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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 516.最长回文子序列
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/)
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给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。
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示例 1:
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输入: "bbbab"
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输出: 4
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一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
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示例 2:
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输入:"cbbd"
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输出: 2
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一个可能的最长回文子序列为 "bb"。
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提示：
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* 1 <= s.length <= 1000
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* s 只包含小写英文字母
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## 思路
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我们刚刚做过了 [动态规划：回文子串](https://programmercarl.com/0647.回文子串.html)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。
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**回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！** 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。
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回文子串，可以做这两题：
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* 647.回文子串
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* 5.最长回文子串
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思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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**dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]**。
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2. 确定递推公式
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在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
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如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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如图：
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（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）
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如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
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加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
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加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
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那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
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代码如下：
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```CPP
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if (s[i] == s[j]) {
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dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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} else {
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dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
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}
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```
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3. dp数组如何初始化
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首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
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所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
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其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
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```CPP
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vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
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for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
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```
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4. 确定遍历顺序
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从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
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**所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的**。
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j的话，可以正常从左向右遍历。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
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for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
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if (s[i] == s[j]) {
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dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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} else {
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dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
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}
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
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红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
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以上分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int longestPalindromeSubseq(string s) {
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vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
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for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
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for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
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if (s[i] == s[j]) {
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||
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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} else {
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dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
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}
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}
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}
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return dp[0][s.size() - 1];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度: O(n^2)
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* 空间复杂度: O(n^2)
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## 其他语言版本
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Java：
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```java
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public class Solution {
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public int longestPalindromeSubseq(String s) {
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int len = s.length();
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int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
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for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
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dp[i][i] = 1; // 初始化
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for (int j = i + 1; j < len; j++) {
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if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
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dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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} else {
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||
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
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}
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}
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}
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return dp[0][len - 1];
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}
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}
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```
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Python：
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```python
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class Solution:
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def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
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dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
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for i in range(len(s)):
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dp[i][i] = 1
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for i in range(len(s)-1, -1, -1):
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||
for j in range(i+1, len(s)):
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if s[i] == s[j]:
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||
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
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else:
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dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
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return dp[0][-1]
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```
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Go：
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```Go
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func longestPalindromeSubseq(s string) int {
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size := len(s)
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max := func(a, b int) int {
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if a > b {
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return a
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}
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return b
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}
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dp := make([][]int, size)
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for i := 0; i < size; i++ {
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dp[i] = make([]int, size)
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dp[i][i] = 1
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}
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for i := size - 1; i >= 0; i-- {
|
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for j := i + 1; j < size; j++ {
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||
if s[i] == s[j] {
|
||
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])
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||
}
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||
}
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||
}
|
||
return dp[0][size-1]
|
||
}
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```
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Javascript：
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||
```javascript
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const longestPalindromeSubseq = (s) => {
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const strLen = s.length;
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let dp = Array.from(Array(strLen), () => Array(strLen).fill(0));
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||
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||
for(let i = 0; i < strLen; i++) {
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||
dp[i][i] = 1;
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}
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||
for(let i = strLen - 1; i >= 0; i--) {
|
||
for(let j = i + 1; j < strLen; j++) {
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||
if(s[i] === s[j]) {
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||
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
|
||
} else {
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||
dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
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}
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||
}
|
||
}
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||
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||
return dp[0][strLen - 1];
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||
};
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```
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TypeScript：
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```typescript
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function longestPalindromeSubseq(s: string): number {
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/**
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||
dp[i][j]：[i,j]区间内，最长回文子序列的长度
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||
*/
|
||
const length: number = s.length;
|
||
const dp: number[][] = new Array(length).fill(0)
|
||
.map(_ => new Array(length).fill(0));
|
||
for (let i = 0; i < length; i++) {
|
||
dp[i][i] = 1;
|
||
}
|
||
// 自下而上，自左往右遍历
|
||
for (let i = length - 1; i >= 0; i--) {
|
||
for (let j = i + 1; j < length; j++) {
|
||
if (s[i] === s[j]) {
|
||
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[0][length - 1];
|
||
};
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||
```
|
||
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||
|
||
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|