526 lines
17 KiB
Markdown
526 lines
17 KiB
Markdown
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
|
||
</a>
|
||
<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
|
||
|
||
|
||
# 337.打家劫舍 III
|
||
|
||
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/house-robber-iii/)
|
||
|
||
在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。
|
||
|
||
计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
# 算法公开课
|
||
|
||
**《代码随想录》算法视频公开课：[动态规划，房间连成树了，偷不偷呢？| LeetCode：337.打家劫舍3](https://www.bilibili.com/video/BV1H24y1Q7sY)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
|
||
|
||
|
||
## 思路
|
||
|
||
这道题目和 [198.打家劫舍](https://programmercarl.com/0198.打家劫舍.html)，[213.打家劫舍II](https://programmercarl.com/0213.打家劫舍II.html)也是如出一辙，只不过这个换成了树。
|
||
|
||
如果对树的遍历不够熟悉的话，那本题就有难度了。
|
||
|
||
对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。
|
||
|
||
**本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算**。
|
||
|
||
与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。
|
||
|
||
如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（**注意这里说的是“考虑”**）
|
||
|
||
### 暴力递归
|
||
|
||
代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int rob(TreeNode* root) {
|
||
if (root == NULL) return 0;
|
||
if (root->left == NULL && root->right == NULL) return root->val;
|
||
// 偷父节点
|
||
int val1 = root->val;
|
||
if (root->left) val1 += rob(root->left->left) + rob(root->left->right); // 跳过root->left，相当于不考虑左孩子了
|
||
if (root->right) val1 += rob(root->right->left) + rob(root->right->right); // 跳过root->right，相当于不考虑右孩子了
|
||
// 不偷父节点
|
||
int val2 = rob(root->left) + rob(root->right); // 考虑root的左右孩子
|
||
return max(val1, val2);
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
* 时间复杂度：O(n^2)，这个时间复杂度不太标准，也不容易准确化，例如越往下的节点重复计算次数就越多
|
||
* 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间
|
||
|
||
当然以上代码超时了，这个递归的过程中其实是有重复计算了。
|
||
|
||
我们计算了root的四个孙子（左右孩子的孩子）为头结点的子树的情况，又计算了root的左右孩子为头结点的子树的情况，计算左右孩子的时候其实又把孙子计算了一遍。
|
||
|
||
### 记忆化递推
|
||
|
||
所以可以使用一个map把计算过的结果保存一下，这样如果计算过孙子了，那么计算孩子的时候可以复用孙子节点的结果。
|
||
|
||
代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
unordered_map<TreeNode* , int> umap; // 记录计算过的结果
|
||
int rob(TreeNode* root) {
|
||
if (root == NULL) return 0;
|
||
if (root->left == NULL && root->right == NULL) return root->val;
|
||
if (umap[root]) return umap[root]; // 如果umap里已经有记录则直接返回
|
||
// 偷父节点
|
||
int val1 = root->val;
|
||
if (root->left) val1 += rob(root->left->left) + rob(root->left->right); // 跳过root->left
|
||
if (root->right) val1 += rob(root->right->left) + rob(root->right->right); // 跳过root->right
|
||
// 不偷父节点
|
||
int val2 = rob(root->left) + rob(root->right); // 考虑root的左右孩子
|
||
umap[root] = max(val1, val2); // umap记录一下结果
|
||
return max(val1, val2);
|
||
}
|
||
};
|
||
|
||
```
|
||
|
||
* 时间复杂度：O(n)
|
||
* 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间
|
||
|
||
|
||
### 动态规划
|
||
|
||
在上面两种方法，其实对一个节点 偷与不偷得到的最大金钱都没有做记录，而是需要实时计算。
|
||
|
||
而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。
|
||
|
||
**这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解**。
|
||
|
||
1. 确定递归函数的参数和返回值
|
||
|
||
这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。
|
||
|
||
参数为当前节点，代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
|
||
```
|
||
|
||
其实这里的返回数组就是dp数组。
|
||
|
||
所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。
|
||
|
||
**所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！**
|
||
|
||
那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？
|
||
|
||
**别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数**。
|
||
|
||
如果还不理解的话，就接着往下看，看到代码就理解了哈。
|
||
|
||
2. 确定终止条件
|
||
|
||
在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回
|
||
```
|
||
if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
|
||
```
|
||
这也相当于dp数组的初始化
|
||
|
||
|
||
3. 确定遍历顺序
|
||
|
||
首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。
|
||
|
||
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
|
||
|
||
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
|
||
|
||
代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
// 下标0：不偷，下标1：偷
|
||
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
|
||
