235 lines
8.0 KiB
Markdown
235 lines
8.0 KiB
Markdown
<p align="center">
|
||
<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/RsdcQ9umo09R6cfnwXZlrQ"><img src="https://img.shields.io/badge/PDF下载-代码随想录-blueviolet" alt=""></a>
|
||
<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw"><img src="https://img.shields.io/badge/刷题-微信群-green" alt=""></a>
|
||
<a href="https://space.bilibili.com/525438321"><img src="https://img.shields.io/badge/B站-代码随想录-orange" alt=""></a>
|
||
<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a>
|
||
</p>
|
||
<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
|
||
|
||
## 343. 整数拆分
|
||
|
||
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
|
||
|
||
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
|
||
|
||
示例 1:
|
||
输入: 2
|
||
输出: 1
|
||
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
|
||
|
||
示例 2:
|
||
输入: 10
|
||
输出: 36
|
||
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
|
||
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
|
||
|
||
## 思路
|
||
|
||
看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....
|
||
|
||
我们来看一下如何使用动规来解决。
|
||
|
||
### 动态规划
|
||
|
||
动规五部曲，分析如下：
|
||
|
||
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
|
||
|
||
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
|
||
|
||
dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
|
||
|
||
2. 确定递推公式
|
||
|
||
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
|
||
|
||
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
|
||
|
||
一个是j * (i - j) 直接相乘。
|
||
|
||
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
|
||
|
||
**那有同学问了，j怎么就不拆分呢？**
|
||
|
||
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
|
||
|
||
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
|
||
|
||
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
|
||
|
||
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
|
||
|
||
|
||
3. dp的初始化
|
||
|
||
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
|
||
|
||
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
|
||
|
||
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
|
||
|
||
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
|
||
|
||
这是无解的。
|
||
|
||
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
|
||
|
||
|
||
4. 确定遍历顺序
|
||
|
||
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
|
||
|
||
|
||
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
|
||
|
||
枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
|
||
|
||
所以遍历顺序为：
|
||
```
|
||
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
|
||
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
|
||
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
5. 举例推导dp数组
|
||
|
||
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
|
||
|
||
|
||
|
||
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
|
||
|
||
```C++
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int integerBreak(int n) {
|
||
vector<int> dp(n + 1);
|
||
dp[2] = 1;
|
||
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
|
||
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
|
||
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
* 时间复杂度：O(n^2)
|
||
* 空间复杂度：O(n)
|
||
|
||
### 贪心
|
||
|
||
本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，**但是这个结论需要数学证明其合理性！**
|
||
|
||
我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
|
||
|
||
给出我的C++代码如下：
|
||
|
||
```C++
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int integerBreak(int n) {
|
||
if (n == 2) return 1;
|
||
if (n == 3) return 2;
|
||
if (n == 4) return 4;
|
||
int result = 1;
|
||
while (n > 4) {
|
||
result *= 3;
|
||
n -= 3;
|
||
}
|
||
result *= n;
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
* 时间复杂度O(n)
|
||
* 空间复杂度O(1)
|
||
|
||
## 总结
|
||
|
||
本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
|
||
|
||
其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
|
||
|
||
```C++
|
||
class Solution {
|
||
public:
|
||
int integerBreak(int n) {
|
||
if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
|
||
vector<int> dp(n + 1, 0);
|
||
dp[1] = 1;
|
||
dp[2] = 2;
|
||
dp[3] = 3;
|
||
for (int i = 4; i <= n ; i++) {
|
||
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
**这个代码也是可以过的！**
|
||
|
||
在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！
|
||
|
||
但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
|
||
|
||
但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
|
||
|
||
虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，**这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！**
|
||
|
||
我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
|
||
|
||
|
||
|
||
## 其他语言版本
|
||
|
||
|
||
Java：
|
||
```Java
|
||
class Solution {
|
||
public int integerBreak(int n) {
|
||
//dp[i]为正整数i拆分结果的最大乘积
|
||
int[] dp = new int[n+1];
|
||
dp[2] = 1;
|
||
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
|
||
for (int j = 1; j < i - 1; ++j) {
|
||
//j*(i-j)代表把i拆分为j和i-j两个数相乘
|
||
//j*dp[i-j]代表把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分，取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
Python：
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def integerBreak(self, n: int) -> int:
|
||
dp = [0] * (n + 1)
|
||
dp[2] = 1
|
||
for i in range(3, n + 1):
|
||
# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
|
||
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
|
||
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
|
||
for j in range(1, i):
|
||
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
|
||
return dp[n]
|
||
```
|
||
Go：
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
-----------------------
|
||
* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
|
||
* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
|
||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
|
||
<div align="center"><img src=../pics/公众号.png width=450 alt=> </img></div>
|