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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 673.最长递增子序列的个数
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/)
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给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。
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示例 1:
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* 输入: [1,3,5,4,7]
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* 输出: 2
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* 解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
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示例 2:
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* 输入: [2,2,2,2,2]
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* 输出: 5
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* 解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
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# 思路
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这道题可以说是 [300.最长上升子序列](https://programmercarl.com/0300.最长上升子序列.html) 的进阶版本
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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这道题目我们要一起维护两个数组。
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dp[i]：i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
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count[i]：以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
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2. 确定递推公式
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在300.最长上升子序列 中，我们给出的状态转移是：
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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即：位置i的最长递增子序列长度 等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1的最大值。
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本题就没那么简单了，我们要考虑两个维度，一个是dp[i]的更新，一个是count[i]的更新。
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那么如何更新count[i]呢？
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以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]。
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那么在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 > dp[i]，说明找到了一个更长的递增子序列。
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那么以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，就是最新的以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] = count[j]。
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在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 == dp[i]，说明找到了两个相同长度的递增子序列。
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那么以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数 就应该加上以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] += count[j];
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代码如下：
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```CPP
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if (nums[i] > nums[j]) {
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if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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count[i] = count[j];
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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```
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当然也可以这么写：
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```CPP
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if (nums[i] > nums[j]) {
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if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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dp[i] = dp[j] + 1; // 更新dp[i]放在这里，就不用max了
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count[i] = count[j];
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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}
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```
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这里count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
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题目要求最长递增序列的长度的个数，我们应该把最长长度记录下来。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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count[i] = count[j];
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i]; // 记录最长长度
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}
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}
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```
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3. dp数组如何初始化
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再回顾一下dp[i]和count[i]的定义
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count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。
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那么最少也就是1个，所以count[i]初始为1。
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dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
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最小的长度也是1，所以dp[i]初始为1。
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代码如下：
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```
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vector<int> dp(nums.size(), 1);
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vector<int> count(nums.size(), 1);
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```
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**其实动规的题目中，初始化很有讲究，也很考察对dp数组定义的理解**。
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4. 确定遍历顺序
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dp[i] 是由0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
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j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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count[i] = count[j];
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
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}
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}
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```
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最后还有再遍历一遍dp[i]，把最长递增序列长度对应的count[i]累计下来就是结果了。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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count[i] = count[j];
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
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}
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}
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int result = 0; // 统计结果
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
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}
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```
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统计结果，可能有的同学又有点看懵了，那么就再回顾一下dp[i]和count[i]的定义。
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5. 举例推导dp数组
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输入：[1,3,5,4,7]
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**如果代码写出来了，怎么改都通过不了，那么把dp和count打印出来看看对不对！**
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以上分析完毕，C++整体代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
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if (nums.size() <= 1) return nums.size();
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vector<int> dp(nums.size(), 1);
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vector<int> count(nums.size(), 1);
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int maxCount = 0;
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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||
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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dp[i] = dp[j] + 1;
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count[i] = count[j];
|
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} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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}
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if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
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}
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||
}
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int result = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
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}
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return result;
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n)
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还有O(nlog n)的解法，使用树状数组，今天有点忙就先不写了，感兴趣的同学可以自行学习一下，这里有我之前写的树状数组系列博客：https://blog.csdn.net/youngyangyang04/category_871105.html （十年前的陈年老文了）
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# 其他语言版本
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## Java
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```java
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class Solution {
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public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
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if (nums.length <= 1) return nums.length;
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int[] dp = new int[nums.length];
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||
for(int i = 0; i < dp.length; i++) dp[i] = 1;
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int[] count = new int[nums.length];
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||
for(int i = 0; i < count.length; i++) count[i] = 1;
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int maxCount = 0;
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||
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
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||
for (int j = 0; j < i; j++) {
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||
if (nums[i] > nums[j]) {
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||
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
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dp[i] = dp[j] + 1;
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||
count[i] = count[j];
|
||
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
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count[i] += count[j];
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}
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}
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||
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
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}
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||
}
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int result = 0;
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||
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
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||
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
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}
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return result;
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}
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}
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```
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## Python
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```python
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class Solution:
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def findNumberOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
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size = len(nums)
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if size<= 1: return size
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dp = [1 for i in range(size)]
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count = [1 for i in range(size)]
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maxCount = 0
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for i in range(1, size):
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for j in range(i):
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if nums[i] > nums[j]:
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if dp[j] + 1 > dp[i] :
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dp[i] = dp[j] + 1
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||
count[i] = count[j]
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||
elif dp[j] + 1 == dp[i] :
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count[i] += count[j]
|
||
if dp[i] > maxCount:
|
||
maxCount = dp[i];
|
||
result = 0
|
||
for i in range(size):
|
||
if maxCount == dp[i]:
|
||
result += count[i]
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return result;
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```
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## Go
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```go
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func findNumberOfLIS(nums []int) int {
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size := len(nums)
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if size <= 1 {
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return size
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}
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dp := make([]int, size);
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for i, _ := range dp {
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dp[i] = 1
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}
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count := make([]int, size);
|
||
for i, _ := range count {
|
||
count[i] = 1
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}
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||
|
||
maxCount := 0
|
||
for i := 1; i < size; i++ {
|
||
for j := 0; j < i; j++ {
|
||
if nums[i] > nums[j] {
|
||
if dp[j] + 1 > dp[i] {
|
||
dp[i] = dp[j] + 1
|
||
count[i] = count[j]
|
||
} else if dp[j] + 1 == dp[i] {
|
||
count[i] += count[j]
|
||
}
|
||
}
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||
if dp[i] > maxCount {
|
||
maxCount = dp[i]
|
||
}
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||
}
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||
}
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||
result := 0
|
||
for i := 0; i < size; i++ {
|
||
if maxCount == dp[i] {
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result += count[i]
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}
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||
}
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||
return result
|
||
}
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```
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## JavaScript
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```js
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var findNumberOfLIS = function(nums) {
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const len = nums.length;
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if(len <= 1) return len;
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let dp = new Array(len).fill(1); // i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
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let count = new Array(len).fill(1); // 以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
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||
let res = 0;
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for(let i = 1; i < len; i++){
|
||
for(let j = 0; j < i; j++){
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if(nums[i] > nums[j]){
|
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if(dp[j] + 1 > dp[i]){ // 第 j 个数字为前一个数字的子序列是否更更长
|
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dp[i] = dp[j] + 1; //更新 dp[i]
|
||
count[i] = count[j]; // 重置count[i]
|
||
} else if(dp[j] + 1 === dp[i]){ // 和原来一样长
|
||
count[i] += count[j]; //更新count[i]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
let max = Math.max(...dp); //扩展运算符找到最大长度
|
||
for(let i = 0; i < len; i++) if(dp[i] === max) res += count[i]; // 累加
|
||
return res;
|
||
};
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||
```
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||
|
||
|
||
<p align="center">
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||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|