146 lines
7.1 KiB
Markdown
146 lines
7.1 KiB
Markdown
|
||
# 图论总结篇
|
||
|
||
从深搜广搜 到并查集，从最小生成树到拓扑排序， 最后是最短路算法系列。
|
||
|
||
至此算上本篇，一共30篇文章，图论之旅就在此收官了。
|
||
|
||
在[0098.所有可达路径](./0098.所有可达路径.md) ，我们接触了两种图的存储方式，邻接表和邻接矩阵，掌握两种图的存储方式很重要。
|
||
|
||
图的存储方式也是大家习惯在核心代码模式下刷题 经常忽略的 知识点。因为在力扣上刷题不需要掌握图的存储方式。
|
||
|
||
## 深搜与广搜
|
||
|
||
在二叉树章节中，其实我们讲过了 深搜和广搜在二叉树上的搜索过程。
|
||
|
||
在图论章节中，深搜与广搜就是在图这个数据结构上的搜索过程。
|
||
|
||
深搜与广搜是图论里基本的搜索方法，大家需要掌握三点：
|
||
|
||
* 搜索方式：深搜是可一个方向搜，不到黄河不回头。 广搜是围绕这起点一圈一圈的去搜。
|
||
* 代码模板：需要熟练掌握深搜和广搜的基本写法。
|
||
* 应用场景：图论题目基本上可以即用深搜也可用广搜，无疑是用哪个方便而已
|
||
|
||
### 注意事项
|
||
|
||
需要注意的是，同样是深搜模板题，会有两种写法。
|
||
|
||
在[0099.岛屿的数量深搜.md](./0099.岛屿的数量深搜.md) 和 [0105.有向图的完全可达性](./0105.有向图的完全可达性.md)，涉及到dfs的两种写法。
|
||
|
||
**我们对dfs函数的定义是 是处理当前节点 还是处理下一个节点 很重要**，决定了两种dfs的写法。
|
||
|
||
这也是为什么很多录友看到不同的dfs写法，结果发现提交都能过的原因。
|
||
|
||
而深搜还有细节，有的深搜题目需要用到回溯的过程，有的就不用回溯的过程，
|
||
|
||
一般是需要计算路径的问题 需要回溯，如果只是染色问题（岛屿问题系列） 就不需要回溯。
|
||
|
||
例如： [0105.有向图的完全可达性](./0105.有向图的完全可达性.md) 深搜就不需要回溯，而 [0098.所有可达路径](./0098.所有可达路径.md) 中的递归就需要回溯，文章中都有详细讲解
|
||
|
||
注意：以上说的是不需要回溯，不是没有回溯，只要有递归就会有回溯，只是我们是否需要用到回溯这个过程，这是需要考虑的。
|
||
|
||
很多录友写出来的广搜可能超时了， 例如题目：[0099.岛屿的数量广搜](./0099.岛屿的数量广搜.md)
|
||
|
||
根本原因是**只要 加入队列就代表 走过，就需要标记，而不是从队列拿出来的时候再去标记走过**。
|
||
|
||
具体原因，我在[0099.岛屿的数量广搜](./0099.岛屿的数量广搜.md) 中详细讲了。
|
||
|
||
在深搜与广搜的讲解中，为了防止惯性思维，我特别加入了题目 [0106.岛屿的周长](./0106.岛屿的周长.md)，提醒大家，看到类似的题目，也不要上来就想着深搜和广搜。
|
||
|
||
还有一些图的问题，在题目描述中，是没有图的，需要我们自己构建一个图，例如 [0110.字符串接龙](./0110.字符串接龙.md)，题目中连线都没有，需要我们自己去思考 什么样的两个字符串可以连成线。
|
||
|
||
## 并查集
|
||
|
||
并查集相对来说是比较复杂的数据结构，其实他的代码不长，但想彻底学透并查集，需要从多个维度入手，
|
||
|
||
我在理论基础篇的时候 讲解如下重点：
|
||
|
||
* 为什么要用并查集，怎么不用个二维数据，或者set、map之类的。
|
||
* 并查集能解决那些问题，哪些场景会用到并查集
|
||
* 并查集原理以及代码实现
|
||
* 并查集写法的常见误区
|
||
* 带大家去模拟一遍并查集的过程
|
||
* 路径压缩的过程
|
||
* 时间复杂度分析
|
||
|
||
上面这几个维度 大家都去思考了，并查集基本就学明白了。
|
||
|
||
其实理论基础篇就算是给大家出了一道裸的并查集题目了，所以在后面的题目安排中，会稍稍的拔高一些，重点在于并查集的应用上。
|
||
|
||
例如 并查集可以判断这个图是否是树，因为树的话，只有一个根，符合并查集判断集合的逻辑，题目：[0108.冗余连接](./0108.冗余连接.md)。
|
||
|
||
在[0109.冗余连接II](./0109.冗余连接II.md) 中 对有向树的判断难度更大一些，需要考虑的情况比较多。
|
||
|
||
|
||
## 最小生成树
|
||
|
||
最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。
|
||
|
||
最小生成树算法，有prim 和 kruskal。
|
||
|
||
**prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合**。
|
||
|
||
在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。
|
||
|
||
> 边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图
|
||
|
||
Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。
|
||
|
||
Kruskal算法 时间复杂度 为 O(nlogn)，其中n 为边的数量，适用稀疏图。
|
||
|
||
关于 prim算法，我自创了三部曲，来帮助大家理解：
|
||
|
||
1. 第一步，选距离生成树最近节点
|
||
2. 第二步，最近节点加入生成树
|
||
3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
|
||
|
||
大家只要理解这三部曲， prim算法 至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。
|
||
|
||
**minDist数组 是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到 距离最小生成树最近的点**。
|
||
|
||
kruscal的主要思路：
|
||
|
||
* 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
|
||
* 遍历排序后的边
|
||
* 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
|
||
* 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
|
||
|
||
而判断节点是否在一个集合 以及将两个节点放入同一个集合，正是并查集的擅长所在。
|
||
|
||
所以 Kruskal 是需要用到并查集的。
|
||
|
||
这也是我在代码随想录图论编排上 为什么要先 讲解 并查集 在讲解 最小生成树。
|
||
|
||
|
||
## 拓扑排序
|
||
|
||
拓扑排序 是在图上的一种排序。
|
||
|
||
概括来说，**给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序 就叫拓扑排序**。
|
||
|
||
同样，拓扑排序也可以检测这个有向图 是否有环，即存在循环依赖的情况。
|
||
|
||
拓扑排序的一些应用场景，例如：大学排课，文件下载依赖 等等。
|
||
|
||
只要记住如下两步拓扑排序的过程，代码就容易写了：
|
||
|
||
1. 找到入度为0 的节点，加入结果集
|
||
2. 将该节点从图中移除
|
||
|
||
## 最短路算法
|
||
|
||
最短路算法是图论中，比较复杂的算法，而且不同的最短路算法都有不同的应用场景。
|
||
|
||
我在 [最短路算法总结篇](./最短路问题总结篇.md) 里已经做了一个高度的概括。
|
||
|
||
大家要时常温故而知新，才能透彻理解各个最短路算法。
|
||
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
到最后，图论终于剧终了，相信这是市面上大家能看到最全最细致的图论讲解教程。
|
||
|
||
图论也是我 《代码随想录》所有章节里 所费精力最大的一个章节。
|
||
|
||
只为了不负录友们的期待。 大家加油💪🏻
|