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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 115.不同的子序列
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[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/distinct-subsequences/)
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给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
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字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
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题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
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提示：
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0 <= s.length, t.length <= 1000
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s 和 t 由英文字母组成
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## 思路
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这道题目如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。
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这道题目相对于72. 编辑距离，简单了不少，因为本题相当于只有删除操作，不用考虑替换增加之类的。
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但相对于刚讲过的[动态规划：392.判断子序列](https://programmercarl.com/0392.判断子序列.html)就有难度了，这道题目双指针法可就做不了了，来看看动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
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2. 确定递推公式
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这一类问题，基本是要分析两种情况
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* s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
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* s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
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当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
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一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。
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一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
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这里可能有同学不明白了，为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
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例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
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当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
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所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
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当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]
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所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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3. dp数组如何初始化
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从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
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每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。
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dp[i][0]表示什么呢？
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dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
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那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
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再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
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那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
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最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
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dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
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初始化分析完毕，代码如下：
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```CPP
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vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
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for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
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for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起，但我为了凸显初始化的逻辑，所以还是加上了。
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```
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4. 确定遍历顺序
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从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
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所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
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for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
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if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
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dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
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} else {
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dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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}
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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以s："baegg"，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：
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如果写出来的代码怎么改都通过不了，不妨把dp数组打印出来，看一看，是不是这样的。
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动规五部曲分析完毕，代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int numDistinct(string s, string t) {
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vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
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||
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
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||
for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
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||
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
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||
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
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||
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
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} else {
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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}
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||
}
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||
}
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||
return dp[s.size()][t.size()];
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}
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};
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```
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## 其他语言版本
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Java：
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```java
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class Solution {
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public int numDistinct(String s, String t) {
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int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
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for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
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||
dp[i][0] = 1;
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||
}
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||
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||
for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
|
||
for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
|
||
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
|
||
}else{
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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}
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||
}
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||
}
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||
|
||
return dp[s.length()][t.length()];
|
||
}
|
||
}
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||
```
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Python：
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```python
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class Solution:
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||
def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
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dp = [[0] * (len(t)+1) for _ in range(len(s)+1)]
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for i in range(len(s)):
|
||
dp[i][0] = 1
|
||
for j in range(1, len(t)):
|
||
dp[0][j] = 0
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||
for i in range(1, len(s)+1):
|
||
for j in range(1, len(t)+1):
|
||
if s[i-1] == t[j-1]:
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
|
||
else:
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||
dp[i][j] = dp[i-1][j]
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||
return dp[-1][-1]
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||
```
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||
Python3:
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||
```python
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||
class SolutionDP2:
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||
"""
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||
既然dp[i]只用到dp[i - 1]的状态，
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||
我们可以通过缓存dp[i - 1]的状态来对dp进行压缩，
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||
减少空间复杂度。
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||
（原理等同同于滚动数组）
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||
"""
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|
||
def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
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n1, n2 = len(s), len(t)
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if n1 < n2:
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return 0
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dp = [0 for _ in range(n2 + 1)]
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dp[0] = 1
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for i in range(1, n1 + 1):
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# 必须深拷贝
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# 不然prev[i]和dp[i]是同一个地址的引用
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prev = dp.copy()
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# 剪枝，保证s的长度大于等于t
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# 因为对于任意i，i > n1, dp[i] = 0
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# 没必要跟新状态。
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end = i if i < n2 else n2
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||
for j in range(1, end + 1):
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if s[i - 1] == t[j - 1]:
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||
dp[j] = prev[j - 1] + prev[j]
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||
else:
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||
dp[j] = prev[j]
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||
return dp[-1]
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```
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Go：
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```go
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func numDistinct(s string, t string) int {
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||
dp:= make([][]int,len(s)+1)
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for i:=0;i<len(dp);i++{
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||
dp[i] = make([]int,len(t)+1)
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}
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// 初始化
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for i:=0;i<len(dp);i++{
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||
dp[i][0] = 1
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}
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// dp[0][j] 为 0，默认值，因此不需要初始化
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for i:=1;i<len(dp);i++{
|
||
for j:=1;j<len(dp[i]);j++{
|
||
if s[i-1] == t[j-1]{
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
|
||
}else{
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[len(dp)-1][len(dp[0])-1]
|
||
}
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||
```
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|
||
|
||
Javascript:
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||
```javascript
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const numDistinct = (s, t) => {
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||
let dp = Array.from(Array(s.length + 1), () => Array(t.length +1).fill(0));
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||
for(let i = 0; i <=s.length; i++) {
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||
dp[i][0] = 1;
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||
}
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||
for(let i = 1; i <= s.length; i++) {
|
||
for(let j = 1; j<= t.length; j++) {
|
||
if(s[i-1] === t[j-1]) {
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[s.length][t.length];
|
||
};
|
||
```
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||
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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