiB
Markdown
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
|
||
|
||
# 322. 零钱兑换
|
||
|
||
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change/)
|
||
|
||
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
|
||
|
||
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
|
||
|
||
示例 1：
|
||
* 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
|
||
* 输出：3
|
||
* 解释：11 = 5 + 5 + 1
|
||
|
||
示例 2：
|
||
* 输入：coins = [2], amount = 3
|
||
* 输出：-1
|
||
|
||
示例 3：
|
||
* 输入：coins = [1], amount = 0
|
||
* 输出：0
|
||
|
||
示例 4：
|
||
* 输入：coins = [1], amount = 1
|
||
* 输出：1
|
||
|
||
示例 5：
|
||
* 输入：coins = [1], amount = 2
|
||
* 输出：2
|
||
|
||
提示：
|
||
|
||
* 1 <= coins.length <= 12
|
||
* 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
|
||
* 0 <= amount <= 10^4
|
||
|
||
## 算法公开课
|
||
|
||
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包最少的物品件数是多少？| LeetCode：322.零钱兑换](https://www.bilibili.com/video/BV14K411R7yv/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
|
||
|
||
|
||
|
||
## 思路
|
||
|
||
在[动态规划：518.零钱兑换II](https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html)中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！
|
||
|
||
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
|
||
|
||
动规五部曲分析如下：
|
||
|
||
1. 确定dp数组以及下标的含义
|
||
|
||
**dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]**
|
||
|
||
2. 确定递推公式
|
||
|
||
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
|
||
|
||
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
|
||
|
||
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
|
||
|
||
3. dp数组如何初始化
|
||
|
||
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
|
||
|
||
其他下标对应的数值呢？
|
||
|
||
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
|
||
|
||
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
|
||
|
||
代码如下：
|
||
|
||
```
|
||
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
```
|
||
|
||
4. 确定遍历顺序
|
||
|
||
本题求钱币最小个数，**那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数**。
|
||
|
||
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
|
||
|
||
**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。
|
||
|
||
**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
|
||
|
||
在动态规划专题我们讲过了求组合数是[动态规划：518.零钱兑换II](https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html)，求排列数是[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html)。
|
||
|
||
**所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！**
|
||
|
||
那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
|
||
|
||
本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
|
||
|
||
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
|
||
|
||
5. 举例推导dp数组
|
||
|
||
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
|
||
|
||
|
||
|
||
dp[amount]为最终结果。
|
||
|
||
以上分析完毕，C++ 代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
// 版本一
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
|
||
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
|
||
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
|
||
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
|
||
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
|
||
return dp[amount];
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
* 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
|
||
* 空间复杂度: O(amount)
|
||
|
||
|
||
|
||
对于遍历方式遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，我就直接给出代码了
|
||
|
||
```CPP
|
||
// 版本二
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
|
||
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历背包
|
||
for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
|
||
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
|
||
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
|
||
return dp[amount];
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
* 同上
|
||
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
细心的同学看网上的题解，**可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了**，到底两个for循环应该是什么先后关系。
|
||
|
||
能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到！
|
||
|
||
这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在，有的时候递推公式很简单，难在遍历顺序上！
|
||
|
||
但最终又可以稀里糊涂的把题目过了，也不知道为什么这样可以过，反正就是过了。
|
||
|
||
那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。
|
||
|
||
[动态规划：518.零钱兑换II](https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html)中求的是组合数，[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html)中求的是排列数。
|
||
|
||
**而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！**
|
||
|
||
这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即：322.零钱兑换，这是Carl的良苦用心那。
|
||
|
||
相信大家看完之后，对背包问题中的遍历顺序有更深的理解了。
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
## 其他语言版本
|
||
|
||
### Java：
|
||
|
||
```Java
|
||
class Solution {
|
||
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
|
||
int max = Integer.MAX_VALUE;
|
||
int[] dp = new int[amount + 1];
|
||
//初始化dp数组为最大值
|
||
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
|
||
dp[j] = max;
|
||
}
|
||
//当金额为0时需要的硬币数目为0
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
|
||
//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
|
||
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
|
||
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
|
||
if (dp[j - coins[i]] != max) {
|
||
//选择硬币数目最小的情况
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Python：
|
||
|
||
|
||
先遍历物品 后遍历背包
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (amount + 1) # 创建动态规划数组，初始值为正无穷大
|
||
dp[0] = 0 # 初始化背包容量为0时的最小硬币数量为0
|
||
|
||
for coin in coins: # 遍历硬币列表，相当于遍历物品
|
||
for i in range(coin, amount + 1): # 遍历背包容量
|
||
if dp[i - coin] != float('inf'): # 如果dp[i - coin]不是初始值，则进行状态转移
|
||
dp[i] = min(dp[i - coin] + 1, dp[i]) # 更新最小硬币数量
|
||
|
||
if dp[amount] == float('inf'): # 如果最终背包容量的最小硬币数量仍为正无穷大，表示无解
