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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 474.一和零
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/)
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给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
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请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
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如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
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示例 1：
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* 输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
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* 输出：4
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* 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
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其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
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示例 2：
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* 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
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* 输出：2
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* 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
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提示：
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* 1 <= strs.length <= 600
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* 1 <= strs[i].length <= 100
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* strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
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* 1 <= m, n <= 100
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# 算法公开课
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**《代码随想录》算法视频公开课：[装满这个背包最多用多少个物品？| LeetCode：474.一和零](https://www.bilibili.com/video/BV1rW4y1x7ZQ/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。
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来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。
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其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系
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多重背包是每个物品，数量不同的情况。
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**本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！**
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**而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包**。
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理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
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但本题其实是01背包问题！
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只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
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开始动规五部曲：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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**dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。
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2. 确定递推公式
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dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
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dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
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然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
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所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
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**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。
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3. dp数组如何初始化
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。
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因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
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那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
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代码如下：
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```CPP
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for (string str : strs) { // 遍历物品
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int oneNum = 0, zeroNum = 0;
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for (char c : str) {
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if (c == '0') zeroNum++;
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else oneNum++;
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}
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for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
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for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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||
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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}
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}
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}
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```
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有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？
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没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！
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5. 举例推导dp数组
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以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
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最后dp数组的状态如下所示：
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以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
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vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
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for (string str : strs) { // 遍历物品
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int oneNum = 0, zeroNum = 0;
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for (char c : str) {
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||
if (c == '0') zeroNum++;
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else oneNum++;
|
||
}
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for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
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for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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||
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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}
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||
}
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}
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return dp[m][n];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
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* 空间复杂度: O(mn)
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## 总结
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不少同学刷过这道题，可能没有总结这究竟是什么背包。
