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<p align="center">
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<a href="https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 279.完全平方数
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/)
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给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
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给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
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完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
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示例 1：
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* 输入：n = 12
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* 输出：3
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* 解释：12 = 4 + 4 + 4
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示例 2：
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* 输入：n = 13
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* 输出：2
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* 解释：13 = 4 + 9
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提示：
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* 1 <= n <= 10^4
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[换汤不换药！| LeetCode：279.完全平方数](https://www.bilibili.com/video/BV12P411T7Br/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。
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**我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？**
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感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，而且和昨天的题目[动态规划：322. 零钱兑换](https://programmercarl.com/0322.零钱兑换.html)就是一样一样的！
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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**dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]**
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2. 确定递推公式
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dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
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此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
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3. dp数组如何初始化
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dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
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有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
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看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
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非0下标的dp[j]应该是多少呢？
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从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，**所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖**。
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4. 确定遍历顺序
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我们知道这是完全背包，
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如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
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如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
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在[动态规划：322. 零钱兑换](https://programmercarl.com/0322.零钱兑换.html)中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！
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**所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！**
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我这里先给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码：
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```CPP
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vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
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dp[0] = 0;
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for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
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||
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
|
||
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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已输入n为5例，dp状态图如下：
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dp[0] = 0
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dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1
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dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2
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dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3
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||
dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
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dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
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最后的dp[n]为最终结果。
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以上动规五部曲分析完毕C++代码如下：
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```CPP
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// 版本一
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class Solution {
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public:
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int numSquares(int n) {
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vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
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||
dp[0] = 0;
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||
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
|
||
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
|
||
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度: O(n * √n)
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* 空间复杂度: O(n)
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同样我在给出先遍历物品，在遍历背包的代码，一样的可以AC的。
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||
```CPP
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// 版本二
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class Solution {
|
||
public:
|
||
int numSquares(int n) {
|
||
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
|
||
for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
|
||
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
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};
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```
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* 同上
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## 总结
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如果大家认真做了昨天的题目[动态规划：322. 零钱兑换](https://programmercarl.com/0322.零钱兑换.html)，今天这道就非常简单了，一样的套路一样的味道。
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但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话，做动态规划或者做背包问题，上来就做这道题，那还是挺难的！
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经过前面的训练这道题已经是简单题了
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## 其他语言版本
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### Java：
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```Java
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class Solution {
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||
// 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
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public int numSquares(int n) {
|
||
int max = Integer.MAX_VALUE;
|
||
int[] dp = new int[n + 1];
|
||
//初始化
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||
for (int j = 0; j <= n; j++) {
|
||
dp[j] = max;
|
||
}
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//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
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||
//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
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||
//当和为0时，组合的个数为0
|
||
dp[0] = 0;
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||
// 遍历物品
|
||
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
|
||
// 遍历背包
|
||