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
|
||
// 中
|
||
|
||
```
|
||
|
||
4. 确定单层递归的逻辑
|
||
|
||
如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （**如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义**）
|
||
|
||
如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
|
||
|
||
最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
|
||
|
||
代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
|
||
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
|
||
|
||
// 偷cur
|
||
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
|
||
// 不偷cur
|
||
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
|
||
return {val2, val1};
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
5. 举例推导dp数组
|
||
|
||
以示例1为例，dp数组状态如下：（**注意用后序遍历的方式推导**）
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
**最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱**。
|
||
|
||
递归三部曲与动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
|
||
|
||
```CPP
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int rob(TreeNode* root) {
|
||
vector<int> result = robTree(root);
|
||
return max(result[0], result[1]);
|
||
}
|
||
// 长度为2的数组，0：不偷，1：偷
|
||
vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
|
||
if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
|
||
vector<int> left = robTree(cur->left);
|
||
vector<int> right = robTree(cur->right);
|
||
// 偷cur，那么就不能偷左右节点。
|
||
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
|
||
// 不偷cur，那么可以偷也可以不偷左右节点，则取较大的情况
|
||
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
|
||
return {val2, val1};
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
* 时间复杂度：O(n)，每个节点只遍历了一次
|
||
* 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
这道题是树形DP的入门题目，通过这道题目大家应该也了解了，所谓树形DP就是在树上进行递归公式的推导。
|
||
|
||
**所以树形DP也没有那么神秘！**
|
||
|
||
只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式，一下子换成了树，就需要对树的遍历方式足够了解！
|
||
|
||
大家还记不记得我在讲解贪心专题的时候，讲到这道题目：[贪心算法：我要监控二叉树！](https://programmercarl.com/0968.监控二叉树.html)，这也是贪心算法在树上的应用。**那我也可以把这个算法起一个名字，叫做树形贪心**，哈哈哈
|
||
|
||
“树形贪心”词汇从此诞生，来自「代码随想录」
|
||
|
||
## 其他语言版本
|
||
|
||
|
||
### Java
|
||
```Java
|
||
class Solution {
|
||
// 1.递归去偷，超时
|
||
public int rob(TreeNode root) {
|
||
if (root == null)
|
||
return 0;
|
||
int money = root.val;
|
||
if (root.left != null) {
|
||
money += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
|
||
}
|
||
if (root.right != null) {
|
||
money += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);
|
||
}
|
||
return Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right));
|
||
}
|
||
|
||
// 2.递归去偷，记录状态
|
||
// 执行用时：3 ms , 在所有 Java 提交中击败了 56.24% 的用户
|
||
public int rob1(TreeNode root) {
|
||
Map<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();
|
||
return robAction(root, memo);
|
||
}
|
||
|
||
int robAction(TreeNode root, Map<TreeNode, Integer> memo) {
|
||
if (root == null)
|
||
return 0;
|
||
if (memo.containsKey(root))
|
||
return memo.get(root);
|
||
int money = root.val;
|
||
if (root.left != null) {
|
||
money += robAction(root.left.left, memo) + robAction(root.left.right, memo);
|
||
}
|
||
if (root.right != null) {
|
||
money += robAction(root.right.left, memo) + robAction(root.right.right, memo);
|
||
}
|
||
int res = Math.max(money, robAction(root.left, memo) + robAction(root.right, memo));
|
||
memo.put(root, res);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
|
||
// 3.状态标记递归
|
||
// 执行用时：0 ms , 在所有 Java 提交中击败了 100% 的用户
|
||
// 不偷：Max(左孩子不偷，左孩子偷) + Max(又孩子不偷，右孩子偷)
|
||
// root[0] = Math.max(rob(root.left)[0], rob(root.left)[1]) +
|
||
// Math.max(rob(root.right)[0], rob(root.right)[1])
|
||
// 偷：左孩子不偷+ 右孩子不偷 + 当前节点偷
|
||
// root[1] = rob(root.left)[0] + rob(root.right)[0] + root.val;
|
||
public int rob3(TreeNode root) {
|
||
int[] res = robAction1(root);
|
||
return Math.max(res[0], res[1]);
|
||
}
|
||
|
||
int[] robAction1(TreeNode root) {
|
||
int res[] = new int[2];
|
||
if (root == null)
|
||
return res;
|
||
|
||
int[] left = robAction1(root.left);
|
||
int[] right = robAction1(root.right);
|
||
|
||
res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
|
||
res[1] = root.val + left[0] + right[0];