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此时我们讲解了0-1背包的多种应用，
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* [纯 0 - 1 背包](https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html) 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
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* [416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
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* [1049. 最后一块石头的重量 II](https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
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* [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html) 是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
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* 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。
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所以在代码随想录中所列举的题目，都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！
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## 其他语言版本
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### Java
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```Java
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class Solution {
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public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
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//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
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int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
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int oneNum, zeroNum;
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for (String str : strs) {
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oneNum = 0;
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zeroNum = 0;
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for (char ch : str.toCharArray()) {
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if (ch == '0') {
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zeroNum++;
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} else {
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oneNum++;
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}
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}
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//倒序遍历
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for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
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for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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}
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}
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}
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return dp[m][n];
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}
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}
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```
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### Python
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DP（版本一）
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```python
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class Solution:
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def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
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||
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 创建二维动态规划数组，初始化为0
|
||
for s in strs: # 遍历物品
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||
zeroNum = s.count('0') # 统计0的个数
|
||
oneNum = len(s) - zeroNum # 统计1的个数
|
||
for i in range(m, zeroNum - 1, -1): # 遍历背包容量且从后向前遍历
|
||
for j in range(n, oneNum - 1, -1):
|
||
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1) # 状态转移方程
|
||
return dp[m][n]
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||
|
||
```
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||
DP（版本二）
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||
```python
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class Solution:
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||
def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
|
||
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 创建二维动态规划数组，初始化为0
|
||
# 遍历物品
|
||
for s in strs:
|
||
ones = s.count('1') # 统计字符串中1的个数
|
||
zeros = s.count('0') # 统计字符串中0的个数
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||
# 遍历背包容量且从后向前遍历
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||
for i in range(m, zeros - 1, -1):
|
||
for j in range(n, ones - 1, -1):
|
||
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1) # 状态转移方程
|
||
return dp[m][n]
|
||
|
||
```
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||
### Go
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||
```go
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func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
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||
// 定义数组
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dp := make([][]int, m+1)
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for i,_ := range dp {
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||
dp[i] = make([]int, n+1 )
|
||
}
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||
// 遍历
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for i:=0;i<len(strs);i++ {
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||
zeroNum,oneNum := 0 , 0
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||
//计算0,1 个数
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||
//或者直接strings.Count(strs[i],"0")
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for _,v := range strs[i] {
|
||
if v == '0' {
|
||
zeroNum++
|
||
}
|
||
}
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||
oneNum = len(strs[i])-zeroNum
|
||
// 从后往前 遍历背包容量
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||
for j:= m ; j >= zeroNum;j-- {
|
||
for k:=n ; k >= oneNum;k-- {
|
||
// 推导公式
|
||
dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-zeroNum][k-oneNum]+1)
|
||
}
|
||
}
|
||
//fmt.Println(dp)
|
||
}
|
||
return dp[m][n]
|
||
}
|
||
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||
func max(a,b int) int {
|
||
if a > b {
|
||
return a
|
||
}
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||
return b
|
||
}
|
||
```
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||
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||
### Javascript
|
||
```javascript
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||
const findMaxForm = (strs, m, n) => {
|
||
const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0));
|
||
let numOfZeros, numOfOnes;
|
||
|
||
for(let str of strs) {
|
||
numOfZeros = 0;
|
||
numOfOnes = 0;
|
||
|
||
for(let c of str) {
|
||
if (c === '0') {
|
||
numOfZeros++;
|
||
} else {
|
||
numOfOnes++;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
for(let i = m; i >= numOfZeros; i--) {
|
||
for(let j = n; j >= numOfOnes; j--) {
|
||