for (int j = i * i; j <= n; j++) {
|
||
//if (dp[j - i * i] != max) {
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
|
||
//}
|
||
//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
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||
}
|
||
}
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||
return dp[n];
|
||
}
|
||
}
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||
|
||
class Solution {
|
||
// 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
|
||
public int numSquares(int n) {
|
||
int max = Integer.MAX_VALUE;
|
||
int[] dp = new int[n + 1];
|
||
// 初始化
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||
for (int j = 0; j <= n; j++) {
|
||
dp[j] = max;
|
||
}
|
||
// 当和为0时，组合的个数为0
|
||
dp[0] = 0;
|
||
// 遍历背包
|
||
for (int j = 1; j <= n; j++) {
|
||
// 遍历物品
|
||
for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
}
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||
```
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### Python：
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||
先遍历背包, 再遍历物品
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||
```python
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class Solution:
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def numSquares(self, n: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (n + 1)
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||
dp[0] = 0
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||
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||
for i in range(1, n + 1): # 遍历背包
|
||
for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1): # 遍历物品
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||
# 更新凑成数字 i 所需的最少完全平方数数量
|
||
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
|
||
|
||
return dp[n]
|
||
|
||
```
|
||
先遍历物品, 再遍历背包
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def numSquares(self, n: int) -> int:
|
||
dp = [float('inf')] * (n + 1)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1): # 遍历物品
|
||
for j in range(i * i, n + 1): # 遍历背包
|
||
# 更新凑成数字 j 所需的最少完全平方数数量
|
||
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])
|
||
|
||
return dp[n]
|
||
|
||
|
||
```
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||
其他版本
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||
```python
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||
class Solution:
|
||
def numSquares(self, n: int) -> int:
|
||
# 创建动态规划数组，初始值为最大值
|
||
dp = [float('inf')] * (n + 1)
|
||
# 初始化已知情况
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||
dp[0] = 0
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||
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||
# 遍历背包容量
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||
for i in range(1, n + 1):
|
||
# 遍历完全平方数作为物品
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j = 1
|
||
while j * j <= i:
|
||
# 更新最少完全平方数的数量
|
||
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
|
||
j += 1
|
||
|
||
# 返回结果
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||
return dp[n]
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||
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||
```
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||
```python
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class Solution(object):
|
||
def numSquares(self, n):
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||
# 先把可以选的数准备好，更好理解
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||
nums, num = [], 1
|
||
while num ** 2 <= n:
|
||
nums.append(num ** 2)
|
||
num += 1
|
||
# dp数组初始化
|
||
dp = [float('inf')] * (n + 1)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
# 遍历准备好的完全平方数
|
||
for i in range(len(nums)):
|
||
# 遍历背包容量
|
||
for j in range(nums[i], n+1):
|
||
dp[j] = min(dp[j], dp[j-nums[i]]+1)
|
||
# 返回结果
|
||
return dp[-1]
|
||
|
||
|
||
```
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### Go：
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||
|
||
```go
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||
// 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
|
||
func numSquares1(n int) int {
|
||
//定义
|
||
dp := make([]int, n+1)
|
||
// 初始化
|
||
dp[0] = 0
|
||
for i := 1; i <= n; i++ {
|
||
dp[i] = math.MaxInt32
|
||
}
|
||
// 遍历物品
|
||
for i := 1; i <= n; i++ {
|
||
// 遍历背包
|
||
for j := i*i; j <= n; j++ {
|
||
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[n]
|
||
}
|
||
|
||
// 版本二,先遍历背包, 再遍历物品
|
||
func numSquares2(n int) int {
|
||
//定义
|
||
dp := make([]int, n+1)
|
||
// 初始化
|
||
dp[0] = 0
|
||
// 遍历背包
|
||
for j := 1; j <= n; j++ {
|
||
//初始化
|
||
dp[j] = math.MaxInt32
|
||
// 遍历物品
|
||
for i := 1; i <= n; i++ {
|
||
if j >= i*i {
|
||
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[n]
|
||
}
|
||
|
||
func min(a, b int) int {
|
||
if a < b {
|
||
return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
### JavaScript:
|
||
|
||
```Javascript
|
||
// 先遍历物品，再遍历背包
|
||
var numSquares1 = function(n) {
|
||
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
for(let i = 1; i**2 <= n; i++) {
|
||
let val = i**2
|
||
for(let j = val; j <= n; j++) {
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n]
|
||
};
|
||
// 先遍历背包，再遍历物品
|
||
var numSquares2 = function(n) {
|
||
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
|
||
dp[0] = 0
|
||
|
||
for(let i = 1; i <= n; i++) {
|
||
for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
|
||
dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[n]
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript：
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||
|
||
```typescript
|
||
// 先遍历物品
|
||
function numSquares(n: number): number {
|
||
const goodsNum: number = Math.floor(Math.sqrt(n));
|
||
const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(Infinity);
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for (let i = 1; i <= goodsNum; i++) {
|
||
const tempVal: number = i * i;
|
||
for (let j = tempVal; j <= n; j++) {
|
||
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - tempVal] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
```rust
|
||
// 先遍历背包
|
||
function numSquares(n: number): number {
|
||
const dp = Array(n + 1).fill(Infinity)
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for(let i = 1; i <= n; i++){
|
||
for(let j = 1; j * j <= i; j++){
|
||
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i -j * j] + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n]
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### C
|
||
|
||
```c
|
||
#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a))
|
||
|
||
int numSquares(int n) {
|
||
int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
|
||
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
||
dp[j] = INT_MAX;
|
||
}
|
||
dp[0] = 0;
|
||
// 遍历背包
|
||
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
|
||
// 遍历物品
|
||
for (int j = 1; j * j <= i; ++j) {
|
||
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
### Rust:
|
||
|
||
```rust
|
||
// 先遍历背包
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
|
||
let n = n as usize;
|
||
let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
|
||
dp[0] = 0;
|
||
for i in 0..=n {
|
||
let mut j = 1;
|
||
loop {
|
||
match j * j > i {
|
||
true => break,
|
||
false => dp[i] = dp[i].min(dp[i - j * j] + 1),
|
||
}
|
||
j += 1;
|
||
}
|
||
}
|
||
dp[n]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
```rust
|
||
// 先遍历物品
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
|
||
let (n, mut goods) = (n as usize, 1);
|
||
let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
|
||
dp[0] = 0;
|
||
loop {
|
||
if goods * goods > n {
|
||
break;
|
||
}
|
||
for j in goods * goods..=n {
|
||
dp[j] = dp[j].min(dp[j - goods * goods] + 1);
|
||
}
|
||
goods += 1;
|
||
}
|
||
dp[n]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|