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21 KiB
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 5.最长回文子串
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/)
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给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
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示例 1：
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* 输入：s = "babad"
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* 输出："bab"
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* 解释："aba" 同样是符合题意的答案。
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示例 2：
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* 输入：s = "cbbd"
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* 输出："bb"
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示例 3：
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* 输入：s = "a"
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* 输出："a"
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示例 4：
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* 输入：s = "ac"
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* 输出："a"
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## 思路
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本题和[647.回文子串](https://programmercarl.com/0647.回文子串.html) 差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串
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### 暴力解法
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两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。
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时间复杂度：O(n^3)
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### 动态规划
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动规五部曲：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
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2. 确定递推公式
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在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
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整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
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当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
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当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
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* 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
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* 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
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* 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
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以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
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```CPP
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if (s[i] == s[j]) {
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if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
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dp[i][j] = true;
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} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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||
dp[i][j] = true;
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}
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}
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```
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注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
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在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：
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```CPP
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if (s[i] == s[j]) {
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if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
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dp[i][j] = true;
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} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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||
dp[i][j] = true;
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||
}
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||
}
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if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
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maxlenth = j - i + 1;
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left = i;
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right = j;
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}
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```
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3. dp数组如何初始化
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dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
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所以dp[i][j]初始化为false。
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4. 确定遍历顺序
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遍历顺序可有有点讲究了。
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首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
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dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
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如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
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**所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的**。
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有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
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for (int j = i; j < s.size(); j++) {
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if (s[i] == s[j]) {
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||
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
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||
dp[i][j] = true;
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} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
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||
dp[i][j] = true;
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||
}
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||
}
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if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
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maxlenth = j - i + 1;
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left = i;
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right = j;
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}
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
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**注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分**。
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以上分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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string longestPalindrome(string s) {
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vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
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int maxlenth = 0;
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int left = 0;