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - numOfZeros][j - numOfOnes] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[m][n];
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript
|
||
|
||
> 滚动数组，二维数组法
|
||
|
||
```typescript
|
||
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
|
||
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
|
||
const goodsNum: number = strs.length;
|
||
const dp: number[][] = new Array(m + 1).fill(0)
|
||
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0));
|
||
for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
|
||
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
|
||
for (let j = m; j >= numOfZero; j--) {
|
||
for (let k = n; k >= numOfOne; k--) {
|
||
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[m][n];
|
||
};
|
||
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
|
||
let numOfZero: number = 0,
|
||
numOfOne: number = 0;
|
||
for (let s of str) {
|
||
if (s === '0') {
|
||
numOfZero++;
|
||
} else {
|
||
numOfOne++;
|
||
}
|
||
}
|
||
return { numOfZero, numOfOne };
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
> 传统背包，三维数组法
|
||
|
||
```typescript
|
||
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
|
||
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
|
||
/**
|
||
dp[i][j][k]: 前i个物品中, 背包的0容量为j, 1容量为k, 最多能放的物品数量
|
||
*/
|
||
const goodsNum: number = strs.length;
|
||
const dp: number[][][] = new Array(goodsNum).fill(0)
|
||
.map(_ => new Array(m + 1)
|
||
.fill(0)
|
||
.map(_ => new Array(n + 1).fill(0))
|
||
);
|
||
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[0]);
|
||
for (let i = numOfZero; i <= m; i++) {
|
||
for (let j = numOfOne; j <= n; j++) {
|
||
dp[0][i][j] = 1;
|
||
}
|
||
}
|
||
for (let i = 1; i < goodsNum; i++) {
|
||
const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
|
||
for (let j = 0; j <= m; j++) {
|
||
for (let k = 0; k <= n; k++) {
|
||
if (j < numOfZero || k < numOfOne) {
|
||
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
|
||
} else {
|
||
dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[dp.length - 1][m][n];
|
||
};
|
||
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
|
||
let numOfZero: number = 0,
|
||
numOfOne: number = 0;
|
||
for (let s of str) {
|
||
if (s === '0') {
|
||
numOfZero++;
|
||
} else {
|
||
numOfOne++;
|
||
}
|
||
}
|
||
return { numOfZero, numOfOne };
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
> 回溯法（会超时）
|
||
|
||
```typescript
|
||
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
|
||
/**
|
||
思路：暴力枚举strs的所有子集，记录符合条件子集的最大长度
|
||
*/
|
||
let resMax: number = 0;
|
||
backTrack(strs, m, n, 0, []);
|
||
return resMax;
|
||
function backTrack(
|
||
strs: string[], m: number, n: number,
|
||
startIndex: number, route: string[]
|
||
): void {
|
||
if (startIndex === strs.length) return;
|
||
for (let i = startIndex, length = strs.length; i < length; i++) {
|
||
route.push(strs[i]);
|
||
if (isValidSubSet(route, m, n)) {
|
||
resMax = Math.max(resMax, route.length);
|
||
backTrack(strs, m, n, i + 1, route);
|
||
}
|
||
route.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
};
|
||
function isValidSubSet(strs: string[], m: number, n: number): boolean {
|
||
let zeroNum: number = 0,
|
||
oneNum: number = 0;
|
||
strs.forEach(str => {
|
||
for (let s of str) {
|
||
if (s === '0') {
|
||
zeroNum++;
|
||
} else {
|
||
oneNum++;
|
||
}
|
||
}
|
||
});
|
||
return zeroNum <= m && oneNum <= n;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Scala
|
||
|
||
背包：
|
||
```scala
|
||
object Solution {
|
||
def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
|
||
var dp = Array.ofDim[Int](m + 1, n + 1)
|
||
|
||
var (oneNum, zeroNum) = (0, 0)
|
||
|
||
for (str <- strs) {
|
||
oneNum = 0
|
||
zeroNum = 0
|
||
for (i <- str.indices) {
|
||
if (str(i) == '0') zeroNum += 1
|
||
else oneNum += 1
|
||
}
|
||
|
||
for (i <- m to zeroNum by -1) {
|
||
for (j <- n to oneNum by -1) {
|
||
dp(i)(j) = math.max(dp(i)(j), dp(i - zeroNum)(j - oneNum) + 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
dp(m)(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
回溯法(超时)：
|
||
```scala
|
||
object Solution {
|
||
import scala.collection.mutable
|
||
|
||
var res = Int.MinValue
|
||
|
||
def test(str: String): (Int, Int) = {
|
||
var (zero, one) = (0, 0)
|
||
for (i <- str.indices) {
|
||
if (str(i) == '1') one += 1
|
||
else zero += 1
|
||
}
|
||
(zero, one)
|
||
}
|
||
|
||
def travsel(strs: Array[String], path: mutable.ArrayBuffer[String], m: Int, n: Int, startIndex: Int): Unit = {
|
||
if (startIndex > strs.length) {
|
||
return
|
||
}
|
||
|
||
res = math.max(res, path.length)
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for (i <- startIndex until strs.length) {
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var (zero, one) = test(strs(i))
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// 如果0的个数小于m，1的个数小于n，则可以回溯
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||
if (zero <= m && one <= n) {
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path.append(strs(i))
|
||
travsel(strs, path, m - zero, n - one, i + 1)
|
||
path.remove(path.length - 1)
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
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def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
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res = Int.MinValue
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var path = mutable.ArrayBuffer[String]()
|
||
travsel(strs, path, m, n, 0)
|
||
res
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||
}
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}
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```
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### Rust
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```rust
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impl Solution {
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pub fn find_max_form(strs: Vec<String>, m: i32, n: i32) -> i32 {
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let (m, n) = (m as usize, n as usize);
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||
let mut dp = vec![vec![0; n + 1]; m + 1];
|
||
for s in strs {
|
||
let (mut one_num, mut zero_num) = (0, 0);
|
||
for c in s.chars() {
|
||
match c {
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||
'0' => zero_num += 1,
|
||
'1' => one_num += 1,
|
||
_ => (),
|
||
}
|
||
}
|
||
for i in (zero_num..=m).rev() {
|
||
for j in (one_num..=n).rev() {
|
||
dp[i][j] = dp[i][j].max(dp[i - zero_num][j - one_num] + 1);
|
||
}
|
||
}
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||
}
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||
dp[m][n]
|
||
}
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||
}
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```
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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