|
||
return res;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Python
|
||
|
||
> 暴力递归
|
||
|
||
```python
|
||
|
||
# Definition for a binary tree node.
|
||
# class TreeNode:
|
||
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
|
||
# self.val = val
|
||
# self.left = left
|
||
# self.right = right
|
||
class Solution:
|
||
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
|
||
if root is None:
|
||
return 0
|
||
if root.left is None and root.right is None:
|
||
return root.val
|
||
# 偷父节点
|
||
val1 = root.val
|
||
if root.left:
|
||
val1 += self.rob(root.left.left) + self.rob(root.left.right)
|
||
if root.right:
|
||
val1 += self.rob(root.right.left) + self.rob(root.right.right)
|
||
# 不偷父节点
|
||
val2 = self.rob(root.left) + self.rob(root.right)
|
||
return max(val1, val2)
|
||
```
|
||
|
||
> 记忆化递归
|
||
|
||
```python
|
||
|
||
# Definition for a binary tree node.
|
||
# class TreeNode:
|
||
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
|
||
# self.val = val
|
||
# self.left = left
|
||
# self.right = right
|
||
class Solution:
|
||
memory = {}
|
||
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
|
||
if root is None:
|
||
return 0
|
||
if root.left is None and root.right is None:
|
||
return root.val
|
||
if self.memory.get(root) is not None:
|
||
return self.memory[root]
|
||
# 偷父节点
|
||
val1 = root.val
|
||
if root.left:
|
||
val1 += self.rob(root.left.left) + self.rob(root.left.right)
|
||
if root.right:
|
||
val1 += self.rob(root.right.left) + self.rob(root.right.right)
|
||
# 不偷父节点
|
||
val2 = self.rob(root.left) + self.rob(root.right)
|
||
self.memory[root] = max(val1, val2)
|
||
return max(val1, val2)