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||
int right = 0;
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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
|
||
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
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||
if (s[i] == s[j]) {
|
||
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
|
||
dp[i][j] = true;
|
||
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
|
||
dp[i][j] = true;
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||
}
|
||
}
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||
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
|
||
maxlenth = j - i + 1;
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left = i;
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||
right = j;
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||
}
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||
}
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||
}
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return s.substr(left, right - left + 1);
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}
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||
};
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```
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以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
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```CPP
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||
class Solution {
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||
public:
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||
string longestPalindrome(string s) {
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||
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
|
||
int maxlenth = 0;
|
||
int left = 0;
|
||
int right = 0;
|
||
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
|
||
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
|
||
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
|
||
dp[i][j] = true;
|
||
}
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||
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
|
||
maxlenth = j - i + 1;
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||
left = i;
|
||
right = j;
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||
}
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||
}
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||
}
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||
return s.substr(left, maxlenth);
|
||
}
|
||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n^2)
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### 双指针
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动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
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首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。
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**在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况**。
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||
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
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那么有的同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
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所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
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**这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算**，代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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||
public:
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int left = 0;
|
||
int right = 0;
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||
int maxLength = 0;
|
||
string longestPalindrome(string s) {
|
||
int result = 0;
|
||
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
|
||
extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
|
||
extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
|
||
}
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||
return s.substr(left, maxLength);
|
||
}
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||
void extend(const string& s, int i, int j, int n) {
|
||
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
|
||
if (j - i + 1 > maxLength) {
|
||
left = i;
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||
right = j;
|
||
maxLength = j - i + 1;
|
||
}
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||
i--;
|
||
j++;
|
||
}
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||
}
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||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(1)
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## 其他语言版本
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### Java：
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```java
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// 双指针 动态规划
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class Solution {
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public String longestPalindrome(String s) {
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||
if (s.length() == 0 || s.length() == 1) return s;
|
||
int length = 1;
|
||
int index = 0;
|
||
boolean[][] palindrome = new boolean[s.length()][s.length()];
|
||
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
|
||
palindrome[i][i] = true;
|
||
}
|
||
|
||
for (int L = 2; L <= s.length(); L++) {
|
||
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
|
||
int j = i + L - 1;
|
||
if (j >= s.length()) break;
|
||
if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
|
||
palindrome[i][j] = false;
|
||
} else {
|
||
if (j - i < 3) {
|
||
palindrome[i][j] = true;
|
||
} else {
|
||
palindrome[i][j] = palindrome[i + 1][j - 1];
|
||
}
|
||
}
|
||
if (palindrome[i][j] && j - i + 1 > length) {
|
||
length = j - i + 1;
|
||
index = i;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return s.substring(index, index + length);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
```java
|
||
// 双指针 中心扩散法
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||
class Solution {
|
||
public String longestPalindrome(String s) {
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||
String s1 = "";
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||
String s2 = "";
|
||
String res = "";
|
||
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
|
||
// 分两种情况：即一个元素作为中心点，两个元素作为中心点
|
||
s1 = extend(s, i, i); // 情况1
|
||
res = s1.length() > res.length() ? s1 : res;
|
||
s2 = extend(s, i, i + 1); // 情况2
|
||
res = s2.length() > res.length() ? s2 : res;
|
||
}
|
||
return res; // 返回最长的
|
||
}
|
||
public String extend(String s, int start, int end){
|
||
String tmp = "";
|
||
while (start >= 0 && end < s.length() && s.charAt(start) == s.charAt(end)){
|
||
tmp = s.substring(start, end + 1); // Java中substring是左闭右开的，所以要+1
|
||
// 向两边扩散
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||
start--;
|
||
end++;
|
||
}
|
||
return tmp;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
### Python：
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||
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
|
||
dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
|
||
maxlenth = 0
|
||
left = 0
|
||
right = 0
|
||
for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
|
||
for j in range(i, len(s)):
|
||
if s[j] == s[i]:
|
||
if j - i <= 1 or dp[i + 1][j - 1]:
|
||
dp[i][j] = True
|
||
if dp[i][j] and j - i + 1 > maxlenth:
|
||
maxlenth = j - i + 1
|
||
left = i
|
||
right = j
|
||
return s[left:right + 1]
|
||
|
||
```
|
||
双指针：
|
||
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
|
||
|
||
def find_point(i, j, s):
|
||
while i >= 0 and j < len(s) and s[i] == s[j]:
|
||
i -= 1
|
||
j += 1
|
||
return i + 1, j
|
||
|
||
def compare(start, end, left, right):
|
||
if right - left > end - start:
|
||
return left, right
|
||
else:
|
||
return start, end
|
||
|
||
start = 0
|
||
end = 0
|
||
for i in range(len(s)):
|
||
left, right = find_point(i, i, s)
|
||
start, end = compare(start, end, left, right)
|
||
|
||
left, right = find_point(i, i + 1, s)
|
||
start, end = compare(start, end, left, right)
|
||
return s[start:end]
|
||
|
||
```
|
||
### Go：
|
||
|
||
```go
|
||
func longestPalindrome(s string) string {
|
||
maxLen := 0
|
||
left := 0
|
||
length := 0
|
||
dp := make([][]bool, len(s))
|
||
for i := 0; i < len(s); i++ {
|
||
dp[i] = make([]bool,len(s))
|
||
}
|
||
for i := len(s)-1; i >= 0; i-- {
|
||
for j := i; j < len(s); j++ {
|
||
if s[i] == s[j]{
|
||
if j-i <= 1{ // 情况一和情况二
|
||
length = j-i
|
||
dp[i][j]=true
|
||
}else if dp[i+1][j-1]{ // 情况三
|
||
length = j-i
|
||
dp[i][j] = true
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
if length > maxLen {
|
||
maxLen = length
|
||
left = i
|
||
}
|
||
}
|
||
return s[left: left+maxLen+1]
|
||
}
|
||
|
||
|
||
```
|
||
|
||
### JavaScript：
|
||
|
||
```js
|
||
//动态规划解法
|
||
var longestPalindrome = function(s) {
|
||
const len = s.length;
|
||
// 布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false
|
||
let dp = new Array(len).fill(false).map(() => new Array(len).fill(false));
|
||
// left起始位置 maxlenth回文串长度
|
||
let left = 0, maxlenth = 0;
|
||
for(let i = len - 1; i >= 0; i--){
|
||
for(let j = i; j < len; j++){
|
||
// 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串 j - i == 0
|
||
// 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串 j - i == 1
|
||
// 情况一和情况二 可以合并为 j - i <= 1
|
||
// 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]===true
|
||
if(s[i] === s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])){
|
||
dp[i][j] = true;
|
||
}
|
||
// 只要 dp[i][j] == true 成立，就表示子串 s[i..j] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
|
||
if(dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
|
||
maxlenth = j - i + 1; // 回文串长度
|
||
left = i; // 起始位置
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return s.substr(left, maxlenth); // 找到子串
|
||
};
|
||
|
||
//双指针
|
||
var longestPalindrome = function(s) {
|
||
let left = 0, right = 0, maxLength = 0;
|
||
const extend = (s, i, j, n) => {// s为字符串 i,j为双指针 n为字符串长度
|
||
while(i >= 0 && j < n && s[i] === s[j]){
|
||
if(j - i + 1 > maxLength){
|
||
left = i; // 更新开始位置
|
||
right = j; // 更新结尾位置
|
||
maxLength = j - i + 1; // 更新子串最大长度
|
||
}
|
||
// 指针移动
|
||
i--;
|
||
j++;
|
||
}
|
||
}
|
||
for(let i = 0; i < s.length; i++){
|
||
extend(s, i, i, s.length); // 以i为中心
|
||
extend(s, i, i + 1, s.length); // 以i和i+1为中心
|
||
}
|
||
return s.substr(left, maxLength);
|
||
};
|
||
|
||
//Manacher算法
|
||
var longestPalindrome = function(s) {
|
||
const len = s.length;
|
||
if(len < 2) return s;
|
||
let maxLength = 1, index = 0;
|
||
//Manacher算法,利用回文对称的性质，根据i在上一个回文中心的臂长里的位置去判断i的回文性
|
||
//需要知道上一个回文中心，以及其臂长
|
||
let center = 0;
|
||
//注意这里使用了maxRight的而不是真实的臂长length,因为之后需要判断i在臂长的什么位置
|
||
//如果这里臂长用了length,之后还要 计算i - center 去和 length比较，太繁琐
|
||
let maxRight = 0;
|
||
//考虑到回文串的长度是偶数的情况,所以这里预处理一下字符串,每个字符间插入特殊字符,把可能性都化为奇数
|
||
//这个处理把回文串长度的可能性都化为了奇数
|
||
//#c#b#b#a#
|
||
//#c#b#a#b#d#
|
||
let ss = "";
|
||
for(let i = 0; i < s.length; i++){
|
||
ss += "#"+s[i];
|
||
}
|
||
ss += "#";
|
||
//需要维护一个每个位置臂长的信息数组positionLength
|
||
const pl = new Array(ss.length).fill(0);
|
||
//这里需要注意参考的是i关于center对称的点i'的回文性
|
||
//i' = 2*center - i;
|
||
//所以列下情况:
|
||
//1.i>maxRight,找不到i',无法参考，自己算自己的
|
||
//2.i<=maxRight:
|
||
//2.1 i<maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长没有超过center的臂长,根据对称性,pl[i] = pl[i']
|
||
//2.2 i=maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长刚好等于center的臂长,根据对称性,pl[i] >= pl[i‘],大多少需要尝试扩散
|
||
//2.3 i>maxRight-pl[i'],pl[i']的臂长超过了center的臂长,根据对称性,i中心扩散到MaxRight处,
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// s[2*i-maxRight] !== s[MaxRight]必不相等，所以pl[i] = maxRight-i;
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//总结就是pl[i] = Math.min(maxRight-i,pl[i']);提示i<maxRight-pl[i'] 也可写成 pl[i']<maxRight-i
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//0没有意义,从1开始计算
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for(let i = 1; i < ss.length; i++){
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if(i <= maxRight){//可以参考之前的
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pl[i] = Math.min(maxRight - i, pl[2 * center - i]);
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//尝试中心扩散
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}
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//注意到i<maxRight时都要尝试中心扩散,所以写else完全无意义,把中心扩散的代码写在下面
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// else{//i不在之前回文中心的臂长范围里,之前的信息就完全无法参考,只能从i中心扩散把，然后去维护maxRight和center的定义
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//尝试中心扩散
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//这里不要动center和maxRight
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// center = i;
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// maxRight = pl[i] + i + 1;
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let right = pl[i] + i + 1;
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let left = i - pl[i] - 1;
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while (left >= 0 && right<ss.length && ss[left] === ss[right]) {
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right++;
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left--;
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pl[i]++;
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}
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// }
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if(pl[i] + i > maxRight){
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center = i;
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maxRight = pl[i] + i;
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}
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if (pl[i] * 2 + 1 > maxLength){
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maxLength = pl[i]*2+1;
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index = i - pl[i];
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}
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}
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return ss.substr(index, maxLength).replace(/#/g,"");
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};
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```
