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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210924105952.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划：以前我没得选，现在我选择再爬一次！
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之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。
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**这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！**
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## 70. 爬楼梯
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/)
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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
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每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
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注意：给定 n 是一个正整数。
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示例 1：
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输入： 2
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输出： 2
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解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
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1. 1 阶 + 1 阶
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2. 2 阶
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示例 2：
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输入： 3
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输出： 3
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解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
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1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
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2. 1 阶 + 2 阶
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3. 2 阶 + 1 阶
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## 思路
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这道题目 我们在[动态规划：爬楼梯](https://programmercarl.com/0070.爬楼梯.html) 中已经讲过一次了，原题其实是一道简单动规的题目。
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既然这么简单为什么还要讲呢，其实本题稍加改动就是一道面试好题。
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**改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？**
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1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
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每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
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问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
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**此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！**
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和昨天的题目[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html)基本就是一道题了。
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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**dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法**。
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2. 确定递推公式
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在[动态规划：494.目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 、 [动态规划：518.零钱兑换II](https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html)、[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
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本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
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那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
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3. dp数组如何初始化
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既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
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下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
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4. 确定遍历顺序
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这是背包里求排列问题，即：**1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！**
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所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
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每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
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5. 举例来推导dp数组
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介于本题和[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html)几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。
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以上分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int climbStairs(int n) {
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vector<int> dp(n + 1, 0);
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dp[0] = 1;
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for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
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for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
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if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了。
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## 总结
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**本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！**
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如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。
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顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。
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这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。
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这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。
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**本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！**
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## 其他语言版本
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Java：
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```java
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class Solution {
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public int climbStairs(int n) {
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int[] dp = new int[n + 1];
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int[] weight = {1,2};
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i <= n; i++) {
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||
for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
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||
if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];
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}
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}
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return dp[n];
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}
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}
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```
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Python3：
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```python
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class Solution:
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def climbStairs(self, n: int) -> int:
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dp = [0]*(n + 1)
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dp[0] = 1
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m = 2
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# 遍历背包
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for j in range(n + 1):
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# 遍历物品
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for step in range(1, m + 1):
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if j >= step:
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dp[j] += dp[j - step]
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return dp[n]
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```
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Go：
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```go
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func climbStairs(n int) int {
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//定义
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dp := make([]int, n+1)
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//初始化
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dp[0] = 1
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// 本题物品只有两个1,2
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m := 2
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// 遍历顺序
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for j := 1; j <= n; j++ { //先遍历背包
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for i := 1; i <= m; i++ { //再遍历物品
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||
if j >= i {
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dp[j] += dp[j-i]
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}
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||
//fmt.Println(dp)
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}
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||
}
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||
return dp[n]
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}
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```
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||
JavaScript:
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||
```javascript
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var climbStairs = function(n) {
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const dp = new Array(n+1).fill(0);
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const weight = [1,2];
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dp[0] = 1;
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||
for(let i = 0; i <= n; i++){ //先遍历背包
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||
for(let j = 0; j < weight.length; j++){ // 再遍历物品
|
||
if(i >= weight[j]) dp[i] += dp[i-weight[j]];
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}
|
||
}
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||
return dp[n];
|
||
};
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```
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||
TypeScript：
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||
```typescript
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||
function climbStairs(n: number): number {
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const m: number = 2; // 本题m为2
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const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
|
||
dp[0] = 1;
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||
// 遍历背包
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||
for (let i = 1; i <= n; i++) {
|
||
// 遍历物品
|
||
for (let j = 1; j <= m; j++) {
|
||
if (j <= i) {
|
||
dp[i] += dp[i - j];
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
};
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||
```
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