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## 300.最长递增子序列
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/
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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
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子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
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示例 1：
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输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
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输出：4
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解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
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示例 2：
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输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
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输出：4
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示例 3：
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输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
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输出：1
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提示：
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* 1 <= nums.length <= 2500
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* -10^4 <= nums[i] <= 104
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## 思路
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最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波：
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1. dp[i]的定义
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**dp[i]表示i之前包括i的最长上升子序列**。
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2. 状态转移方程
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位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
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所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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**注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值**。
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3. dp[i]的初始化
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每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是是1.
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4. 确定遍历顺序
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dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
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j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：
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```C++
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
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如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
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以上五部分析完毕，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
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if (nums.size() <= 1) return nums.size();
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vector<int> dp(nums.size(), 1);
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int result = 0;
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
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}
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return result;
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}
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};
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```
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## 总结
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本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
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子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int lengthOfLIS(int[] nums) {
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int[] dp = new int[nums.length];
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Arrays.fill(dp, 1);
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for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
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||
for (int j = 0; j < i; j++) {
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if (nums[i] > nums[j]) {
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||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
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}
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}
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}
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int res = 0;
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for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
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res = Math.max(res, dp[i]);
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}
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return res;
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}
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}
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```
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Python：
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```python
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class Solution:
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def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
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if len(nums) <= 1:
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return len(nums)
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dp = [1] * len(nums)
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result = 0
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for i in range(1, len(nums)):
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||
for j in range(0, i):
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if nums[i] > nums[j]:
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dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
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return result
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```
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Go：
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```go
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||
func lengthOfLIS(nums []int ) int {
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dp := []int{}
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for _, num := range nums {
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if len(dp) ==0 || dp[len(dp) - 1] < num {
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dp = append(dp, num)
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} else {
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l, r := 0, len(dp) - 1
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pos := r
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for l <= r {
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||
mid := (l + r) >> 1
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||
if dp[mid] >= num {
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||
pos = mid;
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||
r = mid - 1
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} else {
|
||
l = mid + 1
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}
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}
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||
dp[pos] = num
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}//二分查找
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}
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return len(dp)
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||
}
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||
```
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||
Javascript
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```javascript
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const lengthOfLIS = (nums) => {
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let dp = Array(nums.length).fill(1);
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let result = 1;
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||
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for(let j = 0; j < i; j++) {
|
||
if(nums[i] > nums[j]) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
|
||
}
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||
}
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||
result = Math.max(result, dp[i]);
|
||
}
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return result;
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};
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```
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*复杂度分析*
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- 时间复杂度：O(nlogn)。数组 nums 的长度为 n，我们依次用数组中的元素去更新 dp 数组，相当于插入最后递增的元素，而更新 dp 数组时需要进行 O(logn) 的二分搜索，所以总时间复杂度为 O(nlogn)。
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- 空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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