|
||
return -1
|
||
return dp[amount] # 返回背包容量为amount时的最小硬币数量
|
||
|
||
```
|
||
|
||
先遍历背包 后遍历物品
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (amount + 1) # 创建动态规划数组，初始值为正无穷大
|
||
dp[0] = 0 # 初始化背包容量为0时的最小硬币数量为0
|
||
|
||
for i in range(1, amount + 1): # 遍历背包容量
|
||
for j in range(len(coins)): # 遍历硬币列表，相当于遍历物品
|
||
if i - coins[j] >= 0 and dp[i - coins[j]] != float('inf'): # 如果dp[i - coins[j]]不是初始值，则进行状态转移
|
||
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]) # 更新最小硬币数量
|
||
|
||
if dp[amount] == float('inf'): # 如果最终背包容量的最小硬币数量仍为正无穷大，表示无解
|
||
return -1
|
||
return dp[amount] # 返回背包容量为amount时的最小硬币数量
|
||
|
||
```
|
||
先遍历物品 后遍历背包（优化版）
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (amount + 1)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
for coin in coins:
|
||
for i in range(coin, amount + 1): # 进行优化，从能装得下的背包开始计算，则不需要进行比较
|
||
# 更新凑成金额 i 所需的最少硬币数量
|
||
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
|
||
|
||
return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1
|
||
|
||
|
||
```
|
||
先遍历背包 后遍历物品（优化版）
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (amount + 1)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
for i in range(1, amount + 1): # 遍历背包容量
|
||
for coin in coins: # 遍历物品
|
||
if i - coin >= 0:
|
||
# 更新凑成金额 i 所需的最少硬币数量
|
||
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
|
||
|
||
return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1
|
||
|
||
|
||
|
||
```
|
||
|
||
### Go：
|
||
|
||
```go
|
||
// 版本一, 先遍历物品,再遍历背包
|
||
func coinChange1(coins []int, amount int) int {
|
||
dp := make([]int, amount+1)
|
||
// 初始化dp[0]
|
||
dp[0] = 0
|
||
// 初始化为math.MaxInt32
|
||
for j := 1; j <= amount; j++ {
|
||
dp[j] = math.MaxInt32
|
||
}
|
||
|
||
// 遍历物品
|
||
for i := 0; i < len(coins); i++ {
|
||
// 遍历背包
|
||
for j := coins[i]; j <= amount; j++ {
|
||
if dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
|
||
// 推导公式
|
||
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
|
||
//fmt.Println(dp,j,i)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
// 没找到能装满背包的, 就返回-1
|
||
if dp[amount] == math.MaxInt32 {
|
||
return -1
|
||
}
|
||
return dp[amount]
|
||
}
|
||
|
||
// 版本二,先遍历背包,再遍历物品
|
||
func coinChange2(coins []int, amount int) int {
|
||
dp := make([]int, amount+1)
|
||
// 初始化dp[0]
|
||
dp[0] = 0
|
||
// 遍历背包,从1开始
|
||
for j := 1; j <= amount; j++ {
|
||
// 初始化为math.MaxInt32
|
||
dp[j] = math.MaxInt32
|
||
// 遍历物品
|
||
for i := 0; i < len(coins); i++ {
|
||
if j >= coins[i] && dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
|
||
// 推导公式
|
||
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
|
||
//fmt.Println(dp)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
// 没找到能装满背包的, 就返回-1
|
||
if dp[amount] == math.MaxInt32 {
|
||
return -1
|
||
}
|
||
return dp[amount]
|
||
}
|
||
|
||
func min(a, b int) int {
|
||
if a < b {
|
||
return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
|
||
|
||
```
|
||
|
||
### Rust:
|
||
|
||
```rust
|
||
// 遍历物品
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn coin_change(coins: Vec<i32>, amount: i32) -> i32 {
|
||
let amount = amount as usize;
|
||
let mut dp = vec![i32::MAX; amount + 1];
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for coin in coins {
|
||
for i in coin as usize..=amount {
|
||
if dp[i - coin as usize] != i32::MAX {
|
||
dp[i] = dp[i].min(dp[i - coin as usize] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
if dp[amount] == i32::MAX {
|
||
return -1;
|
||
}
|
||
dp[amount]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
```rust
|
||
// 遍历背包
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn coin_change(coins: Vec<i32>, amount: i32) -> i32 {
|
||
let amount = amount as usize;
|
||
let mut dp = vec![i32::MAX; amount + 1];
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for i in 1..=amount {
|
||
for &coin in &coins {
|
||
if i >= coin as usize && dp[i - coin as usize] != i32::MAX {
|
||
dp[i] = dp[i].min(dp[i - coin as usize] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
if dp[amount] == i32::MAX {
|
||
return -1;
|
||
}
|
||
dp[amount]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Javascript：
|
||
|
||
```javascript
|
||
// 遍历物品
|
||
const coinChange = (coins, amount) => {
|
||
if(!amount) {
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
let dp = Array(amount + 1).fill(Infinity);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
|
||
for(let i = 0; i < coins.length; i++) {
|
||
for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
```javascript
|
||
// 遍历背包
|
||
var coinChange = function(coins, amount) {
|
||
const dp = Array(amount + 1).fill(Infinity)
|
||
dp[0] = 0
|
||
for (let i = 1; i <= amount; i++) {
|
||
for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
|
||
if (i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] !== Infinity) {
|
||
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript：
|
||
|
||
```typescript
|
||
// 遍历物品
|
||
function coinChange(coins: number[], amount: number): number {
|
||
const dp: number[] = new Array(amount + 1).fill(Infinity);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
|
||
for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
|
||
if (dp[j - coins[i]] === Infinity) continue;
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
```typescript
|
||
// 遍历背包
|
||
function coinChange(coins: number[], amount: number): number {
|
||
const dp: number[] = Array(amount + 1).fill(Infinity)
|
||
dp[0] = 0
|
||
for (let i = 1; i <= amount; i++) {
|
||
for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
|
||
if (i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] !== Infinity) {
|
||
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
|