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### C：
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动态规划：
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```c
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//初始化dp数组，全部初始为false
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bool **initDP(int strLen) {
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bool **dp = (bool **)malloc(sizeof(bool *) * strLen);
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int i, j;
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for(i = 0; i < strLen; ++i) {
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||
dp[i] = (bool *)malloc(sizeof(bool) * strLen);
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||
for(j = 0; j < strLen; ++j)
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||
dp[i][j] = false;
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||
}
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return dp;
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}
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char * longestPalindrome(char * s){
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//求出字符串长度
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int strLen = strlen(s);
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||
//初始化dp数组，元素初始化为false
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bool **dp = initDP(strLen);
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int maxLength = 0, left = 0, right = 0;
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||
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//从下到上，从左到右遍历
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||
int i, j;
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for(i = strLen - 1; i >= 0; --i) {
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||
for(j = i; j < strLen; ++j) {
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||
//若当前i与j所指字符一样
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if(s[i] == s[j]) {
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||
//若i、j指向相邻字符或同一字符，则为回文字符串
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||
if(j - i <= 1)
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||
dp[i][j] = true;
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||
//若i+1与j-1所指字符串为回文字符串，则i、j所指字符串为回文字符串
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||
else if(dp[i + 1][j - 1])
|
||
dp[i][j] = true;
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||
}
|
||
//若新的字符串的长度大于之前的最大长度，进行更新
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||
if(dp[i][j] && j - i + 1 > maxLength) {
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||
maxLength = j - i + 1;
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||
left = i;
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||
right = j;
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||
}
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||
}
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||
}
|
||
//复制回文字符串，并返回
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||
char *ret = (char*)malloc(sizeof(char) * (maxLength + 1));
|
||
memcpy(ret, s + left, maxLength);
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||
ret[maxLength] = 0;
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return ret;
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||
}
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```
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双指针：
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```c
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int left, maxLength;
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void extend(char *str, int i, int j, int size) {
|
||
while(i >= 0 && j < size && str[i] == str[j]) {
|
||
//若当前子字符串长度大于最长的字符串长度，进行更新
|
||
if(j - i + 1 > maxLength) {
|
||
maxLength = j - i + 1;
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||
left = i;
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||
}
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||
//左指针左移，右指针右移。扩大搜索范围
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||
++j, --i;
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||
}
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||
}
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||
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char * longestPalindrome(char * s){
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||
left = right = maxLength = 0;
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||
int size = strlen(s);
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||
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < size; ++i) {
|
||
//长度为单数的子字符串
|
||
extend(s, i, i, size);
|
||
//长度为双数的子字符串
|
||
extend(s, i, i + 1, size);
|
||
}
|
||
|
||
//复制子字符串
|
||
char *subStr = (char *)malloc(sizeof(char) * (maxLength + 1));
|
||
memcpy(subStr, s + left, maxLength);
|
||
subStr[maxLength] = 0;
|
||
|
||
return subStr;
|
||
}
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||
```
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### C#：
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動態規則：
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```c#
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public class Solution {
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public string LongestPalindrome(string s) {
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||
bool[,] dp = new bool[s.Length, s.Length];
|
||
int maxlenth = 0;
|
||
int left = 0;
|
||
int right = 0;
|
||
for(int i = s.Length-1 ; i>=0; i--){
|
||
for(int j = i; j <s.Length;j++){
|
||
if(s[i] == s[j]){
|
||
if(j - i <= 1){ // 情况一和情况二
|
||
dp[i, j] = true;
|
||
}else if( dp[i+1, j-1] ){ // 情况三
|
||
dp[i, j] = true;
|
||
}
|
||
}
|
||
if(dp[i, j] && j-i+1 > maxlenth){
|
||
maxlenth = j-i+1;
|
||
left = i;
|
||
right = j;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return s.Substring(left, maxlenth);
|
||
}
|
||
}
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||
```
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||
雙指針：
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||
```C#
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||
public class Solution {
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||
int maxlenth = 0;
|
||
int left = 0;
|
||
int right = 0;
|
||
|
||
public string LongestPalindrome(string s) {
|
||
int result = 0;
|
||
for (int i = 0; i < s.Length; i++) {
|
||
extend(s, i, i, s.Length); // 以i為中心
|
||
extend(s, i, i + 1, s.Length); // 以i和i+1為中心
|
||
}
|
||
return s.Substring(left, maxlenth);
|
||
}
|
||
|
||
private void extend(string s, int i, int j, int n) {
|
||
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
|
||
if (j - i + 1 > maxlenth) {
|
||
left = i;
|
||
right = j;
|
||
maxlenth = j - i + 1;
|
||
}
|
||
i--;
|
||
j++;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
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||
```
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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||
</a>
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