|
||
```
|
||
|
||
> 动态规划
|
||
```python
|
||
# Definition for a binary tree node.
|
||
# class TreeNode:
|
||
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
|
||
# self.val = val
|
||
# self.left = left
|
||
# self.right = right
|
||
class Solution:
|
||
def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
|
||
# dp数组（dp table）以及下标的含义：
|
||
# 1. 下标为 0 记录 **不偷该节点** 所得到的的最大金钱
|
||
# 2. 下标为 1 记录 **偷该节点** 所得到的的最大金钱
|
||
dp = self.traversal(root)
|
||
return max(dp)
|
||
|
||
# 要用后序遍历, 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算
|
||
def traversal(self, node):
|
||
|
||
# 递归终止条件，就是遇到了空节点，那肯定是不偷的
|
||
if not node:
|
||
return (0, 0)
|
||
|
||
left = self.traversal(node.left)
|
||
right = self.traversal(node.right)
|
||
|
||
# 不偷当前节点, 偷子节点
|
||
val_0 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
|
||
|
||
# 偷当前节点, 不偷子节点
|
||
val_1 = node.val + left[0] + right[0]
|
||
|
||
return (val_0, val_1)
|
||
```
|
||
|
||
### Go
|
||
|
||
动态规划
|
||
|
||
```go
|
||
func rob(root *TreeNode) int {
|
||
res := robTree(root)
|
||
return max(res[0], res[1])
|
||
}
|
||
|
||
func max(a, b int) int {
|
||
if a > b {
|
||
return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
|
||
|
||
func robTree(cur *TreeNode) []int {
|
||
if cur == nil {
|
||
return []int{0, 0}
|
||
}
|
||
// 后序遍历
|
||
left := robTree(cur.Left)
|
||
right := robTree(cur.Right)
|
||
|
||
// 考虑去偷当前的屋子
|
||
robCur := cur.Val + left[0] + right[0]
|
||
// 考虑不去偷当前的屋子
|
||
notRobCur := max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
|
||
|
||
// 注意顺序：0:不偷，1:去偷
|
||
return []int{notRobCur, robCur}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### JavaScript
|
||
|
||
> 动态规划
|
||
|
||
```javascript
|
||
const rob = root => {
|
||
// 后序遍历函数
|
||
const postOrder = node => {
|
||
// 递归出口
|
||
if (!node) return [0, 0];
|
||
// 遍历左子树
|
||
const left = postOrder(node.left);
|
||
// 遍历右子树
|
||
const right = postOrder(node.right);
|
||
// 不偷当前节点，左右子节点都可以偷或不偷，取最大值
|
||
const DoNot = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
|
||
// 偷当前节点，左右子节点只能不偷
|
||
const Do = node.val + left[0] + right[0];
|
||
// [不偷，偷]
|
||
return [DoNot, Do];
|
||
};
|
||
const res = postOrder(root);
|
||
// 返回最大值
|
||
return Math.max(...res);
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript
|
||
|
||
> 记忆化后序遍历
|
||
|
||
```typescript
|
||
const memory: Map<TreeNode, number> = new Map();
|
||
function rob(root: TreeNode | null): number {
|
||
if (root === null) return 0;
|
||
if (memory.has(root)) return memory.get(root);
|
||
// 不取当前节点
|
||
const res1: number = rob(root.left) + rob(root.right);
|
||
// 取当前节点
|
||
let res2: number = root.val;
|
||
if (root.left !== null) res2 += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
|
||
if (root.right !== null) res2 += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);
|
||
const res: number = Math.max(res1, res2);
|
||
memory.set(root, res);
|
||
return res;
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
> 状态标记化后序遍历
|
||
|
||
```typescript
|
||
function rob(root: TreeNode | null): number {
|
||
return Math.max(...robNode(root));
|
||
};
|
||
// [0]-不偷当前节点能获得的最大金额; [1]-偷~~
|
||
type MaxValueArr = [number, number];
|
||
function robNode(node: TreeNode | null): MaxValueArr {
|
||
if (node === null) return [0, 0];
|
||
const leftArr: MaxValueArr = robNode(node.left);
|
||
const rightArr: MaxValueArr = robNode(node.right);
|
||
// 不偷
|
||
const val1: number = Math.max(leftArr[0], leftArr[1]) +
|
||
Math.max(rightArr[0], rightArr[1]);
|
||
// 偷
|
||
const val2: number = leftArr[0] + rightArr[0] + node.val;
|
||
return [val1, val2];
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Rust
|
||
|
||
动态规划：
|
||
|
||
```rust
|
||
use std::cell::RefCell;
|
||
use std::rc::Rc;
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn rob(root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> i32 {
|
||
let (v1, v2) = Self::rob_tree(&root);
|
||
v1.max(v2)
|
||
}
|
||
pub fn rob_tree(cur: &Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> (i32, i32) {
|
||
match cur {
|
||
None => (0, 0),
|
||
Some(node) => {
|
||
let left = Self::rob_tree(&node.borrow_mut().left);
|
||
let right = Self::rob_tree(&node.borrow_mut().right);
|
||
(
|
||
left.0.max(left.1) + right.0.max(right.1), // 偷左右节点
|
||
node.borrow().val + left.0 + right.0, // 偷父节点
|
||
)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|